2022年新高考数学复习知识方法清单07 二次函数与幂函数（解析版）

清单07二次函数与事函数

知识与方法清单

i.二次函数解析式的三种形式

⑴一般式：J(x)=ax2+bx+c(«#O)；

(2)顶点式：,/(x)=a(x—〃?)2+〃(4和)；

(3)零点式:y(x)=a(x-Xj)(x-x2)(a#)).

【解读】根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，方法如下：

——|三点坐标|——T选用一般式|

顶点坐集一!

------1对称轴］•I选用顶点式|

L~|最大(小)祢］

——|与*轴两交点坐标I选用零点式|

【对点训练1］己知二次函数左)满足人2)=-1次-1)=-1,且＜x)的最大值是8,则二次函数的解析式为

【答案】7(x)=-4x2+4x+7

(4a+2h+c=-\,,,

a=—4,

方法一：(利用一般式)设危尸加+法+血和)，由题意得j'解之得＜。=4,

、4讹4一a炉=8,［c=7.r

所以所求二次函数为y=-4/+4x+7.

2+(—1)1

方法二：(利用顶点式)设火工)=。5一m)2+〃3邦),因为人2)=火一1),所以抛物线对称轴为x=---------=1

所以“T，又根据题意，函数有最大值为8,所以〃=8,所以./U)=a(x—/+8.因为12)=—1,即

c(2—+8=—1.解之得a=-4.所以外)=-4(x—力+8=—4x2+4x+7.

方法三：(利用零点式)由已知人］)+1=0的两根为内=2上=-1,即ga)=/a)+i的两个零点为2,—1,

4〃(—2a—1)—/7-

故可设«r)+l=4(x—2)(犬+1)(#0),即人用二以2一以一2a—1.又函数有最大值ymax=8,即

=8,解之得〃=—4,所以所求函数解析式为7(x)=—4/+我一2x(—4)—1=—4/+4x+7.

2.二次函数的图象与性质

二次函数段)=依2+版+以〃8)的图象是一条抛物线,它的对称轴、顶点坐标、开口方向、值域、单调性分别

是：

b

⑴对称轴：x=----；

2a

小、k上ML（b4QC-/?2、

（2）顶点坐标：----,--------；

I2Q4Q,

（3）开口方向：a>0时，开口向上一,〃VO时，开口向下；

（4）值域：〃>0时必V0时,yW；

（5）单调性：。>0时在上（一8,一微，是减函数，在（一盘，+，）上是增函数；。<0时«r）在（一8,一给上

是增函数，在（一5，+8）上是减函数.

【解读】对于函数遂力=以2+公+c,若是二次函数，就隐含“知,当题目未说明是二次函数时，就要分。=0和

两种情况讨论.②在二次函数尸底+"+以w0）中,a的正负决定抛物线开口的方向（a的大小决定开口大

小）,c确定抛物线在），轴上的截距力与a确定顶点的横坐标（或对称轴的位置）.

【对点训练2］如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点4（一3,0）,对称轴为x=-1.给出下面

四个结论：

①加>4"。；②2a—6=1；③a—6+c=0；④5a<6.其中正确的是（）

A.①③B.0@C.②③D.②④

【答案】B

_b

【解析咽为图象与x轴交于两点,所以。2—4ac>0,即〃>4%①正确;对称轴为X=-1,即一或=一1,2“

—6=0,②错误；结合图象，当x=-1时,y>0,即a—b+c>0,③错误；由对称轴为x=-1知力=2”,又函数图

象开口向下，所以。<0,所以5a<2a,即5a<b,④正确.故选B.

3.根据二次函数单调性求参数范围，常转化为二次函数图象的对称轴与单调区间的位置关系，若二次函数在某

区间上单调，则该区间在对称轴的一侧，若二次函数在某区间上不单调,则对称轴在该区间内（非端点），

【对点训练3】（安徽省六安市高三上学期月考）如果函数/（力=尤2-必;-3在区间（-8,2］上单调递减，那

么实数。满足的条件是（）

A.a>2B.a<2C,a>4D.a>-4

【答案】C

【解析】由二次函数〃x）=x2—融―3的对称轴为x且开口向上，若在区间（-oo,2］上单调递减，

可得：q22,解得。24,故选C.

