2.2-基本不等式十种题型归纳讲义-2021-2022学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第

基本不等式十种题型分析常用结论1、若，则(当且仅当时取“=”）2、若，则(当且仅当时取“=”）3、若（或同号），则(当且仅当时取“=”）4、若ab<0（或异号），则(当且仅当时取“=”）证明：∵∴，故∴（当且仅当时，等号成立），即∴典例分析题型一：凑系数考法：计算形如（）的最大值方法：变形为求解（验证等号成立条件）例1（1）当时，求的最大值；（2）当时，求的最大值。题型二：加项变换考法：计算形如的最小值方法：变形为（验证等号成立条件）例2已知，求的最小值。题型三：拆项变换考法：计算形如的最小值方法：变形为（验证等号成立条件）例3求的最小值。题型四：整体代换考法：计算形如或的最小值。方法：①整体代换，将作为整体；②分离参数。例4已知，求函数的最小值。题型五：数字代换方法：将数字替换成代数式，通常变换成数字“1”。例5（1）已知，求的最小值。（2）设都是正数，且，求的最小值。题型六：型方法：分子分母同除以，即，进而利用基本不等式求解。例6已知，求函数的最大值。题型七：消元（化二元为一元）考法：已知两个变量间的等量关系，求某个代数式的值。方法：①对已知的等量关系变形，有一个变量表示另一个变量；②将表示的变量代入所求代数式，得到一个单变量函数；③利用函数单调性求最值。说明：此方法适用范围有限，现阶段只适用于能化为二次函数的题型。例7已知，求的最大值。题型八：拆、拼、凑思想（目的）：从问题反推，通过拆、拼、凑，使已知和所求的单变量代数式一致。解法：对所求代数式不能直接使用基本不等式，需结合已知的等量关系和问题的代数形式对已知变形，得到问题中两个变量的代数形式，使其积或和为定值，从而利用基本不等式求解。例8（1）已知为正实数，且，求的最小值；（2）如上述例7的方法二；（3）已知，，求的最小值。题型九：直接使用基本不等式例9（1）若正实数满足，求的最小值；（2）已知正实数满足，求的最小值。题型十：整体思想在均值不等式中的应用例10已知均为正数，，求函数的最小值。典例分析答案例1（1）当时，求的最大值；（2）当时，求的最大值。【分析】凑系数，使两项之和为定值，第一题提出3，第二题凑。【解析】（1）∵ ∴∴（当且仅当时，等号成立）∴的最大值为12（2）∵ ∴∴（当且仅当时，等号成立）∴的最大值为8例2已知，求的最小值。【分析】由题知定值，因此整式项可以添加一个常数，使之乘积为定值。【解析】∵ ∴∴（当且仅当时，等号成立）∴的最小值为8例3求的最小值。【分析】拆项，将拆成，然后利用基本不等式求解。【解析】（当且仅当即时，等号成立）例4已知，求函数的最小值。【解析】∵时，∴当且仅当即时，等号成立例5（1）已知，求的最小值。【解析】∵∴，∴当且仅当即时，等号成立补充：如何计算等号成立时的值？由和解得（2）设都是正数，且，求的最小值。【解析】∵∴∴当且仅当，即时等号成立∴的最小值为例6已知，求函数的最大值。【解析】由题得∵ ∴，故（当且仅当时，等号成立）∴，故，则，即∴函数的最大值为1.例7已知，求的最大值。【分析】本题有两种方法，其一是消元，根据“”得到值，代入成为关于的二次函数，从而求最值；方法二是对“”进行配凑，出现和.【解析】法一：消元法∵∴，故∵∴，得，故∴，故，，则∴的最大值为25.法二：配凑+基本不等式∵∴（解读：之所将变形为，是根据所求得到）由题得，所以由基本不等式可得：（当且仅当时，等号成立）∴的最大值为25.例8（1）已知为正实数，且，求的最小值；（2）如上述例7的方法二；（3）已知，，求的最小值。【解析】（1）∵∴，故由题得，则由基本不等式得当且仅当，即时，等号成立∴的最小值为（3）说明：以下过程是分节过程，不是解答过程。已知是“”和“”，问题是“”和“”，我们从问题反推如何对已知拆、拼、凑，，出现“”和“”，接下来对已知拆、拼、凑将变形为，从而得到，本题迎刃而解。当且仅当，即时，等号成立例9（1）若正实数满足，求的最小值；（2）已知正实数满足，求的最小值。【解析】（1）∵∴化简得∴当且仅当时，等号成立（