北京二中教育集团2022一2023学年九年级上学期期末模拟数学试卷(含答案与解析)_第1页
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文档简介

北京二中教育集团2022~2023学年度第一学期期末模拟考试

初三数学

注意事项:

1.本试卷共6页,满分100分,测试时间120分钟。

2.试题的答案书写在答题卡上,不得在试卷上直接作答。

3.作答前认真阅读答题卡上的注意事项。

4.考试结束,由监考人员将试卷和答题卡一并收回。

第I卷(选择题共16分)

一、选择题(以下每题只有一个正确的选项,每小题2分,共16分)

1.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,中国古老的汉族传统民间艺术之一,它历史悠久,风格独特,能

够营造欢乐喜庆的节日气氛.下列剪纸不是中心对称图形的是()

2.将抛物线y=-3(x+iy先向右平移2个单位,再向下平移5个单位得到的抛物线所对应的函数解析式为

()

A.y=-3(x+3)—5B.y=-3(x+3)~+5

C.y=-3(x-l)2+5D.y=-3(x-l)2-5

3.如图,正六边形ABCDE厂内接于O。,OO的半径为3,则这个正六边形的边心距的长为

()

C.2百D.3g

4.下列事件为必然事件的是()

A.正方形的内角和是180°;

B平面内三个点确定一个圆;

C.相等的圆心角所对的弦也相等;

D.不透明的口袋中装有除颜色以外完全相同的2个红球和4个白球,从中摸出3个球,其中有白球.

5.如图,直径为4cm的圆内有一个圆心角为90°的扇形,则与弦围成的弓形面积为()

A.4〃-8B.27r—8C.2〃一4D.乃一4

6.已知二次函数,=依2+瓜+。的图象如图所示,有以下结论:①b>0;②4ac<b,③

4a+»+c>0;④2a=b.其中错误结论的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.以。为中心点的量角器与直角三角板A8C按如图方式摆放,量角器的0刻度线与斜边AB重合.点。

为斜边AB上一点,作射线CD交弧A8于点E,如果点E所对应的读数为52°,那么NBC。的大小为

)

c

C.64°D.69°

8.线段AB=5,动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发,沿线段AB运动至点8.以点A为圆

心、线段AP长为半径作圆心角为90°的扇形PAC,以线段M为边作等边△FED.设点P的运动时间

为t,扇形PAC的弧CP的长为y,等边△P6D的面积为s,则y与s与,满足的函数关系分别是

()

D

A.正比例函数关系,一次函数关系B.正比例函数关系,二次函数关系

C.一次函数关系,一次函数关系D.二次函数关系,正比例函数关系

第n卷(非选择题共84分)

二、填空题(每小题2分,共16分)

9.写出一个函数值有最大值,且最大值是2二次函数解析式

10.某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下:

射击次数20801002004001000

中九环以上次数186881170327833

中九环以上频率0.900.850.810.850.820.83

根据频率的稳定性,估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是.(保留两位小数)

11.代数式V—3x+l的最小值为.

12.如图,AB是。。的直径,C、。在。。上,若NZ)=110。,则NC43=.

D

13.如图,半径为6的。。与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、8c都相切,连接0C,则。C=

14.如图,将AABC绕点A逆时针旋转。。,得到到VADE,点C在线段QE上,则N8CZ)的度数是

.(用含夕的式子表示)

15.某公司的近三个月的销售收入和利润如下表所示:

9月10月11月

销售收入(万元)8095108

利润(万元)506372

该公司近三个月的利润平均增长率为.

16.如图,在RtZvlBC中,ZACB=90°,NA6C=30°,AC=6,点E是边4C的中点,将“3。绕

点C逆时针方向旋转得到△AB'C,点。是边48'上的一动点,则PE长度的最大值与最小值的差为

B'

三、解答题(共68分)

17.已知:如图,点P在。。上,点A在。外.

求作:过点尸的。。的切线及过点A作CP的平行线.

作法:如图,

①作射线0P;

②在直线0P外任取一点A,以点A圆心,AP为半径作OA,与射线0P交于另一点8;

③连接并延长BA与0A交于点C:

④作直线PC;

⑤取8P的中点。;

⑥连接AD.

则直线PC、AO即为所求.

(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)

(2)完成下面的证明:

证明:是04的直径,

...N3PC=90°()(填推理的依据)

:.OP1PC

又•••0P是。。的半径

•••PC是。。的切线()(填推理的依据)

又•••£)是8P的中点

•••AD.LPB()(填推理的依据)

/.ZADP=90。

/./BPC=ZADP

,AD//PC.

