【数学】东城区2019-2020学年八年级（下）期末数学试卷（解析版）

2019-2020学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本题共20分，每小题2分）第L10题均有四个选项，符合题意的选项只有一

个.

1.（2分）下列二次根式中，最简二次根式是（）

A.娓B.V12C.11口.僧

2.（2分）下列各式中，从左向右变形正确的是（）

A.y=±2B.y(_3)2=3C.近=「＞＜刀口.78^2=710

3.（2分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）

A.1,1,1B.2,3,4C.1,2,3D.5,12,13

4.（2分）下列函数中，y是x的正比例函数的是（）

A.y=5x-1B.y=LC.y=/D.y=—

2x

5.（2分）在矩形A8CQ中，对角线AC,8。交于点O,且NAOQ=120°.若AB=3,则

8C的长为()

A.V3B.3C.3MD.6

6.（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OA8C的顶点。在x轴的正半轴上.若

点A的坐标是（3,4）,则点B的坐标为（）

A.(5,4)B.(8,4)C.(5,3)D.(8,3)

7.（2分）一次函数y=fcr+b中，若的＞0,且y随着工的增大而增大，则其图象可能是（）

A.B.

8.（2分）如图，等腰△ABC中，点P是底边8c上的动点（不与点5,C重合），过点P

分别作A3、AC的平行线PM、PN,交AC、AB于点M、N,则下列数量关系一定正确的

是（）

A.PM+PN=ABB.PM+PN=BC

C.PM+PN=2BCD.PM+PN=AB+BC

9.（2分）在RtZ^ABC中，NACB=90°,AC=8C=1,点。在直线8C上，且AQ=2,

则线段BQ的长为（）

A.如B.A/5C.通+1或我-1D.V5+MV5-1

10.（2分）如图，动点尸在边长为2的等边AABC的边上.它从点A出发，沿A-C-B-

A的方向以每秒1个单位长度的速度运动.如果点P的运动时间为f秒，点P与点C之

间的距离记为y,那么y与，之间的函数关系用图象表示大致是（）

二、填空题（本题共12分，每小题2分）

11.（2分）使二次根式丁百有意义的x的取值范围是.

12.（2分）2020年3月北京市16个区的PM2.5的浓度（单位：微克/立方米）统计情况如

表：

PM25的浓度313233353638

区的个数312451

下面有三个结论：

①PM2.5的浓度众数是5；

②PM2.5的浓度中位数是35；

③尸M2.5的浓度平均数约为34.其中正确的是_____（_填_写序号）.

13.（2分）如图，菱形A8C。中，AB=\0,AC,交于点。，若E是边AO的中点，Z

A£O=32°,则OE的长等于,ZADO的度数为.

14.（2分）如图，三角形花园的边界AB,互相垂直，若测得/A=30°,BC的长度为

40〃?，则边界AC的中点。与点8的距离是m.

15.（2分）图1中菱形的两条对角线长分别为6和8,将其沿对角线裁分为四个三角形，将

这四个三角形无重叠地拼成如图2所示的图形.则图1中菱形的面积等于；图2

中间的小四边形的面积等于

16.（2分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数yi=fcr+Z?与y2=x+，〃的图象如图所示，若

它们的交点的横坐标为2,则下列四个结论中正确的是（填写序号）.

①直线”=x+机与x轴所夹锐角等于45°；

②A+Q0；

③关于x的不等式kx+h<x+m的解集是xW2.

三、解答题（本题共68分，第17—22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28

题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.（5分）（遥地）（遥-«）

18.（5分）计算：（«§-哈）+必治

19.（5分）如图是小明设计的“利用已知矩形作一个内角为30°角的平行四边形”的尺规

作图过程.

己知：矩形ABCO.

求作：=AGHD,使NGAZ）=30°.

作法：如图,

①分别以点A,8为圆心，以大于aAB长为半径，在AB两侧作弧，分别交于点E,F；

②作直线EF-.

