2020高考 高中数学完整讲义-随机变量及其分布列 块二几类典型的随机分布3

二项分布

"t哪昨知识内容

1.离散型随机变量及其分布列

⑴离散型随机变量

如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结

果的不同而变化的，我们把这样的变量X叫做一个随机变量.随机变量常用大写字母

X,y,…表示.

如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量.

⑵离散型随机变量的分布列

将离散型随机变量X所有可能的取值者与该取值对应的概率p,(i=l,2,...,〃)列表表示:

X兀2X,…

PPlP1PiPn

我们称这个表为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列.

2.几类典型的随机分布

(1)两点分布

如果随机变量X的分布列为

其中0<p<l,q=\-p,则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布.

二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1,不合格记为0,已知产品的合格率

为80%,随机变量X为任意抽取一件产品得到的结果，则X的分布列满足二点分布.

两点分布又称0-1分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分

布又称为伯努利分布.

⑵超几何分布

一般地，设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取〃件(〃WN),

这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为

P(X=m)=":M(0WW/,/为n和M中较小的一个).

CN

我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N,

M,〃的超几何分布.在超几何分布中，只要知道N,M和〃，就可以根据公式求出X

取不同值时的概率尸(X=w),从而列出X的分布列.

⑶二项分布

1.独立重复试验

如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A及入，并且事件A发生的概率相同.在相同

的条件下，重复地做"次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为〃次独

立重复试验.〃次独立重复试验中，事件A恰好发生《次的概率为

尺(/)=C：//(1一(%=0,1,2,…，〃).

2.二项分布

若将事件A发生的次数设为X,事件A不发生的概率为q=l-p,那么在〃次独立重复

试验中，事件A恰好发生％次的概率是P(X=Q=C，q"",其中&=0,1,2,.于

是得到X的分布列

X01kn

Pc"7"CPZ"-1CPW"C：P%。

由于表中的第二行恰好是二项展开式

(<7+P)"=C；典"+C,p'q-'+…+C：p/+…C：p%>

各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X服从参数为〃，p的二项分布，

记作X~B(n,p).

二项分布的均值与方差:

若离散型随机变量X服从参数为”和p的二项分布，则

E(X)=np,D(x)=npq(夕=1一p).

(4)正态分布

1.概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，

直方图上面的折线所接近的曲线.在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变

量X,则这条曲线称为X的概率密度曲线.

曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1,而随机变量X落在指定的两个

数。，匕之间的概率就是对应的曲边梯形的面积.

2.正态分布

⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起

的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微

小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似

服从正态分布.

服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量.

1"一〃1

正态变量概率密度曲线的函数表达式为f(x)=——ek,xeR,其中〃，b是参

V2n-er

数，且。>0,-oo<〃<+oo.

式中的参数〃和b分别为正态变量的数学期望和标准差.期望为〃、标准差为b的正态

分布通常记作N(〃，CT2).

正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线.

⑵标准正态分布：我们把数学期望为0,标准差为1的正态分布叫做标准正态分布.

⑶重要结论:

①正态变量在区间(〃-b,〃+er),(〃-2cr,M+2cr),(〃-3cr,〃+3cr)内，取值的概率分

另U是68.3%,95.4%,99.7%.

②正态变量在(Y»，+8)内的取值的概率为1,在区间(〃-3cr,〃+3b)之外的取值的概率

是0.3%,故正态变量的取值几乎都在距x=〃三倍标准差之内，这就是正态分布的3b原

则.

⑷若J~，〃)，f{x}为其概率密度函数，则称尸(x)=P©Wx)=f'f(t)dt为概率分布

函数，特别的，子~N(O,F),称°(幻=匚看力力为标准正态分布函数.

CT

标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得.

分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可.

3.离散型随机变量的期望与方差

1.离散型随机变量的数学期望

定义：一般地，设一个离散型随机变量X所有可能的取的值是百，々，…，乙，这些

值对应的概率是Pi,p2,....p„»则E(x)=X|P|+x2P2+…+x,,P“，叫做这个离散型随

机变量X的均值或数学期望(简称期望).

