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文档简介
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填
涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”。2.作
答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,
再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题
必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答
案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证
答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知4,B,C,D是球。的球面上四个不同的点,若AB=AC=DB=DC=BC=2,且平面DBC_L平面ABC,
则球。的表面积为()
20兀15兀
A.---B.---C.6兀D.5兀
32
2.已知集合4={-1,0』,2},B={x|y=lg(l—x)},则AClB=()
D.{-1,0,1)
1
根据该折线图可知,下列说法错误的是()
A.该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高
B.该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低
C.该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益
D.该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元
5.集合4={乂k2-乂-24€)},8={平一1<。},则AUB=()
A.{冲<1}B.C|-l<X<1}
C.{x|x<2}D.{x|-2<x<1}
12
6.若函数/同=]上+应一不在区间(a,a+5)上存在最小值,则实数a的取值范围是
A.[-5,0)B.(-5,0)C.[-3,0)D.(-3,0)
7.在A4BC中,角A,B,c的对边分别为a,b,C,若2(bcos4+acosB)=c2,b=3,3cos/=l,则。=
()
A.JTB.3C.WD.4
8.如图,已知平面a'B,anp=/,4、B是直线/上的两点,C、。是平面B内的两点,且D4,/,CB11,
AD=3,AB=6,CB=6.P是平面a上的一动点,且直线p。,PC与平面a所成角相等,则二面角P-BC-D
的余弦值的最小值是()
9.已知等差数列中']=7,*。+*=0,贝吗+北=()
A.20B.18C.16D.14
10.已知复数z=cos23叶zsin23。和复数z=cos37叶isin37°,贝!jz,z为
1212
41sB,C.MD.#一3
22222222
11.设全集U=R,集合"=(|X2vJ,N={x|2Yl},则“nCuN=()
A.Eo,l]B.(0,11C.t0,l)D.
12.直线-_、5-+、3=。经过椭圆一;的左焦点-,交椭圆于--两点,交-轴于-点,若
-、--〜点+宙=/B>口>0--
三=:三,则该椭圆的离心率是。
A-xl-1B.9C.242-2D.、泛_1
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
a\八
_x2+_+_,x<0
13.已知函数/(x)=<5X2,若关于X的方程/(%)+/(-x)=()在定义域上有四个不同的解,则实数〃
[lnx-x,x>0
的取值范围是.
14.已知。为矩形ABCO的对角线的交点,现从这5个点中任选3个点,则这3个点不共线的概率为
15.MBC的角A,B,C所对的边分别为仇c,且<2=G+庆-必,sinA+sinB=2>/6sinAsin8,若c=3,则a+b
的值为.
16.在四面体ABC。中,AABO与ABOC都是边长为2的等边三角形,且平面A3。,平面BDC,则该四面体外接
球的体积为.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)如图,在正三棱柱ABC-ABC中,AB=A4=2,E,尸分别为A8,8c的中点.
111111
(1)求证:8E〃平面Ab;
1
(2)求平面CEB与平面4cb所成二面角(锐角)的余弦值一
18.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面根。为等边三角形,且垂直于底面A8CD,
AB=BC=],NB/4D=N/BC=90;ZADC=45°,1f,N分别是/D,PD的中点.
P
(1)证明:平面CMN//平面24B;
2
(2)已知点E在棱PC上且史三求直线NE与平面R4B所成角的余弦值.
3
19.(12分)如图为某大江的一段支流,岸线(与口近似满足/〃(,宽度为7左勿.圆0为江中的一个半径为2公力的
小岛,小镇/位于岸线/上,且满足岸线/,04,。力=3厩%现计划建造一条自小镇/经小岛。至对岸/的水上
112
通道力BC(图中粗线部分折线段,8在力右侧),为保护小岛,BC段设计成与圆。相切.设
ZABC=n-e'0<6<'
(1)试将通道力3C的长L表示成o的函数,并指出定义域;
(2)若建造通道的费用是每公里100万元,则建造此通道最少需要多少万元?
1
20.(12分)如图,矩形CDEF和梯形力BCD所在的平面互相垂直,ZBAD=ZADC=90^,邓=4D=_CD,
2
BE1DF.
(1)若河为£4的中点,求证:4C//平面MDF;
(2)若/B=2,求四棱锥E-/1BCD的体积.
,f兀、,fx=10cos6
21.(12分)已知直线/的极坐标方程为PS】"Q0-=6,圆C的参数方程为(9为参数).
