初中数学训练（函数综合）

初中数学专题训练（函数综合）

_4

1.如图，一次函数丁=乙+'与反比例函数'=（的图像交于A、B两点,其中点A的横坐标为1,

又一次函数丁=履+'的图像与x轴交于点。（―3，°）.

（1）求一次函数的解析式；

（2）求点B的坐标.

2.已知一次函数y=（l-2x）m+x+3图像不经过第四象限，且函数值y随自变量x的减小而减小。

（1）求m的取值范围；

（2）又如果该一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积是，求这个一次函数的解析式。

3.如图，在平面直角坐标系中，点。为原点，已知点A的坐标为（2,2）,

点5、C在x轴上，BC=8,AB=AC,直线AC与）'轴相交于点O.

（1）求点C、。的坐标；

（2）求图象经过5、A三点的二次函数解析式及它的顶点坐标.

4.如图四，已知二次函数丁="厂一26+3的图像与；1轴交于点4,点B,y

与）'轴交于点C,其顶点为。，直线℃的函数关系式为丁=依+',D

又/OBC=(

tan1.图

四

（1）求二次函数的解析式和直线oc的函数关系式；)

（2）求AMC的面积.8L

AOX

5.已知在直角坐标系中，点A的坐标是(-3,1),将线段04绕着点。顺时针旋转90.得到。氏

⑴求点8的坐标；(2)求过4、8、0三点的抛物线的解析式；

(3)设点B关于抛物线的对称轴&的对称点为C,求△ABC的面积。

y=一

6.如图，双曲线”》在第一象限的一支上有一点C(1,5),过点C的直线、=一/^+"(”>°)与

x轴交于点A(a,0)、与y轴交于点B.

(1)求点A的横坐标a与k之间的函数关系式；

(2)当该直线与双曲线在第一象限的另一交点D的横坐标是9时，求△CO。的面积.

7.在直角坐标系中，把点A(-1,a)(。为常数)向右平移4个单位得到点A,经过点4、A的抛

物线y=a?+/；x+c与),轴的交点的纵坐标为2.

(D求这条抛物线的解析式；(2)设该抛物线的顶点为点P,点8的坐标|

为(1,加)，且〃?<3,若△ASP是等腰三角形，求点8的坐标。I

图7

8.在直角坐标平面内，。为原点，二次函数^=--+法+(:的图像经过A(-1,0)和点8(0,3),

顶点为P«

(1)求二次函数的解析式及点尸的坐标；

(2)如果点。是x轴上一点，以点A、P、。为顶点的三角形是直角三角形，求点。的坐标。

9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线"""爪经过点A(l，3),8(0,1).

(1)求抛物线的表达式及其顶点坐标；

(2)过点4作X轴的平行线交抛物线于另一点C,

①求AABC的面积；②在)'轴上取一点P,使A48P与A48C相似，求满足条件的所有P点坐标.

▲y

6-

5-

4-

3上

2-

1-

，，，A....................»

-4-3-2-101234567x

-1-

-2-

-3-

-4-

图8

10.在平面直角坐标系X。)'中，将抛物线)'=29沿y轴向上平移1个单位，再沿X轴向右平移两个单

位，平移后抛物线的顶点坐标记作4直线》=3与平移后的抛物线相交于B,与直线OA相交于C.

(1)求AA8C面积；

(2)点P在平移后抛物线的对称轴上，如果AABP与AABC相似，求所有满足条件的P点坐标.

11.如图，直线OA与反比例函数的图像交于点A(3,3),向下平移直线OA,与反比例函数的图像交

于点B(6,m)与y轴交于点C.

(1)求直线BC的解析式；(2)求经过A、B、C三点的二次函数的解析式；

(3)设经过A、B、C三点的二次函数图像的顶点为D,对称轴与x轴的交点为E.问：在二次函

数的对称轴上是否存在一点P,使以O、E、P为顶点的三角形与4BCD相似？若存在，请求出点P

的坐标；若不存在，请说明理由.1v.

12.二次函数图像过A(2,1)B(0,1)和C(1,-1)三点。

(1)求该二次函数的解析式；(2)该二次函数图像向下平移4个单位，向左平移2个单位后,

原二次函数图像上的A、B两点相应平移到Ai、Bi处，求NBBiAi的余弦值。

13.如图，在直角坐标系中，直线y=,x+4与X轴、y轴分别交于A、B两点，过点A作CA_LAB,

2

CA=2后,并且作CD_Lx轴.(1)求证:△ADCs/iBOA(2)若抛物线y=-/+0x+c经过B、C两

点.

