408历年算法题总结

408历年算法题总结引言408考试是中国计算机软件技术水平考试（简称408）中的一项重要考试，旨在测试考生的计算机算法和数据结构的知识和能力。在过去的年份里，408考试中的算法题一直是考生备战和复习的重点。为了帮助考生更好地备考408算法题，本文总结了过去几年408考试中的一些经典算法题，分析了题目的要求和解题思路，并给出了相应的解答。题目一：最长公共子序列（LCS）题目描述给定两个字符串s1和s2，求它们的最长公共子序列的长度。解题思路最长公共子序列问题是动态规划中的经典问题。我们可以使用一个二维数组dp来记录s1和s2的最长公共子序列的长度。其中dp[i][j]表示s1的前i个字符和s2的前j个字符的最长公共子序列的长度。则可以得到如下状态转移方程：if(s1[i-1]==s2[j-1])

dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;

else

dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);最终，答案就是dp[m][n]，其中m和n分别表示s1和s2的长度。代码示例deflongest_common_subsequence(s1,s2):

m,n=len(s1),len(s2)

dp=[[0]*(n+1)for_inrange(m+1)]

foriinrange(1,m+1):

forjinrange(1,n+1):

ifs1[i-1]==s2[j-1]:

dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1

else:

dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])

returndp[m][n]复杂度分析该算法的时间复杂度为O(mn)，其中m和n分别为s1和s2的长度。空间复杂度为O(mn)。题目二：01背包问题题目描述给定n个物品，每个物品有一个重量和一个价值，再给定一个背包的最大承重量W，求在不超过背包容量的情况下，能够装入背包的物品的最大价值是多少。解题思路01背包问题也是动态规划中的经典问题。我们可以使用一个二维数组dp来记录背包问题的状态。其中dp[i][j]表示在前i个物品中选择总重量不超过j的物品能够达到的最大价值。则可以得到如下状态转移方程：if(w[i-1]<=j)

dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1]);

else

dp[i][j]=dp[i-1][j];最终，答案就是dp[n][W]，其中n为物品个数。代码示例defknapsack(W,weights,values):

n=len(weights)

dp=[[0]*(W+1)for_inrange(n+1)]

foriinrange(1,n+1):

forjinrange(1,W+1):

ifweights[i-1]<=j:

dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weights[i-1]]+values[i-1])

else:

dp[i][j]=dp[i-1][j]

returndp[n][W]复杂度分析该算法的时间复杂度为O(nW)，其中n为物品个数，W为背包最大承重量。空间复杂度为O(nW)。题目三：最短路径（Dijkstra算法）题目描述给定一个有向图G，图中的边带有权值，以及一个起点s，求从起点s到图中其他节点的最短路径。解题思路Dijkstra算法是一种用于解决单源最短路径问题的贪心算法。它从起点s开始，逐步找到离起点s最近的节点，然后更新该节点的邻居节点的距离。具体来说，我们可以使用一个数组dist来记录起点s到其他节点的最短距离，其中dist[i]表示起点s到节点i的最短距离。同时，我们还需要使用一个集合visited来记录已经找到最短路径的节点。在每次迭代中，我们选择距离起点s最近的节点u，并将该节点加入visited集合。然后，我们遍历节点u的邻居节点v，并更新节点v的距离。最终，当visited集合中包含所有节点时，Dijkstra算法结束。代码示例importheapq

defdijkstra(graph,start):

n=len(graph)

dist=[float('inf')]*n

dist[start]=0

visited=set()

heap=[(0,start)]

whileheap:

d,u=heapq.heappop(heap)

ifuinvisited:

continue

visited.add(u)

forv,wingraph[u]:

ifd+w<dist[v]:

dist[v]=d+w

heapq.heappush(heap,(dist[v],v))

returndist复杂度分析该算法的时间复杂度为O((V+E)logV)，其中V为图中节点数，E为图中边数。空间复杂度为O(V)。总结本文总结了408考试中的三道经典算法题：最长公共子序列、01背包