2021-2022学年人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理专项练习试题

人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理专项练习

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的

答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、在平面直角坐标系中，已知点/（-2,5）,点6（1,1）,则线段的长度为（)

A.2B.3C.4D.5

2、下列长度的线段能组成直角三角形的是（）

A.3,4,6B.3,4,5C.6,8,9D.5,12,14

3、下列三个数为边长的三角形不是直角三角形的是（）

A.3,3,3&B,4,8,4石C.6,8,10D.5,5,5百

4、满足下列条件的△45C,不是直角三角形的是（）

A.ZJ：N6：ZC=5：12：13B.a：b：c=3：4：5

C.ZC=ZJ-ABD.l)=a-c

5、为了测量学校的景观池的长/昆在胡的延长线上取一点C,使得AC=5米，在点。正上方找一点〃

（即DCL8C）,测得NCDB=60。，ZADC=3（f,则景观池的长力6为（）

C.8米D.10米

6、如图，在Rt△力比'中，N烟=60°,斜边46=10,分别以的三边长为边在46上方作正方

形，S,£,W,S,$分别表示对应阴影部分的面积，则S+W+S+$+W=（）

A.50B.50GC.100D.100出

7、满足下列条件的△力■不是直角三角形的是（）

A.BC=\,AC=2,AB=CB.ZA:ZB:ZC=1:2:3

C.BC：AC：AB=3：4：5D.ZJ：NB：ZC^3：4：5

8、如图，在中，ZJ=90°,46=6,BC=10,母'是6C的垂直平分线，刀是直线）上的任意一

点，则为十外的最小值是（)

A.6B.8C.10D.12

9、如图，在△月比'中，已知力8=月0=3,BC=4,若〃，少是边6c的两个“黄金分割”点，则庞的

面积为（)

5-26

A.10-4^B.375-5rD.20-8^5

2

10、以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（)

A.4,5,6B.8,15,17C.2,3,4D.1,五,3

第n卷（非选择题70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，一圆柱高8cm,底面半径为9cm,一只蚂蚁从点4沿侧面爬到点6处吃食，要爬行的最短路

汽

程是_____cm.

2、如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,B,C,D,E,尸均落在格点上.

（I）NBA厂的大小为（度）；

（H）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画一条直线把这个六边形所分成面积相等的

3、如图，ABJLBC,CDVBC,垂足分别为6,C,。为线段比1上一点，连结处，PD.已知46=5,DC=

4,BC=12,则的最小值为.

4、如图，△/回中，CA=CB,NACB=90°,£为a1边上一动点（不与点6、点，重合），连接力£并延

长，在4?延长线上取点D,使CD=CA,连接CD,过点。作CF1AD交/〃于点F,交龙的延长线于点

G,若CD=3,BG=\,则〃6=.

5、填空:

（1）如图，圆柱的侧面展开图是—，点6的位置应在长方形的边切的，点4到点6的最短

距离为线段的长度.

(2)AB=

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，在△力比中，/15=7cm,^<7=25cm,6c=24cm,动点P从点/出发沿4?方向以lcm/s的速度

运动至点6,动点0从点6出发沿6c方向以6cm/s的速度运动至点C,P、0两点同时出发.

（1）求N6的度数；

（2）连接闻，若运动2s时，求只0两点之间的距离.

2、已知a,b,。满足|且-#,\+Jb-5+（c-而）?=0

（1）求a,b,c的值；并求出以a,b,c为三边的三角形周长；

（2）试问以a,b,c为边能否构成直角三角形？请说明理由.

3、（1）如图1,四边形4?方的对角线4句_勿于点。.判断力#+5与的数量关系，并说明理

由.

N

图1图2

(2)如图2,分别以以△/回的直角边49和斜边/C为边向外作正方形/应物和正方形力CEM连接

BN,CM,交点为。.

①判断C”，8川的关系，并说明理由.

②连接楙：若相=2,BC=3,请直接写出版V的长.

