工程制图-第三章点-直线、平面

第三章点、直线、平面的投影本章教学目的与要求

1、掌握点的投影规律；

熟悉点的投影与该点坐标间关系；（重点）

熟悉两点的相对位置及重影点；（难点）

2、熟练掌握各种空间位置直线的投影特征；（重点）*掌握一般位置直线求实长（直角三角形法）；（难点）

熟练掌握直线上的点和直线的关系；

熟练掌握两直线的相对位置：平行、相交、交叉；（难点）

3、熟悉平面的投影表示法和各种位置平面的投影特征；（重点）

熟练掌握平面上如何取点和线；（重点）

熟练掌握直线与平面、两平面相对位置：平行、相交下一页2024/1/21机械制图安徽工业大学仝基斌任何立体都可以看作是点的集合。点是基本几何要素，研究点的投影性质和规律是掌握其他几何要素投影的基础。如左图所示，过空间点A向投影面作投射线（即垂线），A点在投影面上的投影为a。反之，若已知投影a，不能唯一确定点A的空间位置。确定一个空间点至少需要两个投影。上一页下一页回章节目录第一节点的投影2024/1/22机械制图安徽工业大学仝基斌

V面投影，标记a′称正面投影A

点

与ox轴交点ax

H面投影，标记a，称正面投影分析：ox⊥Aa、ox⊥a′ax、ox⊥aax投影平面展开连线得aa′

⊥ox

Aa′=aax

a′ax

=Aa上一页下一页回章节目录1．点的两面投影2024/1/23机械制图安徽工业大学仝基斌（1）点的投影连线垂直于投影轴，即aa′⊥OX。（2）点的投影到投影轴的距离，反映该点到相邻投影面的距离，即aax＝A

a′、a′ax＝Aa。

点在两投影面体系中的投影规律上一页下一页回章节目录2024/1/24机械制图安徽工业大学仝基斌1.三投影面体系的建立

A

（空间点）到W面投影，标记a“,称侧面投影得a‘a“

⊥oz展开W、HOY轴一分为二OYh、OYw点三面投影动画演示上一页下一页回章节目录二、点在三投影面体系中的投影点三面投影展开动画演示2024/1/25机械制图安徽工业大学仝基斌（1）点的投影连线⊥相应的投影轴。即a′a⊥OX、a′a″⊥OZ

（2）空间点到投影面的距离=该点在另外两投影面的投影到相应投影轴的距离。az

a″=a

ax=Aa′(宽y相等）作图要求：作图线用细实线，点用黑点标出。上一页下一页回章节目录2.点在三投影面体系中的投影规律：2024/1/26机械制图安徽工业大学仝基斌分析：由于已知点A的正面投影和水平投影，则A点的空间位置可以确定，因此可作出其侧面投影。作图：过a作OYH的垂线与45º辅助线相交，过交点作OYW的垂线与过a′的水平线相交，交点即为

a″。a′aYwYhxoa″z上一页下一页回章节目录【例一】已知点A的正面投影a′和水平投影a，求A的侧面投影a″。

思考：点A到哪个投影面距离近动画演示2024/1/27机械制图安徽工业大学仝基斌1.点A（xA、yA、zA）的投影与坐标关系：

xA＝aZ

a′＝aYHa＝a″A（点到W面的距离）

yA＝＝aXa＝aZa″＝a′A（点到V面的距离）

zA＝aX

a′＝aYW

a″＝aA（点到H面的距离）

点的投影坐标表示：a′（x,o,z)、a″（o,y,z)、a（x,y,o)三、点的投影与直角坐标的关系下一页上一页回章节目录2024/1/28机械制图安徽工业大学仝基斌投影面上点的投影特性：1）点的一个投影与空间点本身重合；2）点的另两个投影在相应的坐标轴上；投影轴上的点的投影特性：1）点的两个投影与空间点本身重合；2）点的另一个投影在原点；2.特殊位置点：下一页上一页回章节目录2024/1/29机械制图安徽工业大学仝基斌分析：由于yA＝0，则点A在V面上，而zB＝0，点B在H面上，又由于yC=0，