③以点A为圆心，以AB长为半径作弧，交直线EF于点G,连接AG；

④以点G为圆心，以A。长为半径作弧，交直线EF于点H,连接。H.

则四边形AGHD即为所求作的平行四边形.

根据小明设计的尺规作图过程，填空：

(1)ZBAG的大小为；

(2)判定四边形AG”。是平行四边形的依据是；

(3)用等式表示平行四边形AGHD的面积Si和矩形ABCD的面积52的数量关系

为.

20.(5分)在平面直角坐标系xOy中，一次函数〉=丘+8的图象经过4(-2,0),8(1,

3)两点.

(1)求这个一次函数的解析式；

(2)将函数的图象平移可得到函数y=fcc-1的图象，写出平移的过程.

21.(5分)如图，中，ZC=90°,AO平分NB4C,交BC于点O,CD=}.5,BD

=2.5.

(1)求点。到直线AB的距离；

(2)求线段AC的长.

22.(5分)2017年国务院印发《新一代入工智能发展规划》，将人工智能上升为国家战略,

我国人工智能领域迎来新的发展契机.

根据相关信息，回答问题：

(1)图1反映了我国人工智能专利授权量(单位：件)近些年的变化情况.2017年，中

国人工智能专利授权量为

________________________________________________________________件；

(2)图2是2017年前20名中国人工智能国内专利权人的专利授权量的频数分布直方图，

数据被分成5组，其中在100<x<200之间的数据分别是：129,154,155,165,170,

170,186,190.则20个专利授权量的中位数是；

(3)2017年中国人工智能国内专利权人的专利授权量在基础算法、基础硬件和垂直应用

三个分支位于前20的统计折线图如图3.依据折线图推断，基础算法、基础硬件和垂直

应用三个分支的专利授权量的方差最小的是.

(4)下列推断合理的是(填写序号).

①我国人工智能正快速发展；

②在基础硬件方面需要加大创新投入提升竞争力.

23.(6分)4B,C三地都在一条笔直的公路边，B在A,C之间.甲、乙两人相约到C

地游玩，甲由A地出发骑自行车，平均速度是乙由B地出发骑电动自行车匀速

行驶.设甲骑行的时间为〃单位：h),甲、乙与4地的距离分别为yi,y2(单位：km),yi,

”都是r的函数，其中”与r的对应关系如图所示.

回答下列问题：

(1)A,8两地之间的距离为km；

(2)先到达C地；

(3)yi与f之间的函数表达式是,乙出发后到达C地之前，中与f之间的函数

表达式是;

(4)到达C地之前，当1=时，甲、乙两人与A地的距离相等；

24.(6分)如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为I,网格的中心标记为点0.按

要求画四边形，使它的四个顶点均落在格点上，且点。为其对角线交点：

(1)在图1中画一个两边长分别为6和4的矩形；

(2)在图2中画一个平行四边形，使它有且只有一条对角线与(1)中矩形的对角线相

等；

(3)在图3中画一个正方形，使它的对角线与(1)中所画矩形的对角线相等.

图1图2

图3

25.（6分）在平面直角坐标系X。），中，直线/”y=H+5与y轴交于点A.直线/2：y=-x+l

与直线/1交于点B,与y轴交于点C.

（1）当点8的纵坐标为2时，

①写出点8的坐标及我的值；

②求直线八，/2与y轴所围成的图形的面积；

（2）当点B的横坐标XB满足-3WXBW-1时，求实数4的取值范围.

26.（6分）如图1,矩形4BCQ中，AC=lcm,AB>3cm.点E在边AB上，BE=3cm.点

步为对角线AC上的动点，连接Er，BF.设4,尸两点间的距离为xcMBF=y\cm,EF

=yicm.

▲y/cm

图1图2

小华根据学习函数的经验，对△EFB的形状进行了探究.

