复变函数论第一章

12024/1/1第一章复数与复变函数§1复数§2复平面上的点集§3复变函数§4

复球面与无穷远点22024/1/1第一节复数1.虚数单位:对虚数单位的规定:一、复数的概念虚数单位的特性:2.复数:32024/1/1

两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.

复数z

等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.注：实数可以比较大小,但复数不能比较大小.二、复数的代数运算1.两复数的代数和:2.两复数的积:3.两复数的商:4.共轭复数:

实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.42024/1/16.共轭复数的性质:例1解5.复数域:全体复数在四则运算这个代数结构下构成一个复数域,记作C.实数域和复数域都是代数学中所研究的域的概念的实例.52024/1/1例2

证例3

解设62024/1/1三、复平面1.复数的模显然下列各式成立72024/1/12.复数的辐角辐角不确定.辐角主值的定义:82024/1/192024/1/13.利用平行四边形法求复数的和差4.复数和差的模的性质两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致.|z1+z2|102024/1/15.复数的三角表示和指数表示利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成复数的三角表示式再利用欧拉公式复数可以表示成复数的指数表示式112024/1/1z=x+iy=r(cosθ+isinθ)=reiθ辐角：任意（-∞，∞）的实数θ，

满足rcosθ=x,rsinθ=y.

辐角主值：任意（-π，π]的实数θ，满足rcosθ=x,rsinθ=y.122024/1/1例1解6.复数在几何上的应用举例

下面例子表明,很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示;也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形。132024/1/1例1求下列方程所表示的曲线:解化简后得142024/1/11.乘积与商定理一

两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.四、复数的乘幂与方根两复数相乘就是把模数相乘,辐角相加.从几何上看,两复数对应的向量分别为注由于辐角的多值性,两端都是无穷多个数构成的两个数集.对于左端的任一值,右端必有值与它相对应.152024/1/1z1·z2=r1ei

θ1

·r2ei

θ2=r1r2ei

(θ1+θ2)z1/z2=r1ei

θ1

/r2ei

θ2=r1/r2ei

(θ1-θ2)162024/1/1定理二

两个复数的商的模等于它们的模的商;两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.2.幂与根

n次幂:172024/1/1棣莫佛公式推导过程如下:棣莫佛公式根据棣莫佛公式,182024/1/1当k以其他整数值代入时,这些根又重复出现.从几何上看,Argwk+1–Argwk=2π/n,k=0,1,2,…,n-1192024/1/1例1解即202024/1/11.2.1复平面点集的几个基本概念定义1.1邻域:记作:或N

(z0)={z||z-z0|<

}记作：或N

0(z0)={z|0<|z-z0|<

}第二节复平面上的点集212024/1/1定义1.2聚点、外点、孤立点

如果z0属于E，但不是E的聚点，则称z0为E的孤立点.

如果z0不属于E，又不是E的聚点，则称z0为E的外点.z0为E的孤立点

>0:N

(z0)

E={z0}z0为E的外点

>0:N

(z0)

E=222024/1/1定义1.3内点、开集、边界点、边界、闭集:

如果E内每一点都是它的内点,那末E称为开集.如果在z0的任意一个邻域内,都有属于

E

的点,也有不属于E的点,则称z0为E的边界点。z0为E的内点

>0:N

(z0)

E点集E的全体边界点组成的集合称为E的边界.记为:

E若点集E的每个聚点都属于E,则称E为闭集；任何集合E的闭包一定是闭集.232024/1/1定义1.4有界集和无界集:zxy有界！o例1

圆盘N

(z0)={z||z-z0|<

}是有界开集；闭圆盘是有界闭集。例2

集合,圆心它是的孤立点，是集合的聚点。242024/1/1定义1.5区域:

如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域.(1)D是一个开集；(2)D是连通的,就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来.D加上D的边界称为闭域。1.2.2区域与Jordan曲线记为

D＝D+

D

z1

z2

D说明(2)区域边界可能由几条曲线和一些孤立的点所组成.(1)区域都是开的.以上基本概念的图示区域邻域边界点边界252024/1/1定义1.6连续曲线:平面曲线C的复数表示:C的实参数方程C的复参数方程起点z(

)C终点z(

)zxyCC的正向：起点终点o262024/1/1

没有重点的连续曲线C称为简单曲线(或若当(Jordan)曲线).重点重点重点换句话说,简单曲线自身不相交.简单曲线是z平面上的一个有界闭集.272024/1/1简单闭曲线的性质