zC=0，点COX轴上。作图：（见下图）YwxoYHza′aa″bb′b″c′c(c″)上一页下一页回章节目录【例二】已知点A的坐标（20，0，10），点B的坐标（30，10，0）；点C的坐标（15，0，0），求作各点的三面投影图。2024/1/210机械制图安徽工业大学仝基斌1.空间方位的约定：x坐标增大的方向为向左的方向

；y坐标增大的方向为向前的方向；z坐标增大的方向为向上的方向2.点的相对位置的判别：x坐标→判别左右的方向；y坐标→判别前后的方向z坐标→判别前后的方向上一页下一页回章节目录三、两点的相对位置两点的相对位置动画演示2024/1/211机械制图安徽工业大学仝基斌【例三】已知点A的三面投影，并知B点在A点的左边5mm,下边10mm，后边5mm，求B点的三面投影zxywyhoa′a″ab′b″b上一页下一页回章节目录2024/1/212机械制图安徽工业大学仝基斌当两点的某两个坐标相同时，该两点将处于同一投射线上，因而在由相同两坐标确定的投影面上具有重合的投影，则这两投影称为对该投影面的重影点。重影点要判别可见性：由两点不同的坐标的大小判别，坐标大的可见，反之不可见。不可见点加括号。上一页下一页回章节目录四、重影点重影点动画演示2024/1/213机械制图安徽工业大学仝基斌上一页下一页回章节目录第二节直线的投影一、概述一般位置直线（∠投影面，不反映实长）1.直线的分类投影面平行线（∥投影面、反映实长）特殊位置直线投影面垂直线（⊥投影面、积聚为一点）2.直线的投影特性

:直线的投影一般仍为直线（特殊为点）；直线的投影可连接线段两个端点的同面投影来确定；直线的投影有类似性、真实性、积聚性等三个特性2024/1/214机械制图安徽工业大学仝基斌与水平投影面的倾角用α表示正面投影面的倾角用β表示侧面投影面的倾角用γ表示

上一页下一页回章节目录退回总目录3.直线与投影面夹角的约定2024/1/215机械制图安徽工业大学仝基斌1．投影面平行线：(∥一个投影面而，∠另外两个投影面)正平线(∥V面；∠H、W面）水平线(∥H面；∠V、W面）侧平线(∥W面；∠V、H面）正平线动画演示上一页下一页回章节目录二、特殊位置直线水平线动画演示侧平线动画演示2024/1/216机械制图安徽工业大学仝基斌上一页下一页回章节目录正平线、水平线和侧平线投影图及投影特性

（1）a′b′反映实长，

反映角α、γ。（2）ab∥OX，

a″b″∥OZ均小于实长。（1）a″b″反映实长，反映角α、β

（2）a′b′∥OZ

ab∥OYW均小于实长投影特性投影图

正平线（AB∥V面）

水平线（AB∥H面）（1）ab反映实长，反映角β、γ。（2）a′b′∥OX

a″b″∥OYH均小于实长。侧平线（AB∥W面）名称2024/1/217机械制图安徽工业大学仝基斌投影面平行线的投影特性如下：1）∥投影面上的投影，反映实长；夹角分别反映直线对另两投影面的真实倾角。2）另外两个投影面上的投影∥相应的投影轴，长度缩短。投影面平行线实例动画下一页上一页回章节目录2024/1/218机械制图安徽工业大学仝基斌(⊥一个投影面而，∥另外两个投影面)正垂线(⊥V面；∥H、W面）铅垂线(⊥H面；∥V、W面）侧垂线(⊥W面；∥V、H面）正垂线铅垂线侧垂线上一页下一页回章节目录2．投影面垂直线2024/1/219机械制图安徽工业大学仝基斌上一页下一页回章节目录正垂线（AB⊥V面）铅垂线（AB⊥H面）侧垂线（AB⊥W面）（1）ab积聚为一点（2）a′b′⊥OX，

