高考数学 专项强化训练(三)试题

专项强化训练(三)数列的综合应用一、选择题1.设{an},{bn}分别为等差数列与等比数列,a1=b1=4,a4=b4=1,则下列结论正确的是()A.a2>b2 B.a3<b3 C.a5>b5 【解析】选A.设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,由题可得d=-1,q=322,于是a2=3>b2=2【加固训练】若数列x,a1,a2,y成等差数列,x,b1,b2,y成等比数列,则(a1+【解析】由等差数列与等比数列的性质得a1+a2=x+y,b1b2当x,y同号时,xy+yx≥2;当x,y异号时,yx+所以(a1+a2)2答案:(-∞,0]∪[4,+∞)2.已知数列{an},{bn}满足a1=1,且an,an+1是函数f(x)=x2-bnx+2n的两个零点,则b10等于()A.24 B.32 C.48 D.64【解析】选D.依题意有anan+1=2n,所以an+1an+2=2n+1.两式相除得an+2所以a1,a3,a5,…成等比数列,a2,a4,a6,…也成等比数列.而a1=1,a2=2,所以a10=2·24=32,a11=1·25=32.又因为an+an+1=bn,所以b10=a10+a11=64.3.设{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项的和,且S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错误的是()A.d<0B.a7=0C.S9>S5D.S6与S7均为Sn的最大值【解析】选C.因为{an}是等差数列,所以Sn=d2n2+a因为S5<S6,S6=S7>S8,所以Sn关于n的二次函数开口向下,对称轴为n=6.5,所以d<0,S6与S7均为Sn的最大值,S9<S5,a7=S7-S6=0,故选C.4.(2015·北京模拟)已知函数f(x)=2xA.an=n(n-1)2,n∈N* B.an=n(n-1),nC.an=n-1,n∈N* D.an=2n-2,n∈N*【解析】选C.当x≤0时,g(x)=f(x)-x=2x-1-x是减函数,只有一个零点a1=0;当x>0时,若x=n,n∈N*,则f(n)=f(n-1)+1=…=f(0)+n=n;若x不是整数,则f(x)=f(x-1)+1=…=f(x-[x]-1)+[x]+1,其中[x]代表x的整数部分,由f(x)=x得f(x-[x]-1)=x-[x]-1,其中-1<x-[x]-1<0,没有这样的x.所以g(x)=f(x)-x的零点按从小到大的顺序为0,1,2,3,…,通项an=n-1,故选C.【加固训练】定义:F(x,y)=yx(x>0,y>0),已知数列{an}满足:an=F(n,2)F(2,n)(n∈N*),若对任意正整数n,都有an≥ak(kA.89B.2【解析】选A.an=2nn2,an+1an=2n+1(n+1)225.甲、乙两间工厂的月产值在2012年1月份时相同,甲以后每个月比前一个月增加相同的产值.乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同.到2012年11月份发现两间工厂的月产值又相同.比较甲、乙两间工厂2012年6月份的月产值大小,则有()A.甲的产值小于乙的产值B.甲的产值等于乙的产值C.甲的产值大于乙的产值D.不能确定【解析】选C.设甲各个月份的产值构成数列{an},乙各个月份的产值构成数列{bn},则数列{an}为等差数列,数列{bn}为等比数列,且a1=b1,a11=b11,故a6=a1+a112≥a1a11【方法技巧】建模解数列问题(1)分析题意,将文字语言转化为数学语言,找出相关量之间的关系.(2)构建数学模型,将实际问题抽象成数学问题,明确是等差数列问题、等比数列问题,是求和还是求项,还是其他数学问题.(3)通过建立的关系求出相关量.【加固训练】植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米,开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,现将树坑从1到20依次编号,为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小,树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为()A.1和20 B.9和10 C.9和11 D.10和11【解析】选D.