八年级初二数学第二学期平行四边形单元自检题检测试卷

八年级初二数学第二学期平行四边形单元自检题检测试卷

一、选择题

1.如图，菱形ABC。的边长为4,NA=60,£是边AO的中点，尸是边A8上的一个动

点，将线段EF绕着E逆时针旋转60，得到EG,连接EG、CG,则6G+CG的最小

A.36B.2币C.D.2+26

2.如图，将矩形ABC。沿£尸折叠后点。与B重合.若原矩形的长宽之比为3:1,则一

BF

的值为（）

34

C.一D.-

45

3.如图，点E是矩形ABCD的边AB的中点，点F是边CD上一点，连接ED,EF,ED平分

A3

ZAEF,过点D作DGLEF于点M,交BC于点G,连接GE,GF,若FG〃DE,则r的值

AD

是（）

A.斗B.—C.V2D.73

22

4.如图：点E、F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形，且菱形AECF的周长

为20,BD为24,则四边形ABCD的面积为（）

A.24B.36C.72D.144

5.如图，四边形ABCD是正方形，直线Li、L2、L3,若LI与L2的距离为5,Lz与L3的距离

7,则正方形ABCD的面积等于（）

C.144D.148

6.已知，在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点片在y轴

上，点G、耳、&、G、鸟、&、均在x轴正半轴上，若己知正方形ABIGR的

边长为1,/耳。。=60°,且4G//S2c2〃员。3,则点A,的坐标是（)

A."不）B.智C.向看筌"书

7.如图，在ABC中，AB=AC=6,/8=45。，。是BC上一个动点，连接AD,以AD为边

向右侧作等腰ADE,其中AD=AE,/ADE=45°,连接CE.在点。从点B向点C运动过程

中，△CDE周长的最小值是（）

A.6夜B.6a+6

C.9亚D.9直+6

8.矩形纸片ABCD中，AB=5,AD=4,将纸片折叠，使点B落在边CD上的点3'处，折

痕为AE.延长8E交AB的延长线于点M,折痕AE上有点P,下列结论中：

①NM=NOA8'；®PB=PB'③AE=述：④MB'=CD；⑤若B'P，C£>,则

2

EB'=B'P.正确的有（）个

A.2B.3C.4D.5

9.如图，矩形ABCD和矩形CEFG,A8=l,BC=CG=2,CE=4,点P在边GF上，点Q在

边CE上，且PF=CQ,连结AC和PQ,M,N分别是AC,PQ的中点，则MN的长为

()

10.如图，在平行四边形43co中，对角线AC,8。交于点。，BO=2A£>,点E,

F,G分别是。A,OB,CO的中点，EG交FD于点、H,下列4个结论中说法正确的

有()

①EDJ.CA；②EF=EG；③FH=；FD；©1.

A.①②B.①②③C.①③④D.①②③④

二、填空题

11.在平行四边形ABCD中，NA=30°,A£>=2j§,BD=2，则平行四边形ABCD的面积

等于.

12.己知：点B是线段AC上一点，分别以AB,BC为边在AC的同侧作等边△A3。和等

边BCE,点M,N分别是AD,CE的中点，连接MN.若AC=6,设BC=2,则线段MN的

长是

E

M

N

13.如图所示，菱形A8CD,在边AB上有一动点E,过菱形对角线交点。作射线E。与CD

边交于点F,线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H,得到四边形EGF”，点E

在运动过程中，有如下结论：

①可以得到无数个平行四边形EGFH；

②可以得到无数个矩形EGFH：

③可以得到无数个菱形EGFH：

④至少得到一个正方形EGFH.

所有正确结论的序号是_.

14.如图，在等边A3C和等边DEP中，E。在直线AC上，3C=3OE=3,连接

BD,BE,则BD+BE的最小值是.

BC

15.如图，正方形ABCD的边长为6,点E、F分别在边AD、8c上.将该纸片沿EF折叠，

使点A的对应点G落在边DC上，折痕EF与AG交于点Q,点K为GH的中点，则随着折

痕EF位置的变化，4GQK周长的最小值为一.

16.如图，在RtaABC中，ZBAC=90°,AB=S,AC=6,以BC为一边作正方形BDEC设

正方形的对称中心为。，连接A。，则4。=.