2

4.二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系

二次函数段）=加+队+。（中0）的零点（图象与x轴交点的横坐标）是相应一元二次方程ax2+hx+c=0的根，

也是一元二次不等式加+加+介。（或加+云+区0）解集的端点.

【对点训练4】不等式a?—法+c>。的解集为"|一2<%<1},则函数丁=0?+法+。的图像大致为（）

【解析】

—2。+1=—b

ab=-a

不等式ax?+灰+°>0的解集为{工|一2<工<11,.'.,-2x1=-/.c=-2a,

a

a<0

a<0

y=ax2+bx+c=ax2-ax-2a=a（x2一x-2）,图象开口向下，两个零点为2,-1.故选C.

5.二次函数在闭区间上的最值

二次函数在闭区间上必有最大值和最小值.它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得，可分别求值再比

较大小，最后确定最值.

【对点训练5】（2021江苏省南通市高三上学期月考）若使得不等式犬―2x+a<（）成立，则实

数a的取值范围为()

A.a<—3B.a<0C.a<\D.a>—3

【答案】C

2

【解析】因为玉L2],使得不等式x-2x+a<0成立，所以玉W一1,2],使得不等式af+2x成立，

令/(x)=-%2+2x,xe[-l,2],因为对称轴为x=Lxw[-l,2],所以y(x)max=/⑴=1,

所以。<1,故选C

6.含参二次函数在闭区间上的最值要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.

【对点训练6】(2021浙江省台州市高三上学期期中)己知为正实数涵数/(力=/-2%+。,且对任意

xe[0,r],w|/(x)|<a成立.若对每一个正实数a，记t的最大值为g⑷,若函数g⑷的值域记为B,则下

列关系正确的是()

A.2&BB.-iBC.3eBD.-iB

23

【答案】A

【详解】；/(%)=——2x+a函数/(x)的图象开口向匕对称轴为x=1

2

①0<4,1时J(x)在[0,〃上为减函数,=/(O)=a,f(x)min=f(t)=t-2t+a

•••对任意的都有/(x)wHz,a]..-.-a<t2-2t+a^t2-2t+2a>0,

,1

当△=(—2)——4x2a=4(l—2“)<0.即423时,0<%,1,

当△=(一2)2—4乂2。=4(1-24)>0,即0<4<；时,1_5/13^4.41

②/>1时,/(x)在[0,1]上为减函数，在[1⑺上为增函数，

则f(x)“加=/°)=a-12-a"a、=/nzu{/(0),/(r)}=max{a,r-2t+a}<a,

且/-2f+“,即1</,,2,：f的最大值为g(a)

综上可得，当aN1时fe(O,2],当0<a<；时,fe(O,l)

二函数g(。)的值域为(0,2],故选A.

7.一元二次方程根的讨论(即二次函数零点的分布)

设XIX2是实系数一元二次方程，*+公+。=03>())的两实根，则沏上的分布范围与系数之间的关系如表所示.

根的分布

（m<n<p且tn,图象满足的条件

n,p均为常数）

'△>0,

Vb

九1〈垃〈加-1•>“①一不如

n

(〃?)>0.

2>0,

b

m<x\<X2②0-丁〉根，

为2a

</(zn)>0.

x\<m<X2③AM<0.

✓A>0,

b

机一五<〃，

771<X1<X2<H④V

f(m)>0,

f(〃)>0.

f(/n)>0,

tn<x\<n<X2<p⑤・f(n)<0,

/(P)>o.

△

后'=0,

tn<x\=X2<n⑥b

〃7<一五〈儿

只有一根

V

\\

\____\

在区间（孙〃）内⑦犬附贝〃）<0.

/n-

口二

【解读】对一元二次方程根的问题的研究，主要分三个方面：①根的个数问题，由判别式判断；②正负根问题,

由判别式及韦达定理判断；③根的分布问题，依函数与方程思想，通过考查开口方向、对称轴、判别式、端点

函数值等数形结合求解

【对点训练7】已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.

⑴若方程有两根淇中一根在区间（一1,0）内,另一根在区间（1⑵内，求m的取值范围;

⑵若方程两根均在区间（0,1）内，求m的取值范围.