设树苗放在第i个树坑旁边(如图所示)则各个树坑到第i个树坑的距离的和是S=10(i-1)+10(i-2)+…+10(i-i)+10[(i+1)-i]+…+10(20-i)=10(i-1+1)(i-1)2+所以当i=10或11时,S有最小值.二、填空题6.对正整数n,设曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列an【解析】y=xn(1-x)=xn-xn+1,导数为y′=nxn-1-(n+1)xn,所以曲线在x=2处的切线斜率为k=n×2n-1-(n+1)×2n=-(n+2)2n-1,切点为(2,-2n),所以切线方程为y+2n=-(n+2)2n-1(x-2),令x=0得,y+2n=(n+2)2n,即y=(n+1)2n,所以an=(n+1)2n,所以ann+1=2n,数列ann+1答案:2n+1-27.(2015·昆明模拟)商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,即根据商品的最低销售限价a,最高销售限价b(b>a)以及实数x(0<x<1)确定实际销售价格c=a+x(b-a).这里,x被称为乐观系数.经验表明,最佳乐观系数x恰好使得(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项.据此可得最佳乐观系数x的值等于.【解析】由已知有(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项,即(c-a)2=(b-c)(b-a).把c=a+x(b-a)代入上式,得x2(b-a)2=[b-a-x(b-a)](b-a),即x2(b-a)2=(1-x)(b-a)2.因为b>a,b-a≠0,所以x2=1-x,即x2+x-1=0,解得x=-1±因为0<x<1,所以最佳乐观系数x的值等于-1+答案:58.数列{an}的前n项和为Sn,若数列{an}的各项按如下规律排列:12,13,23,14,24,34,15,25,35,45,…,①a24=38②数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…是等比数列;③数列a1,a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9+a10,…的前n项和为Tn=n2④若存在正整数k,使Sk<10,Sk+1≥10,则ak=57其中正确的结论有.(将你认为正确的结论的序号都填上)【解析】依题意,将数列{an}中的项依次按分母相同的项分成一组,第n组中的数的规律是:第n组中的数共有n个,并且每个数的分母均是n+1,分子由1依次增大到n,第n组中的各数和等于1+2+3+…+nn+1=对于①,注意到21=6(6+1)2<24<7(7+1)2=28,因此数列{an}中的第24项应是第7组中的第3个数,即a24=对于②③,设bn为②③中的数列的通项,则bn=1+2+3+…+nn+1=n2,显然该数列是等差数列,而不是等比数列,其前n项和等于12×n(n+1)2=对于④,注意到数列的前6组的所有项的和等于62+64=1012,因此满足条件的ak应是第6组中的第5个数,即ak=综上所述,其中正确的结论有①③④.答案:①③④三、解答题9.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=12,an+1=n(1)求数列{an}的通项公式.(2)设bn=n(2-Sn),n∈N*,若集合M={n|bn≥λ,n∈N*}恰有4个元素,求实数λ的取值范围.【解析】(1)方法一:由已知可得an+1n+1=12×a所以数列ann是公比为其首项为a11=所以ann=即an=n2方法二:由已知可得an+1an=1所以a2a1=12×21,a3a2=12×32,a4a3以上各式累乘可得ana1=又a1=12,所以an=n(2)由(1)知,Sn=12+222+323+12Sn=122+223+…所以12Sn=12+122+123+所以12Sn=1-n所以Sn=2-n+2因此,bn=n(n+2)所以bn+1-bn=(n+1)(n+3)2n+1-n所以当n=1时,b2-b1>0,即b2>b1,当n≥2时,bn+1-bn<0,即bn+1<bn,又b1=32,b2=2,b3=158,b4=32要使集合M={n|bn≥λ,n∈N*}恰有4个元素,须3532<λ≤3所以,所求实数λ的取值范围是3532<λ≤310.