第四章、线性方程组

第四章线性方程组1、克拉默法则2、线性方程组解的判定定理3、线性方程组解的结构1、方程组是否有解，2、如果有解，求出所有的解并能很好的表示出来对方程组研究的重点是：一、线性方程组的表示形式线性方程组其中，xi表示未知量，

为方程组的系数，aij表示第i个方程第j个未知量的系数，称为常数项。§1克拉默法则则则有称为方程组（1）的矩阵表达式称为方程组（1）的向量表达式若，则称方程组为齐次线性方程组，否则，称为非齐次线性方程组。

线性方程组（1）有解的充要条件是可由向量组线性表示。由（2）可以看出线性表达式向量表达式▲齐次线性方程组一定有零解。▲齐次线性方程组只有零解的充要条件是线性无关。▲齐次线性方程组有非零解的充要条件是线性相关。容易看出二、克拉默法则

那么,方程组有唯一解

定理1设若证明方程组可以表示为，，所以A-1

存在且唯一，所以方程组存在唯一解于是A*b的第j个分量例1

解线性方程组解于是方程组有解

x1=3，x2=-4，x3=-1，x4=1由克拉默法则可以得到：如果齐次线性方程组有非零解,则齐次线性方程组的系数行列式为零。如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零,则齐次线性方程组只有零解。例2

问

为何值时，齐次线性方程组有非零解？解方程组的系数行列式为可以证明这是充要条件问

取何值时，齐次线性方程组

有非零解？

例3§2

线性方程组解的判定定理则线性方程组则有称为上述方程组的系数矩阵称为上述方程组的增广矩阵方程组与其增广矩阵一一对应定理2

(线性方程组有解的判别定理)线性方程组有解证明线性方程组有解的充要条件是例2:当为何值时，方程组有唯一解？无穷多解？无解？(1)当r=n时,方程组有唯一的解;(2)当r<n时,方程组有无穷多解。令当即且时，方程组有唯一解当当时，时，方程组有无穷解；

方程组无解．

另：且时，即方程组有唯一解当当时，时，方程组有无穷解；

方程组无解．

（1）

齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩r小于未知量的个数n.（2）

齐次线性方程组中，若m<n,则必有非零解.齐次线性方程组必有解因为有唯一的零解推论1有无穷解唯一的零解无穷解唯一解无穷解无解有解必有解§3

线性方程组解的结构1.齐次线性方程组解的结构.若为的解，则也是的解.注：定义

设

1,…,

t为

的解，且(I)

1,…,

t线性无关(II)

的任何解都可用

1,…,

t线性表出.

则称

1,…,

t为齐次方程组

的基础解系.能否用一组解表示所有的解？定理3是方程组

设解集合，则是的一个子空间证：系数矩阵的秩为r，不妨假设

由初等行变换可以化为

同解方程组现对取下列组数：依次得从而求得原方程组的个解：下面证明是齐次线性方程组的一个基础解系．由于个维向量线性无关，所以个维向量亦线性无关.由于是的解故也是的解.

所以是齐次线性方程组的一个基础解系.说明１．基础解系一般是不唯一的．2．若是的基础解系，则其通解为

4求解齐次线性方程组的方法见例题.例1

求齐次线性方程组的基础解系与通解.解对系数矩阵作初等行变换，变为行最简矩阵，有自由未知量不唯一例2

解线性方程组解对系数矩阵施行初等行变换化为行最简形矩阵其基础解系中有三个线性无关的解向量.所以原方程组的一个基础解系为故原方程组的通解为例3证？若齐次线性方程组的解空间的维数是r，是它的任意一组解向量，则有利用此结论我们也可证明：例4设均为阶方阵

，

且AnBn=O

，则即列向量是线性方程组的解．

若设，则线性方程组的解空间的维数为2.非齐次线性方程组解的结构.性质：注：非齐次线性方程组Ax=b的解集合不能构成向量空间。其中为对应齐次线性方程组的通解，为非齐次线性方程组的任意一个特解.定理9

如果非齐次线性方程组Ax=b有解,则其通解为解例4

求解方程组对应的同解方程组为自由未知量证明注意

(1)本例是对非齐次线性方程组的解的结构的进