2018-2019学年高中数学人教A版选修2-2学案：第一章　导数及其应用 章末复习

章末复习

【学习目标】1.理解导致的几何意义，弃能解决有关切线的问题。2.

能熟练应用求导公式及运算法阳。3.掌握利用导致斫究函数的单调

性、极值与最值，并能应用其解决一些实际问题。4.了解定积分的

概念及其询单的应用.

知识梳理整合知识深化要点

1.导致的概念

(1)定义：函数y=/(幻在x=xo处的瞬时变化率错误！错误！，称为国

数y=«X)在％二松处的导致.

(2)几何意义：函数y=/CJ在x=xo处的导数是函数图象在点(XQ,

式为刀处的切线的斜率，表帚为乙_皿，其切线方程为y-f门皿

二1(X0)(x-xo).

2.基率初等函数的导致公式：

(1对=0.

C2J(yj/=oxa~].

(3)3)'=^\na(a>0).

C4)(ex)f=贮.

C5JClogax)'二错误!'二错误！(a〉0,且在1).

C6)(ln%)'=错误！。

(7)(sinx)r=cosxo

C8)(cosx)'=-sinxo

3.导致的运算法如

Cl)l/(x)±g(x)Jr=f(x)(x).

(2)[fCx)火Cx)/(x)+危

13)错误!'=错误！(g{x)^OJ.

4.复合函数mm取导法灯

⑴复合函数圮法：y=fig(x)).

(2)中间变量代换：u=gCx).

(3J逐层求导法贝士yj=%'%'.

5.函数的单调性、极值与导致

(1)函数的单调性与导致

在某个区间(a,b)内,如果片幻>0,那幺函数y=/q)在这个区间

内单调递增;如果尸CJ<0,那幺函数y=/行)在这个区间内单调

递戒.

(2)函数的极值与导致

①极大值:在点％附近，满足/晨?)引"幻，当"〃时，fCJ〉0,

当x>a时，f3〈°,如点a叫做函数的极大值点，八。)叫做函数mm

极大值；

②极小值：在点X=Q附近，满足/屋?)95)，当X<M时/(X)<0,当

X>4时，f(x)>0,如点。叫做函数的极小值点，犬。)叫做函数的极

小值.

(3)求函数/CJ在阿区间La,切上的最值的步骤

①不函数y=/(x)在(a,b)内的极值；

②将函数y=fCx)的极值与踹点处的函数值1。)，f(b)尢较，其

中最大的一个就是最大值,最小的一个就是最小值.

6.微积分基不定理

(X)是区间切上的连续函数,并且尸(X)=/Cd,那幺〕错误!

f(x)dx=F(b)-F(a).

7.定积分的性质

(\)\错误!4/(x)ck=Af错误!成幻dx僚为常数).

(2)\错误!员(门坊(x)1dx=f错误成(x)dx±f错误!力(x)dxo

C3Jf错误!成幻dx=f错误!/(x)dx+J错误!/CJdx(其中〃<c〈b).

思考辨析判断正误------------------1

1.fCxoJ是函数y=/Cd在x=xo附近的平均变化率.(x)

2.函数/CO=sin(-x)的导致是7Cx)=cosx.(x)

3.若函数y=/(x)在区间Ca,b］上连续且恒正,贝打错误!成x)dx〉0o

(N)

题型探究启迪思维探究重点

类型—导致几何意义的应用

均1设函数/00=错误4+以2-9%-1(a>0),直线/是曲线y二/

(x)的一条切线，当/的斜率最小时，直线/与直线10%+y=6平

行.

(\)末〃的值；

(2)^fix)在x=3处的切线方程.

考点取函数在某点处的切线方程

题点求曲线的切线方程

解(1Jf(x)=x2+2ax-9=(x+op—〃2-9,

f(X)min——〃—9,

由题意知一层一9二-10,・・・。=1或-1(舍去人

改a=1.

(2J由Cl)得a=l,

:・f(x)=x2+2x-9,

叫k=/(3)=6,/C3J=-10.

：.f(x)在x=3处的切线方程为y+10=6Cx-3),

豆

P6x-j-28=0o

反思与感悟利用导致求物线方程时吴健是找到切点，若初点未知

需谀幽.常见的类型有两种：一类是取“在某点处的切线方程”，如

此点一定为切点，易取斜率进而写由直线方程即可得；身一类是取

“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点

为。(x\,y\),由错误！=/(沏)和了1=/(即)，末幽羽乎mm值，转化为第

一种类型.

跟踪训练1直线y=丘+匕与曲线y=必+依+1相切亍点(2,3),

贝:iZ?=.

考点求曲线在某点处的切线方程

题点曲线的切线方程的应用

答案-15

解析由题急知人2)=3,见ia=-3。

f(x)=x3-3x+l,f{x)=3x2-3,/(2J=3x22-3=9=鼠

又点(2,3)在直线y=9x+bJz,

."=3-9x2=-15o

类型二函数的单调性、极值、最值问题

另2段。为实数，函数火无)=cx-2x+2a,xGR.