a″b″⊥OYW，

a′b′、a″b″均反映实长。1）a″b″积聚为一点2）a′b′⊥OZ，

ab⊥OYH，ab、

a′b′均反映实长1）a′b′积聚为一点2）

ab⊥OX，a″b″⊥OZ，ab,a″b″均反映实长名称投影图投影特性正垂线、铅垂线和侧垂线的投影及投影特性2024/1/220机械制图安徽工业大学仝基斌投影面垂直线的投影特性如下：（1）⊥投影面上的投影，积聚成一点。（2）另外两个投影面上的投影，⊥相应的投影轴，且反映实长。下一页上一页回章节目录投影面垂直线实例动画2024/1/221机械制图安徽工业大学仝基斌（与三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线）1.一般位置直线的投影特性为：（1）三个投影都与投影轴倾斜，长度都小于实长；（2）与投影轴的夹角都不反映直线对投影面的倾角。上一页下一页回章节目录三、一般位置直线一般位置直线动画演示2024/1/222机械制图安徽工业大学仝基斌上一页下一页回章节目录

*2.直角三角形法求直线实长及对投影面的倾角（1）求AB的实长和对水平投影面的倾角α（2）求AB的实长和对正投影面的倾角β（3）求AB的实长和对侧投影面的倾角γ2024/1/223机械制图安徽工业大学仝基斌

|zA-zB

|AB1．求直线的实长及对水平投影面的夹角

角

|zA-zB|

ABab|zA-zB||zA-zB|2024/1/224机械制图安徽工业大学仝基斌2．求直线的实长及对正面投影面的夹角

角|yA-yB|a

Xab

bAB

a

b

|yA-yB||yA-yB|AB

|yA-yB|

2024/1/225机械制图安徽工业大学仝基斌3．求直线的实长及对侧面投影面的夹角

角ABbb

a

b

aa

|xA-xB||xA-xB|

2024/1/226机械制图安徽工业大学仝基斌规律：用一般位置线的一个投影及对该面的坐标差为二直角边求作其实长和倾角的方法俗称为直角三角形法。aa两解30°aa两解上一页下一页回章节目录【例四】：已知线段的实长AB,求它的水平投影ab。

（思考：已知β=30°，求它的水平投影ab）2024/1/227机械制图安徽工业大学仝基斌1.从属性：点在线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影上，反之,点的各个投影在线的同面投影上,则该点一定在直线上。

利用这一特性可在线上找点或判断已知点是否在线上。

2.定比性：点分线段长度比等于其投影分线段投影长度之比。(定比定则AC：CB＝ac：cb＝a′c′：c′b′＝a″c″：c″b″利用这一特性在不作出侧面投影的情况下，在线上找点或判断已知点是否在线上。上一页下一页回章节目录五、直线上的点（线上找点）直线上点的投影动画2024/1/228机械制图安徽工业大学仝基斌cc

[例题五]已知线段AB的投影图，试将AB分成2﹕1两段，求分点C的投影c、c

。2024/1/229机械制图安徽工业大学仝基斌[例题六]已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。cc

cabc2024/1/230机械制图安徽工业大学仝基斌上一页下一页回章节目录（变化：已知m、m′判断点M是否在AB上）思考：不求侧面投影，用定比性来判断点M是不是直线AB上的点。

2024/1/231机械制图安徽工业大学仝基斌空间两直线的相对位置有三种情况：平行、相交（亦称共面直线）交叉（亦称异面直线）

1．两直线平行若空间两直线平行，则三个面同面投影必定互相平行。反之，若直线同面投影都（三面）互相平行，则两直线在空间必定互相平行。上一页下一页回章节目录五、两直线的相对位置两直线平行动画2024/1/232机械制图安徽工业大学仝基斌【例七】判断两侧平线AB、CD的相对位置（如下图