下面是小华的探究过程，请补充完整：

（1）对于点尸在AC上的不同位置，画图、测量，得到了线段B凡E尸的长度的几组值,

如下表：

xlcm01234567

y\/cm5.634.864.193.683.393.383.654.16

yilcm2.631.921.572.443.284.195.13

（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x,yi）,

（x,>2）,并在图2中画出函数yi,>2的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当△BEF为等腰三角形时，AF的长度约为cm

（结果保留两位小数）.

27.（7分）如图，将矩形纸片A8C。沿过点A的直线翻折，使点B恰好与其对角线AC的

中点0重合，折痕与边BC交于点E.延长E0交AO于点尸，连接CF.

（1）按要求补全图形；

（2）求证：四边形AECF是菱形；

28.（7分）已知正方形A8CZ）边长为10,若一个等边三角形的三个顶点均在正方形A8CD

的内部或边上，则称这个等边三角形为正方形A8CD的内等边三角形.

(1)正方形ABCQ的边长为10,点E在边AO上.

①当点E为边AO的中点时，求作：正方形A8CZ)的内等边△AEF(尺规作图，不写作

法，保留作图痕迹)；

②若△4EF是正方形ABCD的内等边三角形，连接BF,DF,则线段BF长的最小值

是，线段。F长的取值范围是;

(2)△A。尸和△4MN都是正方形ABC。的内等边三角形，当边AM的长最大时，画出

△4OP和△AMN,点4,M,N按逆时针方向排序，连接NP,求NP的长.

2019-2020学年北京市东城区八年级（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共20分，每小题2分）第L10题均有四个选项，符合题意的选项只有一

个.

1.（2分）下列二次根式中，最简二次根式是（）

A.娓B.V12C.gD.^2

【分析】利用最简二次根式定义判断即可.

【解答】解：4原式为最简二次根式，符合题意；

B、原式=2«,不符合题意；

C、原式=Y2,不符合题意；

7

D、原式=|阑，不符合题意.

故选：A.

2.（2分）下列各式中，从左向右变形正确的是（）

A.虫=±2B.｛（⑶2=3C.正=QXQD.5/8+72=710

【分析】根据二次根式的性质和运算法则逐一判断即可得.

【解答】解：A.74=2,此选项错误；

B..（_3）2=卜3|=3,此选项计算正确；

C.V6=V2XV3＞此选项错误；

D.小近=2扬&=3道,此选项错误；

故选：B.

3.（2分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）

A.1,1,1B.2,3,4C.1,2,3D.5,12,13

【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.

【解答】解：412+产区［2,不能构成直角三角形，故不符合题意；

B、22+32^42,不能构成直角三角形，故不符合题意；

C,12+22^32,不能构成直角三角形，故不符合题意；

D、52+122=132,能构成直角三角形，故符合题意.

故选：D.

4.（2分）下列函数中，y是x的正比例函数的是（）

A.y=5x-lB.y=ArC.y—x1D.y=3

2x

【分析】一般地，两个变量x,y之间的关系式可以表示成形如（k为常数，且AW

0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数.

【解答】解：A.y=5x-1属于一次函数，不合题意；

B.y=工属于正比例函数，符合题意；

2

C.>=/属于二次函数，不合题意；

D.y=3属于反比例函数，不合题意；

X

故选：B.

5.（2分）在矩形ABC。中，对角线AC,BD交于点O,且乙4。。=120°.若A8=3,则

BC的长为（）

A.V3B.3C.373D・6

【分析】根据矩形的性质和等边三角形的判定和性质，可以得到AC的长，再根据勾股

定理，即可得到8。的长，本题得以解决.

【解答】解：VZAOD=120°,ZAOD+ZAOB=180°,

・・・NAOB=60°,

•・•四边形A8C。是矩形，

：.OA=OB=OC,N4BC=90°,

l\AOB是等边三角形，

：.AB=OA=OCf

•・・AB=3,

・・・AC=6,

••BC=yj铲_呼=35/3，

故选：C.