17.如图，在正方形ABCD中，AC=6a,点E在AC上，以AD为对角线的所有平行四边

形AEDF中，EF最小的值是.

18.如图，已知在aABC中，AB=AC=13,BC=10,点M是AC边上任意一点，连接MB,以

MB、MC为邻边作平行四边形MCNB,连接MN,则MN的最小值是

19.定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1,在RtAABC中，ZACB

=90。，若点。是斜边A8的中点，则CD=，AB,运用：如图2,ZkABC中，ZBAC=90°,

2

48=2,AC=3,点。是BC的中点，将“BD沿AD翻折得到AAED连接8E,CE,DE,则

CE的长为.

A

20.如图，有一张长方形纸片ABC。，AB=4,AD=3.先将长方形纸片ABC。折

叠，使边AD落在边A8上，点。落在点£处，折痕为AF：再将A4EF沿EF翻折，

AF与BC相交于点G,则FG的长为.

BE(D)BE(D)B

三、解答题

21.如图，A48c是等腰直角三角形，AB=AC,。是斜边的中点，旦尸分别是

ABAC边上的点，且0E10F,若BE=12,CF=5,求线段EF的长.

22.如图1,AABC是以NACB为直角的直角三角形，分别以A3,BC为边向外作正方

形ABFG,BCED,AD,CF,AO与CF交于点A3与CF交于点N.

(1)求证：=\FBC；

(2)如图2,在图1基础上连接A尸和尸。，若AO=6,求四边形ACOF的面积.

23.在一次数学探究活动中，小明对对角线互相垂直的四边形进行了探究，得出了如下结

论：如图1,四边形ABC。的对角线AC与8。相交于点0,ACL8。，则

112

AB'+CD=AD+BC.

(1)请帮助小明证明这一结论；

(2)根据小明的探究，老师又给出了如下的问题：如图2,分别以RfAC8的直角边

AC和斜边AB为边向外作正ACFG和正方形ABOE,连结CE、BG、GE.己知

AC=4,AB=5,求GE的长，请你帮助小明解决这一问题.

24.如图，在平行四边形ABCD中，ABJ_AC,对角线AC,BD相交于点。，将直线AC绕点

。顺时针旋转一个角度a（0。＜必90。），分别交线段BC,AD于点E,F,连接BF.

（2）如图2,当旋转至90。时，判断四边形ABEF的形状，并证明你的结论；

（3）若AB=LBC=JL且BF=DF,求旋转角度a的大小.

25.如图，ABC是等腰直角三角形，NACB=90。,分别以AB,AC为直角边向外作等

腰直角AABD和等腰直角NACE,G为BD的中点，连接CG,BE,CD,BE与CD交于点

（1）证明：四边形ACG。是平行四边形；

（2）线段BE和线段C。有什么数量关系，请说明理由；

（3）已知Benji,求EF的长度（结果用含根号的式子表示）.

26.如图1,在矩形纸片ABCD中，A8=3cm,AD=5cm,折叠纸片使8点落在边AD上的

E处，折痕为PQ,过点E作EF〃AB交PQ于F,连接BF.

（1）求证：四边形BFEP为菱形；

（2）当E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随着移动.

①当点Q与点C重合时，（如图2）,求菱形BFEP的边长；

②如果限定P、Q分别在线段加、BC上移动，直接写出菱形BFEP面积的变化范围.

27.共顶点的正方形ABC。与正方形AEFG中，AB=13,AE=5近•

(1)如图1,求证：DG=BE；

(2)如图2,连结BF,以BF、BC为一组邻边作平行四边形8CHF.

①连结8H,BG,求也的值；

BG

②当四边形BC”F为菱形时，直接写出8"的长.

图1图2备用图

28.感知：如图①，在正方形A8CO中，E是AB一点"尸是AO延长线上一点，且

DF=BE,求证：CE=CF；

拓展：在图①中，若G在AO,且NGCE=45°,则GE=BE+G。成立吗？为什么？

运用：如图②在四边形ABCO中，AD//BC(BOAD),ZA=ZB=90°,

AB=BC=16,E是A8上一点，且/。CE=45。，BE=4,求OE的长.