ITjjy=10sin。
(I)请分别把直线/和圆C的方程化为直角坐标方程;
(2)求直线/被圆截得的弦长.
22.(10分)已知抛物线W:y2=2px(p>0)上一点C(t,2)到焦点F的距离为2,
(1)求t的值与抛物线”的方程;
(2)抛物线上第一象限内的动点4在点C右侧,抛物线上第四象限内的动点8,满足。4_LBF,求直线AB的斜
率范围.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、
A
【解析】
由题意画出图形,求出多面体外接球的半径,代入表面积公式得答案.
【详解】
如图,
取BC中点G,连接AG,DG,则AG±BC,DG±BC,
分别取#BC与&BC的外心E,F,分别过E,F作平面ABC与平面DBC的垂线,相交于O,
则O为四面体A-BCD的球心,
由AB=AC=DB=DC=BC=2,得正方形OEGF的边长为,则OG=J",
-3-
•••四面体A-BCD的外接球的半径R=JOG2+BG2
.■•球O的表面积为43(昌2=迎
\33
雌A.
【点睛】
本题考查多面体外接球表面积的求法,考查空间想象能力与思维能力,是中档
题.2、B
【解析】
求出集合B,利用集合的基本运算即可得到结论.
【详解】
由l-x>0,得》<1,则集合3={川尤<1},
所以,AnB={-l,o}.
故选:B.
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算,利用函数的性质求出集合8是解决本题的关键,属于基础题.
3、A
【解析】
利用复数的乘方和除法法则将复数%)化为一般形式,结合复数的模长公式可求得结果.
1-i
z2020_11+z=1+1i
1-i1-i(1-iXl+z)22'
因此,
故选:
【点睛】
本题考查复数模长的计算,同时也考查了复数的乘方和除法法则的应用,考查计算能力,属于基础题.4、
D
【解析】
用收入减去支出,求得每月收益,然后对选项逐一分析,由此判断出说法错误的选项.
【详解】
用收入减去支出,求得每月收益(万元),如下表所示:
月份123456789101112
收益203020103030604030305030
所以7月收益最高,A选项说法正确;4月收益最低,B选项说法正确;1-6月总收益140万元,7—12月总收益240
万元,所以前6个月收益低于后六个月收益,C选项说法正确,后6个月收益比前6个月收益增长240-140=100万
元,所以D选项说法错误.故选D.
【点睛】
本小题主要考查图表分析,考查收益的计算方法,属于基础题.
5、C
【解析】
先化简集合A,B,结合并集计算方法,求解,即可.
【详解】
解得集合A={^%-2)G+1)<0}=勺-1Wx<2上B={犬卜<1}
所以AuB={\cx<2},故选c.
【点睛】
本道题考查了集合的运算,考查了一元二次不等式解法,关键化简集合A,B,难度较
小.6、C
【解析】
求函数导数,分析函数单调性得到函数的简图,得到a满足的不等式组,从而得解.
【详解】
由题意,f'(x)=xz+2x=x(x+2),故f(x)在(-8,-2),(0,+8)上是增函数,在(一2,0)上是减函数,作出其图象如
122
令三X3+X2-得x=0或x=—3,
oJJ
则结合图象可知,卜3"。<°解得ae[—3,0),
Ia+5〉0
故选C.
【点睛】
本题主要考查了利用函数导数研究函数的单调性,进而研究函数的最值,属于常考题型.7、
B
【解析】
由正弦定理及条件可得2(sinBcosA+sinAcosB)=csinC,
即2sin(A+B)=2sinC=csinC.
..sinC>0,
;・c=2,
1
由余弦定理得Q2=b2+C2-2bccos^4=22+32-2x2x=9。
3
/.a=3.选B。
8,B
【解析】
PA
NPH4为所求的二面角的平面角,由得出,求出P在a内的轨迹,根据轨迹的特点求出NPB5的
最大值对应的余弦值
【详解】
DA11,a±p,anP=/,4。up
/.ADJLa,同理BC_La
.•.NDP4为直线PD与平面a所成的角,NCPB为直线PC与平面a所成的角
ZDPA=ZCPB,又ZDAP=NCBP=90°
在平面a内,以4B为x轴,以AB的中垂线为沙轴建立平面直角坐标系
则A(-3,0),B(3,0),设P(x,y)(y>0)
2j(x+3>+/=J(x-34+”,整理可得:(x+5>+y2=16
P在a内的轨迹为M(—5,0)为圆心,以4为半径的上半圆
■.•平面PBCc平面P=BC,PB±BC,AB±BC
:.ZPBA为二面角P-BC-D的平面角,
.•当与圆相切时,NPB4最大,COS/PB4取得最小值
此时PM=4,MB=8,MPLPB,PB=4用
cosNPBA=PB=4#=“
MB82
故选B
【点睛】
本题主要考查了二面角的平面角及其求法,方法有:定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法
等,依据题目选择方法求出结果.