6.（2分）如图，在平面直角坐标系宜方中，菱形0A8C的顶点。在x轴的正半轴上.若

点A的坐标是（3,4）,则点3的坐标为（）

A.（5,4）B.（8,4）C.（5,3）D.（8,3）

【分析】根据点A的坐标是（3,4）,可得0A的长，再根据菱形的四条边都相等即可得

点B的坐标.

【解答】解：・・•点A的坐标是（3,4）,

・・・OA=5,

・・•四边形OA8C为菱形，

：.0A=AB=5f

则点8的坐标为（8,4）.

故选：B.

7.（2分）一次函数），=丘+6中，若他＞0,且y随着光的增大而增大，则其图象可能是（）

【分析】先根据一次函数丁=丘+〃中，y随x的增大而增大且妨>0,判断出女与人的符

号，再根据一次函数的图象与系数的关系进行解答.

【解答】解：・・•一次函数y=Ax+b中y随x的增大而增大，

：.k>0,

・・•妨>0,

・・・b>0,

・・・此函数的图象过一、二、三象限.

故选：A.

8.（2分）如图，等腰△A3C中，点尸是底边3C上的动点（不与点3,C重合），过点尸

分别作A3、AC的平行线PM、PN,交AC、A3于点M、M则下列数量关系一定正确的

是（）

A.PM+PN=ABB.PM+PN=BC

C.PM+PN=2BCD.PM+PN=AB+BC

【分析】证明NB=N_B尸N,得PN=BN,证明四边形AMPN为平行四边形得PM=AN,

进而便可得PM+PN=AB.

【解答】解：・・・A8=4C,

AZB=ZC,

,:PN〃AC,

：.ZBPN=ZC=ZB,

:・PN=BN,

•:PM"NB、PN//AC,

・・・四边形AMPN是平行四边形，

:・PM=AN,

：.PM+PN=AN+BN=AB,

故选：A.

9.（2分）在RtZ\ABC中，ZACB=90°,AC=BC=\,点。在直线8C上，且AQ=2,

则线段BQ的长为（）

A.73B.75C.我+1或愿-1D•通+1或巡7

【分析】由勾股定理求出C。，分两种情况，即可得出答案.

【解答】解：如图所示：

VZACB=90°,AC=8C=1,点。在直线BC上，且4Q=2,

C0=22=

VAQ-AC我2_12=如；

当点。在BC延长线上时，BQ=CQ+BC=QI；

当点。在C8延长线上时，BQ=CQ-BC=M-1；

10.（2分）如图，动点尸在边长为2的等边△ABC的边上.它从点A出发，沿A-C-B-

A的方向以每秒1个单位长度的速度运动.如果点P的运动时间为f秒，点P与点C之

间的距离记为y,那么y与，之间的函数关系用图象表示大致是（）

【分析】分段求出函数表达式即可求解.

【解答】解：（1）当点尸在AC上运动时,

y=2-t,

（2）当点尸在BC上运动时,

y—t-2,

（3）当点尸在48上运动时,

过点C作CHLAB于点H,则CH=ACsinA=2Xyi=«,AH=1；

2

当点尸在点〃右侧时,

y=PC=VCH2+PH2=V32+(5-t)2=Vt2-10t+28;

该函数为一条曲线，

当点P在C”左侧时，同理函数为一条曲线；

故选：D.

二、填空题（本题共12分，每小题2分）

11.（2分）使二次根式《写有意义的x的取值范围是3^

【分析】根据二次根式有意义的条件可得x-520,再解即可.

【解答】解：由题意得：x-520,

解得：x25,

故答案为：x25.

12.（2分）2020年3月北京市16个区的PM2.5的浓度（单位：微克/立方米）统计情况如

表：

PM2.5的浓度313233353638

区的个数312451

下面有三个结论：

①PM2.5的浓度众数是5；

②PM2.5的浓度中位数是35；

③尸M2.5的浓度平均数约为34.其中正确的是②③（填写序号）.