18.隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史,是我国古代石拱桥的代表.如图是根据某石拱桥的实物图画

出的几何图形,桥的主桥拱是圆弧形,表示为AB.桥的跨度(弧所对的弦长)约为40m,设Ag所

在圆的圆心为O,半径OCLAB,垂足为O.主拱高(弧的中点到弦的距离)8约为10m.连接

OB.求这座石拱桥主桥拱AB所在圆的半径长.

19.把关于x的一元二次方程2%2一4%+m=0配方,得至U(x+P)2=g.

(1)写出完整的配方过程,并求常数,"与0的值;

(2)求此方程的解.

(1)求二次函数解析式:

(2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象;

(3)当—3WxW2时,y的取值范围是.

21.如图所示,在平面直角坐标系X。),中,448C的顶点均在格点上,点C的坐标为(4,-1).

(1)画出与AABC关于原点o中心对称的△AMG,点4的坐标是;

(2)画出将AABC绕着点A逆时针方向旋转90°得到的AA与G.

22.随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转,各地开始复工复学,某校复学后成立“防疫志愿者服务

队”,设立四个“服务监督岗”:①洗手监督岗,②戴口罩监督岗,③就餐监督岗,④操场活动监督

岗.李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作,学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗(每个岗位

只设置一位教师).

(1)李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为;

(2)用列表法或画树状图法,求李老师和王老师被分配到洗手监督岗和戴口罩监督岗的概率(无序).

23.关于x的方程f一7nx+〃?_]=0.

(1)不解方程,判断根的情况;

(2)若x=2加是方程的一个根,求W+iy+3("-1)的值.

24.第二十四届冬季奥林匹克运动会已于2022年在北京成功举办,跳台滑雪是北京冬奥会的比赛项目之

一,近些年来冰雪运动也得到了蓬勃发展.如图是某跳台滑雪场地的截面示意图.平台A8长1米(即

AB=l),平台A8距地面18米.以地面所在直线为x轴,过点8垂直于地面的直线为y轴,取1米为单

位长度,建立平面直角坐标系,己知滑道对应的函数为y=0.4f-4x+c(xNl).运动员(看成点)在

BA方向获得速度丫米/秒后,从4处向右下飞向滑道,点M是下落过程中的某位置(忽略空气阻力).设

运动员飞出时间为“少,运动员与点A的竖直距离为〃米,运动员与点A的水平距离为/米,经实验表

明:h~6r-l=vt.

(1)求滑道对应的函数表达式;

(2)当u=5,7=1时,通过计算判断运动员此时是否已落在滑道上;

(3)在试跳中,运动员从A处飞出,运动员甲飞出路径近似看做函数y=+U吆图像的一

636

I289

部分,着陆时水平距离为4,运动员乙飞出的路径近似看做函数图像丁=-^/+1工+彳的一部分,着

陆时水平距离为则4d2(填或

25.已知:如图,点A、B、M在。。上,且满足NM=45°,连接Q4,AB.过点B作直线

BC//OA,交延长线于点C.

(1)求证:8c是0。的切线;

(2)如果。4=5,AM=6,求8M的长.

26.在平面直角坐标系xOy中,点(一1,加),(5,“)在抛物线y=加+/?x+c(a<0)上,设抛物线的对称轴

为直线*=/.

(1)当c=T,t=-3时,求抛物线与y轴交点坐标,并直接写出孙〃的大小关系;

(2)若机<c<〃,求r的取值范围;

(3)若点(事,加)在抛物线上,且满足-4</<一3,比较相,〃,c的大小,并说明理由.

27.如图,已知等腰直角“WC,AB^AC,N84C=90°,将线段A8绕点A顺时针旋转

<z(00<a<90°),得到线段AO,连接05,DC.

备用图

(1)求NBDC的度数;

(2)作/D4c的平分线AE交CD于点尸,交的延长线于点E,连接CE,补全图形,用等式表示

线段A£、BE、EE之间的数量关系并证明;

(3)若AB的长为4,取8。中点P,请直接写出线段CP的最大值.

28.在在平面直角坐标系xOy中,对于点A,记线段OA的中点为M.若点A,M,P,。按逆时针方向排

列构成菱形AMPQ,其中NQAM=a,(0°<«<180°),则称菱形AMPQ是点A的“a-旋半菱形”,

称菱形AMPQ边上所有点都是点A的“a-旋半点”.已知点A(0,4).