）AB、CD平行上一页下一页回章节目录注意：1)对于一般位置直线，有两组同面投影相互平行，即可判断空间两直线相互平行。2)若直线为投影面的平行线，则要根据直线所平行的投影面上投影是否平行来断定它们在空间是否平行。(即画出第三面投影判断)2024/1/233机械制图安徽工业大学仝基斌【例八】判断两侧平线AB、CD的相对位置（如下图

）AB、CD交叉上一页下一页回章节目录1″(2″)1′2′2024/1/234机械制图安徽工业大学仝基斌注意：1)对两一般位置线，若两组同面投影都相交，且两投影交点符合点的投影规律，则空间两直线相交。2)若两直线有一直线为投影面平行面时，则两组同面投影中必须包括直线所平行的投影面上的投影。(即画出第三面投影判断)上一页下一页回章节目录2．相交两直线：

空间两直线若相交，它们的同面投影必定相交，且交点必定符合点的投影规律。相交两直线动画2024/1/235机械制图安徽工业大学仝基斌c″d″a″b″1′1′d′c′1′ZyHyw方法二：定比定则（如右下图）上一页下一页回章节目录【例九】判断两直线AB、CD的相对位置方法一：求第三投影2024/1/236机械制图安徽工业大学仝基斌（1）交叉两直线在同一投影面上的交点为对该投影面的一对重影点，可从另一投影中用前遮后、上遮下、左遮右的原则来判别它们的可见性。

重影点重影点ⅡⅠ上一页下一页回章节目录3．交叉两直线：

既不平行又不相交的两直线称为交叉两直线。2024/1/237机械制图安徽工业大学仝基斌（2）交叉两直线的投影可能会有一组或二组是互相平行，但决不会三组同面投影都互相平行，（3）交叉两直线的投影也可能是相交的，但各个投影的交点一定不符合同一点的投影规律。1″(2″)1′2′上一页下一页回章节目录2024/1/238机械制图安徽工业大学仝基斌e′f′f上一页下一页回章节目录【例十】已知直线AB、CD的两面投影和点E的水平投影e，求作直线EF与CD平行，并与AB相交于点F。2024/1/239机械制图安徽工业大学仝基斌空间垂直相交的两直线，若其中一直线为投影面平行线，则两直线在该投影面上的投影互相垂直。也称为直角投影定理。反之，相交两直线在某一投影面上的投影互相垂直，若其中有一直线为该投影面的平行线，则这两直线是空间互相垂直的两直线。

此投影特性也适用于交叉垂直的两直线。如上图当CB直线不动，水平线AB平行上移时，ab与cb仍互相垂直。

上一页下一页回章节目录四、一边平行于投影面的直角投影

（直角投影定理）2024/1/240机械制图安徽工业大学仝基斌[例十一]过点C作线段CD与线段AB垂直相交。思考：上题改为求点C到线段AB的距离，如何作图。

回章节目录下一页上一页d′d2024/1/241机械制图安徽工业大学仝基斌分析：直线AB是铅垂线，CD是一般位置直线，所以它们的公垂线是一条水平线，则公垂线的水平投影必垂直于cd（直角投影定理）,侧面投影平行OX轴。作图：由直线AB的水平投影ab向cd作垂线交于k，由此求出k′；由k′向a′b′作垂线交于e′，e′k′和ek即为公垂线EK的两投影，且ek=EK为两交叉直线AB、CD的距离。

k′e′k(e)上一页下一页回章节目录【例十二】求AB、CD两直线的公垂线

2024/1/242机械制图安徽工业大学仝基斌一、平面的表示法1．用几何元素表示平面由初等几何学可知，下列几何元素组都可以决定平面在空间的位置。1）不在同一直线上的三点；2）一直线和该直线外一点；3）相交两直线；4）平行两直线；5）任意平面图形。(五种可相互转化)上一页下一页回章节目录第三节平面的投影2024/1/243机械制图安徽工业大学仝基斌分类：投影面垂直面（⊥一投影面，∠另两投影面）