离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平.

2.离散型随机变量的方差

一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是再，々，…，％,这些值对应的

概率是Pi，P2，…，pn,则£>(X)=(X|-£(X)1P1+仇2-£仅)犷2+…+K,—E第加“叫

做这个离散型随机变量X的方差.

离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小(离散

程度).

Q(X)的算术平方根而与叫做离散型随机变量X的标准差，它也是一个衡量离散型随

机变量波动大小的量.

3.X为随机变量，为常数，则E(aX+8)=aE(X)+h,O(aX+b)=a2£>(x)；

4.典型分布的期望与方差：

⑴二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为p,在〃次二

点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为少.

⑵二项分布：若离散型随机变量X服从参数为〃和p的二项分布，则E(X)=〃0,

D(x)=npq(q=l-p).

⑶超几何分布：若离散型随机变量X服从参数为N,M,〃的超几何分布，

则E(XT，

4.事件的独立性

如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|4)=尸(B),

这时，我们称两个事件A,8相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件.

如果事件A,A,相互独立，那么这〃个事件都发生的概率，等于每个事件发

生的概率的积，即p(an4rl…nA,)=p(A)x尸(&)x…XP(A,),并且上式中任意多个事

件A-换成其对立事件后等式仍成立.

5.条件概率

对于任何两个事件A和8,在已知事件A发生的条件下，事件8发生的概率叫做条件概

率，用符号“P（8|A）”来表示.把由事件A与8的交（或积），记做O=AnB（或。=AB）.

mte典例分析

二项分布的概率计算

【例1】已知随机变量4服从二项分布，g~3（4,g）,则P©=2）等于-

【例2】甲乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结

束，假定甲每局比赛获胜的概率均为白，则甲以3:1的比分获胜的概率为（）

【例3】某篮球运动员在三分线投球的命中率是:，他投球I。次，恰好投进3个球的

概率.（用数值表示）

【例4】某人参加一次考试，4道题中解对3道则为及格，已知他的解题正确率为0.4,

则他能及格的概率为（保留到小数点后两位小数）

【例5】接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80,现有5人接种了该疫苗，至少有

3人出现发热反应的概率为.（精确到0.01）

【例6】从一批由9件正品，3件次品组成的产品中，有放回地抽取5次，每次抽一件,

求恰好抽到两次次品的概率（结果保留2位有效数字）.

【例7】一台X型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为0.8000,有四台这种型

号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多有2台机床需要工人照看的概

率是（)

A.0.1536B.0.1808C.0.5632D.0.9728

【例8】设在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若已知事件A至少发生一

次的概率等于竺，求事件A在一次试验中发生的概率.

【例9】我舰用鱼雷打击来犯的敌舰，至少有2枚鱼雷击中敌舰时，敌舰才被击沉.如

果每枚鱼雷的命中率都是0.6,当我舰上的8个鱼雷发射器同是向敌舰各发射1

枚鱼雷后，求敌舰被击沉的概率（结果保留2位有效数字）.

【例10】某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%,现从一批产品中的任意连续取出2

件，求次品数J的概率分布列及至少有一件次品的概率.

【例11】某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的

创业方案进行评审.假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是L若某人

2

获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万

元的资助；若未获得“支持”，则不予资助.求：

⑴该公司的资助总额为零的概率；

⑵该公司的资助总额超过15万元的概率.

【例12】某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买.根据以往资料统

计，顾客采用一次性付款的概率是0.6,经销一件该商品，若顾客采用一次性

付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元.

⑴求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；

⑵求3位位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率.

【例13】某万国家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便可获得奖券

一张，每张奖券中奖的概率为若中奖，则家具城返还顾客现金2()0元.某

顾客消费了3400元，得到3张奖券.

⑴求家具城恰好返还该顾客现金200元的概率;

⑵求家具城至少返还该顾客现金200元的概率.