(1J(x)的单调区间与极值；

(2)取证：当。〉ln2-l且x>0时，ex>x2—2ax+1.

考点利用导致研究函数的单调性

题点利用导致证明不等大

11)解由«x)=ex-2x+2a,x£R,

x

知fCx)=e-2,%eR0

令/(%)=0,x=In2O

当％变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表：

Cln2,+

X(-oo,In2)In2

00)

f(x)一0+

极小

f(x)X/

值

改兀0的单调递减区间是(-oo,In2),单调递增区间是Cln2,+

oo),/在x=ln2处取得极小值，极小值为/Cln2)=eln2-21n

2+2a=2(1-In2+a).

(2)证明设g(x)=eA-x2+2ax-1,x£R,

亍是g'(x)=cx-2x+2a,x£R.

由(1)知当«>ln2-1时,g'(x)取最小值为g'(ln2)=2Cl-In2+a)>0.

亍是对任意x£R,都有g'(x)>0,

所以g(x)在R内单调递增.

亍是当。〉ln2-l时，对任意工£(0,+ooJ,都有g(x)>g(0).

而gCO)=0,从而对任意x£(0,+ooj,都有g(x)>0,

豆Pex-x2+lax-l>0,

x2

改e>x-2ax+1o

反思与感悟本类题考查导致的运算，利用导致研究函数的单调

性，求函数的极值和证明不等大，考查运算能力、分析问题、解决

问题的能力.

跟踪训练2日知函数式外=xlnxo

C1J(x)的最小值；

(2)若对所有后1部有凡¥巨办-1,不实数。的取值范围；

(3)若关亍x的方程/CJ=b恰有两个不相等的实数根，求实数Z?

mej取值范围.

考点函数极值的综合应用

题点函数零点与方程的根

解(iy(x)的定义域是(0,+oo),/(x)=1+In%,

令了(幻>0,解得X〉错误!，令［(x)<0,

八1

解得0<x〈一，

e

故人幻在错误!上单调递减，在错误!上单调递增，

故幻min=/错误！二错误!In错误！二一错误！。

C2)*//(x)=xlnx,

当x>l时，J(x)>ax-1恒成五.,

等价亍xlnx>ax-1(xNl)恒成五，

等价于agin%+错误!(歪1)恒成立，

令gCJ=lnx+错误！，Ulda<gCx)min(xNl)恒成立；

*.*g'(x)二错误！一错误！二错误！，

r

・••当史1时,gCx)>0,

:・gCO在［1,+ooj上单调递增，，观幻min=gClJ=1,

：.a<\,即实数a的取值范围为(-00,1J.

(3)若关亍x的方程“x)=b啥有两个不相等的实数根，

即y=/?和y=/CJ在(0,+oo)上有两个不同的交点，

由(\)知当0<X〈错误!时，fix)<0,

/G)在错误!上单调递减，在错误!上单调递增，

f(X)min=/错误！=错误!111错误！="错误！；

敢当一错误！⑺<0时，满足丁二人和丁二犬幻在(0,+00)上有两个不

同的交点,

即若美亍x的方程*x)=b恰有两个不相等mm实数根，%-错误!〈人<0。

类型三定积分及其应用

闵3米由曲线y=sinx与直线x二一错误!,x=错误!兀，y=0所围成的

图形的面积.

考虑利用定积分求曲线所围成图形面积

题点需分割的图形的面积求解

5nOf—4

解所求面积S=J$sinMdx=-j\sinxdx+J错误!Sinxdx-Jsinxdx

~2~2

5K

=-(-COSx)|\+(-cosx)|5-(-COSx)|；

~2

=1+2+错误！=4一错误！。

TT5ir

0"~

反思与感悟由定积分求质Z梯形面积的方法步骤

(1J画曲函数的图象，明确平面图形的形状.

C2)通过解方程组，取曲曲线交点的坐标.

(3)确定积分区间与被积函数，转化为定积分计算.

(4J对亍复杂的平面图形，常常通过“割补法”来米各部分的面积之

和.

跟踪训练3如图所示，直线>=区将抛扬线〉=工一r与x融所围

图形的面积分为相等的两部分，求左的值.

必

考点利用定积分取曲线所图成图形面积

题点已知曲线所围成图形的面积求参数

解抛能线y=x-/与不轴的两交点的横.V坐标分列

乃为乃=0A,%2=1,所以抛拗扬物线终与Kx轴场所前围图信形的裁杆^,^初7面的面产积S。=

\错误!(%-%2)dx=错误!错误！=错误！一错误！二错误!.

抛松线>=%一/与>=区两交点的横坐标分列为羽，=0,忿，=i-k,

所以错误！=J错误！(x-x2-kx)dx

=错误!错误！

=错误！C1一人产,

只知S=错误!，所以(1-k)3=错误！，

亍是k=T一错误！=1-错误！o

达标检测检测评价达标过关

lo如图，y=/U)是可导函数，直线l:y=kx+2是曲线>=火工)在x

二3处的切线，令g(x)=xf(x),g'(x)是gCx)的导函数，及Jg'(3)

等亍()

考点导致的几何意义的应用

题点导致的几何意义

答案B

解析•・•直线/：>=区+2是曲线在x=3处的切线，.7/Y3)

=1.X点(3,1)在直线/上，

3k+2=1,从而k=—错误！,fC3)=k=—错误!.