【分析】中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最

中间两个数的平均数），众数是一组数据中出现次数最多的数据，据此判断即可.

【解答】解：①PM2.5的浓度众数是36,错误；

②PM2.5的浓度中位数是35,正确；

故答案为：②③.

13.（2分）如图，菱形A8C。中，AB=10,AC,8。交于点0,若E是边A。的中点，Z

AEO=32°,则AE的长等于5,N4力。的度数为16°.

【分析】根据菱形的性质得出80=。0,ZADO=1ZADC,AB//CD,由三角形中位线

2

定理得出OE〃AB,OE=1AB=5,根据平行线的判定与性质以及角平分线定义即可求

2

出NADO的度数.

【解答】解：•••四边形ABC。是菱形，

：.BO=DO,ZADO=^ZADC,AB//CD,

2

是边A。的中点，BO=DO,

；.OE是△ABO的中位线，

AOE//AB,OE=LB=5,

2

OE//CD,

：.ZADC=ZAEO=32°,

AAADO=\6°.

故答案为：5,16°.

14.（2分）如图，三角形花园的边界AB,BC互相垂直，若测得/A=30°,8C的长度为

40m则边界AC的中点D与点B的距离是4()m.

【分析】由勾股定理可得4C=80,根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，于是得到

结论.

【解答】解：连接8Q,

在RtZ\A2C中，NA=30°,8c=40,

，AC=2BC=80,

•.•。是AC中点，

.•.BO=LC=40,

2

即边界4c的中点D与点、B的距离是40m；

故答案为：40.

15.(2分)图1中菱形的两条对角线长分别为6和8,将其沿对角线裁分为四个三角形，将

这四个三角形无重叠地拼成如图2所示的图形.则图1中菱形的面积等于24；图2

中间的小四边形的面积等于1.

图1图2

【分析】根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半，求出图1菱形的面积，再根据菱形

的对角线长可得菱形边长为5,进而可得图2中间的小四边形的面积是边长为5的正方形

的面积减去菱形的面积.

【解答】解：•••图1中菱形的两条对角线长分别为6和8,

•••菱形的面积等于工X6X8=24,

2

菱形的边长等于7外+42=5,

.♦.图2中间的小四边形的面积等于25-24=1.

故答案为：24,1.

16.（2分）在平面直角坐标系中，一次函数yi=fcr+b与*=x+〃?的图象如图所示，若

它们的交点的横坐标为2,则下列四个结论中正确的是①②（填写序号）.

①直线”=x+〃，与x轴所夹锐角等于45°；

②k+b>0；

③关于x的不等式kx+b<x+m的解集是xW2.

【分析】结合一次函数的性质、一次函数与不等式的关系，根据图象观察，得出结论.

【解答］解：由”=x+〃?知：直线与坐标轴的截距相等，所以，直线”=x+加与x轴所

夹锐角等于45°,故①的结论正确；

由图知：当x=l时，函数yi图象对应的点在x轴的上方，因此Z+匕>0故②的结论不正

确；

由图知：当x>2时，函数yi图象对应的点都在”的图象下方，因此关于x的不等式自+6

Vx+/〃的解集是x>2,故③的结论不正确；

故答案为①②.

三、解答题（本题共68分，第17—22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28

题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.（5分）（V5W3）（V5-V3）

【分析】根据平方差公式进行计算.

【解答】解：原式=（遥）2-（V3）2

=5-3

18.(5分)计算：(子我.

【分析】先把二次根式化为最简二次根式，然后合并后进行二次根式的乘除法运算.

【解答】解：原式=(473-273)X-^X1

V3V2

=2近,我

=&-

19.(5分)如图是小明设计的“利用己知矩形作一个内角为30°角的平行四边形”的尺规

作图过程.

已知：矩形42CD

求作：oAGHD,使/GAO=30°.

作法：如图，

①分别以点A,B为圆心，以大于匕8长为半径，在A8两侧作弧，分别交于点E,F；

2

②作直线EF-.