①求抛物线的解析式；②该抛物线的顶点为P,M是坐标轴上的一个点，若直线PM与y轴的夹

角为30°,请直接写出点M的坐标.

14.如图，已知二次函数产4/-2“*+3(a<0)的图像与x轴的负半轴交于点4,与y轴的正半轴交于

点8,顶点为P,且08=304,一次函数产的图像经过点A、点用

(1)求一次函数的解析式；

(2)求顶点P的坐标；

(3)平移直线AB使其过点P,如果点M在平移后的直线上，且求点M的坐标.

2

(第15题图)

15.如图16,在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB//OA,0A=7,AB=4,NCOA=60°,点P

为x轴上的一个动点，但是点P不与点0、点A重合.连结CP,D点是线段AB上一点，连结PD.

(1)求点B的坐标；

(2)当NCPD=N0AB,且殷=2,求这时点P的坐标.

AB8

16.如图，二次函数'的图像经过点A©，0)，凤—4,-4),且与),轴交于点C.

(1)试求此二次函数的解析式；

(2)试证明：^BAO=ZCAO(其中。是原点)；

(3)若尸是线段上的一个动点(不与A、8重合)，过户作轴的平行线，分别交此二次函

数图像及x轴于0、〃两点，试问：是否存在这样的点尸，使PH=2QH?若存在，请求出点P

的坐标；若不存在，请说明理由.

17.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴正半轴上，边C。在)，轴的正半轴上,

且A8=2,OB=2y[3,矩形ABOC绕点。逆时针旋转后得到矩形EFOD,且点A落在y轴上的E

点，点5的对应点为点尸，点。的对应点为点。.

(1)求/、E、。三点的坐标；

(2)若抛物线丫二4^+匕龙+^^经过点/、E、D,求此抛物线的解析式；

(3)在x轴上方的抛物线上求点。的坐标，使得三角形。。8的面积等于矩形ABOC的面积？

18.如图，在平面直角坐标系xOy中，。为原点，点A、C的坐标分别为（2,0）、（1,3百）.

将△AOC绕AC的中点旋转180°,点O落到点8的位置，抛物线y=-经过点A,点

。是该抛物线的顶点.

（1）求证：四边形A8C0是平行四边形；

（2）求。的值并说明点8在抛物线上；

（3）若点P是线段04上一点，且NAPD=NQ48,求点尸的坐标；

（4）若点P是x轴上一点，以尸、4、。为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y轴上，

写出点尸的坐标.外

19.已知，矩形O48C在平面直角坐标系中位置如图所示，A的坐标（4，°）,C的坐标（°，-2）,直线

2

一针与边BC相交于点O,⑴求点。的坐标；⑵抛物线>="-2+"+°经过点4、。、O,

求此抛物线的表达式；（3）在这个抛物线上是否存在点“，使°、D、A、M为顶点的四边形

是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点用的坐标；若不存在，请说明理由。

3o

y=—x+3

20.如图，在平面直角坐标系中，直线.4分别与X轴、y轴交于点A和点B.二次函数

y=-4ax+c的图象经过点8和点。（“，0）,顶点为/>.

（1）求这个二次函数的解析式，并求出P点坐标；

（2）若点。在二次函数图象的对称轴上，且4O48P,求尸。的长；

参考答案

1、解：（1）由点A在反比例函数图像上，则1,一（1分）

4=k+b%=1

<<

又点A（L4）与。（一3。）在一次函数图像上，则1。=-3左+_（2分）解得m=3.（1分）

...一次函数解析式为y="+3.——（1分）

y=x+3

（2）由片盘，---------（2分）消元得厂+3工-4=0,一（1分）

解得玉=-4"2=1（舍去），-一（1分）.•.点8的坐标是（-4,一1）.一—a分）

2.解：（1）二•一次函数y=（l-2x）m+x+3即y=（l-2m）x+m+3图像不经过第四象限

且函数值y随自变量x的减小而减小l-2m>0m+320,(2分)

•、1

•--3<m<—...(2分)

2

根据题意，得：函数图像与V轴的交点为（0,m+3）,与x轴的交点㈡…（1分）

则；.与小+）

31.......・.（1分）解得m=0或m=-24（舍）・・・（1分）

二一次函数解析式为：y=x+3（1分）

y

3.解:（1）过点A作AE_Lx轴，垂足为点E.........1,

丁点A的坐标为（2,2）,.,.点E的坐标为（2,0）.