4、如图，在4义4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1.

(1)请在所给网格中画一个边长分别为M，如，J万的三角形；

(2)此三角形的面积是.

5、如图，△45C中，NC=90。，BC=6,N46C的平分线与线段/C交于点〃，且有/片劭，点£是线

段4?上的动点(与/、8不重合)，联结班1,设//=入，DE=y.

(1)求N力的度数；

(2)求y关于x的函数解析式(无需写出定义域)；

(3)当ag分■是等腰三角形时，求451的长.

参考答案

一、单选题

1、D

【分析】

根据题意画出点AB的位置，然后根据勾股定理计算即可.

【详解】

过点B作x轴的平行线BC,过点A作轴的平行线AC,

AC和BC交于点C,

ABC=1-(-2)=3,AC=5-1=4,

AB=>JAC2+BC2=5>

故选:D.

【点睛】

本题考查了平面直角坐标系中两点的距离，勾股定理，根据题意构建直角三角形，运用勾股定理解题

是关键.

2、B

【分析】

根据勾股定理的逆定理逐一判断即可.

【详解】

解：A、32+4V62,故此选项不符合题意；

B、32+42=52,故此选项符合题意；

C、62+82^92,故此选项不符合题意；

D、52+12V14\故此选项不符合题意；

故选：B.

【点睛】

本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是理解如果三角形的三边长为a、b、c满足&2+9=占那

么这个三角形就是直角三角形.

3、D

【分析】

根据勾股定理的逆定理，若两条短边的平方和等于最长边的平方，那么就能够成直角三角形来判断.

【详解】

解：A、32+32=(3亚))能构成直角三角形，故此选项不合题意；

B、42+(46)2=8?,能构成直角三角形，故此选项不符合题意；

C、62+82=102,能构成直角三角形，故此选项不合题意；

D、52+52^(56)2,不能构成直角三角形，故此选项符合题意.

故选：D.

【点

本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定

最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断.

4、A

【分析】

根据三角形的内角和定理和勾股定理逆定理对各选项分析判断利用排除法求解.

【详解】

解：力、VZJ：NB：NC=5：12：13,

：.ZC=180ax£1=393.6°,不是直角三角形，故此选项正确；

8、•.•32+42=52,.•.是直角三角形，故此选项不合题意；

avz/-Z5=zc

/.ZJ=Z^ZC,

180°,

AZJ=90°，

...是直角三角形，故此选项不合题意;

D、'：I)=a-c,

:冷=/,是直角三角形，故此选项不合题意；

故选：A.

【点^青】

本题考查了直角三角形的性质，主要利用了三角形的内角和定理，勾股定理逆定理.

5、D

【分析】

利用勾股定理求出⑶的长，进而求出6C的长，AB^BC-AC即可求解.

【详解】

解：VDCYBC,

；.NDCB=90。,

VzSWC=30°,AC=5,

A£)=2AC=10,

CD-ACr-AC1=5y[3>

ZCDB=60°,

：.ZB=30°,

：.BD=2CD=IU6,

•*-BC=^BD1-CDT=15，

，AB=8C—AC=15—5=10m,

故选：D.

【点睛】

本题考查勾股定理的应用，解题关键是掌握勾股定理.

6、B

【分析】

根据题意过〃作DN1BF于N,连接DI,进而结合全等三角形的判定与性质得出S+$+S+S+W=

口△/1比的面积X4进行分析计算即可.