③以点A为圆心，以A8长为半径作弧，交直线EF于点G,连接AG；

④以点G为圆心，以A力长为半径作弧，交直线EF于点H,连接。H.

则四边形4G”。即为所求作的平行四边形.

根据小明设计的尺规作图过程，填空：

(1)N8AG的大小为60°；

(2)判定四边形AGHD是平行四边形的依据是一组对边平行且相等的四边形是平行

四边形；

(3)用等式表示平行四边形AGHD的面积Si和矩形ABCD的面积S2的数量关系为3

=252.

【分析】(1)连接BG,由作图知，EF是线段AB的垂直平分线，得到AG=BG,推出△

ABG是等边三角形，于是得到结论；

（2）根据矩形的性质得到/区4。=90°,推出G//〃AQ,得到四边形AGH。是平行四边

形；

（3）设EF与AB交于根据矩形和平行四边形的面积公式即可得到结论.

【解答】解：（1）连接BG,

由作图知，EF是线段AB的垂直平分线，

：.AG=BG,

'：AB=AG,

，4B=AG=BG,

...△A8G是等边三角形，

；.NBAG=60°；

故答案为：60°；

（2）•・•四边形ABCD是矩形，

AZBAD=90°,

,：EFLAB,

：.GH//AD,

,:GH=AD,

二四边形AGHD是平行四边形，

故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;

（3）设EF与AB交于历，

'：S\=AD-AB,S2=HG-AM=AD'1AB=1AD-AB,

22

，SI=2S2,

故答案为：SI=2S2.

20.（5分）在平面直角坐标系xO），中，一次函数〉=履+匕的图象经过A（-2,0）,B（1,

3）两点.

(1)求这个一次函数的解析式：

(2)将函数的图象平移可得到函数1的图象，写出平移的过程.

【分析】(1)根据待定系数法即可求得；

(2)根据平移的规律即可求得.

【解答】解：(1)一次函数的图象经过A(-2,0),B(1,3)两点.

・..12k+b=0,解得(k=l,

lk+b=3Ib=2

二一次函数为y=x+2；

(2)将函数y=x+2的图向下平移3个单位可得到函数y=2x-1的图象.

21.(5分)如图，RlZ\ABC中，NC=90°,AO平分NBAC,交BC于点。，CD=\.5,BD

=2.5.

(1)求点。到直线A8的距离；

(2)求线段AC的长.

【分析】(1)作。ELAB,根据角平分线的性质得到。E=CD=1.5,得到答案；

(2)证明RtZ\AC£＞丝RtZ\AE£),根据全等三角形的性质得到AC=AE,根据勾股定理求

出BE,再根据勾股定理列出方程，解方程得到答案.

【解答】解：(1)过点。作DE_L4B于E,

平分N8AC,ZC=90°,DELAB,

.•.£)E=CD=1.5,

.,.点D到直线AB的距离为1.5；

(2)在RtA/ACD和RtA^ED中，

rCD=ED；

IAD=AD'

ARtAACD^RtAA£D(HL)

：.AC=AE,

在RtZYDEB中，fi£=7BD2-DE2=2,

在RtZXACB中，AB2=AC2+BC2,即（AC+2）2=AC2+42,

解得，AC=3.

22.（5分）2017年国务院印发《新一代入工智能发展规划》，将人工智能上升为国家战略,

我国人工智能领域迎来新的发展契机.

根据相关信息，回答问题：

（1）图1反映了我国人工智能专利授权量（单位：件）近些年的变化情况.2017年，中

国人工智能专利授权量为

___________________17477___________________________________件

2233

（2）图2是2017年前20名中国人工智能国内专利权人的专利授权量的频数分布直方图，

数据被分成5组，其中在100Wx<200之间的数据分别是：129,154,155,165,170,

170,186,190.则20个专利授权量的中位数是141.5；

（3）2017年中国人工智能国内专利权人的专利授权量在基础算法、基础硬件和垂直应用

三个分支位于前20的统计折线图如图3.依据折线图推断，基础算法、基础硬件和垂直

应用三个分支的专利授权量的方差最小的是垂直应用.

