高二新数学单元测试第章数系的扩充与复数的引入

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．（2010·安徽文，2)已知i2＝－1，则i（1－eq\r(3）i)＝（）A。eq\r(3)－i B。eq\r（3)＋iC．－eq\r（3）－i D．－eq\r（3)＋i［答案]B［解析]该题考查复数的四则运算i（1－eq\r(3)i)＝－eq\r（3)i2＋i＝eq\r（3)＋i，故选B.2．复数z＝eq\f（－1＋i，1＋i）＋1在复平面内所对应的点在（)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限［答案］A［解析]z＝eq\f（－1＋i,1＋i）＋1＝1＋i，故复数z所对应的点为（1，1），在第一象限．3．复数eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1－i,1＋i)))10的值是()A．－1 B．1C．－32 D．32[答案]A[解析］本题主要考查复数的基本运算,eq\f（1－i,1＋i)＝－i，(－i)10＝－1，故选A.4．若z1＝（x－2）＋yi与z2＝3x＋i（x、y∈R)互为共轭复数，则z1对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[答案］C[解析］由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＝3x,，y＝－1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝－1，，y＝－1,））∴z1＝－3－i，故选C.5．对于复平面,下列命题中真命题的是(）A．虚数集和各个象限内的点的集合是一一对应的B．实、虚部都是负数的虚数的集合与第二象限的点的集合是一一对应的C．实部是负数的复数的集合与第二、三象限的点的集合是一一对应的D．实轴上侧的点的集合与虚部为正数的复数的集合是一一对应的[答案］D[解析]复数的几何意义是平面内的点与复数建立一一对应关系，其中实数对(a，b)对应复数的实部与虚部．6．设复数z满足z＋|eq\x\to（z)｜＝2＋i，那么z等于(）A．－eq\f(3,4）＋i B.eq\f（3,4）－iC．－eq\f(3,4）－i D。eq\f（3,4）＋i［答案］D［解析］方法一：设z＝x＋yi(x,y∈R），则x＋yi＋｜x－yi|＝2＋i，即x＋eq\r(x2＋y2）＋yi＝2＋i,∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋\r（x2＋y2）＝2，y＝1))把y＝1代入x＋eq\r(x2＋y2)＝2中，得eq\r(x2＋1)＋x＝2，∴x＝eq\f（3,4），∴z＝eq\f（3,4）＋i.方法二:代入法验证答案易得．7．复数z满足方程|z＋eq\f（2,1＋i)|＝4,那么复数z的对应点P组成的图形为（)A．以(1,－1）为圆心，4为半径的圆B．以（1，－1）为圆心,2为半径的圆C．以(－1,1）为圆心，4为半径的圆D．以（－1，1）为圆心，2为半径的圆[答案］C[解析］｜z＋eq\f(2，1＋i)｜＝|z＋(1－i)｜＝｜z－(－1＋i)｜＝4，设－1＋i的对应点为C（－1,1)，则｜PC|＝4，因此动点P的轨迹是以C(－1，1)为圆心,4为半径的圆．8．若x是纯虚数，y是实数,且2x－1＋i＝y－（3－y)i,则x＋y等于（)A．1＋eq\f(5，2)i B．－1＋eq\f（5,2）iC．1－eq\f(5,2)i D．－1－eq\f(5,2)i[答案］D［解析］设x＝it(t∈R且t≠0)，于是2ti－1＋i＝y－（3－y)i，∴－1＋(2t＋1）i＝y－(3－y）i，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝－1，2t＋1＝－(3－y））)∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（t＝－\f(5，2），y＝－1))∴x＋y＝－1－eq\f(5，2）i.9．已知复数(x－2）＋yi（x,y∈R）在复平面内对应的向量的模为eq\r(3)，则eq\f(y，x)的最大值是（)A.eq\f（\r(3），2） B.eq\f(\r（3），3)C.eq\f(1,2） D。eq\r(3）［答案］D［解析]因为|（x－2)＋yi｜＝eq\r（3），所以(x－2）2＋y2＝3，所以点(x，y）在以C（2,0）为圆心,以eq\r（3）为半径的圆上，如图，由平面几何知识知－eq\r（3）≤eq\f(y,x)≤eq\r(3)。10．设复数z为虚数，条件甲：z＋eq\f(1，z)是实数，条件乙：|z|＝1，则（）A．甲是乙的必要非充分条件B．甲是乙的充分非必要条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的必要条件,也不是乙的充分条件[答案］C［解析]本题考查复数的运算和充要条件的判断．设z＝a＋bi（b≠0且a，b∈R)，则z＋eq\f(1,z)＝a＋bi＋eq\f（1，a＋bi)＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（a＋\f(a,a2＋b2)））＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（b－\f(b，a2＋b2）））i.因为z＋eq\f（1,z）为实数,所以b＝eq\f（b，a2＋b2）。因为b≠0，所以a2＋b2＝1,所以|z|＝1。而当|z|＝1，a2＋b2＝1，条件甲显然成立．11．如果复数z满足条件|2z＋1｜＝|z－i|，那么在复平面内z对应的点的轨迹是(）A．圆 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线[答案]A［解析］设z＝a＋bi（a，b∈R），则|（2a＋1)＋2bi|＝|a＋（b－1）i｜，所以（2a＋1)2＋4b2＝a2＋(b－1）2，化简，得3a2＋3b2＋412．