(2015·昆明模拟)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,a1=12,且满足2Sn+1=4Sn+1(n∈(1)求数列{an}的通项公式.(2)若bn=-3+log2an(n∈N*),求数列{|bn|}的前n项和Tn.【解析】(1)因为2Sn+1=4Sn+1(n∈N*),①所以当n≥2且n∈N*时,2Sn=4Sn-1+1,②①-②得:an+1=2an,所以an+1an=2(n≥由2S2=4S1+1得2(a1+a2)=4a1+1.又a1=12所以a2=1,所以a2所以数列{an}是以12所以an=2n-2.(2)因为bn=-3+log2an=-3+log22n-2=n-5,所以数列{bn}是首项b1=-4,公差d=1的等差数列.所以当n≤5时,bn≤0,当n>5时,bn>0.从而当n≤5时,有Tn=|b1|+…+|bn|=-(b1+…+bn)=n(9-n)当n>5时,有Tn=|b1|+|b2|+…+|bn|=-b1-b2-b3-b4-b5+b6+…+bn=(b1+b2+…+bn)-2(b1+b2+b3+b4+b5)=n(n-9)综上所述,Tn=n【加固训练】已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为8.(1)求等差数列{an}的通项公式.(2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列{|an|}的前n项和.【解析】(1)设等差数列的公差为d,根据a1+a2+a3=-3可得a2=-1,进而得a1a3=-8,即(a2-d)(a2+d)=-8,所以1-d2=-8,解得d=±3.当d=3时,a1+3=-1,得a1=-4,此时an=-4+(n-1)×3=3n-7;当d=-3时,a1-3=-1,得a1=2,此时an=2+(n-1)×(-3)=-3n+5.所以{an}的通项公式为an=3n-7或an=-3n+5.(2)d=3时,a2=-1,a3=2,a1=-4,此时a2,a3,a1成等比数列;当d=-3时,a2=-1,a3=-4,a1=2,此时a2,a3,a1不是等比数列,故an=3n-7,这个数列的第一、二两项为负值,从第三项开始为正值.方法一:当n≤2时,|an|=7-3n,这是一个首项为4,公差为-3的等差数列,故Sn=4n+n(n-1)2×(-3)=-3n当n>2时,|an|=an=3n-7,此时这个数列从第三项起是一个公差为3的等差数列,故Sn=|a1|+|a2|+a3+a4+…+an=(4+1)+[2+5+…+(3n-7)]=5+(n-2)[2+(3n-7)]2=3n所以Sn=-3n方法二:设数列{an}的前n项和为Tn,则Tn=n(-4+3n-7)2=3n由于n≤2时,|an|=-an,所以此时Sn=-Tn=-3n22当n>2时,Sn=(-a1-a2)+(a3+a4+…+an)=-T2+(Tn-T2)=Tn-2T2=3n22所以Sn=-3Sn=411.已知数列{an}中,a1=1,且点P(an,an+1)(n∈N*)在直线x-y+1=0上.(1)求数列{an}的通项公式.(2)设bn=1an,Sn表示数列{bn}的前n项和.试问:是否存在关于n的整式g(n),使得S1+S2+S3+…+Sn-1=(Sn-1)·【解题提示】(1)由条件寻找an与an+1的关系,转化为特殊数列,求an.(2)利用函数与方程思想,探求g(n).【解析】(1)把P点代入直线x-y+1=0得:an+1-an=1,所以{an}是公差为1的等差数列,又a1=1,因此可得:an=n(n∈N*).(2)因为bn=1n,所以Sn=11+12+13+有S1+S2+S3+…+Sn-1=(n-1)·11+(n-2)·12+(n-3)·13+…+[n-(n-1)]·1n-1=n·11+12+1=n·11=n·1=n·(Sn-1).当n≥2,n∈N*时,g(n)存在,且g(n)=n.【加固训练】已知数列{an}的前n项和为Sn,对一切正整数n,点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上,且过点Pn(n,Sn)的切线的斜率为kn.(1)求数列{an}的通项公式.