图1备用图

(1)在图1中,画出点A的“30。-旋半菱形"AMPQ,并辜掾写出点P的坐标;

(2)若点8(1,1)是点A的“a-旋半点”,求a的值;

(3)若存在。使得直线y=-走x+。上有点4的“a-旋半点”,直接写出人的取值范围.

3

参考答案

一、选择题(以下每题只有一个正确的选项,每小题2分,共16分)

1.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,中国古老的汉族传统民间艺术之一,它历史悠久,风格独特,能

够营造欢乐喜庆的节日气氛.下列剪纸不是中心对称图形的是()

【答案】A

【解析】

【分析】根据中心对称图形的概念”把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的

图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形”进行依次判断,即可得.

【详解】解:A、不是中心对称图形,选项说法正确,符合题意;

B、是中心对称图形,选项说法错误,不符合题意;

C、是中心对称图形,选项说法错误,不符合题意;

D、是中心对称图形,选项说法错误,不符合题意;

故选:A.

【点睛】本题考查了中心对称图形,解题的关键是掌握中心对称图形.

2.将抛物线y=-3(x+l『先向右平移2个单位,再向下平移5个单位得到的抛物线所对应的函数解析式为

()

A.y=—3(x+3)--5B.y=—3(》+3)一+5

C.y=-3(x-l)2+5D.y=-3(%-l)2-5

【答案】D

【解析】

【分析】根据二次函数图象平移的规律“上加下减,左加右减”即可求解.

【详解】将抛物线y=-3(x+l)2向右平移2个单位,得到的抛物线解析式为丫=-3(元+1-2)2,即为

y=-3(x-i)2.

将抛物线y=-3(x-向下平移5个单位,得到的抛物线解析式为y=-3(》-1)2-5.

故选D.

【点睛】本题考查二次函数图象的平移.掌握其平移规律“上加下减,左加右减”是解题关键.

3.如图,正六边形A8CDEF内接于O。,的半径为3,则这个正六边形的边心距的长为

()

3百

A.6DR.---C.2百D.3g

2

【答案】B

【解析】

【分析】根据正六边形的性质求出NBQW,利用锐角的余弦计算即可.

【详解】解:连接。8,

•••六边形ABCDEF是。。内接正六边形,

1360°

ZBOM=-x^-=30°

26

:.OMOBcosZBOM=3x^=速

22

故选:B

【点睛】本题考查的是正多边形和圆的有关计算,掌握正多边形的中心角的计算公式、熟记余弦的概念是

解题的关键.

4.下列事件为必然事件的是()

A.正方形的内角和是180°;

B.平面内三个点确定一个圆;

C.相等的圆心角所对的弦也相等;

D.不透明的口袋中装有除颜色以外完全相同的2个红球和4个白球,从中摸出3个球,其中有白球.

【答案】D

【解析】

【分析】根据必然事件和随机事件的定义,对选项一一进行分析,即可得出答案.

【详解】A.正方形的内角和是18()。,是不可能事件,不符合题意;

B.平面内三个点确定一个圆是随机事件,不符合题意;

C.相等的圆心角所对的弦也相等,是随机事件,不符合题意;

D.不透明的口袋中装有除颜色以外完全相同的2个红球和4个白球,从中摸出3个球,其中有白球,是必

然事件,符合题意.

故选:D.

【点睛】本题考查了判断事件发生的可能性的大小,解本题的关键在熟练掌握必然事件和随机事件的定

义.必然事件的定义:在一定条件下重复进行试验时,有的事件在每次试验中必然会发生,这种事件叫必

然发生的事件,简称必然事件;随机事件的定义:有的事件可能发生也可能不发生,这样的事件叫做随机

事件.

5.如图,直径为4cm的圆内有一个圆心角为90°的扇形,则6C与弦3C围成的弓形面积为()

cm2.

A.4〃-8B.27r—8C.2〃一4D.乃一4

【答案】C

【解析】

[分析]根据题意可得AB=AC=2&cm,再根据§阴影=S扇形ABC-即可得到解答•

【详解】解:•••扇形ABC,

AB=AC,

又•••N84C=90°,

8C为大圆的直径,

BC-4cm,

AB=AC=2>f2cm<

90°x乃x(2及『

=2万一4,

故选C.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质和扇形面积公式,灵活运用所学知识求解是解决本题的关

键.

