曲阜师范大学常微分方程期末复习题

《常微分方程》复习资料1一、叙述题叙述一阶微分方程解的存在唯一性定理并写出对应的积分方程二、求下列方程的实通解1.2.3.三、计算题1．试求的基解矩阵.四、证明题1．假设在平面上有定义、连续和有界,同时存在关于的一阶连续偏导数,则方程的任一个解的最大存在区间是.2．试证：阶线性非齐次方程(其中在上连续)在区间上存在且最多存在个线性无关解.3．假设在区间上是（其中连续）的基解矩阵,试证：在区间上也是的基解矩阵，其中为非奇异的阶常矩阵.参考答案叙述题如果在矩形域上连续且关于满足李普希兹条件,则初值问题在区间上有且只有一个解,其中对应的积分方程为二、求下列方程的实通解1.解：这是变量分离方程.当时,分离变量积分得到原方程的通解为其中为任意常数.2.解：这是时的伯努利方程.令，则原方程可化为一阶线性微分方程解之得将代入上式整理得到原方程的通解为或者其中为任意常数.3.解：令由于所以方程有积分因子以它乘方程得到所以原方程的通解为其中为任意常数.三、计算题（10×2＝20）1．解：因为而且后面的两个矩阵可以交换,所以四、证明题（10×3＝30）1．证明:根据已知条件,可知方程的右端函数在整个平面上满足解的存在唯一性定理及解的延展定理的条件.假设满足初值的解的存在区间是,其中为有限数.则当时,不趋于(因为有界),这与延展定理矛盾.2．证明：设为对应齐次线性方程的个线性无关解,为非齐次线性方程的一个解,则为非齐次线性方程组的个线性无关解.设为非齐次线性方程的任意个解,则为对应齐次线性方程组的个解,这个解线性相关.从而得到非齐次线性方程的任意个解线性相关.所以阶线性非齐次方程在区间上存在且最多存在个线性无关解.3．证明:由在区间上是的基解矩阵知所以即为解矩阵.由非奇异可知从而是的基解矩阵.《常微分方程》复习资料2一、叙述题1．积分因子二、求下列方程的实通解1.2.3.三、计算题1．已知函数在连续,函数是线性微分方程的4个解.求此方程的通解和满足初值的特解.2．已知是线性非齐次方程组在区间上的个线性无关解,其中和在上连续.试写出该方程组的通解的表达式.四、证明题1．假设和在平面上连续,试证：对于任意的及方程满足的解都在上存在.2．假设是阶线性齐次方程在区间上的个解,其中在上连续.试证：在区间上线性无关的充分必要条件是所对应的朗斯基行列式参考答案一、叙述题1．如果存在连续可微的函数使得为恰当方程,则称为方程的积分因子.二、求下列方程的实通解1.解：令，则原方程可化为变量分离方程解之得将代入上式整理得到原方程的通解为其中为任意常数.2.解：这是时的伯努利方程.令，则原方程可化为一阶线性微分方程解之得将代入上式整理得到原方程的通解为或者其中为任意常数.3.解：令由于所以方程有积分因子以它乘方程得到所以原方程的通解为其中为任意常数.三、计算题1．解：因为函数是线性微分方程的4个解,所以为所对应的齐次微分方程的两个解,由此可得到为对应的齐次微分方程的一个基本解组,为原方程的一个特解.故原方程的通解为其中为任意常数.由解得故满足初值的特解为.2．解：令因为为非齐次线性方程组的个线性无关解，所以为对应齐次线性方程组的个线性无关解，即一个基本解组.所以非齐次线性方程组的通解为其中是满足的任意常数.四、证明题1．证明:根据题设,可以证明方程的右端函数在整个平面上满足解的存在唯一性定理及解的延展定理的条件.显然,为方程在上的解,由延展定理可知,满足(其中任意,)的解上的点应当无限远离原点,而由解的唯一性,不能穿过直线,所以只能向两侧无限延展,从而这解应在上存在.2．证明：(必要性)利用反证法.设存在使得考虑关于的以为系数行列式的齐次线性代数方程组.由知此代数方程组有非零解以这组常数构造函数由解的唯一性可知这与在区间上线性无关矛盾.―――5分(充分性)利用反证法.设在区间上线性相关,则存在一组不全为零的常数解使得依次对微分此恒等式,得到把它看成关于的齐次线性代数方程组,它的系数行列式为因为它有一组非零解,所以它的系数行列式必须为零,即这与矛盾.《常微分方程》复习资料3一、计算题1、求方程的通解。求微分方程的解.解方程：求方程的奇解二、求下列高阶微分方程的通解三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。四、求下列微分方程组的通解（1）参考答案一、计算题评分标准：1、解：积分因子两边同乘以后方程变为恰当方程：两边积分得：得：因此方程的通解为：2、解：，则所以另外也是方程的解3、解：，令z=x+y则所以–z+3ln|z+1|=x+，ln=x+z+即4、解:利用判别曲线得消去得即所以方程的通解为,所以是方程的奇解5、解：方程化为令，则，代入上式，得分量变量，积分，通解为原方程通解为二、求下列高阶微分方程的通解解齐次方程的通解为x=不是特征根，故取代入方程比较系数得A=，B=于是通解为x=+三、解：，解的存在区间为即