设z＝（2t2＋5t－3）＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论正确的是（）A．z对应的点在第一象限B．z一定不为纯虚数C.eq\x\to（z）对应的点在实轴的下方D．z一定为实数[答案]C[解析］∵t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1〉0，∴z对应的点在实轴的上方．又∵z与eq\x\to(z）对应的点关于实轴对称．∴C项正确．二、填空题（本大题共4个小题,每小题4分,共16分，将正确答案填在题中横线上）13．（2010·上海文，4)若复数z＝1－2i(i为虚数单位）,则z·eq\x\to(z)＋z＝________。[答案]6－2i[解析］本题考查了复数的基本运算．∵z·eq\x\to（z)＝｜z｜2＝5,∴原式＝5＋(1－2i)＝6－2i。14．已知复数z1＝cosα＋isinα,z2＝cosβ＋isinβ，则复数z1·z2的实部是__________[答案］cos（α＋β）[解析]z1·z2＝(cosα＋isinα)（cosβ＋isinβ)cosαcosβ－sinαsinβ＋(cosαsinβ＋sinαcosβ）i＝cos（α＋β)＋sin(α＋β)i故z1·z2的实部为cos（α＋β）．15．实数m满足等式｜log3m＋4i｜＝5,则m[答案]27或eq\f(1，27)[解析]本题考查有关复数模的运算．由|log3m＋4i｜＝5，得(log3m)2＋16＝25,（log3m)2＝9，所以log3m＝±3，m＝27或m＝eq\f（1,27）16．设θ∈[0，2π]，当θ＝________时,z＝1＋sinθ＋i(cosθ－sinθ）是实数．［答案］eq\f(π，4）或eq\f(5,4)π[解析]本题主要考查复数的概念．z为实数，则cosθ＝sinθ，即tanθ＝1.因为θ∈［0，2π]，所以θ＝eq\f(π，4)或eq\f(5，4)π.三、解答题（本大题共6个小题,共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本题满分12分）已知复数z满足zeq\x\to(z）－i(eq\x\to（3z))＝1－eq\x\to(3i)，求z。[解析］将方程两边化成a＋bi的形式，根据复数相等的充要条件来解．设z＝x＋yi（x,y∈R），则x2＋y2－i［eq\x\to（3（x＋yi)）］＝1－(eq\x\to（3i）），即x2＋y2－3y－3xi＝1＋3i，由复数相等得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x2＋y2－3y＝1，－3x＝3）)解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝－1,y＝0)）或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1,y＝3）)∴z＝－1或z＝－1＋3i.18．(本题满分12分)已知复数x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i(x∈R)是复数4－20i的共轭复数，求实数x的值．[解析］因为复数4－20i的共轭复数为4＋20i，由题意得x2＋x－2＋（x2－3x＋2)i＝4＋20i，根据复数相等的充要条件，得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x2＋x－2＝4，①，x2－3x＋2＝20.②))方程①的解为x＝－3或x＝2.方程②的解为x＝－3或x＝6.所以实数x的值为－3.［点评]本题主要考查共轭复数的概念和复数相等的充要条件．19．(本题满分12分)已知z＝1＋i，(1)求w＝z2＋3eq\x\to(z)－4(2)如果eq\f（z2＋az＋b，z2－z＋1)＝1－i,求实数a、b。[解析](1)w＝－1－i（2）eq\f(z2＋az＋b,z2－z＋1)＝eq\f((1＋i）2＋a＋ai＋b,（1＋i）2－1－i＋1)＝eq\f（（a＋b)＋(a＋2)i,i）＝(a＋2）－(a＋b）i∴（a＋2）－(a＋b）i＝1－i∴a＝－1b＝220．（本题满分12分)设a、b为共轭复数，且（a＋b)2－3abi＝4－6i，求a和b.[解析]∵a、b为共轭复数，∴设a＝x＋yi（x，y∈R）则b＝x－yi,由(a＋b）2－3abi＝4－6i,得(2x)2－3（x2＋y2）i＝4－6i，即eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（4x2＝4,－3（x2＋y2）＝－6，)）∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x2＝1,y2＝1）)∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝±1,y＝±1））∴a＝1＋i，b＝1－i；a＝－1＋i，b＝－1－i；a＝1－i,b＝1＋i；a＝－1－i，b＝－1＋i。21．(本题满分12分）证明：在复数范围内，方程|z｜2＋(1－i）eq\x\to(z)－(1＋i）z＝eq\f(5－5i，2＋i）无解．[证明]原方程可化简为｜z|2＋(1－i）eq\x\to(z)－(1＋i)z＝1－3i。设z＝x＋yi(x，y∈R）,代入上述方程，整理得x2＋y2－2xi－2yi＝1－3i,根据复数相等的充要条件，得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x2＋y2＝1，①，2x＋2y＝3.②）)将②代入①,消去y整理,得8x2－12x＋5＝0.因为Δ＝－16〈0，所以上述方程无实数解．所以原方程在复数范围内无解．[点评］本题主要考查复数代数形式的运算，解决本题的关键是将复数问题转化为实数问题来求解．22．（本题满分14分)复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，求｜z＋1＋i|的最大值与最小值．［解析］在复平面内，｜z＋i|＋|z－