湖南大学机械振动习题课课件

1.求图1所示系统中均匀刚性杆AB在A点对坐标x的等效质量。杆的质量为m，A端弹簧的刚度为k。铰C点到A点的距离为al（0<a<1），试求C点铰支座放置何处时系统的固有频率达到最大值。图1

x为广义坐标，根据等效系统与原系统的动能相等得：湖南大学机械振动习题课由于固有频率与质量的平方根成反比，欲得到最高固有频率，必须使me为极小：得：代入：是为极小值，故铰链应放在离A端处。故湖南大学机械振动习题课2.

一弹簧k与阻尼器c并联于无质量的水平板上。今将一质量m轻放在板上后立即松手，系统即作衰减振动。问质量m的最大振幅是多少？发生在何时？最大速度是多少？发生在何时？设阻尼比0<ζ<1。

图2解：系统自由振动的微分方程为：在t=0，x=x0，的初始条件下的响应为：式中：湖南大学机械振动习题课对（1）式取一次导数：最大振幅应发生在时，由（2）式可知：时质量m振幅最大，代入（1）式得：最大速度发生在时，由（2）式可得：或湖南大学机械振动习题课时速度最大，代入（2）式得：

应注意最大速度并不发生在质量m过静平衡位置时，这是和无阻尼自由振动不同之处。湖南大学机械振动习题课3.

一飞机升降舵的控制板铰接于升降舵的轴上，如图3所示O点，另有一相当于扭簧kθ的联动装置控制其转动。已知控制板绕O点的转动惯量为IO

。为计算控制板系统的固有频率，用图示试验方法测定kθ

。将升降舵固定，而在控制板的自由端联接两个弹簧k1

，k2

。使k2的一端有简谐支承运动y=asinω。调节激振频率至系统共振，测定共振频率为ω0

。试计算kθ及控制板的固有频率。图3①控制板；②升降舵湖南大学机械振动习题课当我们需要操纵飞机抬头或低头时，水平尾翼中的升降舵就会发生作用。升降舵是水平尾翼中可操纵的翼面部分，其作用是对飞机进行俯仰操纵。红线表示气流方向(也就是飞机机头方向吹过来的风的方向），黑线表示平尾，蓝线表示升降舵舵面。图1--飞机起飞时升降舵舵面的情况，飞机往前飞，气流就往后吹，气流遇到升降舵上翘的舵面产生阻力，阻力产生压力，压力把升降舵舵面往下压，飞机机头就会自然向上了，飞机就往上飞。图2----飞机下降时候升降舵舵面的情况。图3---------飞机就是平飞状态。

图1图2图3湖南大学机械振动习题课控制板的固有圆频率为：图3解：取广义坐标θ如图，系统的振动微分方程为：故：共振频率为：湖南大学机械振动习题课1.求图1所示系统的固有频率。AB为刚性杆，杆本身质量忽略不计。图1图b解：方法（1）：能量法取广义坐标θ如图，利用等效质量和等效刚度的概念，可把原系统等效成为图b所示等效系统。根据等效前后动能相等：IeKeme湖南大学机械振动习题课得转动惯量：等效转动刚度：根据等效前后势能相等：固有频率为：取m1,m2,K1,K2处的竖向位移为广义坐标，如何等效？湖南大学机械振动习题课方法（2）：定义法设使系统绕A点产生单位角加速度需要施加弯矩M，则在m1、m2上产生绕A点的惯性矩：

设使系统产生单位转角需要施加弯矩M，则在K1、K2处将产生弹性恢复力，对支点取矩：

固有频率为：湖南大学机械振动习题课2.一质量m=2000kg，以匀速度v=3cm/s运动，与弹簧K、阻尼器C相撞后一起作自由振动，如图所示。已知K=48020N/m，C=1960N-s/m。问质量m在相撞后多少时间达到最大振幅？最大振幅是多大？图2解：系统自由振动的微分方程为：在t=0,x=0,的初始条件下的响应为：湖南大学机械振动习题课由，得最大振幅发生在令代入得tm=0.3s，最大振幅为：应注意最大振幅并不发生在，即时，此时：湖南大学机械振动习题课3.求图3所示系统在支撑运动为ys=y0sinωt时的振动微分方程。AB为刚性杆。

图3解：方法（1）按原系统列振动微分方程。

设θ为AB杆的相对转角，y为m上下运动时的绝对位移，AB杆的静平衡位置为水平，由运动学知识有：y湖南大学机械振动习题课故：由动量矩或牛顿定律建立方程将（1）代入（2）式，经化简可得系统的振动微分方程为：代入得：湖南大学机械振动习题课所以：方法（2），按等效系统列振动微分