【例14】某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株.设甲、乙两种大树移栽的

成活率分别为之和且各株大树是否成活互不影响.求移栽的4株大树中：

65

⑴至少有1株成活的概率；

⑵两种大树各成活1株的概率.

【例15】一个口袋中装有〃个红球（心5且”eN*）和5个白球，一次摸奖从中摸两个

球，两个球颜色不同则为中奖.

⑴试用〃表示一次摸奖中奖的概率p;

⑵若〃=5,求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；

⑶记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P.当〃取多少时，P最

大？

【例16】袋子A和8中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是

从8中摸出一个红球的概率为p.

3

⑴从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止.

①求恰好摸5次停止的概率;

②记5次之内（含5次）摸到红球的次数为求随机变量J的分布.

⑵若4,B两个袋子中的球数之比为1:2,将A,B中的球装在一起后，从中摸出一

个红球的概率是:，求P的值.

【例17】设飞机4有两个发动机，飞机8有四个发动机，如有半数或半数以上的发动机

没有故障，就能够安全飞行，现设各个发动机发生故障的概率p是，的函数

P=\-e-\其中，为发动机启动后所经历的时间，2为正的常数，试讨论飞机

A与飞机8哪一个安全？（这里不考虑其它故障）.

【例18】假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是1-P,且各发动机互不影

响.如果至少50%的发动机能正常运行，飞机就可以顺利地飞行•问对于多大

的尸而言，四发动机飞机比二发动机飞机更安全？

【例19】一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交

通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是

3

⑴设？为这名学生在途中遇到红灯的次数，求J的分布列；

⑵设〃为这名学生在首次停车前经过的路口数，求〃的分布列；

⑶求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.

【例20】一个质地不均匀的硬币抛掷5次，正面向上恰为1次的可能性不为0,而且与正

面向上恰为2次的概率相同.令既约分数-为硬币在5次抛掷中有3次正面向上

j

的概率，求i+j.

【例21】某气象站天气预报的准确率为80%,计算（结果保留到小数点后面第2位）

（1）5次预报中恰有2次准确的概率；

⑵5次预报中至少有2次准确的概率；

（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率;

【例22】某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层可以停靠.若该电梯在

底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为1,求至

3

少有两位乘客在20层下的概率.

【例23】10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取一球，求直到第"次才取得

Z（kW〃）次红球的概率.

【例24】某车间为保证设备正常工作，要配备适量的维修工.设各台设备发生的故障是

相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是0。.试求：

⑴若由一个人负责维修20台，求设备发生故障而不能及时维修的概率；

⑵若由3个人共同负责维修80台设备，求设备发生故障而不能及时维修的概率，

并进行比较说明哪种效率高.

【例25】A,8是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验.每个试验组由

4只小白鼠组成，其中2只服用A,另2只服用B,然后观察疗效.若在一个

试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为

甲类组•设每只小白鼠服用A有效的概率为2,服用B有效的概率为L.观

32

察3个试验组，求至少有1个甲类组的概率.（结果保留四位有效数字）

【例26】已知甲投篮的命中率是0.9,乙投篮的命中率是0.8,两人每次投篮都不受影响,

求投篮3次甲胜乙的概率.（保留两位有效数字）

【例27】若甲、乙投篮的命中率都是p=0.5,求投篮〃次甲胜乙的概率.（weN,〃2l）

【例28】省工商局于某年3月份，对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显

示，某种刚进入市场的x饮料的合格率为80%,现有甲，乙，丙3人聚会，选

用6瓶x饮料，并限定每人喝2瓶，求：

⑴甲喝2瓶合格的x饮料的概率；

⑵甲，乙，丙3人中只有1人喝2瓶不合格的x饮料的概率（精确到0.01）.

【例29】在一次考试中出了六道是非题，正确的记7”号，不正确的记“X”号.若某考生

随手记上六个符号，试求：⑴全部是正确的概率；

⑵正确解答不少于4道的概率；

⑶至少答对2道题的概率.

【例30】某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛，校队的实力比系队强，当

一个校队队员与系队队员比赛时，校队队员获胜的概率为0.6.