6.已知二次函数丁=公2+法+。的图象如图所示,有以下结论:①b>0;②4"c<〃;③

4a+2b+c>0;④2a=b.其中错误结论的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【解析】

【分析】由抛物线开口向下,与y轴交于正半轴,可确定“<0,oo,再根据对称轴是直线x=i,即

K=--=1,可确定/?=—2。>0,从而可判断①正确,④错误;根据图象可知二次函数与X轴有两个交点,

2a

进而可判断②正确,由图像可知当x=2时,y>0,即可判断③.

【详解】解:;抛物线开口向下,与y轴交于正半轴,

••4<0,C>0,

•・,对称轴是直线x=l,

b1

X=----=11

2a

/.h=一%>0,

故①正确,④错误;

・・,图象可知二次函数与x轴有两个交点,

b2-4ac>0-BP4ac<b2>

故②正确,

•.•当x=2时,y>0,

/.4a+2b+c>0,故③正确,

综上可知错误结论的个数是1个.

故选:A.

【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系,解题的关键是明确二次函数图象的特点,运用数形结合的

思想,找出所求问题需要的条件.

7.以。为中心点的量角器与直角三角板A8C按如图方式摆放,量角器的0刻度线与斜边A6重合.点。

为斜边A8上一点,作射线CO交弧A8于点E,如果点E所对应的读数为52°,那么N5CP的大小为

C.64°D.69°

【答案】C

【解析】

【分析】由圆周角定理得出/4CE=26。,进而得出NBCD=64°即可得出答案.

【详解】解:如图,连接0E,

・・・点E所对应的读数为52。,

ZAOE=52。,

•.•43为直径,ZACB=90°,

,点C在OO上,

ZACE=-ZAOE=-x52°=26°,

22

ZBCD=90°-26°=64°,

故选:C.

【点睛】本题考查了圆周角定理,解题的关键是运用圆周角定理得出/AOE与NACE的关系.

8.线段AB=5,动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发,沿线段A3运动至点8.以点A为圆

心、线段AP长为半径作圆心角为90°的扇形P4C,以线段PB为边作等边.设点P的运动时间

为f,扇形P4C的弧C尸的长为y,等边△P8D的面积为S,则y与,,S与,满足的函数关系分别是

()

D

c

APB

A.正比例函数关系,一次函数关系B.正比例函数关系,二次函数关系

C.一次函数关系,一次函数关系D.二次函数关系,正比例函数关系

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意分别列出了与f,S与「的函数关系,进而进行判断即可.

【详解】解:设点P的运动时间为r,则AP=r,BP=5-t,

901

则nly=---itxt=—Tit,

-1802

S=—(5-z)2=—(25-10z+r2)=—+

4',4'7424

y与九S与r满足的函数关系分别是正比例函数关系,二次函数关系,

故选:B.

【点睛】本题考查了列函数表达式,一次函数与二次函数的识别,根据题意列出函数表达式是解题的关

键.

第n卷(非选择题共84分)

二、填空题(每小题2分,共16分)

9.写出一个函数值有最大值,且最大值是2的二次函数解析式.

【答案】y=-x2+2(答案不唯一)

【解析】

【分析】根据函数值有最大值可得二次项系数小于0,再根据最大值是2利用二次函数顶点式即可求解.

【详解】解:;二次函数解析式函数值有最大值,

...二次函数解析式二次项系数“<0,

又最大值是2,

•••符合条件的二次函数解析式可以是:y=-x2+2(答案不唯一),

故答案为:y=-x2+2(答案不唯一)

【点睛】本题考查二次函数的性质,解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和顶点式.

10.某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下:

射击次数20801002004001000

中九环以上次数186881170327833

中九环以上频率0.900.850.810.850.820.83

根据频率的稳定性,估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是.(保留两位小数)

【答案】0.83

【解析】

【分析】大量重复试验时,事件发生的频率在某个固定位置左右摆动,并且摆动的幅度越来越小,根据这个

频率稳定性定理,可以用频率的集中趋势来估计概率,这个固定的近似值就是这个事件的概率.

【详解】解:由表格可知:当大量试验时,频率稳定在0.83,

估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是:0.83;

故答案为:0.83.

【点睛】本题考查利用频率估计概率.熟练掌握概率是频率的稳定值是解题的关键.

11.代数式3x+l的最小值为.

