新课标高中必修数学二：向量的翻转让你轻松化解难题

第页共页新课标高中必修数学二：向量的翻转，让你轻松化解难题让你轻松化解难题在高中数学的学习中，向量一直以来都是比较难以掌握的一个概念，其理论性较强，计算方法也相对抽象。而在新课标中，向量的翻转是一个相对比较简单而实用的概念，通过翻转向量可以轻松地解决一些问题。翻转向量的概念向量是一个具有大小和方向的量，它不仅可以作为数学研究中的一个重要工具，也是生活中许多物理问题的基础。而翻转向量的概念就是将向量的方向翻转180度，即将其取反。如下图所示，向量$\vec{AB}$翻转之后变成了向量$\vec{BA}$。向量的翻转与数学问题向量的翻转在解决一些数学问题中是十分方便和实用的。例如在解决几何问题中，我们有时需要求两条直线的夹角，而两条直线的夹角可以通过两个向量的夹角来求。而有时候两条直线的夹角比较难以计算，此时我们可以通过翻转其中一个向量来求取两个向量的夹角，如下图所示：在图中，我们要求的是向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$的夹角，但我么需要知道向量$\vec{a}$和$\vec{b}$的方向，而这两个向量的方向是相对的，如果我们将其中一个向量$\vec{b}$取反，则向量$\vec{a}$与向量$-\vec{b}$的夹角就等于向量$\vec{a}$与向量$\vec{b}$的夹角了。向量的翻转还可以在求两个向量的和、差或点积时使用。例如，两个向量的差可以通过翻转其中一个向量再相加来求取，如下图所示：在图中，向量$\vec{BA}$可以通过向量$\vec{AB}$翻转180度得到，此时向量$\vec{BA}$即为$-\vec{AB}$，所以向量$\vec{BA}$和向量$\vec{AC}$的和就可以写成向量$\vec{AB}$和翻转的向量$-\vec{AB}$的和了。除此之外，向量的翻转在几何图形的对称问题中也十分常见，例如平面上的对称图形有时需要进行翻转操作，从而得到一个新的图形，我们可以将这个翻转操作看成对某个向量进行翻转操作。再比如，在三角函数中，正弦函数和余弦函数的图像也可以通过进行翻转操作来获得。练习题现在，我们来做一个练习题，看看是否能够熟练地使用向量的翻转。已知向量$\vec{a}=\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}$，$\vec{b}=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$，求向量$\vec{c}=\vec{a}-\vec{b}$和向量$\vec{d}=\vec{c}+\vec{b}$。解法：向量$\vec{c}$可以用向量$\vec{b}$翻转再相加的方法来求，即:$$\vec{c}=\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$$将向量$\vec{b}$的坐标取相反数，则$-\vec{b}=\begin{pmatrix}-3\\-4\end{pmatrix}$，所以$\vec{c}=\vec{a}+(-\vec{b})=\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-3\\-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-2\end{pmatrix}$向量$\vec{d}$可以直接用向量$\vec{c}$和向量$\vec{b}$的和来求，即：$$\vec{d}=\vec{c}+\vec{b}=\begin{pmatrix}-4\\-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}=\vec{a}$$所以，向量$\vec{c}=\begin{pmatrix}-4\\-2\end{pmatrix}$，向量$\vec{d}=\vec{a}=\begin{pmatrix}-1\\2\e