【详解】

解：在RtZUbC中，/侬=60°,斜边18=10,

BC=；AB=5,AC=-JAB2-BC2=5后，

过，作"月_跖于此连接。/,

在和△笈切中，

'NACB=NBND=90

"ZCAB=NNBD,

AD=BD

：.^ACB^^BND(A4S),

同理，Rt△肠仞运Rtaaz,

：.MD=OB,N〃%V=4BOC,

：.EM=DO,

：.DN=BC=CI,

'：DN//CI,

...四边形〃是平行四边形,

•；乙忆7=90°,

.•.四边形呢7是矩形，

：.ZDIC=90°,

,:/F=/DIO=90°,ZEMF=ZDMN=ZBOC=ZDOI,

△月修(AAS),

•,图中£=Si△加，S^BOC=SaiND,

・・S+S=5RIAJ5C.S?、=S&ABC，

在Rt△/必和RtZ\4欧中，

JAE=AB

[AG=AC9

：.Rt/\AGE^Rt/\ACB(应),

同理，RtZ\〃T的Rt△做9,

S+S+S+S+&

=S+Ss+(S+Si)+w

=Rt△力6C的面积+RtZ\W的面积的面积+RtZ\47C的面积

=Rt△48。的面积X4

=5X564-2X4

=50百.

故选：B.

【点睛】

本题考查勾股定理的应用和全等三角形的判定，解题的关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵

活的结合和应用.

7、D

【分析】

根据勾股定理的逆定理可判定力、C,由三角形内角和可判定6、D,可得出答案.

【详解】

A.当BC=1,AC=2,A?=石时，满足。+初=1+3=4=",所以△力比为直角三角形；

B、当N4：N8：ZO1：2：3时，可设N居x°,N后2x°,ZC=3x°,由三角形内角和定理可得

田2田3产180,解得产30°,所以NZ=30°,/盾60°,/年90°,所以△/回为直角三角形，

C、当BC：AC：AB=3：4：5时，设603x,AO\x,AB=5x,满足初+〃=/尻所以△46C为直角三角

形;；

D、当N4：Z5：ZO3：4：5时、可设NJ=3x°,N京4x°,Z(=5x°,由三角形内角和定理可得

3X+4X+5A=180,解得A=15°,所以N/=45°,N於60°,ZO75°,所以△力比为锐角三角形，

故选：D.

【点睛】

本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握直角三角形的判定方法是解题的关键，主要有①勾股定理

的逆定理，②有一个角为直角的三角形.

8、B

【分析】

如图，由线段垂直平分线的性质可知侬0C,则有必+如=为+PC,然后可知当点4P、，三点共线时,

为+如取得最小值，即为力。的长.

【详解】

解：如图，连接尸&

•・•）是6c的垂直平分线，

：.PB=PC,

：.PA+PB=PA+PC,

...必+用的最小值即为川+ZT的最小值，

当点4P、C三点共线时，处+阳取得最小值，即为4C的长，

在心。中，ZJ=90°,47=6,跖=10,由勾股定理可得：

AC=4BC，-AB。=8,

...必+阳的最小值为8；

故选B

【点睛】

本题主要考查垂直平分线的性质及勾股定理，熟练掌握垂直平分线的性质及勾股定理是解题的关键.

9、A

【分析】

过点力作4凡L8C于点斤由题意易得3尸=。r=2,再根据点。，E是边8c的两个黄金分割点，可得

BE=CD=J^BC=2逐-2,根据勾股定理可得AF=石，进而可得OE=2。尸=4石-8,然后根据三

2

角形的面积计算公式进行求解.

【详解】

解：过点力作加U8C于点凡如图所示:

A

BDFEC

图2

VAB=AC=3,BC=4,

：.BF=CF=2,

...在服△?!冲中，AFAAB2-BF'S

•••点。，E是边3C的两个黄金分割点，

BE=CD=^^-BC=2y/5-2,

2

VEF=BE-BF=245-4,DF=CD-CF=2亚-4,

C.DI^EF,

：.DE=2DF=4布-8,

：.S&ADE=:。£・4尸=；（46-8卜石=10-4行：

故选：A

【点睛】

本题主要考查二次根式的运算、勾股定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握二次根式的运算、勾

股定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键.

10、B

【分析】

根据勾股定理的逆定理：若三角形三边分别为a,b,c,满足/+匕2=°2,则该三角形是以。为斜边的

直角三角形，由此依次计算验证即可.