9

：AB=ACfBC=8,：.BE=CE,........1'点B的坐标为（-2,0）.........V

点C的坐标为（6,0）.…”

设直线AC的解析式为：丫=丘+”（%’0）,将点A、C的坐标代入解析式,

1,

y=——x+3

得到：-2，点D的坐标为（0,3）..B3ECx

y=ax2+bx+c（"0）,

（3）设二次函数解析式为:第3题

«=-1

4。-2。+3=0,2

［。+。+解得:

,..423=2..2b=~.

V图象经过B、D、A三点,2V

y=--x2+—x+3(2,3i

，此二次函数解析式为：22r顶点坐标为).

4.解：⑴tanN°BC=l,.\OB=OC=3,.*.B(3,0)...........(2分)

将B(3,0)代入,=4_2以+30=9。—6。+3,.・.q=-1.......(1分)

，产—Y+2X+3；“-2+4…(］分)..必］,4),A(-l,0)…(2分)

将D(l,4)代入尸乙+3,.•4=1,y=x+3

^AABC=-X4X3=6

(2)2（4分）

5.解：(1)过点A作AH_Lx轴，过点B作BMJLy轴，

由题意得OA=OB,ZAOH=ZBOM,.'.△AOH^ABOM-------------1分

•；A的坐标是(-3,1),.，.AH=BM=1,OH=OM=3，B点坐标为(1,3)---------2分

(2)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c

a+b+c=3

•9a-3b+c=\5.13八52,13

。=一力=——，c=oy=-^+—X

则〔八°——3分得66.•.抛物线的解析式为.66一一2分

13_更3

(3)对称轴为10一一一1分的坐标为(5)——1分

二2255--------------2分

6.解：(1)；点C(1,5)在直线丁=一乙+双〃>°)上，

.5=-k-l+b•b=k+5「•y=-2x+Z+5v

\•点A(a,0)在直线左+5上，；tQ--ka+k+5.

⑵,•.•直高与双曲线在第一象限的另一交工D的横坐标是9,设点。(9,y),.........1'

J5qk,--5-

.,.点D(9,5).......r代入y=-"x+《+5,可解得：9.............1，

55050

y——xH-----

99...............”可得：点4(10,0),点B(0,9)...........2'

Liox竺-竺XI

•SACOD=SMOB—SMOO—SABOC=292929

-X—(10-1-1)-X—(10-1-1)—22；

=29=29=9r

7.解：（1）设抛物线的解析式为'=52+云+'

点A（-1,a）（。为常数）向右平移4个单位得到点A（3,a；...............（1分）

•••抛物线与轴的交点的纵坐标为2:-2.................（1分）

[a+b+c=a[a=-\

V图像经过点A（-1,a）、A'（3,a）.•」9a+"c=a…（1分）解得[〃=2……（2

分）

2

，ty=-X+2X+2...........................（1分）

（2）由y=一厂+2x+2=-（l）+3得p（i,3）AP=2后....................（1分）

VAABP是等腰三角形，点B的坐标为（Lm），且机＜3

（I）当AP=PB时，P8=2有，即3-加=2百...（1分）...加=3-2百......Q分）

（II）当AP=AB时（-1-1）2+（-1-3）2=（-1-1）2+（-1-^）2

解得〃z=3,根=一5……（]分）加=3不合题意舍去，.....（1分）

（III）当PB=AB时（1-1）2+（3-加）2=（-1-1）2+（-1-〃2）2解得'”一2...........（1分）

综上：当”?=3-2正或-5或2时，^ABP是等腰三角形.

J-l-b+c=O

8.解：（1）由题意，得ic=3（2分）解得力=2,C=3（1分）

...二次函数的解析式是丁=一/+2%+3（1分）

2

y=-x+2x+3=-（x-l）+4（.•.点p的坐标是（1.4）（2分）

（2）P（1,4）,A（-1,0）：.Ap2=20.（1分）设点Q的坐标是（x,0）NPAQ=90。不合题意

则AQ2=(1)2,PQ2=(I『+16(］分)

当NAQP=9。。时，A。"。=%"，（X+1『+（XT）2+16=20,解得々=1,々=7（舍去）

...点Q的坐标是（1,0）（2分）

当4PQ=9。。时，A尸+POjQ:20+（l『+16=（x+l）［解得＞9,

.,.点Q的坐标是（9,0）（2分）

综上所述，所求点「的坐标是（1,0）或(9,0).