【答案】[

【解析】

【分析】利用配方法,结合平方的非负性解答

3QQ5

[详解】解:X2-3x4-1=(X--)~----F1=(X---)2---

2424

U-T)>0

244

代数式xlx+l的最小值为:一引

【点睛】本题考查代数式的最值,涉及配方法,平方的非负性,是重要考点,掌握相关知识是解题关键.

12.如图,AB是的直径,C、。在0。上,若N£>=110。,则NC4B

【答案】20°##20度

【解析】

【分析】利用圆内接四边形的性质求出N5,再利用圆周角定理求出NC43即可.

【详解】解::ZAZ)C+ZB=180°,ZD=110°,

;•ZABC=1Q°,

,/A5是直径,

ZACB=90°,

N0LB=2O。.

故答案为:20°.

【点睛】本题考查圆周角定理,圆内接四边形的性质(圆内接四边形对角互补)等知识,属于中考常考题

型.

13.如图,半径为6的。。与边长为8的等边三角形A8C的两边AB、8c都相切,连接OC,则OC=

【答案】2币

【解析】

【分析】连接OB,作ODJ_BC于D,由等边三角形的性质得NABC=60。,BC=8,由。O与等边三角形

ABC的两边AB、BC都相切,得出OD是。O的半径,ZOBC=ZOBA=30°,应用三角函数求出BD=

3,CD=BC-BD=5,由勾股定理得出OC,即可得出答案.

【详解】连接OB,作ODLBC于D,

,/AABC是边长为8的等边三角形,

AZABC=60°,BC=8,

•.•。0与等边三角形ABC的两边AB、BC都相切,

AOD是。O的半径,ZOBC=ZOBA=|ZABC=30°,

OD

VtanZOBC=——,

BD

OD3

,BD=----------=8=3,

tan300巨

3

・・・CD=BC-BD=8—3=5,

℃=7OD2+CD2=+52=2V7,

故填:2s.

【点睛】本题考查了切线性质、等边三角形的性质、勾股定理、三角函数等知识;熟练掌握切线的性质

是解题的关键.

14.如图,将AABC绕点A逆时针旋转a。,得到到VA£>£,点c在线段QE上,则/BCQ的度数是

.(用含a的式子表示)

【答案】a

【解析】

【分析】由旋转的性质得NE=NAC8,ZCAE=a°,由外角的性质可得NACD=NC4E+NE,进而

即可求解.

【详解】由旋转的性质得:NE=ZACB,NC4E=a°,

•••ZACD=ZACB+/BCD=ZCAE+NE,

,/BCD=/CAE=a°.

故答案为:a.

【点睛】本题考查旋转的性质,外角的性质,解题的关键是熟练掌握旋转的性质和外角的性质.

15.某公司的近三个月的销售收入和利润如下表所示:

9月10月II月

销售收入(万元)8095108

利润(万元)506372

该公司近三个月的利润平均增长率为.

【答案】20%

【解析】

【分析】设该公司近三个月利润平均增长率为X,则11月利润为50(1+x)2万元,根据11月利润为72万

元,可列方程,解方程取正值即可.

【详解】解:设该公司近三个月利润平均增长率为x,根据题意,得:

50(1+4=72

解得:X,=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去),

...该公司近三个月利润平均增长率为20%,

故答案为:20%.

【点睛】本题考查一元二次方程的运用,解题的关键是正确理解题意,找准等量关系列出有关利润增长率的

一元二次方程.

16.如图,在中,ZACB=90°,ZABC=3O°,AC=6,点E是边4C的中点,将&48C绕

点C逆时针方向旋转得到△AB'C,点。是边48'上的一动点,则PE长度的最大值与最小值的差为

【答案】36+6##6+36

【解析】

【分析】由直角三角形的性质可得BC=66,由旋转的性质可得AC=A'C=6,可得CE=2,即点E

在以C为圆心,CE为半径的圆上,则当点C,点E,点尸共线,且PC,A3时,PE长度最小,当点

P与点8'重合,且点£在PC的延长线上时,PE长度最大,然后求得最大值与最小值的差即可求解.

【详解】解:•.•NC=90。,ZABC=3O°,AC=6,

BC=6瓜,

・•・将AABC绕点C按顺时针方向旋转,得到AAAC,点E是边AC的中点,

AC=A'C—6,B'C'=BC=6-73CE=AE=3,

,点E在以C为圆心,CE为半径的圆上,

如图,当点C,点£,点P共线,且时,长度最小,

\PC1AB,ZABC=30°

P'C'=-B'C'=3>/3,

2

.•.PE最小值为3百-3.