【解析】(I)条件说明抛物线/(犬)=/+2〃状+2加+1与A-轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内，作出函数人x)

的大致图象，得

1

m<-2,

7(0)=2〃?+1<0,

1/(-1)=2>0,mGR,

1

/(I)=4w+2<0,加<-5,

,/(2)=66+5>0

5

所以-萨<-，・

5

故m的取值范围为:-

6一

⑵山抛物线与x轴交点落在区间(0,1)内，作出函数«r)的大致图象得

7(o)=2w+l>0,

1/(1)=4加+2>0,

A=(2加)2—4(2m+1)>0,

、0<一mvl.

r1

m>—y

1i

>m>~r，所以一予何一位

)n>\+让或/彷1一近，

<一1<7W<0.

故m的取值范围为,一；Vmgl一诲j.

8.第函数的定义

形如)，=K(a£R)的函数称为某函数，其中x是自变量以为常数.注意N的系数为1.

【对点训练8】下列函数是暴函数的是()

A.y=-x2B.y=lC.y=3x3D.y=x3

【答案】D

i

【解析】由哥函数的定义可知y=是幕函数.

【提醒】注意y=x0与y=l的区别，前者是幕函数，后者不是幕函数，虽然x0=l,但这两个函数的定义域不同,

y=x°的定义域时,(YQ,0)U(0,+8)♦y=i的定义域为(~0°,+8).

9.暴函数解析式的确定

由于基函数的形式是y=d(aCR),其中只有一个参数/因此只需一个条件即可确定其解析式.

【对点训练9］已知幕函数〃力=«病+，”『(WWN*)的图象经过点(2,也)，则/(%)=.

【答案】必

【解析】因为函数外)的图象经过点(2,啦),所以及=2而+，")'，即2、2而+"，广，

所以病+"7=2,解得m=\或，"=—2.又因为,"GN*,所以m=\,f(x)-x1.

10.y=X,y=》2,y=%3,丁=》2,>=彳-1的图象.

在同一坐标系内，这5个幕函数的图象如图所示，这5个塞函数代表了暴函数的5种基本类型，是考纲要求掌握

的5个幕函数.

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】因为y=Z，2-4，M(>neZ)的图象与坐标轴没有交点，所以加2—4〃?<0,即0</n<4.

又函数的图象关于y轴对称且"PZ,又M-4"?为偶数，因此加=2.

11.累函数图象的规律

对于累函数y=x。的图象应注意以下两个方面：

(l)a的正负：a>0时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升；a<0时,图象不过原点，过(1,1),在第一象限

的图象下降.

(2)曲线在第一象限的凹凸性,a>l时，曲线下凸；0<a<l时，曲线上凸；a<0时，曲线下凸.

【对点训练11］基函数当a取不同的正数时,在区间［0,1］上它们的图象是一组美丽的曲线(如图).设点

41,0),8(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幕函数的图象三等分，即有BM=MN=NA.那么

磔=()

A.1B.2C.3D.无法确定

【答案】A

12

【解析】由条件得MQ,扣仔，。由一般性,，即a=log2=log^•S=bg2

333

12lg3lg3

5•logI'："，，'：1•故选A.

12.根据图象高低判断幕指数大小的方法

恭函数的基指数的大小，大都可通过基函数的图象与直线x=a(awl)的交点纵坐标的大小反映.一般地，在

区间(0,1)上届函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大、图低”),在区间(1,+刃)上爆函数中指数越

大，图象越远离x轴(不包括幕函数)，=/).

在区间(0,1)上鼎函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(l,+oo)上晶函数中指数越

大，函数图象越远离X轴.

【对点训练12］如图,曲线是幕函数y=/在第一象限的图象，已知〃取2,3(一1四个值，则相应于曲线

G,C2,C3,C4的n依次为

【答案】3,2.1-1,

【解析】

解法一（数形结合法）:

如图,作直线由于函数y=/的图象与直线x=r的交点为可见指数〃的大小与图象交点的“高低”

是一致的，结合图象，可得答案.

解法二(特殊值法)：当x=2时,yi=23=8,>2=22=4,券=2°-5=黄,),4=2「|8>4>陋>(,.•.丫1>”>”>泗,

故填3,2,1,-1.

13.某函数的单调性

当a>0时基函数y=X。在（0,+8）上单调递增；⑵当a<0时,幕函数y=£在（0,+s）上单调递减.