现在校、系双方商量对抗赛的方式，提出了三种方案：⑴双方各出3人；⑵双方各

出5人；⑶双方各出7人.三种方案中场次比赛中得胜人数多的一方为胜利.问：

对系队来说，哪一种方案最有利？

二项分布的期望与方差

【例31】已知X~8(10,0.8),求E(X)与。(X).

【例32】已知X~B(〃，p),E(X)=8,D(X)=1.6,则〃与p的值分别为()

A.10和0.8B.20和0.4C.10和0.2D.100和0.8

【例33】已知随机变量X服从参数为6,0.4的二项分布，则它的期望E(X)=,

方差。(X)=.

【例34】已知随机变量X服从二项分布，且E©=2.4,。⑹=1.44,则二项分布的参数

〃，p的值分别为.

【例35】一盒子内装有10个乒乓球，其中3个旧的，7个新的，每次取一球，取后放回,

取4次，则取到新球的个数的期望值是.

【例36】同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上

的次数为J，则J的数学期望是（）

A.20B.25C.30D.40

【例37】某服务部门有〃个服务对象，每个服务对象是否需要服务是独立的，若每个服

务对象一天中需要服务的可能性是p,则该部门一天中平均需要服务的对象个

数是（）

A.叩（1-p）B.npC.nD.p（l-p）

【例38】一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含

红球个数的数学期望是.（用数字作答）

【例39】同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上

的次数为则4的数学期望是（）

A.20B.25C.3()D.40

【例40】某批数量较大的商品的次品率是5%,从中任意地连续取出10件，X为所含次

品的个数，求E(X).

【例41】甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是L2,_L.

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⑴现3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率；

⑵用J表示乙投篮3次的进球数，求随机变量。的概率分布及数学期望.

【例42】抛掷两个骰子，当至少有一个2点或3点出现时，就说这次试验成功.

⑴求一次试验中成功的概率；

⑵求在4次试验中成功次数X的分布列及X的数学期望与方差.

【例43】某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时

间来领取.假设任一客户去领奖的概率为4%.问：寻呼台能否向每一位顾客

都发出奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼

品？

【例44】某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能

力，每名下岗人员可以选择参加一项培训,参加两项培训或不参加培训，已知

参加过财会培训的有60%,参加过计算机培训的有75%,假设每个人对培训项

目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响.

⑴任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；

⑵任选3名下岗人员，记J为3人中参加过培训的人数，求4的分布和期望.

【例45】设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为05,购买乙种商品的概率

为0.6,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是

相互独立的.记自表示进入商场的3位顾客中至少购买甲,乙两种商品中的一

种的人数，求J的分布及期望.

【例46】某班级有〃人，设一年365天中，恰有班上的机（机个人过生日的天数

为X,求X的期望值以及至少有两人过生日的天数的期望值.

【例47】购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费。元，若投保人在购买

保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金.假定在一年度内有10000

人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内

至少支付赔偿金1（）000元的概率为1-O.999104.

⑴求一投保人在一年度内出险的概率p;

⑵设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望

不小于0,求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）.

【例48】某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查（简称安检）.若安检不合

格，则必须进行整改.若整改后复查仍不合格，则强行关闭.设每家煤矿安检

是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5,整改后安

检合格的概率是0.8,计算（结果精确到0.01）.

⑴恰好有两家煤矿必须整改的概率;

⑵平均有多少家煤矿必须整改；

⑶至少关闭一家煤矿的概率.

【例49】设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作.若

一周5个工作日里均无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万

元，只发生两次故障可获利润0万元，发生三次或三次以上故障就要亏损2万

元.求一周内期望利润是多少？（精确到（）001）

【例50】在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中，武警官兵准备用射击的方法引

爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐.已知只有5发子弹，第一次命中

只能使汽油流出，第二次命中才能引爆.每次射击是相互独立的，且命中的概

率都是2.

3

⑴求油罐被引爆的概率；

⑵如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为求J的分布列及

【例