1.5

——x2+bx+c。一二1

9.解：⑴将41，3）,8（0,1）,代入户2，解得2,c=l.…・2分

125533

y=—x+—x+1......1分,顶点坐标为(5'8)

•••抛物线的解析式为.22.1分

5揖此=13-1卜|4-1|=3

（2）①由对称性得C（4,3）.……1分:.2.…1分

/\DBD\

②将直线AC与y轴交点记作D,•••7万"方二5,NCDB为公共角，

\4ABDS4BCD.:.NABD=NBCD.......1分

PBAB

10当NP4B=N4BC时，AC~BC,

..8C=J(0_4)2+(1-3)2=2亚A8=J(0-1)?+(1-3)2=&

♦f9AC=3

35

...PB=5,...的,5)

........2分

PBABPB_后13

.鸟(°不

2°当NPAB=NBAC时,AC,：.2加3»•02分

（0,-）（0,-）

综上所述满足条件的尸点有2,3.1分

10.解：平移后抛物线的解析式为y=2(x-2)2+1.……2分.•.4点坐标为(2,1),……1分

,11

_1k=_y=­x

设直线OA解析式为y=0,将A(2,1)代入得2,直线。A解析式为.2,

133

y=—xy=——

将x=3代入.2得.2,点坐标为(3,2).........1分

,s=3

将》=3代入y=2(尤―2)?+1得y=3,.・.B点坐标为(3,3).…1分/.1…2分

(2)'JPA//BC,:.NPAB=NABC

1°当NPBA=NBAC时，PB//AC,

PA=BC=3-6(2二5)

•••四边形PACB是平行四边形，2....i分A2.…1分

APAB

=AP=—5

2°当N4PBnNB4C时，BC,:.BC4

_______________1Q]3<^\D

」B=J(3_2)2+(3-1)2=^.AP=1.6(2,《)2：\/

乂・Y,・・。•••17T・・。•,,17T]忑

(23)(2——)___■，，，，~_____,,>,

综上所述满足条件的P点有’2,'3...................1分-5-4-3X7.12：，45x

11.解：（1）由直线0A与反比例函数的图像交于点A（3,3）,得直线0A为：y三3s

99334-

y——y——iTi———-5■

双曲线为：.X,点B（6,m）代入.X得2,点B（6,2）,……0分）

3

设直线BC的解析式为y=x+b,由直线BC经过点B,将X=6,'=3代入y=X+"

b।=—9y=x—9

得2…（1分）所以，直线BC的解析式为.2...（1分）

y=x_2_2y^ax1+bx-

（2）由直线2得点qo,2）,设经过A、B、C三点的二次函数的解析式为

9a+3b--=3_1

，,92\a--~

y=ax^+bx--36。+即2=3/7_4

将A、B两点的坐标代入2,得22…（1分）解得口-4（1分）

12,9

y=—A+4x—

所以，抛物线的解析式为-22............（1分）

y——■-x2+4x-—y=--（x-4）2+——

（3）存在把.22配方得.22,所以得点D（4,2）,

对称轴为直线％=4…（1分）得对称轴与了轴交点的坐标为E（4,0）.............（1分）

CD2

由BD=^,BC=E^,CD=~=BC+BDf所以，NDBC=9°0.......（1分）

又NPEO=90°,若以0、E、P为顶点的三角形与^BCD相似，则有：

OEPE4PE,_444

①正=法即港=适得有片（4,3）,「2（%-3）

OEPE4PE

②DBBCgp2V26V2得PE=12,有6（4,12）,4（4,-12）.—（3分）

所以，点P的坐标为（4,3）,（4,一§）,(4,12),(4,-12).

\=4a+2h+c

l=c

-1=a+b+c

12.(1)设y=ax?+bx+c…1',代入A、B^C坐标得

得y=2x-4x+l...1，

COSZBB1A1=5

13.(1)VCD1AB.,.ZBAC=90°.•.ZBAO+ZCAD=90°（1分）

VCD±x^；.NCDA=90。.•.ZC+ZCAD=90°.......(1分)•，.ZC=ZBAO.......(1分)

又,.•NCDO=NAOB=90°.,.△ADCs△BOA，（1分）

4)—(1分).，.OA=8,OB=4,AB=4石...(1分)

(2)①由题意得，A(-8,0),B(0,

VAADC^ABOA,CA=2也

.,.AD=2,CD=4.\C(—10,4).......(1分)

将B（0,4）,C（-10,4）代入y=—/+"X+C

c=4c=4

-100-10Z?+c=4・U=-10T0X+4............（i分）

29二一29

③M（0,29+573）,M（O,29-5石）3

M（,0）,M（3,0）（4分）

当x=0时,'=3:.8（0,3）.....（］分）..=3,

14.解：（1）y=ax2-2ax+3,♦

又：...A°=1A（T,0）

OB=3OA,（2分）

-k+h=0

设直线AB的解析式,=""+'b=3,解得k=39b=3

直线A8的解析式为y=3x+3......（1分）

（2）•••AT。）,,0-6!+2a+3a=-\«.•y一上+2x+3=-（x-1）+4...Q分）

.••抛物线顶点P的坐标为（1,4）.……（1分）

（3）设平移后的直线解析式y=3x+〃?:点P在此直线上，...4=3+m，rn=\

...平移后的直线解析式y=3x+1....