图①图②

29.如图，在平行四边形ABCD中，AD=30,CD=10,F是BC的中点，P以每秒1个单位长

度的速度从A向D运动，到D点后停止运动；Q沿着Af8—C-。路径以每秒3个

单位长度的速度运动，到D点后停止运动.已知动点P,Q同时出发，当其中一点停止

后，另一点也停止运动.设运动时间为t秒，问：

(1)经过几秒，以A,Q,F,P为顶点的四边形是平行四边形

(2)经过几秒，以A,Q,F,P为顶点的四边形的面积是平行四边形ABCD面积的一

半？

BFC

30.在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE,以BE为边，在

BE的下方作正方形BEFG,并连接AG.

(1)如图1,当点E与点D重合时，AG=

(2)如图2,当点E在线段CD上时，DE=2,求AG的长；

(3)若AG=MI,请直接写出此时DE的长.

2

【参考答案】***试卷处理标记，请不耍删除

一、选择题

1.B

解析：B

【解析】

【分析】

取AB与CD的中点M,N,连接MN,作点B关于MN的对称点E,连接FC,E'B,此时

CE的长就是GB+GC的最小值；先证明E点与E，点重合，再在RtAEBC中，EB=2框,

BC=4,求EC的长.

【详解】

取AB与CD的中点M,N,连接MN,作点B关于MN的对称点F,连接FC,E'B

此时CE的长就是GB+GC的最小值;

VMN/7AD,

1

；.HM=-AE,

2

VHB±HM,AB=4,NA=60°,

，MB=2,NHMB=60",

；.AE'=2,

，E点与E，点重合，

VZAEB=ZMHB=90%

；./CBE=90°,

在RtAEBC中，EB=26,BC=4,

/•EC=2币,

故选A.

【点睛】

本题考查菱形的性质，直角三角形的性质；确定G点的运动轨迹，是找到对称轴的关键.

2.D

解析：D

【分析】

根据折叠的性质得到ED'=BE,ND'EF=NBEF,根据平行线的性质得到ND'EF=

ZEFB,求得BE=BF,设AD'=BC'=3x,AB=x,根据勾股定理得到BE=x,于是得

3

到结论.

【详解】

如图，将矩形ABCD沿EF折叠后点D与B重合，

，ED'=BE,ND'EF=ZBEF,

VADZ〃BC',

：.ZD'EF=/EFB,

AZBEF=ZEFB,

；.BE=BF,

•.•原矩形的长宽之比为3：1,

.,.设AD'=BC'=3x,AB=x,

.,.AE=3x-ED,=3x-BE,

VAE2+AB2=BE2,

(3x-BE)2+X2=BE2,

解得：BE=­x,

3

54

.,.BF=BE=-x,AE=3x-BE=-x

33

4

"BF5一二’

—X

故选：D.

【点睛】

本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，

熟练掌握折叠的性质是解题的关键.

3.C

解析：c

【分析】

由题意得4AED四△MED、Z\BEG丝△MEG、AMGF^ACGF,设CG=X,用含x的式子表示

AD=2x,AB=20X，即可得出®■=封至=夜

AD2x

【详解】

VED平分NAEF

AZAED=ZDEM

在矩形ABCD中，ZA=ZB=ZBCD=90°

VDG±EF

/.ZDME=ZEMG=ZGMF=90°

/.ZA=ZDME=90°

VDE=DE

.,.△AED^AMED

AME=AE

・・,点E是矩形ABCD的边AB的中点

AAE=BE

AME=BE

VZEMC=ZB=90°,EG=EG

RtABEG^RtAMEG

VAD/7BC

AZADG=ZCGD

VED/7GF

AZEDM=ZFGM

AZADE=ZCGF

AZCGF=ZFGM

AAMGF^ACGF

・・・MG=CG=BG

设CG=x

?.BC=2x

；.AD=DM=2x

ADG=3x

根据勾股定理可得

CD=2足

AB=2A/2X

.AB_2夜x_近

*'AD_2X

故选：c

【点睛】

本题考查了矩形的性质和全等三角形的判定和性质、勾股定理，掌握和全等三角形的判定

和性质、勾股定理是解题的关键.

4.C

解析：C

【分析】

根据菱形的对角线互相垂直平分可得ACJ_BD,AO=OC,EO=OF,再求出BO=OD,证明

四边形ABCD是菱形，根据菱形的四条边都相等求出边长AE,根据菱形的对角线互相平分

求出0E,然后利用勾股定理列式求出A0,再求出AC,最后根据四边形的面积等于对角线

乘积的一半列式计算即可得解.

