5.1.1变化率问题及其几何意义公开课

过山车是一项富有刺激性的娱乐工具。那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷。

问题情境1oxy容易看出点B,C之间的曲线较点A,B之间的曲线更加“陡峭”.●B●A●C数学建模函数变化的快与慢

问题情境2:函数变化的快与慢在必修第一册中，我们研究了基本初等函数，定性知道“对数增长”是越来越慢，“指数爆炸”比“直线上升”快得多，那么能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？1.随着对函数的深入研究产生了微积分,它是数学发展史上继欧氏几何后的又一个具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑.2.微积分的创立者是牛顿和莱布尼茨.他们都是著名的科学家.牛顿（1642-1727)是英国数学家、天文学家和物理学家,是世界上出类拔萃的科学家。

莱布尼茨(1646--1716)德国数学家、哲学家，和牛顿同为微积分的创始人.第五章

一元函数的导数及其应用为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：用什么量精确刻画变量变化的快与慢？一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在

任意时刻的速度与加速度等;

二、求曲线的切线;

三、求已知函数的最大值与最小值;

四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．5.1.1变化率问题oxy容易看出点B,C之间的曲线较点A,B之间的曲线更加“陡峭”.如何量化陡峭程度呢？该比值近似量化B,C之间这一段曲线的陡峭程度.●B●A●C情境1：t1t2S(t1)S(t2)A（21,70）B（24,100）O（0,0）问：为什么0---t1图像比t1---t2“平缓”？21-0=21(s)70-0=70(m)慢快路程随时间变化关系S=S（t）时间的改变量

Δt=t2-t1路程的改变量Δs=S2-S1路程差/时间差(Δs/Δt)速度变化快慢24-21=3(s)100-70=30(m)30/3=10(m/s)70/21=3.3(m/s)<如何量化图象“平缓（变化慢）”“陡峭（变化快）”？情境2：路程随时间变化曲线：路程在［t1,t2］变化率(快慢)：

hto在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+4.8t+11.如何描述运动员从起跳到入水的过程中的快慢程度呢？情境3：高台跳水运动员的速度平均速度请计算：hto你有什么发现？在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.

要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度．我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度如何求物体在t=1s的瞬时速度呢？Δt<0Δt>0-0.01-4.9510.01-5.049-0.001-4.99510.001-5.0049-0.0001-4.999510.0001-5.00049-0.00001-4.9999510.00001-5.000049-0.000001-4.99999510.000001-5.0000049解:

(1)思考：思考：解:

(2)平均速度及瞬时速度思考：你觉得平均速度及瞬时速度的几何意义是什么呢？hto思考1:Poxyy=f(x)割线切线T

请看当点沿着曲线逐渐向点接近时,割线绕着点P逐