高考数学 专项强化训练(二)练习试题

专项强化训练(二)三角函数与平面向量的综合应用一、选择题1.(2015·济宁模拟)已知向量a=(1,3),b=(cosθ,sinθ),若a∥b,则tanθ=()A.33 B.3 C.-33 【解析】选B.因为a∥b,所以sinθ-3cosθ=0,即sinθ=3cosθ.故tanθ=3.2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,m=(bcosC,-1),n=((c-3a)cosB,1),且m∥n,则cosB的值为()A.13 B.-13 C.223【解题提示】利用已知转化为边角关系后利用余弦定理角化边后可解.【解析】选A.由m∥n,得bcosC+(c-3a)cosB=0.所以a2+b则c(a2+b2-c2)=3a(a2+c2-b2)-c(a2+c2-b2).所以2a2c=3a(a2+c2-b2),则13=a于是cosB=a2+c3.(2015·临沂模拟)若向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),则a与b一定满足()A.a与b的夹角等于α-β B.a⊥bC.a∥b D.(a+b)⊥(a-b)【解题提示】欲求a与b满足的关系,先利用平面向量数量积公式,判断a与b是否有垂直或者平行的关系,再结合选项判断.【解析】选D.因为a·b=(cosα,sinα)·(cosβ,sinβ)=cos(α-β),这表明这两个向量的夹角的余弦值为cos(α-β).同时,也不能得出a与b的平行和垂直关系.因为计算得到(a+b)·(a-b)=0,所以(a+b)⊥(a-b).故选D.4.已知a=cosθ2,sinθ2,b=(cosθ,sinθ是()A.(0,1) B.(0,1] C.(0,2) D.(0,2]【解析】选C.因为a-b=cosθ所以|a-b|=cos=2=2-2cosθ2因为θ∈(0,π),所以θ2∈0,π2故|a-b|∈(0,2).5.(2015·郑州模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,cosC=14,AC→A.5 B.13 C.4 D.17【解题提示】由已知cosC=14,AC→【解析】选A.由已知cosC=14,AC→得b·a·cos(π-C)=-2⇒b·a·cosC=2,所以ab=8,利用余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab-2abcosC=52-2×8-4=5.所以c=5.故选A.二、填空题6.在△ABC中,内角A,B,C所对边分别为a,b,c,已知m=(1,2),n=(ccosA,b),p=(c,-bcosA),若m∥n,m⊥p,则△ABC的形状是.【解题提示】利用向量关系转化为边角关系后,再边化角可解.【解析】由m∥n可得,b=2ccosA.由正弦定理可得sinB=2sinCcosA,即sin(A+C)=2sinCcosA.从而sinAcosC+cosAsinC=2sinCcosA,故sinAcosC-cosAsinC=0.即sin(A-C)=0,又-π<A-C<π,所以A-C=0,即A=C.由m⊥p可得c-2bcosA=0,从而sinC-2sinBcosA=0,故sin(A+B)-2sinBcosA=0.即sinAcosB-cosAsinB=0,即sin(A-B)=0,故A-B=0,A=B.所以A=B=C.故三角形为等边三角形.答案:等边三角形7.(2015·银川模拟)已知正三角形OAB中,点O为原点,点B的坐标是(-3,4),点A在第一象限,向量m=(-1,0),记向量m与向量OA→的夹角为α,则sin【解析】设向量OB→与x轴正向的夹角为β,则α+β=π+π3=4π3cosβ=-35,sinα=sin(π-α)=sinβ-π3=12sinβ-32cosβ=45×1答案:48.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos2A-Bcos(A+C)=-35,若a=42,b=5,则BA→【解题提示】利用已知条件先转化求得cosA,再利用正余弦定理可解.【解析】由2cos2A-B2cosB-sin(A-B)·sinB+cos(A+C)=-35即cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-35则cos(A-B+B)=-35即cosA=-35由0<A<π,得sinA=45由正弦定理,有asinA=b所以,sinB=bsinAa=由题知a>b,则A>B,故B=π4根据余弦定理,有(42)2=52+c2-2×5c×-3解得c=1或c=-7(舍去).故向量BA→在BC→方向上的投影为|答案:2三、解答题9.(2015·潍坊模拟)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,m=(2a+c,b),n=(cosB,cosC),且m·n=0.