【详解】

•.•四边形AECF是菱形，

/.AC1BD,AO=OC,EO=OF,

又•.•点E、F为线段BD的两个三等分点，

；.BE=FD,

.*.BO=OD,

VAO=OC,

四边形ABCD为平行四边形，

VAC1BD,

四边形ABCD为菱形；

•.•四边形AECF为菱形，且周长为20,

，AE=5,

VBD=24,点E、F为线段BD的两个三等分点,

11

AEF=8,OE=-EF=-x8=4,

22

22=

由勾股定理得，A0=Y/AE-OEA/52-42=3,

・・.AC=2AO=2x3=6,

.11

S四边形ABCD=-BD・AC=-x24x6=72；

22

故选：c.

【点睛】

本题考查了菱形的判定与性质，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理

以及利用菱形对角线求面积的方法，熟记菱形的性质与判定方法是解题的关键.

5.B

解析：B

【分析】

先作出4与，2，与的4距离AE、CF,证明4ABE丝4BCF,得至I]BF=AE,再利用勾股

定理即可得到答案.

【详解】

过点A作AEJj?，过点C作CF1.4，

NAEB=NCFB=90°,

.".ZABE+ZBAE=90",

:四边形ABCD是正方形，

；.AB=BC,/ABC=90°,

AZABE+ZCBF=90°,

AZBAE=ZCBF,

在4ABE和ABCF中，

NBAE=NCBF

<NAEB=NBFC,

AB=BC

.,.△ABE^ABCF,

；.BF=AE=5,

在RtZXBCF中,CF=7,BF=5,

，BC2=BF2+CF~=52+72=74,

正方形ABCD的面积=BC2=74,

故选：B.

<B

11

【点睛】

此题考查正方形的性质，三角形全等的判定及性质定理，平行线之间的距离处处相等，题

中证明两个三角形全等是解题的关键，由此将两个距离5和7变化到一个直角三角形中，

由此利用勾股定理解决问题.

6.C

解析：c

【分析】

根据两直线平行，同位角相等可得/B3c3O=/B2c2O=/BCQ=60。，然后利用三角形全等

可得B2E2=E|E2=D|E1=E3c2，E2C2=E3E4=B3E4，解直角三角形求出0C|、GE、E1E2、

E2c2、C正3、E3E4、E4c3，再求出B3c3,过点A3延长正方形的边交X轴于M,过点A3作

A3NJ_x轴于N,先求出A3M,再解直角三角形求出A3N、C3N,然后求出ON,再根据点

A3在第一象限写出坐标即可.

【详解】

解82c2〃B3c3，

2c2。=/8《|060°,

;正方形A1B1CQ1的边长为1,B|C|=C|D1，NB|C1D|=9O°,

.,.ZC|B|O=ZD|C,E1=30°,

.".△CIBIO^ADIC^I；

B|O=CiE]90c尸D[E],

同理可得B2E2二E1E2二D|Ei=E3c2；E2c2=E3E4二B3E4；

•1•oci==E[E2=B2E2=C2E3=l

C]R=今DG=与xi=今

口「k万DJ7CR口166

E2C2=E3E4=B3E4=—B2E2=-X—=—

3230

口「—道R口V3_1

EACT.=—B3E4=—x—=一

43334636

B3c3—2E4c3=2x—=—

63

过点4延长正方形的边交x轴于M过点43作4乂，不轴于N,

y

则A.M=4U+—CQ,=与仁+—BG=-+-x—=土正

3333339

AZV3...3+V3GG+i

A“N=——A,M=-----x——=-----

’2'926

「八/1.A/3+613+6

C.M=-A,M=-----x—=------

3239218

.「z_口;.3+6_6-1

..C&N—EAM-C、M=一x—x2-------=------

343(33J186

ON—OC[+£E[+E]E)+E2c2+C2£^++C3N

,・,点心在第一象限，

二点43的坐标是V3-j.

故选C.

【点睛】

本题考查正方形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，30°角的直角三角

形.熟练掌握有30°角的直角三角形各边之间的数量关系是解决本题的关键.

7.B

解析：B

【分析】

如图（见解析），先根据等腰直角三角形的判定与性质可得

4B4C=NZXE=90°,3c=6，5,OE=,再根据三角形全等的判定定理与性质

可得BD=CE,从而可得△CDE周长为5C+J5A。，然后根据垂线段最短可求出AD

的最小值，由此即可得.

