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北京四中2023~2024学年度第一学期期中考试第第页高三数学参考答案及评分标准一、选择题CBDDBCBADC二、填空题11.12.13.14.15.①③④12题：前3分后2分15题：2分，3分，5分三、解答题16．（共13分）解：（Ⅰ）因为……2分所以……4分从而.……6分（Ⅱ）因为……8分所以……10分所以，……11分所以.……13分17.解：（1）……3分（2）……8分……10分（3）……13分18.解：（Ⅰ）由正弦定理得，由题设得，，因为，所以所以.,.……4分（Ⅱ）选条件①：．由正弦定理得，因为，所以，，进而，.……14分选条件②：由正弦定理得，由余弦定理得，所以．由，解得.……14分19.解：（1）……4分（2）……6分①，增，减……8分②，增，减……10分③，增……11分（3）首先为在上的极小值，也是最小值。于是，所以当且时，由于对称轴大于0，因此，此时，符合题意。……15分20.解：（Ⅰ）当时，，定义域：，，令，则，变化时，，的变化情况如下表：+0-↗↘则，没有极小值；………………4分（II）当时，，定义域：，，令，定义域：，，则在上是增函数，则，所以，即在上是增函数，则；………………8分（Ⅲ），定义域：，，令，定义域：，，（1）当时，，则在上是减函数，则，当时，，则在上是减函数，，不合题意；当时，，则存在，使，即，变化时，，的变化情况如下表：+0-↗↘则，只需，即； （2）当时，由（1）知在上是增函数，，不合题意；（3）当时，在上是增函数，在上是增函数，则在上是增函数，，不合题意，综上所述，的取值范围是.………………15分21.解：（1）1，2……4分（2）设中的最大值为，由定义，若存在则，进而，矛盾.于是除外，剩余的由定义，中恰有个元素，设删去的两个数为，则构造，删去，恰好取得等号.……9分（3）结论：集合中存在满足条件的三个不同的元素，，，证明如下：设中的一个最大值为，由得于是，进而考虑，由于，，而于是一定存在不同于的，使得，进而，于是取即可.……15分（3）另一种叙述方式：设维数组，，其中，当时，当时.所以各分量中的个数恰好等于，且对于与（），当且仅当，当且仅当.由已知得到的各分量中，的个数不超过，，设，，…，中，各分量中的个数最多的为（）所以对而言，除外

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