【对点训练13］寻函数y=』"T与>=》3止〉在（0,+8）上都是单调递增函数，则满足条件的整数机的值为

（）

A.0B.1和2C.2D.0和3

【答案】C

|/n-l|>0

【解析】由题意可得：,3加—加2〉0,解得：加=2,故选C.

meZ

14.塞函数的奇偶性

mm

形如y=X"或y=（m,n为互质的正整数）类型函数的奇偶性判断

当犯〃都为奇数时，幕函数在定义域上为奇函数;当m为奇数,〃为偶数时，哥函数在定义域上为非奇非偶函数;

当m为偶数,〃为奇数时，幕函数在定义域上为偶函数.

【对点训练14】（2021北京市中国人民大学附属中学高三考前热身练）设ae{-l,g,1,2,3：则“〃》）=/

的图象经过（一1,一1）”是“/（力=6为奇函数”的（）

A.充分不必要件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】由ae{—.由〃x）=/的图像经过（一1,一1）厕a的值为一1,1,3.此时/（力=^为奇

函数.又当/（%）=6为奇函数时，则a的值为—1,1,3,此时/（x）=X。的图象经过（-1,-1）.

所以“=X。的图象经过（一1,—1）”是“〃x）=x"为奇函数”的充要条件，故选C

15.基值大小的比较

比较两个哥的大小，首先要分清是底数相同还是指数相同.如果底数相同，可利用指数函数的单调性；如果指

数相同，可转化为底数相同，或利用暴函数的单调性,也可借助函数图象；如果指数不同，底数也不同，则要利用

中间量.

【对点训练15］（河南省九师联盟高三五月联考）已知a=3.939,b=3.936,c=3.83,,d=3.83"则。,儿。,

d的大小关系为（）

A.d<c<b<aB.d<b<c<a

C.b>d>c>aD.b<c<d<a

【答案】B

［解析】构造函数/（x）=/测/'（X）=上手.当xG（e,+a>）吐r（X）<0.

故/（x）在（e,-K»）匕单调递减，所以/（3.9）</（3.8），所以端^<，即3.81n3.9<3.91n3.8,

所以In3.9"<ln3.83-9,所以3.9相<3,83-9:因为y=在（0,+a>）上单调递增，所以3.8"<3,938,

同理3忌9<3.939，所以3.赚8<3,9"<3.8"<3,939,^d<b<c<a.故选B.

16.把y=X'1的图象通过伸缩与平移变换，可以得到y=变上邑（。/0,工力4］的图象，利用图象可进一步研

ax+b\ab）

火―立cx+d（八c

究函数y=-----。工0,一工一的性质.

ax+b\ab）

2r-1

【对点训练16］>=与」的图象的对称中心的坐标为.

工-3

【答案】（3,2）

【解析】因为丁=生土=生心士*=2+二一.所以丁=上二!■的图象可由>的图象向右平移3个单

x—3x-3x-3x-3x

位，向上平移2个单位得到，由>=巳是奇函数,其图象关于原点对称，所以y=子:的图象关于点（3,2）对称.

跟踪检测

一、单选题

I.(2021湖北省黄冈市高三下学期第四次模拟)设。>0,。>0,若"+24=^+34则()

A.a<bB.a>bC.2a-3bD.3a<4匕

【答案】B

【解析】因为a>0,所以片+3。>4+2。=〃+3。,所以+3。>廿+30,因为函数/'(x)=V+3x,在

(0,+e)上单调递增，且。力>0,所以a>从故选B

2.(2021安徽省六安市高三上学期月考)如果函数/(x)=Y+笈+c对任意的实数羽都有

y(T+X)=〃-%),那么()

A./(O)</(2)</(-2)B./(0)<./(-2)</(2)

C./(2)</(O)</(-2)D./(-2)</(0)</(2)

【答案】B

(解析】•.•f(x)=Y+"+c对任意的实数X,都有/(-1+x)=/(一力，，函数y=V+法+C的对称轴方

程为X=-工•••抛物线开口向上，称轴方程为X=-2，％=0距离X=最近,X=2距离X=-《最远，

2222

••J(O)</(—2)</(2).故选B.