【详解】

解：A、42+52=41x6,则长为4,5,6的线段不能组成直角三角形，不合题意；

B、8?+152=289=172,则长为8,15,17的线段能组成直角三角形，符合题意；

C、22+32=13x42,则长为2,3,4的线段不能组成直角三角形，不合题意；

D、/+(&『=3#32,则长为1,日3的线段不能组成直角三角形，不合题意；

故选：B.

【点睛】

本题考查勾股定理的逆定理，掌握并熟练运用勾股定理的逆定理是解题关键.

二、填空题

1、10

【分析】

将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答.

【详解】

解：•一圆柱高8cm,底面半径为9cm,

底面周长为:2XnX-=12cm,则半圆弧长为6cm,

展开得:

B

仇=8cm,?!C=6cm,

由勾股定理得：AB=\IAC2+BC2=782+62=10(cm).

故答案为：10cm.

【点^1】

本题考查了勾股定理的实际运用一求最短距离，解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的

长度.

2、90连接丝与M交于点0,连接劭，四交于点R过点0,P作直线/.

【分析】

(1)运用勾股定理求出/凡AB,跖的长，再运用勾股定理逆定理判断出是直角三角形即可得出

结论；

(2)连接熊与跖交于点。，连接物，方交于点。，过点。，户作直线/,则可得结论.

【详解】

解：(1)连接8a如图,

由勾股得，AF2=22+f=5,AB2=\2+2l=5,BF2=l2+32=10

AF2+AB2=BF1

...M8尸是直角三角形

ZBAF=90°

故答案为：90；

(2)连接〃'与价'交于点0,连接BD,CE交于点、P,过点。，P作直线/,如图,

则直线/即为所求.

【点睛】

本题主要考查了应用与设计作图，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图

形的性质和基本作图的方法作图.

3、15

【分析】

延长力6至点区使BE=4B,过点。作力让48于凡得到所及"的长，当点反P、。共线时,

44%，=%'有最小值，利用勾股定理求出的即可.

【详解】

解：延长AB至点、E,使BE=AB,过点。作DFUB于F,则BF=CD=4,DF=B<=\2,

APWP=EP+DP,当点&P、〃共线时，/力以勺宏有最小值，

在直角三角形比尸中，EF=BE+BF=5+4=9,

DE=7EF'+DF2=5/92+12?=15，

.•.4斗如的最小值为15,

故答案为：15.

【点睛】

此题考查最短路径问题，勾股定理，熟记最短路径问题构造直角三角形解决是解题的关键.

4、V17-1

【分析】

连接4G,设/DCB=x,根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出N4厉=45°,然后根据等腰三

角形三线合一性质得出"'=4八然后根据垂直平分线的性质得出&=〃G,进一步得到△AGO是等腰直

角三角形，在RMABC中，根据勾股定理求出46的长度，设劭=例然后在RM43G中，利用勾股定理

即可求出应的长度.

【详解】

解：如图，连接4G.设/DCB=x.

'：CA=CB=CD,

：.ZCAD=ZCDA=^(180°-90°-x)=45°-ACDB=ZCBD=^(180°-x)=90°-x,

：.AADB=ACDB-ZCDA=9Q°-yx-(45°-1A-)=45°,

,：CGLAD,CA=CD,

：.DF=AF,

：.GA=DG,

：.ZGAD=ZGDA=45°,

：.ZAGB=9Q°,

设BD=m,则AG=DG=/I,

•；在Rt^ABC中,AB=y/AC2+BC2=V?TF=3应，

...在WAABG中，AB2=BG2+AG2,即(30)2=12+(Ml)\

解得m=A/17-1.

故答案为：V17-1.

【点睛】

此题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质以及三角形内角和定理等知识，解题的

关键是根据题意连接/G,得出△AGD是等腰直角三角形.