【详解】

在A3C中，AB=AC=6,ZB=45°,

ABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,BC=4AB2+AC2=6A/2-

在AOE中，AD=AE,ZADE=45°,

，VAOE是等腰直角三角形，ZDAE=90°,DE=y]AD2+AE2=V2AD>

/BAD+ACAD=NC4E+NC4。=90°,

ZBAD=ZCAE,

AB=AC

在△AB。和△ACE中，■ZBAD=Z.CAE,

AD=AE

ABD=ACE（SAS）,

BD=CE,

CDE周长为CD+CE+DE=CD+BD+DE=BC+DE=6母+丘AD>

则当AD取得最小值时，△COE的周长最小，

由垂线段最短可知，当AD18C时，AD取得最小值，

AO是BC边上的中线（等腰三角形的三线合一），

AD=-BC=3y/2（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），

2

COE周长的最小值为6出+0x3出=6&+6，

故选：B.

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、三角形全等的判定

定理与性质、垂线段最短等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键.

8.C

解析：c

【分析】

①由翻折知NABE=NAB'E=90L再证NM=NCB，E=NBAD即可；②借助轴对称可知；③利

用计算，勾股定理求&D,构造方程，求EB,在构造勾股定理求MB，=秘；④由相似

2

CB'：BM=CE：BE,BM=—,在计算B'M>5；⑤证"EG四得BE=B'P,再证菱形即

3

可.

【详解】

①由折叠性质知NABE=NAB'E=90。，

CBfD

/.ZCB'E+ZAB'D=905

VZD=905

.*.ZB'AD+ZAB'D=902

.*.ZCB'E=ZB'AD,

VCD//MB,

.•.ZM=ZCB'E=ZB'AD；

②点P在对称轴上，则B'P=BP；

③由翻折，AB=AB'=5,AD=4,

由勾股定理DBT,

/.CB'=5-3=2,

设BE=x=B'E,CE=4-x,

在Rt^B'CE中，ZC=90°,

由勾股定理(4-x)2+22=X2,

解得x=Z

2

④由BM〃CB，

.,.△ECB,s^EBM,

ACB'：BM=CE：BE,

10

；.BM=—,

3

则+42=y>5=CD；

⑤连接BB',由对称性可知，BG=B'G,EP_LBB',

BE〃B'P,

，BE=B'P,

...四边形BPB乍为平行四边形，

又BE=EB',

所以四边形BPB(E是菱形，

所以PB'=B'E.

故选择：C.

【点睛】

此题考查了矩形的性质、图形的翻折变换以及相似三角形的性质等知识的应用，此题的关

键是能够发现△BEGgZ^B'PG.

9.C

解析：C

【分析】

连接CF,交PQ于R,延长AD交EF于H,连接AF,则四边形ABEH是矩形，求出FH=

1,AF=y/AH2+FH2=V37-由ASA证得△RFP^^RCQ,得出RP=RQ，则点R与点M

重合，得出MN是ACAF的中位线，即可得出结果.

【详解】

解：连接CF,交PQ于R,延长AD交EF于H,连接AF,如图所示：

则四边形ABEH是矩形，

.*.HE=AB=1,AH=BE=BC+CE=2+4=6,

•四边形CEFG是矩形，

FG//CE,EF=CG=2,

...NRFP=NRCQ,NRPF=NRQC,FH=EF-HE=2-1=1,

在RMAHF中，由勾股定理得：AF=y/AH2+FH2==737)

ZRFP=RCQ

在ARFP和ARCQ中，<「尸=。。，

NRPF=RQC

.♦.△RFP丝△RCQ(ASA),

；.RP=RQ,

.,.点R与点M重合，

:点N是AC的中点，

AMN是ACAF的中位线，

.,.MN=J-AF=-xV37

222

【点睛】

本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三

角形中位线定理等知识；作辅助线构建全等三角形是解题的关键.

10.B

解析：B

【分析】

由等腰三角形“三线合一”得ED_LCA,根据三角形中位线定理可得EF=1AB；由直角三角

形斜边上中线等于斜边一半可得EG=』CD,即可得EF=EG；连接FG,可证四边形DEFG是

2

平行四边形，即可得FH=gFD,由三角形中位线定理可证得%OEF=5SAAOB，进而可得

24

311z_

SAEFD=SAOEF+SAODE=_SC，ABCD>而SAACD=：TSOABCD，推出SAEFD#^SAACD，即可得出结论.