3.(2021.北京市延庆区高三模拟)已知定义在R上的事函数〃x)=x"'为实数)过点A(2,8),记

a=/(logQ.53)，1=/(log25),c=/W),则瓦c的大小关系为()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

【答案】A

【解析】由题得8=2"',23=2",.•.机=3,/(x)=/.函数/(无)=d是R上的增函数

因为嗨53<log05l=0,0<log25<log,8=3=m,所以m>log25>log053,

所以/(，〃)>/(log,5)>/(log。$3),所以a<匕<c.故选A

4.(江西省重点中学盟校高三第二次联考)已知函数y=-ax"+力-1是嘉函数，直线

H+1

mx-〃y+2=0O>0,〃>0)过点(a,力)，则----的取值范围是()

加+1

A・卜WHnK(L3)C.[p3]D.加

【答案】D

【解析】由y=-ar"+。-1是幕函数，知：a=T,O=l.又(a,b)在如一〃y+2=0匕

71+13—/?!471+1I

；・根+〃=2,即〃=2一机＞0,则----=------=-------1且0＜机＜2,・'・-------e(―,3).

/篦+1m+l777+Im+13

故选D.

3

5.(2021徽省合肥市高三6月最后一卷)若0＜玉＜%，则下列函数①fix)=x:②/(x)=/；③/J)=x；

④/（幻=五；⑤/。）=：满足条件/（七三）,，/）（/〉Y＞°）的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【解析】只有上凹函数或者是一次函数才满足题中条件，所以只有①②③⑤满足.故选D.

6.（2021浙江省杭州市高三5月模拟）已知二次函数"》）=犬+办+》（a,Z?eR）有两个不同的零点，若

/仁+2x-］）=0有四个不同的根玉＜/＜小％,且不，龙2，/，Z成等差数列，则a-力不可能是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】设/（%）+ax+b（a,beR］的两个不同零点为〃?,〃,且m＞n,

m+n=-a

所以/（加）=/（〃）=（），△=/一4人＞0,且1.,

mn=b

又因为/（d+2x-1）=。有四个不同的根玉＜二＜七＜Z，

所以X2+2x—1=m对应的根为%，*4，%2+2x—1=〃对应的根为冗2，入3，

A=4+4(l+m)＞0[A=4+4(1+H)＞0

所以‘玉+X4=一2,＜x2+玉=—2

x}x4=-\-mx2x3=-\-n

22

所以(元4一工1)2=X4+x)-2X4X,=(X4+石)2-4X4X}=4+4(1+⑼，

2

同理(*3—修)-=-^3+*2--2%3%2=(，3+*2)—-4-X^X7=4+4(1+H),

因为王，龙2,£，匕成等差数列，

2

所以%—玉=3。3—々),则(2—X1)2=9(X3-X2)

所以4+4(1+机)=9[4+4(1+〃)],解得771=16+9/1.

因为所以〃?=16+9〃>〃,解得〃>一2,

所以。一6=—(根+〃)一根〃=-(16+10〃)一(16+9〃)"=-9〃2-26n-16=-9(«+—.

I99

7.（2021浙江省普通高中强基联盟协作体高三下学期统测安）已知对任意的乱9目0,3].方

程|/"）二/"（3）|+|/（力—/（々）|=加在[°，3]上有解,则加的取值范围是（）

A.[0,3]B.[0,4]C.{3}D.{4}

【答案】D

【解析】/（X）=（X-1）2-1,Xe。3],则/（X）min=TJ（X）max=3.

要对任意的X1,&e[o,3].方程|/（x）-/（X|）|+1/（x）-（%2）|=〃2在[。，3]上都有解，

取〃石）=-1J（W）=3,此时，任意xw[0,3],都有m=—『（3）+，（兀）一/（马）|=4,

其他加的取值，方程均无解，则旭的取值范围是{4}.故选D.

8.（2021浙江省台州市、绍兴市高三5月模拟）已知关于x的不等式（J+ax+oJlnxNO在（0,+向上恒

成立（其中。、OGR）,则（）

A.当。=一2时，存在b满足题意B.当a=0时,不存在b满足题意

C.当人=1时，存在"满足题意D.当人=2时,不存在。满足题意

【答案】D

【解析】因为关于X的不等式卜2+以+孙InX20在（0,+。）上恒成立,

’0〈尤<1

所以必需要满足0X>+1办+/0

x1+ax+b<0

即对于函数y=V+ox+b,必有一零点为x=1且零点左右函数值符号不同,

即当0cx<1时,y<0；当x>l时,y》0.

A项：a=—2,y=%~-2%+b,令x=1.0=12-2+/?，b=l，

此时y=公—2x+l,不满足零点左右函数值符号不同,A错误；

B项：。=0,、=*2+力.令x=i.o=]2+。,人=一],

此时y=/一1，存在b满足题意.B错误；

C项：5=1.y=%2+依+1,令*=1，0=12+。+1.。=-2.