特殊位置平面投影面平行面（∥一投影面，⊥另两投影面）

一般位置平面（∠三个投影面）约定：平面与投影面H、V、W的两面角，分别用α、β、γ表示。1．投影面垂直面（⊥一投影面，∠另两投影面）铅垂面（⊥H面，∠V、W面）分类正垂面（⊥V面，∠H、W面）侧垂面（⊥W面，∠H、V面）上一页下一页回章节目录二、平面对投影面的各种相对位置2024/1/244机械制图安徽工业大学仝基斌（1）⊥投影面上的投影，积聚成直线；（积聚性）积聚性投影与投影轴夹角，分别反映面对另两投影面的倾角。（2）在另外两投影面上的投影均为类似形。（类似性）

铅垂面动画上一页下一页回章节目录以铅垂面为例分析其投影特性为：注：类似形的投影特性：边数不变，各顶点符合投影规律；原来边平行，仍平行；成比例，仍成比例；直线边对应直线边，曲线边对应曲线边。铅垂面的投影图2024/1/245机械制图安徽工业大学仝基斌上一页下一页回章节目录正垂面的投影正垂面投影图正垂面投影动画2024/1/246机械制图安徽工业大学仝基斌侧垂面的投影上一页下一页回章节目录侧垂面投影图侧垂面投影动画投影面垂直面投影实例动画2024/1/247机械制图安徽工业大学仝基斌水平面（∥H面，⊥V、W面）分类正平面（∥V面，⊥H、W面）侧平面（∥W面，⊥H、V面）上一页下一页回章节目录2．投影面平行面（∥一投影面，⊥另两投影面）以水平面为例分析其投影特性为：（1）在平行的投影面上的投影，反映实形。（实形性）（2）在另外两投影面上的投影，积聚成直线，（积聚性）

分别平行于相应的投影轴。2024/1/248机械制图安徽工业大学仝基斌水平面投影图上一页下一页回章节目录水平面的投影

2024/1/249机械制图安徽工业大学仝基斌正平面的投影上一页下一页回章节目录正平面投影图2024/1/250机械制图安徽工业大学仝基斌上一页下一页回章节目录侧平面的投影侧平面投影图投影面平行面投影实例动画2024/1/251机械制图安徽工业大学仝基斌一般位置面的三个投影△abc、△a′b′c′、△a″b″c″均为类似形。上一页下一页回章节目录3．一般位置平面（∠三个投影面）

其投影特性为：三个投影均是类似形，而且面积比实际小；投影图上不直接反映平面对投影面的倾角。一般位置平面投影实例动画2024/1/252机械制图安徽工业大学仝基斌1．几何条件：（1）若点位于面内直线上，则点在该面内。（2）直线过平面上的两点，线必在该平面内（3）线过面上一点且平行面内另一直线，则线在该面内。2．求取方法：①求点，先找线；②作线，先找点。上一页下一页回章节目录三、平面上取点和线

2024/1/253机械制图安徽工业大学仝基斌①一般位置面上作水平线（用水平面与△ABC相交，交线无数条)(条件：过A点作水平线属于△ABC）②一般位置面上作正平线

（用水平面与△ABC相交，交线无数条）（条件：作正平线距V面25mm）

*③作含直线的垂直面或平行面（迹线表示）

1′1323′2′上一页下一页回章节目录3．面上取线

2024/1/254机械制图安徽工业大学仝基斌分析：判别点是否在面上和求平面上点的投影，利用点在面上，点定在面内一条线上这一投影特性。作图：注意：判断点是否在面内，不能只看点的投影是否在面的投影轮廓线内，一定要用几何条件和投影特性来判断。