1622

【详解】

连接FG,如图所示:

•.•四边形ABCD是平行四边形，

OA=OC,OB=OD,AD=BC,AD〃BC,AB=CD,AB〃CD,

VBD=2AD,

.\OD=AD,

•.,点E为0A中点，

AEDICA,故①正确；

；E、F、G分别是OA、OB、CD的中点,

1

，EF〃AB,EF=-AB,

2

,/ZCED=90°,G是CD的中点,

1

.".EG=—CD,

2

，EF=EG,故②正确；

：EF〃AB,AB〃CD,

；.EF〃CD,EF=EG=DG,

，四边形DEFG是平行四边形，

/.FH=DH,

即FH=』FD,故③正确；

2

,.,△OEF^AOAB,

.1

SAOEF=_SAAOB>

4

..11

SAAOB=S&AOD=TS„ABCD，SAACD=­S，ABCD>

42

.1

••SAOEF=_SCABCD，

16

VAE=OE,

.11

SODE=—SAAOD=­S，ABCD>

&28

.11_3

••SAEFD=SAOEF+SAODE=­S“ABCD+-S,ABCD=~S-ABCD，

SziEFD—SAACD>故④错误；

2

综上，①②③正确；

故选：B.

【点睛】

本题考查了平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，三角形面积，直角三角形斜边上

中线性质，等腰三角形性质等知识；熟练运用三角形中位线定理、等腰三角形的性质是解

题关键.

二、填空题

11.4G或2g

【分析】

分情况讨论作出图形，通过解直角三角形得到平行四边形的底和高的长度，根据平行四边

形的面积公式即可得到结论.

【详解】

解：过。作。EJ_至于E,

在R3AOE中,ZA=30°,AD=2百，

；.DE=LAD=M,AE=—AD=3,

22

在RtZ\3£>E中,BD=2,

BE=4BDr-DE1=q展-(向=1，

AB=4,

二平行四边形ABCD的面积=ABDE=4x£=4超,

如图2,

AB=2,

平行四边形ABCD的面积=ABDE=2x楞=2拒，

图3

在Rtz\A8E中，设AE=x,则。E=20-x，

NA=30。，—

3

在中，BD=2,

22=+(2\/3—x)->

:.x=5x=2y/3（不合题意舍去），

BE=\,

A平行四边形ABCD的面积=ADBE①x2也=20，

当AO_LBO时，平行四边形A8CD的面积=AO30=46，

故答案为：46或2G.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的面积公式的运用、30度角的直角三角形的性

质，根据题意作出图形是解题的关键.

12.V21

【分析】

如图（见解析），先根据等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质可得

MEHAB,ME=A8=4,再根据平行线的性质可得NFEM=ZC=60°,然后利用直角

三角形的性质、勾股定理可得防=2,怵=2g,从而可得FN=3,最后在RfFMN

中，利用勾股定理即可得.

【详解】

如图，连接ME,过点M作交CE延长线于点F,

△ABD和BCE都是等边三角形，BC=2,

:.ZA=NCBE=NC=60。,BE=CE=BC=2,AD=AB,

：.AD//BE,

AC—6,

AO=A8=6—2=4,

点M,N分别是AD,CE的中点，

AM=!A0=2,EN=」CE=1,

22

AM=BE,

...四边形ABEM是平行四边形，

:.MEHAB,ME=AB=A,

NFEM=NC=60°,

在RtAEFM中，NEMF=90°-60°=30°,

EF=LME=2,MF=y]ME2-EF~=273,

2

:.FN=EN+EF=1+2=3,

则在RrFMN中,MN=dFN?+MF?=舟+（2折?=后,

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质

等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形和平行四边形是解题关键.

13.①③④

【分析】

由“A4S”可证△AOE丝△COF,△AH。丝ZkCG。，可得。E=OF,HO=GO,可证四边形EGFH

是平行四边形，由EF_LGH,可得四边形EGF”是菱形，可判断①③正确，若四边形A8CD

是正方形，由“ASA”可证△80G名△COF,可得。G=OF,可证四边形EGF”是正方形，可

判断④正确，即可求解.

