第17讲 数学归纳法（人教A版2019选择性必修第二册）（原卷版）

第17讲数学归纳法【人教A版2019】·模块一数学归纳法·模块二课后作业模块一模块一数学归纳法1．数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

第一步(归纳莫基)，证明当n取第一个值()时命题成立；

第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥,k)时命题成立为条件，推出当n=k+1时命题也成立.

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立.

上述证明方法称为数学归纳法.2．数学归纳法的重要结论及适用范围数学归纳法的重要结论适用范围只适用于证明与正整数有关的数学命题【考点1数学归纳法的证明步骤】【例1.1】（2023春·陕西西安·高二校考期中）用数学归纳法证明“1n+1+1n+2+1n+3A．13k+4 B．C．13k+2+1【例1.2】（2023春·上海·高二期中）用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn+yA．假设n=2k+1(k∈N∗)B．假设n=2k−1(k∈N∗)C．假设n=k(k∈N∗)D．假设n=k(k≥1)正确，再推n=k+2正确【变式1.1】（2023·全国·高三对口高考）已知f(n)=1+12+13+⋯+1nn∈A．2k−1 B．2k C．2【变式1.2】（2023·全国·高三专题练习）我们学习了数学归纳法的相关知识，知道数学归纳法可以用来证明与正整数n相关的命题.下列三个证明方法中，可以证明某个命题pn对一切正整数n都成立的是（