9、A
【解析】
设等差数列{a}的公差为d,再利用基本量法与题中给的条件列式求解首项与公差,进而求得a+a即可.
n34
【详解】[a
设等差数列{a}的公差为".由।=7,徂伍+4d=7,坂殂(Q=15,斫以
〈51号〈1,解传〈1
na+a-0a+9d+a+6d-0d--2
V107'11'
a+a=2a+5d=2x15+5x(—2)=20.
341
故选:A
【点睛】
本题主要考查了等差数列的基本量求解,属于基础题.
10、C
【解析】
利用复数的三角形式的乘法运算法则即可得出.
【详解】
zz=(cos230+zsin23°)(cos37°+isin37°)=cos600+tsin60°=.
12T~0~
故答案为c.
【点睛】
熟练掌握复数的三角形式的乘法运算法则是解题的关键,复数问题高考必考,常见考点有:点坐标和复数的对应关系,点
的象限和复数的对应关系,复数的加减乘除运算,复数的模长的计算.
11、A
【解析】
求出集合M和集合N,,利用集合交集补集的定义进行计算即可.
【详解】
M={x|x2<x}={x|O<x<l},N={x\2x<1}-{x|x<0},
0N={x|x>o},
u
则MnCN={x|04x«l}=[0,1],
u
故选:A.
【点睛】
本题考查集合的交集和补集的运算,考查指数不等式和二次不等式的解法,属于基础
题.12、A
【解析】
由直线二一、弓二+v,7=C过椭圆的左焦点二得到左焦点为Z(-vI。),且二:-二:二S,
再由二三二2三三,求得一/r打,代入椭圆的方程,求得_•入务夕进而利用椭圆的离心率的计算公式,即可求解.
【详解】
由题意,直线二—二十\3=。经过椭圆的左焦点二,令二=。,解得二=、3,
所以二=、3,即椭圆的左焦点为二且二:-二:=3①
直线交二轴于二(。,分,所以,|二二|二6,|二二|=/,|二匚|=2,
因为三=2三,所以|二二|=3,所以_二:,,
又由点二在椭圆上,得J0②
h+K=4
由二匚,可得4二;一2g二;+9=0,解得如,
所以、T4_
口'=不=皿=4-2次=(、"一/)
所以椭圆的离心率为二=、弓_/.
故选A.
【点睛】
本题考查了椭圆的几何性质一一离心率的求解,其中求椭圆的离心率(或范围),常见有两种方法:①求出二二,代入
公式②只需要根据一个条件得到关于-的齐次式,转化为--的齐次式,然后转化为关于-的方程,即可
=
得升值(范围).
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
r
13、C,0j
【解析】
由题意可“X)+./■(—%)=0在定义域上有四个不同的解等价于y/方+0+1关于原点对称的函数
lai/6x2
y=——X2+1—1与函数,f(x)=ln尤—x(x>o)的图象有两个交点,运用参变分离和构造函数,进而借助导数分析
6x2
单调性与极值,画出函数图象,即可得到所求范围.
【详解】
(1。+1x<0
已知定义在(一8,0)u(0,+8)上的函数/(x)=1S'2+x2”
[lnx-x,x>0
若/(%)+/(-%)=0在定义域上有四个不同的解
等价于y=+9+J.关于原点对称的函数)=—J_X2+0-J.与函数4X)=/〃X-X(X>0)的图象有两个交点,
6x2.6x2..
1a111
联立可得Inx-x-\—X2---1—=()有两个解,即。=xlnx—%2H—x3H—x
6x262
可设g(x)=xlnx—M+_X3+,贝jjg'(x)=Inx-2x+_X2+
6222
进而9'(x)=x+1-2>0且不恒为零,可得g'(x)在(0,-KO)单调递增.
X
由g'(D=O可得
0<x<l时,g'(x)<O,g(x)单调递减;
x>l时,g'(x)>O,g(x)单调递增,
即g(x)在x=1处取得极小值且为一」
3
作出y=g(x)的图象,可得-1_<a<0时,Inx-X+]_X2-1+1=。有两个解,
(1、36x2
故答案为:—。
13J
【点睛】
本题考查利用利用导数解决方程的根的问题,还考查了等价转化思想与函数对称性的应用,属于难题.