1′12′n′2上一页下一页回章节目录【例十三】判别点M是否在面△ABC内，并作出△ABC面上点N的正投影。2024/1/255机械制图安徽工业大学仝基斌分析：由于水平线的正面投影投影平行OX轴，故可先求AD的正面投影，而正平线的水平投影平行OX轴，故可先求CE的水平投影。作图：e′ed′d上一页下一页回章节目录【例十四】已知△ABC平面的两面投影，作出平面上水平线AD和正平线CE的两面投影。2024/1/256机械制图安徽工业大学仝基斌分析：已知A、B、C三点的正投影和水平投影，面的空间位置已确定，E、D两点应在△ABC面上，故利用点在面上的原理作出点的投影即可。作图：d′e′121′2′上一页下一页回章节目录【例十五】完成平面图形ABCDE的正面投影。2024/1/257机械制图安徽工业大学仝基斌第五节直线与平面及两平面的相对位置

（平行、相交、垂直相交）上一页下一页回章节目录一、平行问题1．直线与平面平行几何条件：若线平行某面内一直线，则线与该面平行

两平行线各组同面投影均平行（利用它来解题）2024/1/258机械制图安徽工业大学仝基斌几何条件：（1）一对相交直线对应地平行，则这两个平面互相平行。

(两一般位置面相互平行)（2）两特殊位置面相互平行，有积聚性的那组同面投影平行

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2．平面与平面平行2024/1/259机械制图安徽工业大学仝基斌【例十六】判断AB与△CDE是否平行。（不平行）g′f′fg上一页下一页回章节目录分析：在正投影面内作e′f′∥a′b′，检验ef

与ab是否平行。2024/1/260机械制图安徽工业大学仝基斌分析：在△CDE面内作水平线EF，过k点作ef∥

ab，过k′点作e′f′∥a′b′。b′a′abf′f上一页下一页回章节目录【例十七】试过点K作水平线AB平行于△CDE平面。2024/1/261机械制图安徽工业大学仝基斌【例十八】试判断两平面是否平行。（平行）g′gh′hm′mn′n上一页下一页回章节目录分析：在两平面内分别作水平线、正平线，检验是否相互平行。2024/1/262机械制图安徽工业大学仝基斌线与面、面与面不平行，一定相交。线与面的交点是线与面的共有点；面与面的交线是两面的共有线。求取方法：交点的一个投影位于面或线有积聚性的投影交点，另一投影用线上点的投影特性求得。上一页下一页回章节目录二、相交问题（只研究面或线为特殊位置时的交点）线与面相交动画面与面相交动画2024/1/263机械制图安徽工业大学仝基斌（1）线与特殊位置面相交（交点是共有点）（求交点并判别可见性）判别可见性方法：目测法、重影点法可见性判别：k′b′是可见的，应画成粗实线；a′k′在

e′f′g′h′内的部分不可见的，画成虚线。kk′1′(2′)1(2)上一页下一页回章节目录1．直线与平面相交2024/1/264机械制图安徽工业大学仝基斌分析：AB是正垂线，其正面投影有积聚性，交点K是直线AB上的一个点，所以K点的正面投影k′和a′（b′）重影，又因交点K也在三角形平面上，故可利用平面上取点的方法，作出交点K的水平投影k。(k′)m′mk1(2)2′(1′)(2)1ⅠⅡ上一页下一页回章节目录（2）投影面垂直线与一般位置平面相交2024/1/265机械制图安徽工业大学仝基斌求交线的方法：求出交线上任意两点连接而得，也可求出其中一点，然后由交线的方向确定。交线是可见与不可见的分界线。（1）两特殊位置平面相交

【例十九】求铅垂面△ABC与铅垂面△DEF的交线MN，并判别正面投影的可见性。分析：这两三角形都是铅垂面，所以交线为铅垂线，且交线的水平投影积聚为一点，