若当(Jordan)定理

任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成C,I(C),E(C)三个互不相交的点集.满足：I(C)E(C)边界（1）I(C)是一个有界区域（称为C的内部）.（2）E(C)是一个无界区域（称为C的外部）.（3）若简单折线P的一个端点属于I(C)，另一个端点属于E(C)

，则P必与C相交.（4）C是I(C)，E(C)

的公共边界.282024/1/1定义1.7可求长曲线:设连续弧C的参数方程为:任取实数列考虑C上对应点列将它们用一折线连接起来，

有上界，则称C为可求长的，上确界称为C的长度。

的长度为。若对所有数列，光滑曲线C:特点

（1）光滑曲线上的各点都有切线

（2）光滑曲线可以求长292024/1/1

由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为分段光滑曲线.分段光滑曲线必是可以求长的，但简单曲线或简单闭曲线却不一定可求长。单连通域与多连通域的定义:

复平面上的一个区域B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于B,就称为单连通域.一个区域如果不是单连通域,就称为多连通域.单连通域多连通域简单闭曲线的方向：沿着一条简单闭曲线C前行时，C的内部总在左侧，此方向称为曲线C的正向，否则，称为负向。oxy302024/1/1例1

指明下列不等式所确定的区域,是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的.解无界的单连通域(如图).是角形域,无界的单连通域(如图).312024/1/1无界的多连通域.表示到1,–1的距离之和为定值4的点的轨迹,是椭圆,有界的单连通域.322024/1/1两部分都是有界的单连通域.332024/1/11.定义:第三节复变函数2.单(多)值函数的定义:3.函数的定义域和值域:1.3.1复变函数的定义4.复变函数与自变量之间的关系:342024/1/11.3.2映射的概念1.引入:2.映射的定义:352024/1/11.3.2映射的概念xuGG*Z平面zwW=f(z)vyW平面362024/1/13.几个特殊的映射:且是全同图形.372024/1/1根据乘法公式,映射382024/1/1由于w=z2

=

(x+iy)2=x2-y2+i2xy,于是

u=x2-y2,v=2xyxyOz1z2w2z3w3w1uvO392024/1/1

将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同一个长方形.uv402024/1/1412024/1/1xy单位圆z,|z|=1z1,|z1|=1z,|z|<1z1,|z1|>1422024/1/14.反函数的定义:根据反函数的定义,当反函数为单值函数时,今后不再区别函数与映射.例设w=f(z)=z2

则称为w=z2的反函数或逆映射为多值函数,2支.因为不同的原象z0,z1对应共同的象442024/1/1复变函数（双值函数）xuGG*Z平面z1w1w1=f1(z1)vyW平面w2w2=f2(z1)z2w3z3w2=f1(z3)W3=f1(z2)W1=f2(z2)w=f(z)z=f-1(w)反函数z3=f1-1(w2)z1=f2-1(w2)452024/1/11.3.3复变函数的极限1.函数极限的定义:注意:462024/1/1uvwoAxyzo472024/1/1证

必要性xyzo证毕。482024/1/1f(z)A(≠0,≠∞),当zz0|f(z)||A|,Argf(z)ArgA当zz0uvwoAxyzo492024/1/12.极限的计算性质定理一证(1)

必要性.有502024/1/1(2)充分性.则对于任意[证毕]512024/1/1定理二与实变函数的极限运算法则类似.

以上定理用极限定义证!522024/1/1证(二)例1证(一)根据定理一可知,532024/1/1例2证根据定理一可知,542024/1/11.连续的定义:

连续的三要素:（1）

f(z)在z0处有定义

（2）f(z)在z0处有极限

（3）f(z)在z0处的极限值等于函数值1.3.4复变函数的连续性552024/1/1定理1.3例如,2.连续函数的性质562024/1/1特别地，(1)有理整函数(多项式)(2)有理分式函数在复平面内使分母不为零的点也是连续的.例1

证设由于例2

证明f(z)=argz在原点及负实轴上不连续证xy(z)ozz582024/1/13.有界闭集上连续函数的性质>0,>0,z1,z2

E,当|z1-z2|<时,有|f(z1)-f(z2)|<.定理1.7

设E是有界闭集，f(z)

C(E),则有：（1）f(z)在E上有界：（2）|f(z)|在E上有最大（小）值，即：（3）

f(z)在E上一致连续，即例3证592024/1/14.复变函数的极限性质定理1(Bolzano-Weierstrass聚点定理)每一个有界无穷点集至少有一个聚点。定理2(闭集套定理)定理3(Heine-Borel有限覆盖定理)602024/1/1一