①p1成立，且对任意正整数k，“当1≤i≤k时，pi均成立”可以推出“②p1，p2均成立，且对任意正整数k，“pk③p2成立，且对任意正整数k≥2，“pk成立”可以推出“p2kA．②③ B．①③ C．①② D．①②③【考点2用数学归纳法证明恒等式】【例2.1】（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：(1)1+3+5+⋯+2n−1(2)1×4+2×7+3×10+⋯+n3n+1【例2.2】（2023秋·高二课时练习）用数学归纳法证明1⋅n+2⋅n−1+3⋅n−2【变式2.1】（2023·高二校考课时练习）观察下面等式：1=1【变式2.2】（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：（1）1+3+5+…+2n−1（2）1+2+2（3）13【考点3用数学归纳法证明不等式】【例3.1】（2023·全国·高三专题练习）证明∶不等式32【例3.2】（2023春·高二课时练习）证明：对于一切自然数n≥1都有2n【变式3.1】（2022·高二课时练习）试用数学归纳法证明12【变式3.2】（2023秋·高二课时练习）设an=1+12+13【考点4用数学归纳法证明几何问题】【例4.1】（2022·高二课时练习）平面内有n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，试证明这n个圆把平面分成了n2【例4.2】（2023·高二课时练习）试证明对任何自然数n⩾6，每一个正方形都可分成n个正方形.【变式4.1】（2023·全国·高二随堂练习）已知n≥2，且平面内有n条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同一点，证明这些直线的交点的个数为f(n)=n(n−1)【变式4.2】（2023·高二课时练习）如图，类似于中国结的一种刺绣图案，这些图案由小正方形构成，其数目越多，图案越美丽，若按照前4个图中小正方形的摆放规律，设第n个图案所包含的小正方形个数记为f(n)．（1）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n+1)与f(n)的关系，并通过你所得到的关系式，求出f(n)的表达式；（2）计算：1f(1)+1f(2)−1，猜想1f(1)+1【考点5用数学归纳法证明整除问题】【例5.1】（2023秋·高二课时练习）用数学归纳法证明：n3+n+13+【例5.2】（2023·全国·高二随堂练习）设n∈N∗，用数学归纳法证明：【变式5.1】（2023·全国·高二随堂练习）求证：对任意正整数n，x2n−y【变式5.2】（2023·全国·高三对口高考）是否存在正整数m使得fn=2n+7⋅3n+9【考点6用归纳法解决与递推公式有关的数列问题】【例6.1】（2023春·辽宁沈阳·高二校考阶段练习）已知正项数列an的前n项和为Sn，(1)计算a1，a2，a3，a(2)用数学归纳法证明你的结论．【例6.2】（2023春·北京房山·高二统考期末）已知数列an的通项公式为an=1n(1)计算S1，S2，S3(2)根据计算结果，猜想Sn【变式6.1】（2023春·山西太原·高二校考阶段练习）下题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？把错误的地方改正确．用数学归纳法证明等差数列的前n项和公式是Sn=证明，①当n=1时，左边=S1=a②假设当n=k(k∈N∗)时，等式成立，即SkSk+1Sk+1上面两式相加并除以2，可得Sk+1即当n=k+1时，等式也成立．由①②可知，等差数列的前n项和公式是S【变式6.2】（2023秋·江苏南京·高三校考期末）已知数列an,b(1)求an(2)记数列anbn的前n项和为S模块模块三课后作业1．（2023春·北京丰台·高二统考期中）用数学归纳法证明“对任意的n∈N∗，12+2A．12=1×1×3C．12+22．（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）用数学归纳法证明1n+1+1n+2+1n+3+⋅⋅⋅+12n>A．12k+1 C．12k+1+13．（2023春·高二课时练习）如果命题Pn对n=k成立，则它对n=k+1也成立，现已知Pn对n=4不成立，则下列结论中正确的是（A．Pn对n∈N∗成立 B．Pn对C．Pn对n<4且n∈N∗成立 D．Pn对4．（2023·高二课时练习）在数列an中，a1=1，Sn表示前n项和，且Sn，Sn+1，2S1成等差数列，通过计算S1A．2n+12n−1 B．2n−12n−15．（2023春·上海浦东新·高一校考期末）现有命题“1−2+3−4+5−6+⋯+−1n+1n=14A．不能用数学归纳法判断此命题的真假B．此命题一定为真命题C．此命题加上条件n≤9后才是真命题，否则为假命题D．存在一个很大的常数m，当n>m时，此命题为假命题6．（2023·高二课时练习）用数学归纳法证明fn=1+12+13+⋅⋅⋅+12n7．（2023·全国·高二随堂练习）平面内有n(n≥2)条直线，其中任何2条不平行，任何3条不过同一点，求证：它们交点的个数f(n)=n(n−1)8．（2023·高二校考课时练习）用数学归纳法证明：1+2+29．（2023秋·内蒙古包头·高二校考期末）观察下面三个等式：第1个：11×3第2个：11×3第3个：1(1)按照以上各式的规律，写出第4个等式；(2)按照以上各式的规律，猜想第n个等式（n为正整数）；(3)用数学归纳法证明你的猜想成立．10．（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明以下恒等式n∈N(1)−1+3−5+⋯+−1(2)n+1n+211．（2023·全国·高三专题练习）将凸2n+1（n≥2）边形的顶点染色，使得任意两个相邻顶点染不同的颜色．证明；对上述的任意一种染色方法，此2n+1边形都可用不相交的对角线分为若干个三角形，使得三角形中每条对角线的端点不同色．12．（2023·全国·高三专题练习）某次体育比赛，每两名选手都进行一场比赛，每一场比赛一定决出胜负，通过比赛确定优秀选手，选手A被确定为优秀选手的条件是对任何其他选B，或者A胜B，或者存在选手C，C胜B，A胜C，如果按上述规则确定的优秀选手只有一名，求证：这名选手胜所有其他选手．13．（2023·全国·高二随堂练习）下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？（1）求证：当n∈N∗时，n=n+1．证明：假设当n=k(k∈N∗)时，等式成立，即k=k+1．则当n=k+1时，左边=k+1=(k+1)+1=右边．所以当n=k+1时，等式也成立．由此得出，对任何n∈N∗，等式n=n+1都成立．（2）用数学归纳法证明等差数列的前n项和公式是Sn证明，①当n=1时，左边=S1=a②假设当n=k(k∈N∗)时，等式成立，即Sk=k(Sk+1Sk+1上面两式相加并除以2，可得Sk+1即当n=k+