此时y=%2-2%+1,不满足零点左右函数值符号不同,C错误；

D项：/?=2,^=%2+。工+2,令％=1，0=12+4+2.a——3-

此时y=x2-3x+2,不满足当0<x<l时ywo且当X>1时,y20.

即不存在。满足题意,D正确，故选D.

9.（2021安徽省六安市高三上学期第一次月考）在同一直角坐标系中，指数函数y=,二次函数

丁=姓2一乐的图象可能是（）

【答案】B

【解析】指数函数y=图象位于x轴上方，据此可区分两函数图象.二次函数丁=0?一灰=(依-母小

有零点2,0.A,B选项中，指数函数y=在R上单调递增，故2>1,故A错误、B正确.C,D选项中，指

ayaJa

数函数y=在K上单调递减，故0<2<l,故c,D错误.故选B

\a)a

10.已知函数/(x)=-犬+笈+c,则“//)]>0”是“方程/(X)=0有两个不同实数解且方程

f(7(x))=0恰有两个不同实数解”的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】由f(x)=一/+瓜+C表示开口向下的抛物线,对称轴的方程为X=5,

要使得方程fW=0有两个不同实数，只需档)>0,要使得方程/(/(X))=0恰有两个不同实数解，设两解

分别为斗,々,且当<马，则满足X、〈于(X)M<工2，

因为xe(斗光2)时,“X)>0,所以/(/(1))>0,所以必要性成立；

反之，设t=/(1)>0,即/⑺>0,当/(/)=0有两个正根,且满足4<t2，若tt<t2</(x)max,

此时方程/(/(x))=o恰有四个不同实数解，所以充分性不成立.所以“/上©|>0”是“方程/(x)=0有

两个不同实数解且方程/1(/(%))=0恰有两个不同实数解”的必要不充分条件.故选C.

11.已知/(X)是定义在R上的奇函数，当x<0时,f(x)=Y+2x，若存在实数a,b(aH与，使f(x)在[a,b]

上的值域为任，则Q+力的值为，)

3+V5

AW2

3+5/5_p.—3--\/5

土苴或土也------或------

2222

【答案】D

2工_三x>0

【解析】因为/(%)为奇函数，所以/(x)=2一八，如图,

x+2x,x<0

a<b

由区间概念可推知\11,得Q6>0,

—<—

ba

(1)当0<a<b时,/。)=一(％-1)2+141,从而，41,即心1.所以14。<。,由图得y=/。)在［。,目

/(«)=-1

上为减函数，所以：，这两个关系等价于是方程/(幻=上的两个根，且1<。<夕’，

b

由方程2》一/=_1.得V一万2—12一］)=0解得%=］,々=匕@,

%2

所以=!±且,即a+/?=上叵；

22

(2)当a<Z?<0时，

/(%)=(》+1)2—1之一1,从而、2—1,即/74—1,所以。<匕<-1,

/（«）=-1

由图得y=fix）在［a,b］上为减函数，所以:，这两个关系等价于，b是方程f（x）=-的两个根,

/⑹=1X

b

且。<人工一1”,由方程2x+x2=g.得丁+%2+（%2-］）=o,解得玉=_1,“二1；占,

解得a=-1-也2=—1,即。=-3--，故选D

22

12.（2021上海市普陀区高三一模）设b、c均为实数，关于x的方程/+同x|+c=0在复数集。上给出下

列两个结论：

①存在〃、J使得该方程仅有两个共辄虚根；

②存在。、J使得该方程最多有6个互不相等的根.

其中正确的是（）.

A.①与②均正确B.①正确，②不正确

C.①不正确,②正确D.①与②均不正确

【答案】A

【解析】令。=04为正实数，则存在两个共朝的虚根，如6=0,。=1,则存在两个共聊虚根,x=±i,故①正确；

若％为实数，则方程可看做凶2+b|x|+c=0,只需保证国有两个正解即可，此时方程有四个实根;若％为虚数,

则设x=m+应，（机,“eE）有Y+方可+。=0,等价于/_,2+2加班+b1病+“2+0=o,所以2m«=0.

