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第三节柯西积分公式一、解析函数的柯西积分公式二、解析函数的任意阶可导性与莫勒拉定理三、柯西不等式与刘维尔定理四、调和函数一、解析函数的柯西积分公式1.

问题的提出根据多连通区域上的柯西积分定理得该积分值不随闭曲线L

的变化而改变。如何求这个值？2.

柯西积分公式引理3.3.1证根据多连通区域上的柯西积分定理得定理3.3.1(柯西积分公式)证例1解例1解由柯西积分公式例2解例2解例2解例2解根据多连通区域上的柯西积分定理得例2解根据多连通区域上的柯西积分定理得例3解例3解二、解析函数的任意阶可导性和莫勒拉定理1.

问题的提出问题:(1)解析函数是否有高阶导数?(2)若有高阶导数,其定义和求法是否与实变函数相同?回答:(1)解析函数有各高阶导数.(2)高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示,这与实变函数完全不同.解析函数高阶导数的定义是什么?定理3.3.2证2.

解析函数的任意阶导数根据导数的定义,从柯西积分公式得根据导数的定义,从柯西积分公式得根据导数的定义,从柯西积分公式得推论3.3.1证注例4解例4解例4解例5解例6解例6解定理3.3.3(莫勒拉(Morera)定理)证3.

莫勒拉定理定理3.3.3(莫勒拉(Morera)定理)证3.

莫勒拉定理三、柯西不等式与刘维尔定理1.

整函数定义3.3.1如：三、柯西不等式与刘维尔定理1.

整函数定义3.3.1如：2.

柯西不等式定理3.3.4(柯西不等式)证证3.

刘维尔定理定理3.3.5(刘维尔定理)证3.

刘维尔定理定理3.3.5(刘维尔定理)证例7解例8解四、调和函数1.

调和函数定义3.3.2调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用.四、调和函数1.

调和函数定义3.3.2调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用.四、调和函数1.

调和函数定义3.3.2调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用.2.

解析函数与调和函数的关系3.

共轭调和函数区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.定理3.3.6定理3.3.6定理3.3.64.

共轭调和函数的求法－偏积分法如果已知一个调和函数u,那末就可以利用柯西－黎曼方程求得它的共轭调和函数v,从而构成一个解析函数u+vi.这种方法称为偏积分法

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