当点P与点B'重合,且点E在PC的延长线上时,PE长度最大,

则最大值为6石+3

PE长度的最大值与最小值的差为66+3-38+3=+6

故答案为:36+6.

【点睛】本题考查了旋转的性质,直角三角形的性质、圆的基本认识,确定点E的轨迹是本题的关键.

三、解答题(共68分)

17.已知:如图,点尸在上,点A在。外.

求作:过点P的。。的切线及过点4作CP的平行线.

作法:如图,

①作射线0P;

②在直线0P外任取一点A,以点A为圆心,AP为半径作OA,与射线0P交于另一点8;

③连接并延长BA与交于点C;

④作直线PC;

⑤取3P的中点。;

⑥连接AD.

则直线PC、即为所求.

(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)

(2)完成下面的证明:

证明::BC是0A的直径,

/.ZBPC=90°()(填推理的依据)

OPLPC

又•••OP是0。的半径

•••PC是OO的切线()(填推理的依据)

又•.•。是3P的中点

AD±PB()(填推理的依据)

ZA£)P=90°

/.ZBPC=ZADP

AD//PC.

【答案】(1)见解析(2)直径所对的圆周角是直角;经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆

的切线;平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧

【解析】

【分析】(1)根据作法画出图形即可;

(2)根据圆周角定理得到N3PC=90。,根据切线的判定定理即可得到PC是。。的切线,然后根据垂

径定理即可得到AD±PB,进而得到AD//PC.

【小问1详解】

补全图形如图所示,则直线PC、AO即为所求.

【小问2详解】

证明:是0A的直径,

,N3PC=90°(直径所对的圆周角是直角)(填推理的依据)

OPLPC

又,:0P是。。的半径

,PC是。。的切线(经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线)(填推理的依据)

又:。是5P的中点

:.AD±PB(平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧)(填推理的依据)

,ZADP^9Q°

•••ZBPC^ZADP

,AD//PC.

【点睛】此题考查了切线的判定,圆周角定理,解题的关键是正确作出图形.

18.隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史,是我国古代石拱桥的代表.如图是根据某石拱桥的实物图画

出的几何图形,桥的主桥拱是圆弧形,表示为A8.桥的跨度(弧所对的弦长)AB约为40m,设A8所

在圆的圆心为。,半径垂足为O.主拱高(弧的中点到弦的距离)C。约为10m.连接

OB.求这座石拱桥主桥拱AS所在圆的半径长.

【答案】25m

【解析】

【分析】根据垂径定理得出BD=LAB=20m,设OB=r,则。D=r—1(),根据勾股定理可得

2

OD2+BD2^OB2>求出,即可.

【详解】解:•.•半径OC_L他,AB=40m,

BD=-AB^20m,

2

设OB=r,则。£)二厂一10,

・・•在RSBOO中,OD?+BD?=0B?,

.,•(r-10)2+202=r2,

r=25,

・・・圆的半径长为25m.

【点睛】本题主要考查了垂径定理,勾股定理,解题的关键是熟练掌握勾股定理和垂径定理.

71

19.把关于x的一元二次方程2/—4x+m=0配方,得到(x+p)-=5.

(1)写出完整的配方过程,并求常数加与夕的值;

(2)求此方程的解.

【答案】(1)m=1,P=-l

⑵寸彩,寸”立

212

【解析】

【分析】(1)把2/—4x+机=0配方即可得出〃?=1,P=7;

(2)配方得出(x—l『=g,开方得出X一1=±孝,求出即可.

【小问1详解】

解:2/-4%=

X2-2X=-—

2

m.

x2—2x+1=----F1

2

m-\>p=-l

【小问2详解】

解:•••(I):;

.2+V22-V2

•"—-----'x,=------

12,2

【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用,题目是一道基础题,难度适中,主要考查学生的计算能力.

(1)求二次函数解析式;

(2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象;

(3)当一3WXW2时,V的取值范围是.

【答案】(1)y=-x?+2x+3

(2)画图见详解(3)-124y«4

【解析】

【分析】(1)用待定系数法即可求解;

(2)根据函数解析式,用描点法即可求解;

(3)根据自变量的取值范围,结合图示,即可确定函数值的取值范围.