（4）下列推断合理的是①②（填写序号）.

①我国人工智能正快速发展；

②在基础硬件方面需要加大创新投入提升竞争力.

【分析】（1）根据折线统计图可得答案；

（2）根据中位数的计算方法，求出中位数即可；

（3）根据图3中数据的离散程度，判断方差的大小.

（4）根据题意进行判断.

【解答】解：（1）由折线统计图可知，2017年中国人工智能专利授权量为为17477件，

故答案为：17477；

（2）将20名中国人工智能国内专利权人的排列后，处在中间位置的两个数的平均数为

您+154=]43

2

因此中位数是141.5,

故答案为：141.4；

（3）根据图3,可以直观得出“垂直应用”的离散程度较小，因此“垂直应用”的方差

最小，

故答案为：垂直应用；

（4）故答案为：①②.

23.（6分）A,B,C三地都在一条笔直的公路边，8在A,C之间.甲、乙两人相约到C

地游玩，甲由A地出发骑自行车，平均速度是8M7//z；乙由B地出发骑电动自行车匀速

行驶.设甲骑行的时间为六单位：h）,甲、乙与A地的距离分别为），|,>2（单位：km）,yi,

”都是r的函数，其中"与f的对应关系如图所示.

回答下列问题：

（1）4,（两地之间的距离为5km；

（2）乙先到达C地:

（3）vi与f之间的函数表达式是yi=8f,乙出发后到达C地之前，y2与f之间的函

数表达式是丫2=12-7；

（4）到达C地之前，当1=_1_时，甲、乙两人与A地的距离相等；

【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到A,8两地之间的距离；

（2）根据函数图象中的数据，可以得到乙的速度，再根据题意，即可得到乙先到达C地;

（3）根据题意和函数图象中的数据，可以得到yi与f之间的函数表达式和乙出发后到达

C地之前，”与f之间的函数表达式；

（4）令（3）中的两个函数解析式函数值相等，即可得到，的值，本题得以解决.

【解答】解：（1）由图象可得，

A,B两地之间的距离为5h",

故答案为：5；

（2）由图象可得，

乙的速度为：（11-5）+（1.5-1）=12（km/h）,

:甲的速度为8公"/儿12>8,

.,.乙先到达C地，

故答案为：乙；

（3）由已知可得,

yi与t之间的函数表达式是yi=8r,

设”与/之间的函数表达式是”=kr+b,

[k+b=5

11.5k+b=U，

解得，尸2,

1b=_7

即y2与1之间的函数表达式是yi=nt-7,

故答案为：y]=8/,"=121-7；

（4）令8r=121-7,

解得，t=工，

4

即到达C地之前，当/=工时，甲、乙两人与A地的距离相等，

4

故答案为：工.

4

24.（6分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1,网格的中心标记为点0.按

要求画四边形，使它的四个顶点均落在格点上，且点0为其对角线交点：

（1）在图1中画一个两边长分别为6和4的矩形；

（2）在图2中画一个平行四边形，使它有且只有一条对角线与（1）中矩形的对角线相

等；

（3）在图3中画一个正方形，使它的对角线与（1）中所画矩形的对角线相等.

OP

图1图2

O

图3

【分析】（1）根据矩形的性质即可得到结论;

（2）根据平行四边形的性质即可得到结论；

（3）根据正方形的性质即可得到结论.

【解答】解：(1)如图1，矩形ABC3即为所求;

(2)如图2,平行四边形ABCS。即为所求；

(3)如图3,正方形ABCQ即为所求.

25.(6分)在平面直角坐标系xOy中，直线/1：丫=丘+5与y轴交于点A.直线任y=-x+l

与直线八交于点8,与y轴交于点C.