5、长方形

【分析】

（1）根据圆柱的展开图特点和两点之间，线段最短求解即可；

（2）根据勾股定理求解即可.

【详解】

解：（1）如图，圆柱的侧面展开图是长方形，点6的位置应在长方形的边切的中点处，点/到点6的

最短距离为线段的长度.

故答案为：长方形；中点处；AB-,

（2）由勾股定理得：AB=\IAC2+BC2-

故答案为：UC2+BC2-

【点睛】

本题主要考查了圆柱的侧面展开图，两点之间线段最短，勾股定理，熟知相关知识是解题的关键.

三、解答题

1>（1）NQ90°；（2）P、0两点之间的距离为13cm

【分析】

（1）如果三角形的三边长a,b,c满足a2+9=占那么这个三角形就是直角三角形.依据勾股定理的

逆定理进行判断即可；

（2）依据运动时间和运动速度，即可得到鳍和80的长，再根据勾股定理进行计算，即可得到N的

长.

【详解】

解：(1),：AB=lcm,/!C=25cm,8c=24cm,

.•."W=625=〃，

...△46C是直角三角形且N6=90°；

(2)运动2s时，1々1X2=2(cm),制=2X6=12(cm),

:.BP=AB-AP=1-2=5(cm),

Rt/\BPQ中，PQ=y]BP2+BQ2=752+122=13cm,

.••只。两点之间的距离为13cm.

【点睛】

本题主要考查了勾股定理的逆定理和勾股定理，解题的关键在于能够根据题意求出N8=90°.

2、(1)a=2忘，房5,"3日周长=5+50；(2)不能构成直角三角形，理由见解答.

【分析】

(1)由非数的性质可分别求得a、6、c的值，进而解答即可；

(2)利用勾股定理的逆定理可进行判断即可.

【详解】

解：(1)|a-氓\+匹二+(c-M)2=0.

.".<3-^=0,6-5=0,C-y/}8=0,

a=2V2,b=5,c=3yfl,

...以a,b,c为三边的三角形周长=2及+3正+5=5+5及；

(2)不能构成直角三角形，

Va2+c=8+18=26,炉=25,

...不能构成直角三角形.

【点睛】

本题主要考查非负数的性质及勾股定理的逆定理，利用非负数的性质求得a、6、c的值是解题的关

键.

3、(1)AB2+CD2=AD2+BC2;(2)①CM=BN,CM工BN；②5

【分析】

(1)根据勾股定理得到至2=402+802,同理求出CZ52,AZABC?即可求解；

(2)①证明4MAe祥BAN即可得到CM=BN；进而得到CMX.BN,②在四边形CMBN中,根据(1)求得

的结论即可求出，椒的长.

【详解】

解：⑴'：ACVBD,

：.ZAOB=ZBOC=4coD=ZDOA=90°,

.•.在RM4O8中，AB-=AO-+BO2,

在中，BC2=BO2+CO2,

在向ACO。中，C£>2=O£>2+OC2,

在R/ADOA中，AD2AO2+DO2,

/.AB2+CD2=AO2+BO2+OD2+OC2=AD2+BC2,

IPAB-+CD-=AD2+BC2;

(2)①•.•四边形也网和四边形"EV为正方形，

?.AM=AB,AC=AN,ZMAB=^CAN,

ZMAB+ABAC=ZCAN+ABAC,

ERZMAC=ZBAN,

A„MAC=„BAN（SAS）,

:・CM=BN,ZMCA=ZBNA

VZBM4+ZAPN=90°,

，乙WC4+NAPN=90。,

VZAPN=ZOPC,

JNMC4+NOPC=90。,

ZPOC=90°,

：.CMLBN,

综上，CM=BN,CMIBN：

②在四边形防。，中，比二笈M

由（1）知M?2+CN2=3C2+MN2,

VAB=2,BC=3,

•*-MB=yjAB2+AM2=2>/2，CN=\lAC2+AN2=726，

:・MN?=MB?+CN?—BC?