(2)设Q={x|x=kn,n∈N*},R={x|x=2an,n∈N*},等差数列{cn}的任一项cn∈Q∩R,其中c1是Q∩R中的最小数,110<c10<115,求{cn}的通项公式.【解析】(1)因为点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上,所以Sn=n2+2n(n∈N*).当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1,当n=1时,a1=S1=3满足上式,所以数列{an}的通项公式为an=2n+1.(2)因为Q={x|x=2n+2,n∈N*},R={x|x=4n+2,n∈N*},所以Q∩R=R.又因为cn∈Q∩R,其中c1是Q∩R中的最小数,所以c1=6,因为{cn}的公差是4的倍数,所以c10=4m+6(m∈N*).又因为110<c10<115,所以110<4m+6<115解得m=27,所以c10=114,设等差数列{cn}的公差为d,则d=c10-c所以cn=6+(n-1)×12=12n-6,所以{cn}的通项公式为cn=12n-6.12.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=a(Sn-an+1)(a为常数,且a≠0,a≠1).(1)求{an}的通项公式.(2)设bn=an2+Sn(3)在满足条件(2)的情形下,设cn=1an+1-1【解题提示】(1)先利用an=Sn-Sn-1(n≥2)把Sn与an的关系式转化为an与an-1的关系式,判断数列的性质,求其通项公式.(2)根据(1),求出数列{bn}的前三项,利用b22=b1×b3列出方程即可求得a的值.(3)先求出数列{cn}的通项公式,根据所求证问题将其放缩,然后利用数列求和公式证明.【解析】(1)当n=1时,S1=a(S1-a1+1),得a1=a.当n≥2时,Sn=a(Sn-an+1),Sn-1=a(Sn-1-an-1+1),两式相减,得an=a·an-1,又a≠0,所以an≠0,则an即{an}是等比数列,所以an=a·an-1=an.(2)由(1)及a≠1知bn=(an)2+a(an若{bn}为等比数列,则有b2而b1=2a2,b2=a3(2a+1),b3=a4·(2a2+a+1),故[a3(2a+1)]2=2a2·a4(2a2+a+1),解得a=12再将a=12代入bn,得bn=1所以a=12(3)由(2)知an=12所以cn=112n+1-112n+1-1=所以cn>2-12n+Tn=c1+c2+…+cn>2-12+122+2-122+123结论成立.【加固训练】已知等差数列{an}的公差为2,其前n项和Sn=pn2+2n(n∈N*).(1)求p的值及an.(2)若bn=2(2n-1)an【解题提示】【解析】(1)方法一:因为{an}是公差为2的等差数列,所以Sn=na1+n(n-1)2d=na1+n又由已知Sn=pn2+2n,所以p=1,a1-1=2,所以a1=3,所以an=a1+(n-1)d=2n+1,所以p=1,an=2n+1.方法二:由已知a1=S1=p+2,S2=4p+4,即a1+a2=4p+4,所以a2=3p+2.又此等差数列的公差为2,所以a2-a1=2,所以2p=2,所以p=1,所以a1=p+2=3,所以an=a1+(n-1)d=2n+1,所以p=1,an=2n+1.方法三:由已知a1=S1=p+2,所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn2+2n-[p(n-1)2+2(n-1)]=2pn-p+2,所以a2=3p+2,由已知a2-a1=2,所以2p=2,所以p=1,所以a1=p+2=3,所以an=a1+(n-1)d=2n+1,所以p=1,an=2n+1.(2)由(1)知bn=2(2n-1)(2n+1)=12n-1-所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=11-13+13-15+15因为Tn>910所以2n2n+1>所以20n>18n+9,即n>92又n∈N*,所以使Tn>91013.(2015·重庆模拟)某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学,该商场向他提供了三种付酬方案:第一种,每天支付38元;第二种,第一天付4元,第二天付8元,第三天付12元,依此类推;第三种,第一天