(1)当点B的纵坐标为2时，

①写出点8的坐标及k的值；

②求直线/1,/2与y轴所围成的图形的面积；

(2)当点B的横坐标劝满足--1时，求实数k的取值范围.

【分析】(1)①将y=2代入直线/2：y=-x+1,求出x,得到点8的坐标;把B点坐标

代入直线/i：y—kx+5,即可求出A的值；

②根据直线/1的解析式，求出A(0,5),根据直线/2的解析式，求出C(0,1).利用

三角形面积公式即可求出SAASC;

（2）将两条直线的解析式联立得到方程组［y=kx+5,解方程组求出点B的坐标，根据

ly=-x+l

点8的横坐标乃满足-1,分别计算.=-3与劝=-1时Z的值，即可得到

实数人的取值范围.

【解答】解：（1）①・・•直线/2：y=7+1过点8,点8的纵坐标为2,

/.-x+l=2,解得x=-l,

・••点3的坐标为（-1,2）.

・・•直线A：y=H+5过点3,

.•.2=-k+5,解得％=3；

②・.Y=3,

工直线的解析式为：y=x+5,

・"（0,5）.

・・,直线/2的解析式为：y=r+l,

：.C（0,1）.

.\AC=5-1=4,

直线1\,/2与y轴所围成的图形的面积SAABC=^X4X1=2；

2

4

⑵解方程组>+5,得，k+1,

ly=-x+l丫=卜+5

丫k+1

点8的坐标为（-_L,上电）.

k+1k+1

♦.•点8的横坐标XB满足-3WXBW-I,

当XB=-3时，--^―=-3.解得fc=A,

k+13

当XB=-1时，--❷一=-1>解得k=3,

k+1

•••实数k的取值范围是』WAW3.

3

26.（6分）如图1,矩形ABC。中，AC=lcm,AB>3cm.点E在边AB上，BE=3cm.点、

F为对角线AC上的动点，连接EF,BF.设A,F两点间的距离为皿BF^yicm,EF

=y2Ctn,

图1图2

小华根据学习函数的经验，对的形状进行了探究.

下面是小华的探究过程，请补充完整：

（1）对于点尸在AC上的不同位置，画图、测量，得到了线段8凡E尸的长度的几组值,

如下表：

x/cm01234567

y\!cm5.634.864.193.683.393.383.654.16

yilcm2.631.921.572.443.284.195.13

（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x,yi）,

（x,*）,并在图2中画出函数v，”的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当△8EF为等腰三角形时，4尸的长度约为4.65或5.35

（答案不唯一）（结果保留两位小数）.

【分析】（1）用光滑的曲线连接中的函数图象，测得x=3时，＞2^1.85（答案不唯一）；

（2）描点画出函数yi,"的图象即可；

（3）分BE=BF、BE=EF、三种情况，分别求解即可.

【解答】解：（1）用光滑的曲线连接”的函数图象，

测得x=3时，1.85（答案不唯一），

（3）y\—BF,y2—EF,BE—3,

当台日二台斤时，即yi=3,从图象看，x无解；

当BE=EF时，即”=3,从图象看，x=4.65（答案不唯一）；

当时，即yi="，从图象看，x«5.35（答案不唯一）；

故AF的长度约为4.65或5.35（cm）（答案不唯一），

故答案为4.65或5.35（答案不唯一）.

27.（7分）如图，将矩形纸片ABCO沿过点A的直线翻折，使点B恰好与其对角线4c的

中点0重合，折痕与边8c交于点E.延长£。交于点尸，连接CF.

（1）按要求补全图形：

（2）求证：四边形AECF是菱形；

（3）若AB=M，求BE的长.

A.D

BEC

【分析】(1)依照题意补全图形；

(2)由“AS4”可证AA。尸丝△COE,可得Of=OE,可证四边形AEC尸是平行四边形,

由折叠的性质可得AB=AO,ZABC=ZAOE=90°,可得结论；

(3)由勾股定理可求BC=3,利用勾股定理列出方程