【详解】

解：如图，

•・•四边形A8CD是菱形，

：.AO=CO,AD//BC,AB//CD,

ZBAO=ZDCO,NAEO=NCF。,

.♦.△AO&ZXCOF(AAS),

OE=OF,

•••线段EF的垂直平分线分别交8C、AD边于点G、H,

过点。，GHLEF,

'：AD//BC,

：.ZDAO=ZBCO,ZAHO=ZCGO,

：.A-AHO^ACGO(AAS),

HO=GO,

，四边形EGFH是平行四边形，

；EFLGH,

四边形EGFH是菱形，

,点E是AB上的一个动点，

随着点E的移动可以得到无数个平行四边形EGFH,

随着点E的移动可以得到无数个菱形EGFH,

故①③正确；

若四边形A8CD是正方形，

AZBOC=90°,ZGBO=ZFCO=45°,OB=OC；

"：EFLGH,

：.ZGOF=90°；

/BOG+NBOF=NCOF+NBOF=90°,

；.NBOG=NCOF；

在ABOG和△COF中，

ZBOG=NCOF

\BO=CO,

ZGBO=ZFCO

：./\BOG^^COF(ASA)；

：.OG=OF,

同理可得：EO=OH,

：.GH=EF；

...四边形EGFH是正方形，

:点E是AB上的一个动点，

至少得到一个正方形EGFH,故④正确,

故答案为：①③④.

【点睛】

本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定和

性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是关键.

14.后

【分析】

如图，延长CB到T,使得BT=DE,连接DT,作点B关于直线AC的对称点W,连接TW,

DW,过点W作WK1BC交BC的延长线于K.证明BE=DT,BD=DW,把问题转化为求

DT+DW的最小值.

【详解】

解：如图，延长CB到T,使得BT=DE,连接DT,作点B关于直线AC的对称点W,连接

TW,DW,过点W作WK_LBC交BC的延长线于K.

VAABC,Z\DEF都是等边三角形，BC=3DE=3,

ABC=AB=3,DE=1,ZACB=ZEDF=60°,

ADE/ZTC,

VDE=BT=1,

・・・四边形DEBT是平行四边形，

ABE=DT,

ABD+BE=BD+AD,

VB,W关于直线AC对称，

/.CB=CW=3,ZACW=ZACB=60°,DB=DW,

.\ZWCK=60o,

VWK±CK,

.\ZK=90°,ZCWK=30°,

133J3

・・・CK=—CW—,WK=Vr3CK=ry±,

22r2

311

ATK=l+3+-=—,

ADB+BE=DB+DT=DW+DT>TW,

.\BD+BE>737，

・・・BD+BE的最小值为历，

故答案为后.

【点睛】

本题考查轴对称-最短问题，等边三角形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质

等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题.

15.3+36

【分析】

取AB的中点M,连接DQ,Q.M,DM.证明QM=QK,QG=DQ,求出DQ+QM的最小值

即可解决问题.

【详解】

取AB的中点/W,连接DQ,QM,DM.

,四边形ABC。是正方形，

：.AD=AB=6,NOAM=NADG=90",

；A/W=8M=3,

DM=\[AB^AM^-[©+32=3逐，

,:GK=HK,AB,GH关于EF对称，

AQM=QK,

VZADG=90°,AQ=QG,

：.DQ=AQ=QG,

；△QGK的周长=GK+QG+QJ=3+DQ+QM.

又：DQ+QMNDM,

：.DQ+QM23逐，

△QGK的周长的最小值为3+3加,

故答案为3+3y/5.

【点睛】

本题考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、最值问题，解题的关键是取AB的中

点M,确定QG+QK=QD+QM,属于中考常考题型.

16-7&；

【分析】

连接A。、B。、CO,过。作FOJ_AO,交AB的延长线于F,判定△AOCg^FOB(ASA),

即可得出AO=FO,FB=AC=6,进而得到AF=8+6=14,NFAO=45°,根据AO=AFxcos45°进行计

算即可.