【小问1详解】

解:当x=—2时,y=-5;当%=—1时,y=0;当x=0时,y=3,

4a-2b+c--5a=-\

:.<a-b+c=O解方程得<8=2,

c=3c-3

,二次函数解析式为y=—V+2x+3.

【小问2详解】

解:二次函数解析式为y=-V+2x+3,图像如图所示,

函数与无轴交点是(一1,0),(3,0),与y轴的交点是(0,3),对称轴为x=l,符合题意.

【小问3详解】

解:当一3WxW2时,根据(2)中图示可知,

当%=-3时,y=-(-3)2+2x(-3)+3=-12;当当x=l时,y=-12+2xl+3=4:当x=2时,

y=-22+2x2+3=3.

...当一3WxW2时,-12«y44.

【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式,根据函数解析式画函数图形,根据函数自变量求函

数取值范围,掌握待定系数法解二次函数解析式,函数图像的性质是解题的关键.

21.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,“RC的顶点均在格点上,点C的坐标为(4,-1).

(1)画出与"3C关于原点。中心对称的△A4C,点4的坐标是;

(2)画出将AABC绕着点A逆时针方向旋转90°得到的AAB3G.

【答案】(1)图见解析;(-1,4)

(2)图见解析

【解析】

【分析】(I)分别找到点A、点8、点C关于原点对称的点4、点5、点G,顺次连接即可,根据坐标

系写出点4的坐标;

(2)利用旋转变换的性质分别作出8,C的对应点为、即可.

【小问1详解】

解:如图所示,即为所求;点4的坐标是(一1,4);

【小问2详解】

解:如图所示,A482c2即为所求.

y

n-TT-r-)

【点睛】本题主要考查作图-旋转变换,解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质,并据此得出变换后的

对应点.

22.随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转,各地开始复工复学,某校复学后成立“防疫志愿者服务

队”,设立四个“服务监督岗”:①洗手监督岗,②戴口罩监督岗,③就餐监督岗,④操场活动监督

岗.李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作,学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗(每个岗位

只设置一位教师).

(1)李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为:

(2)用列表法或画树状图法,求李老师和王老师被分配到洗手监督岗和戴口罩监督岗的概率(无序).

【答案】(1)-

4

【解析】

【分析】(1)直接根据随机事件的概率公式计算即可;

(2)先画出树状图,然后从树状图中数出所有的可能性的结果数与李老师和王老师被分配到洗手和戴口罩

的监督岗的结果数,再利用概率公式计算即可.

【小问1详解】

解:・•・李老师被分配到某个监督岗的所有可能性的结果数是4,被分配到“洗手监督岗”的结果数为1,

,李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为二;

故答案为:一:

4

【小问2详解】

解:画树状图如下:

共有12种等可能结果,其中李老师和王老师被分配到洗手监督岗和戴口罩(记为事件A)有2种结果,

答:李老师和王老师被分配到洗手监督岗和戴口罩监督岗的概率二.

【点睛】此题考查了随机事件的概率,熟练掌握概率公式和运用画树状图或列表法求概率是解答此题的关

键.

23.关于x的方程x?-〃zx+〃?—1=0.

(1)不解方程,判断根的情况;

(2)若x=2m是方程的一个根,求(,〃+iy+3(加一1)的值.

【答案】(1)有两个实数根

(2)0

【解析】

【分析】(1)计算一元二次方程根的判别式,得出A20,即可求解;

(2)根据一元二次方程根的定义,将尤=2机代入原方程,得出2〃5+加=1,然后化简代数式,整体代入

即可求解.

【小问1详解】

解:X2=0

丁a=\,b=-m,c=m-\,

A=/?2-4tzc=(-m)2-4xlx(m-l)

=/n2—4m+4

=(m-2)2>0;

・・・方程有两个实数根

【小问2详解】

2

解:把x=2加代入方程九之一7nx+加一1=。得,(2m)-mx2m+m-l=0

艮12m2+m-1

(m+1)**+3(〃i2-1)

=nr+2m+1+3m2—3

=4m2+2m-2

=2(2>+对一2

=2-2

=0.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式,一元二次方程根的定义,掌握一元二次方程根的判别式是

解题的关键.