(1)求角B的大小.(2)设函数f(x)=sin2xcos(A+C)-32【解析】(1)由已知得,(2a+c)cosB+bcosC=0,即(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0,即2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0.所以2sinAcosB+sin(B+C)=0,即2sinAcosB+sinA=0.因为0<A<π,所以sinA≠0.所以2cosB+1=0,所以cosB=-12又0<B<π,所以B=2π(2)因为f(x)=sin2xcos(A+C)-32=-sin2x·cosB-32=12sin2x-3=sin2x-故f(x)的最小正周期T=2π2=当2x-π3=2kπ+π2,k∈即当x=kπ+5π12,k已知平面向量a=(cosφ,sinφ),b=(cosx,sinx),c=(sinφ,-cosφ),其中0<φ<π,且函数f(x)=(a·b)cosx+(b·c)sinx的图象过点π6(1)求φ的值及函数f(x)的单调增区间.(2)先将函数y=f(x)的图象向左平移π12个单位,然后将得到函数图象上各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)在0【解题提示】(1)由平面向量数量积的运算及三角函数的相关公式化简函数解析式,由函数f(x)的图象过定点确定φ的值,并由此求函数f(x)的单调增区间.(2)先根据图象变换的法则确定函数g(x)的表达式,并由此根据给定的范围求函数g(x)的最值.【解析】(1)因为a·b=cosφcosx+sinφsinx=cos(φ-x),b·c=cosxsinφ-sinxcosφ=sin(φ-x).所以f(x)=(a·b)cosx+(b·c)sinx=cos(φ-x)cosx+sin(φ-x)sinx=cos(φ-x-x)=cos(2x-φ),即f(x)=cos(2x-φ),所以fπ6=cosπ3-φ=1,而0<φ所以φ=π3所以f(x)=cos2x-由2kπ-π≤2x-π3≤2kπ得kπ-π3≤x≤kπ+π即f(x)的单调增区间为kπ-π3(2)由(1)得,f(x)=cos2x-y=cos2x+π12于是g(x)=cosx-当x∈0,π2时,-π6<x-所以12≤cosx-即当x=π2时,g(x)取得最小值1当x=π610.(2015·保定模拟)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(-1,1),n=(cosBcosC,sinBsinC-32),且m⊥n.(1)求A的大小.(2)现给出下列四个条件:①a=1;②b=2sinB;③2c-(3+1)b=0;④B=45°.试从中再选择两个条件以确定△ABC,求出你所确定的△ABC的面积.【解析】(1)因为m⊥n,所以-cosBcosC+sinBsinC-32即cosBcosC-sinBsinC=-32,cos(B+C)=-3因为A+B+C=180°,所以cos(B+C)=-cosA,所以cosA=32,又0°<A<180°所以A=30°.(2)选择①③可确定△ABC.因为A=30°,a=1,2c-(3+1)b=0,由余弦定理12=b2+3+12b2-2b·整理得b2=2,b=2,c=6+所以S△ABC=12bcsinA=12×2×6=3+1【一题多解】(2)选择①④可确定△ABC.因为A=30°,a=1,B=45°,所以C=105°.因为sin105°=sin(60°+45°)=sin60°cos45°+cos60°sin45°=6+由正弦定理asinA=b得b=asinBsinA=1×sin45°所以S△ABC=12absinC=12×1×2×6+11.已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosx,sinx),c=(sinx+2sinα,cosx+2cosα),其中0<α<x<π.(1)若α=π4,求函数f(x)=b·c的最小值及相应x的值.(2)若a与b的夹角为π3,且a⊥c,求tan2α【解析】(1)因为b=(cosx,sinx),c=(sinx+2sinα,cosx+2cosα),α=π4,所以f(x)=b·=cosxsinx+2cosxsinα+sinxcosx+2sinxcosα=2sinxcosx+2(sinx+cosx).令t=sinx+cosxπ4则2sinxcosx=t2-1,且-1<t<2.则y=t2+2t-1=t+22-1<t<2,所以t=-22时,ymin=-3此时sinx+cosx=-22即2sinx+π4因为π4<x<π,所以π2<x+π4<所以x+π4=76π,所以x=所以函数f(x)的最小值为-32