4
14、一
5
【解析】
基本事件总数n=C3=10,这3个点共线的情况有两种4"和BOO,由此能求出这3个点不共线的概率.
5
【详解】
解:。为矩形ABC。的对角线的交点,
现从4,B,C,D,。这5个点中任选3个点,
基本事件总数〃=C3=1(),
5
这3个点共线的情况有两种/℃和8。0,
24
•••这3个点不共线的概率为p=l--
105
4
故答案为:一
5
【点睛】
本题考查概率的求法,考查对立事件概率计算公式等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.
15、3,/2
【解析】
先利用余弦定理求出C,再用正弦定理求出2R并把sinA+sinB=2^sinAsinB转化为与边有关的等式,结合
C2=+b2-ab可求a+b的值.
【详解】
因为c-ai+bi-abJ故cosC=G+。2—a因为Ce(0,n),所以C=_
2ab23
3
2R=:=2邛
由正弦定理可得三角形外接圆的半径R满足立,
T
所以2召sinA+2JTsin3=J?xsinAx2/sin8即a+Z?=-Jlab.
因为9="2+抗-ab=(a+-3ab=(a+苏-(a+6)»
解a+b=3a或a+b=—浮(舍)
故答案为:372.
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用,注意结合求解目标对所得的方程组变形整合后整体求解,本题属于
中档题.
1A20715
16>__Z___7i
27
【解析】
先确定球心的位置,结合勾股定理可求球的半径,进而可得球的面积.
【详解】
取A8OC的外心为。,设。为球心,连接°°,则。。,平面BOC,取6。的中点连接AM,0M,过。
1111
做OGL4M于点G,易知四边形00MG为矩形,连接OA,0C,设。4=/?,。。=MG=力.连接,则。,
111
M,C三点共线,易知MA=MC=JT,所以。G=MO=—»C°=空在心AAG。和放八。。。中,
13>31
(\_Y(、25
C八cc=0C2,即10―/J+|8|=/?2,|2的|+〃2W,R2=一,
GA2+GO2=OA2,OC2+OO2V——II--------I=7?2,所以力=-
1'(3)(3)33
得R=所以V=±兀宠3=竺巨7T.
3球。327
I)
R___Oi
【点睛】
本题主要考查几何体的外接球问题,外接球的半径的求解一般有两个思路:一是确定球心位置,利用勾股定理求解半径;
二是利用熟悉的模型求解半径,比如长方体外接球半径是其对角线的一半.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、(1)证明见详解;(2)
【解析】
(1)取4c中点为通过证明EW〃4E,进而证明线面平行;
(2)取BC中点为。,以。为坐标原点建立直角坐标系,求得两个平面的法向量,用向量法解得二面角的大小.
【详解】
(1)证明:取力。的中点用,连结EM,FM,如下图所示:
在△力BC中,因为E为48的中点,
1
.•.EM//BC,且BC,
2
又尸为BC的中点,BCHBC,
1111
1
BF//BC,且3尸=BC,
112
EM//BF,且EM=BF,
11
四边形EMFB为平行四边形,BE//FM
11
又MFu平面8E二平面4。口,
二BE//平面ZCF,即证.
1
(2)取BC中点。,连结4。,OF,则40LBC,OFABC,
以。为原点,分别以。B,AO,OF为x,y,z轴,
建立空间直角坐标系,如下图所示:
4(b,-向0)F(1,0,0)C(-1,0,0)/1,—邪,0、F(0,0,2)S(1,0,2)
则1十人,,|JE/,1
.彳=(皿2),^=<1.-/0)^(2,0.2)
设平面CEq的一个法向量拓=(x,y,z),
-CF=0lx+z=0
1i
令X=1.则而=(1,6—1),
ACF
同理得平面的一个法向量为“[32/
/一一km-n,28晨
则c°s6"代丽=k,
故平面CEB与平面/CR所成二面角(锐角)的余弦值.
।为19
【点睛】
本题考查由线线平行推证线面平行,以及利用向量法求解二面角的大小,属综合中档题.
1
18、(1)证明见解析;(2)一.
2
【解析】
(1)由平面几何知识可得出四边形ABCM是平行四边形,可得QMIIAB面PNB,再由面面平行的判定
可证得面面平行;
(2)由(1)可知,MD,两两垂直,故建立空间直角坐标系,可求得面PA5的法向量,再运用线面角的向
量求法,可求得直线NE与平面R4B所成角的余弦值.