（1分）

设点M的坐标为（X，3X+D,作/WE，》轴-

若点M在％轴上方时，ME=3x+\tAE=x+\

/八ME33x+l1

tanZ.OAM=---=—=-----x=-2）

在Rt/^AME中,由AE2x+1,/.3（1分）3……（1分）

若点M在x轴下方时，M£=-3x—l,AE-1+x

ME3-3x-\

tanZOAMx=——M（——，——）

在Rt/\AME中，由AE21+x9•93（1分）

15?

7）（一§—）

综上所述：M的坐标是3（1分）

15.解：（1）作8QJ_X轴于Q.•.•四边形OA8C是等腰梯形,：.ZBAQ=ZCOA=60°

BQ=AB•sinZB4O=4Xsin60°=2石…（1分）

在RtZ\8QA中，BA=4,

AQ=AB•cosZBAO=4Xcos60°=2,（1分）AOQ=OA—AQ=7—2=5

点8在第一象限内，.•.点B的坐标为（5,26）……（1分）

（2）•:NCPA=NOCP+ZCOP即ZCPD+ZDPA=ZCOP+ZOCP

WZCPD=ZOAB=ZCOP=60°：.ZOCP=ZAPD.........（1分）

OPPC

YNCOP=NPAD.......（1分）:AOCPsAAPD（1分）工仞-AP,

BD555

OP•AP=OC•AD.......（1.分）VAB-8；.8D=gAB=3,AD=AB—BD=4—2=2

3

，：AP=OA—OP=7—OPr.OP（7—OP）=4X2…（1分）解得OP=1或6

.•.点P坐标为（1,0）或（6,0）...（2分）

b=­

0=-4+4力+c<2

16、解：（1）•.•点A（4，°）与8（-4,~4）在二次函数图像上，...j-4=~4-40+c,解得1=2

11汽

y=—x2H—x+2

...二次函数解析式为"42.--------（2+1+1分）

（2）过8作BD,x轴于点°,由（1）得C（0,2）,

（1分）

/〜八CO21

n/A4c-tanZCAO=-----=—=—

则在R/MOC中，AO42,

tanZ.BAD==-=—

又在RAA8O中，AD82>---------（1分）

分）。

・.・tanNC4O=tanZBAO,_（1.・.NC4O=NBA（1分）

（3）由4（4，°）与夙一4,-4）,可得直线45的解析式为'=^-2,一（1分）

（）（）Q（X,—X~H—X4-2

PX」X-2,-4YXY4则142

设一

211c

PH=-x-2=2-L,QH=--x+-x+22--x=2-X2H—X+2

2242242

•----（1分）

=

2—x—x~+x+41Apf_i__

当22，解得否=4（舍去），’2人------（1分）

2—x=­x~—x-4-嗔A

当22，解得为=-3,々=4（舍去），

（1分）

综上所述，存在满足条件的点，它们是I2J与12人

17.解：（口联结4。「.•矩形AB。。A8=2,。8=2若.•.A0=4--------------门分）

•.•矩形ABOC绕点°逆时针旋转后得到矩形EFOD,A落在）'轴上的点E

；.AO=EO=4，E（0,4）_________（]分）

过D点作DH_LX轴于H,NDHO=ZABO/DOH=ZAOB,...ADWOsMBO

PHHODO

ABOBAO'''=2,OB=273,DO-2,AO=4

DH=l,OH=V3D（-瓜1）（1分）

同理求得，尸（&3）------------（1分）

3=3。+-\[3b+4

⑵因为抛物线L+公+c经过点?、E、D'=3。-扬+4

«=--=-c=4y=--X2+—X+4

求得：3'3'一（3分）所求抛物线为：33-（1分）

（3）因为在工轴上方的抛物线上有点Q,使得三角形的面积等于矩形的面积

ccr~~x2V3x//=2x2V3

设三角形的0B边上的高为h,则2，所以/1=4-------------（1分）

.22,V3,.八V3

.o/A\..4=—x4-----x+4,x.=O.x=—

因为点Q在x轴上方的抛物线上，•'^v4）3392一一（1分）

电

所以Q的坐标是（°'4）或2'--