24.第二十四届冬季奥林匹克运动会已于2022年在北京成功举办,跳台滑雪是北京冬奥会的比赛项目之

一,近些年来冰雪运动也得到了蓬勃发展.如图是某跳台滑雪场地的截面示意图.平台4B长1米(即

43=1),平台AB距地面18米.以地面所在直线为x轴,过点8垂直于地面的直线为y轴,取1米为单

位长度,建立平面直角坐标系,已知滑道对应的函数为y=0.4f—4x+c(xil).运动员(看成点)在

BA方向获得速度丫米/秒后,从4处向右下飞向滑道,点M是下落过程中的某位置(忽略空气阻力).设

运动员飞出时间为f秒,运动员与点4的竖直距离为/z米,运动员与点A的水平距离为/米,经实验表

(1)求滑道对应的函数表达式;

(2)当u=5,f=l时,通过计算判断运动员此时是否已落在滑道上;

(3)在试跳中,运动员从A处飞出,运动员甲飞出的路径近似看做函数y=V+,x+WZ图像的一

636

I289

部分,着陆时水平距离为4,运动员乙飞出的路径近似看做函数图像y=-《/+二》+1_的一部分,着

陆时水平距离为4,则4d2(填”或

【答案】(1)y=0.4Y-4x+2L6

(2)落在滑道上(3)>

【解析】

【分析】(1)将41,18)代入y=0.4f—4x+c(x?l),求出c即可;

(2)先计算出〃和/,求出x=/+l时y的值,与OB—h进行比较即可判断;

(3)分别将两个运动员飞出路径对应的函数与滑道对应的函数联立,求出着陆时的x值,进而求出《与

d2,即可判断.

【小问1详解】

y=0.4x2-4x+c过(1,18)

c=21.6

y=0.4尤2-4X+21.6

【小问2详解】

•­,u=5,t-\

---I=vt=5,h=6r-6

当x=5+l=6时,y=0.4x62-4x6+21.6=12

V18-6=12

,落在滑道上.

【小问3详解】

解:将y=0.4d—4x+21.6(x21)与y=—I/+lx+!£Z联立,

636

得:0.4f—4x+21.6=-入+与+河,

636

化简得:17/-130X+113=0,

113

解得:西=1,工2=三

―-H3,96

可知4=----1

'1717

12289-

同理,将将y=0.4x2-4x+21.6(x?l)与y---XH-XH-------联立,

555

]2X9

得:0.4x2-4x+21.6=——x2+—XH——

555

化简得:3/-22》+19=0

解得:X]=1,x2=—,

16

可知《=一一1T

9616

一>一

173

因此4>d2.

【点睛】本题考查二次函数的实际应用,读懂题意,掌握利用待定系数法求二次函数解析式和二次函数图像

上点的坐标特征是解题的关键.

25.已知:如图,点A、B、M在。。上,且满足NM=45°,连接04,AB.过点3作直线

BC//0A,交的延长线于点C.

M

MJ

CB

(1)求证:8C是OO的切线;

(2)如果。4=5,AM=6,求8M的长.

【答案】(1)见解析(2)772

【解析】

【分析】(1)连接。8,根据圆周角定理可得NAO8=2NM=90°,继而根据切线判定定理即可求证结

论;

(2)过点A作4VJ.BM交于点N,在R34VM中求得AN=MN=38,在RtA4OB中,利

用勾股定理可得A3=50,在Rtz\4V8中,利用勾股定理可得3N=40,进而即可求解.

【小问1详解】

连接QB,

VAM=45°,AB=AB>

:.ZAOB=2ZM=90°,

BC//OA,

:.ZOBC=180。—ZAOB=90°,

半径OB_LBC,

8。是O。的切线;

【小问2详解】

如图,过点A作AN交于点N,

:.ZANM^90°,

•..在RtZkATVM中,ZANM-90°,NM=45°,AM=6,

AN=MN=3五,

又•.•Q4=OB=5,ZAOB^90°,

...在RtZVIQB中,AB=5叵,

.,.在RtZvWB中,

BN=《AB?-AN?=472,

BM=MN+BN=7应.

CB

【点睛】本题考查了切线的证明、圆周角的性质、解直角三角形,解题关键是准确把握题意,构建直角三角

形解决问题.

26.在平面直角坐标系xO),中,点(-1,〃。,(5,〃)在抛物线〉=加+Z?x+c(a<0)上,设抛物线的对称轴

为直线.

(1)当c=T,,=一3时,求抛物线与y轴交点坐标,并直接写出〃?,〃的大小关系;

(2)若机<c<〃,求,的取值范围;

(3)若点(A0M)在抛物线上,且满足-

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