【详解】

解：连接A。、B。、CO,过。作FO_LA。，交AB的延长线于F,

V0是正方形DBCE的对称中心,

.".BO=CO,ZBOC=90°,

VFO1AO,

ZAOF=90°,

，/BOC=NAOF,

即ZAOC+ZBOA=ZFBO+ZBOA,

AZAOC=ZFBO,

VZBAC=90°,

.•.在四边形ABOC中，ZACO+ZABO=180",

VZFBO+ZABO=180°,

AZACO=ZFBO,

在AAOC和△FOB中，

NAOC=/FOB

<AO=FO,

ZACO=NFBO

.".△AOC^AFOB(ASA),

.\AO=FO,FB=FC=6,

；.AF=8+6=14,ZFAO=ZOFA=45",

AO=AFxcos450=14x受=［叵.

2

故答案为7夜.

【点睛】

本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质.本题的关键是通过作辅助线来构建

全等三角形，然后将已知和所求线段转化到直角三角形中进行计算.

17.3亚

【详解】

解析：•.•在正方形ABCD中，AC=6收，

；.AB=AD=BC=DC=6,ZEAD=45°

设EF与AD交点为0,。是AD的中点，

.,.A0=3

以AD为对角线的所有。AEDF中，当EF_LAC时，EF最小，

即aAOE是直角三角形，

：NAEO=90。，NEAD=45。，0E=—OA=^/1,

22

；.EF=2OE=3也

【分析】

设MN与BC交于点。,连接A。，过点。作。于H点，根据等腰三角形的性质和勾

股定理可求A。和。H长，若MN最小,则M。最小即可，而。点到AC的最短距离为

长，所以MN最小值是20H.

【详解】

解：设MN与8c交于点。，连接A。，过点。作。HLAC于"点,

•.•四边形MCNB是平行四边形,

二。为8c中点，MN=2MO.

"：AB=AC=13,BC=10,

：.AOLBC.

在RtZXAOC中，利用勾股定理可得

AO=VAC2-co2=Vi32-52=12♦

利用面积法：AOXCO=ACXOH,

即12X5=13X0”,解得0H=”.

13

当M。最小时，则MN就最小，。点到AC的最短距离为。“长,

所以当M点与〃点重合时，M。最小值为。H长是2.

,120

所以此时MN最小值为2OH=---.

13

工/­、，120

故答案为：——.

13

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质、垂线段最短、勾股定理、等腰三角形的性质，解题的

关键是分析出点到某线段的垂线段最短，由此进行转化线段,动中找静.

19.运

13

【分析】

根据L•8GAH=』可得根据，AD・BO=

-BD»AH,得。8=

221322

凶3,再根据8£=2。8=呸叵，运用勾股定理可得EC.

1313

【详解】

设BE交AD于O,作AH_LBC于从

在RMA8c中，/8AC=90°,A8=2,AC=3,

由勾股定理得：BC=V13-

;点。是BC的中点，

/•AD—DC=DB='13,

2

11

-•BC^AH=—•AB•AC,

22

・■-6屈

••r\i-i

13

"：AE=AB,DE=DB,

.•.点A在8E的垂直平分线上，点。在BE的垂直平分线上,

：.AD垂直平分线段BE,

11

,/一AD・BO=-BD,AH,

22

•OR-6而

13

.c-_12V13

>•BE-2.0B----------,

13

DE=DB=CD,

AZDBE=ZDEB,ZDEC=ZDCE,

1

.".ZDEB+ZDEC=-X180°=90°,B|J：NBEC=90°,

2

.♦.在Rt"CE中，EC=1BC?-BE?

I1J，J

故答案为：生叵.

13

【点睛】

本题主要考查宜角三角形的性质，勾股定理以及翻折的性质，掌握“直角三角形斜边长的

中线等于斜边的一半”以及面积法求三角形的高，是解题的关键.

20.0

【解析】

【分析】

根据折叠的性质可得NDAF=/BAF=45。，再由矩形性质可得FC=ED=1,然后由勾股定理求出

FG即可.

【详解】

由折叠的性质可知，ZDAF=ZBAF=45°,

；.AE=AD=3,EB=AB-AD=1,

•.•四边形EFCB为矩形，

VAB//FC,

，NGFC=NDAF=45°,

.".GC=FC=1,

•••FG^^GC2+FC2

故答案为：>/2•

【点睛】

本题考查了折叠变换，矩形的性质是一种对称变换，理解折叠前后图形的大小不变，位置

变化，对应边和对应角相等是解决此题的关键.

三、解答题

21.EF=13.

【分析】

首先连接AD,由△ABC是等腰直角三角形，AB=AC,D是斜边BC的中点，可得：AD