【详解】
(1)-^BAD=ZABC=90力。〃BC,又4。。=45=3C=1,2,
而M、N分别是.仞、PD的中点,故MN//面
又AMIIBC且AM=BC,故四边形ABCM是平行四边形,二CM11AB=>CM//面PAB,
又MN,&W是面内的两条相交直线,故面CMN//面R4B.
(2)由(1)可知,MCMDMP两两垂直,故建系如图所示,则
/(0,-1,0),B(1,-1ac(1i0,0),D(0,1,0),P(0,0,向,N(O,L式),
22
114
=
TIB=(1,0,0),E7=(0,-1,-^3)L--6
2
,3
x=0
设〃=Q,J,&)是平面
P4B的法向量,二
-书名=0
由+虫
26yj
令芸=1,则〃=(0,-依1)cos^NE^I=।j……T~"2
2p+4+12
【点睛】
本题考查空间的面面平行的判定,以及线面角的空间向量的求解方法,属于中档题.
19、(1)M9)=9-3cgs9,定义域是p产].(2)$后■百万
【解析】
(1)以/为原点,直线/为x轴建立如图所示的直角坐标系,设4B=a(a>0),利用直线与圆相切得到
1
2-3cos0
a=---------,再代入L=4B+BC这一关系中,即可得答案;
sin。
(2)利用导数求函数的最小值,即可得答案;
【详解】
以/为原点,直线/为x轴建立如图所示的直角坐标系.
设AB=a(a>0),则B(Q,O),0(0,3),/:y=7.
2
因为NABC=71-。;0<e<,
[2J
所以直线BC的方程为y=tan0•(x-a),
即x-tan。-y-atan。=0,
I-3-atan。I】
因为圆。与BC相切,所以
Jl+tan2°
n3cos6+asinO,
即H=___)从而得a=2-3cos0
cosBcosB
7cos。
在直线BC的方程中,令y=7,得=a+__=a+
Iesin©
X
所以L=4B+BC=a+=°
sinQsm。
22
当Q=0时,cosO=,设锐角满足cosO^=,贝附<0<
3003。2
所以L关于。的函数是“°)=-3cos0,定义域是
-
-sinZWI02J
(2)要使建造此通道费用最少,只要通道的长度即L最小.
L'(0)=3sin2。-(9-3cos6)cos9_3-9cos。心<9<兀、
sinsGsin?。1。2)
令u(o)=o,得coso=_,设锐角°,满足cos。=_<_,得°Ge,1).
3>1331I02J
列表:
G(e,e)0
011112/
U(0)-0+
US)减极小值增
所以e=0时,[L(0)L=9;普晨2/=6戊,所以建造此通道的最少费用至少为64百万元•
1F
【点睛】
本题考查三角函数模型的实际应用、利用导数求函数的最小值,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推
理能力、运算求解能力.
20、⑴见解析⑵K=4无
E-ABCD
【解析】
(1)设EC与DF交于点N,连结MN,由中位线定理可得MN//AC,故AC〃平面MDF;
(2)取CD中点为G,连结BG,EG,则可证四边形ABGD是矩形,由面面垂直的性质得出1«5_1平
面CDEF,故BGJ_DF,又DF1.BE得出DF_L平面BEG,从而得出DF_LEG,融RtADEG〜RtAEFD,
列出比例式求出DE,代入体积公式即可计算出体积.
【详解】
(1)证明:设EC与DF交于点N,连接MN,
在矩形CDE尸中,点N为EC中点,
VM为EA的中点,,MNHAC,
又ACN平面MDF,MNu平面MDF,
/.ACII平面MDF.
(2)取8中点为G,连接BG,EG,
平面CDEF_L平面ABCD,
平面CDEFc平面力BCD=CD,
/Du平面/BCD,ADLCD,
AD1平面CDEF,同理ED,平面ABCD,
:.ED的长即为四棱锥E—NBC。的高,
1
在梯形力BCD中AB^CD=DG,ABIIDG,
四边形NBG。是平行四边形,BGIIAD,
:.BG,平面CDEF,
又•••DFu平面CDEF,BG1DF,
又BE,OF,BEcBG=B,
DF_L平面BEG,DFLEG.
注意到R/QEGSR/£FD,
;.DE2=DG-EF=8,DE=2^2,
1
:.V=-S-ED=4^2.
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