又x为虚数，所以则有m=0,即一"+目H+c=o,（〃eR）,即"一同4一。=0最多有两个根，所以方

b2-4c>0

程最多有6个解.只需,/+4c〉0即可，如b=-3,a=2,方程有一1,—2,1,2四个实根，有

b<Q

-3+^3-V17.两个虚根.故②正确；故选A.

22

13.（2021河南省南阳市2高三期中质量评估）如果函数〃x）=（a—l）f+仅+2）x+l（其中6-aN2）

在［1,2］上单调递减，则3a+2。的最大值为（）

2,

A.4B.-1C.-D.6

3

【答案】c

【解析】分以下几种情况讨论:

(1)当a—1=0时，即当4=1时,/(x)=(b+2)x+l在［1,2］上单调递减，可得b+2<0,

解得人<一2.♦.七一。=8—122,可得匕之3,不合乎题意；

(2)当a-l<0时，即当a<l时，

b+2

由于函数/(x)=(a—1)%2+。+2)元+1在［1,2］上单调递减，则一2(._］)-1,

可得〃+2W2—2。,即2a+8<0,可得8W-2a,由。一“W2,可得。〈匕一2,

'_2

［b=-2a

所以,3。+给43(0-2)+2x(—2a)=Ta+3力—6,当且仅当12时，即当4时，等号成立，则

M—b=—

I3

3"2yH+24=|；

(3)当a—1>0时，即当a>l时，

b+2

由于函数/(x)=(。-l)f+(b+2)x+l在［1,2］上单调递减，则一福可22,可得4a+b«2,即

Z?<2—4。，・.・〃一。22,即〃22+a、「.2+aK〃K2—4tz,解得不合乎题意.

综上所述,3a+2b的最大值为1.故选C.

二、多选题

14.已知函数/(x)=d-2x+a有两个零点否，声,以下结论正确的是()

112

A.a<\B.若％与。0,则—+—=—

%x2a

C./(-1)=/(3)D.函数有y=/(|x|)四个零点

【答案】ABC

【解析】二次函数对应二次方程根的判别式A=(—2)2-4a=4-4a>0,a<1,故A正确；

韦达定理%+工2=2,工］工2=。，—+—=------=—，故B正确；因为/(X)对称轴为尤=1,点

x}x2x}x2a\,

(-1,/(-1)),(3,/(3))关于对称轴对称，故C正确；当a<0时,y=/(国)只有两个零点，故D不正确.

故选ABC

15.(2021湖南省常德市高三上学期第月考)若二次函数/(x)=a?+必+”。工0)的图象和直线y=x无

交点，现有下列结论：

①方程〃/(幻]=x一定没有实数根；

②若a>0,则不等式/[/(x)]>x对一切实数x都成立；

③若a<0,则必存在实数%,使/[/(x0)]>/；

④函数g(x)=ax2-bx+c(a^0)的图象与直线V=-％一定没有交点.

其中，正确的是()

A.①B.②C.③D.@

【答案】ABD

【解析】因为函数“X)的图象与直线>=》没有交点，所以/U)>x(a>0)或/(x)<x(a<())恒成立.

因为/[/(%)]>/(x)>x或/[/«]</(%)<x恒成立，所以/"(x)]没有实数根,故①正确；

若a>0,则不等式/"(x)]>/(x)>x对一切实数x都成立，故②正确；若a<0,则不等式/"(x)]<x对一

切实数x都成立，所以不存在实数%,使/[/(x0)]>/，故③错误；由函数g(x)=f(-x)与/(%)的图象关于

y轴对称，所以g(x)和直线>=一》也一定没有交点.故④正确，故选ABD

16.(2021江苏省无锡市高三上学期期初检测)已知函数/(x)=3/-6x7,则()

A.函数/(力在(2,3)有唯一零点

B.函数“X)在(-1,+8)上单调递增

C.当a>l时，若/(优)在上的最大值为8,则a=3

D.当0<a<1时，若/(")在xe[-1,1]上的最大值为8,则a=；

【答案】ACD

【解析】/(X)=3(X-1)2-4,A.〃2)=-1<0.八3)=8〉0,/。)在(2,3)匕^一个零点，又函数对称轴

是x=l,还有一个零点小于1,因此函数f(x)在(2,3)有唯一零点,A正确；

B.由对称轴知B错；，C.时,优由/(l)=3/-6a-l=8得a=3或〃=一1(舍

a

去