*.*g(x)=xj{x),/.gr(x)=f(x)+xf(x),

f

gC3)=fC3)+3f(3J=1+3x错误！=0o

2.函数与(x)=J错误!旧—4)山在［-1,5］上C)

A.有最大值0,无最小值

B.有最大值0,最小值一错误！

C.有最小值一错误！，无最大值

D.既无最大值也无最小值

考点微积分基器定理的应用

题点微积分基本定理的综合应用

答案B

解析F'(x)=错误!'二/一4%，令尸CJ=0,解得x=0或.4,

当E(x)>0时，x>4或x<0,当/(幻<0时，0<x<4。

:・F(x)在f0,4］上单调递减，在［-1,03和［4,5］上单调递增.

7

入FCOJ=0,FC-l)=一歹F(4J=一错误！，FC5J=一错误！，

所以当x=0时,F行)取最大值0,当x=4时，/Cd取最小值一错误!o

放逐B。

3.国数/(%)=+法2+dmm图象名口图，贝3图数y=+错误!反

+错误!mm单调递增区间是()

C.「-2,3］D.错误！

考点函数极值的综合应用

题点函数极值在函数图象上的应用

答案D

解析不妨取。=1,又d=6,

••fix)=x3+bx2+ex,=3x2+2bx+c.

由题图可知/(-2)=0,/(3)=0,

12—4Z?+c=0,27+6Z?+c=0,

:・b=-错误！，c--18o

=%2一错误!1一6,了二21一错误!，当尤>错误!时，/>0,

即单调递增区间为错误!，敢迷Do

4.体积为16兀的圆槎，当它的半径为时，圆槎的表面积最小.

考点利用导致求几何模型的最值问题

题点利用导致取面积的最值问题

答案2

解析谀圆槎底面半径为厂，母线长为I。

「・16兀=兀户1,即I=错误！。

贝寸S表面积=2兀r2+litrl=2兀r2+2兀/x错误！=2兀3+错误！,

由S'=4兀厂一错误！=0,得r=2.

・••当厂二2时,圆柱的表面积最小.

5.已知函数/CJ二错误!这点(l,e).

(x)的单调区间；

(2J当x>0时，求错误!的最小值；

(3J区判断方程/(力-77tx=OC相£R且根为常数)的根的个数.

考点函数极值的综合应用

题点函数零点与方程的根

解(1)由函数/C0=错误!这点(1,ej,7#e1+/?=e,即匕=0,

••fix)=错误！(#0),/(X)二错误！,

令/(%)〉0,得%>1,令f(x)<0J#0<x<l或,x<0,

y=f(x)的单调递增区间是(1,+oo),单调递减区间是(-oo,0),(0,1).

(2)谀g(x)=错误！=错误!,x>0,

g'(x)=错误！，

令g'(x)=0,角牟得x=2或％=0(舍去)，约不£(0,2)时，g'(x)<0,

当％£C2,+oo)时，g'(x)>0,

：.g行)在CO,2)上单调递减，在［2,+oo)上单调递增，

二・错误!的最小值为g12)=错误!。

C3J方程H%)一如=0£R且相为常数)等价亍"Z—错误！=g(x)，

gr(x)=错误！，易知当X<0时，g'Cx)>Oo

结合(2)可得函数gCx)在区间(0,2)

上单调递减，在(-00,0),(2,+00)上单调递增.

原问题转化为y=根与y=gG)的交点个数，其图象如图，

当机或时，方程式］)-mx=0C%£R且根为常数)的根的个数为0;

当0〈根〈错误!时，方程兀0-3：=o(m£R且根为常数)mm根的个数为

1;

当机二错误!时，方程式幻-根x=0(根GR且加为常数)的根的个数

为2；

当根〉错误!时，方程/CJ-mx=Q且根为常数)的根的个

数为3.

L规律与方法.

1.利用导致的几何意义可以求幽曲线上任意一点处的切线方程y

-yo=f明确“这点P曲线y=fix)的切线

Cxo)(x-xoJ.Cx0,yo)mm

方程”与“在点P(xo,yo)处的曲线y=«x)的切线方程”mm异同点.

2.借助导致研究函数的单调性，经常同三次函数,一元二次不等式

结合，融分类讨论、数形结合亍一体.

3.利用导致求解优化问题，注意目变量中的定义域，找幽函数关系:

式:，造化为求最值问题.

4.不视如图形的面积可用定积分求解，关键是确定积分上、下限

及被积函数，积分的上、下限一般是两面线交点的横坐标.

课时对点练注重双基强化落实

一、逐择题

1.已交口函数/Cx)=一错误!sinjix,且错误！错误！=2,贝:Ia日ml直为()

A.2B.-2

C.2兀D.—2兀

考点导致的概念

题点导致的概念的筒单应用

答案A

角隼析•••错误！错误！=2,

1)=2/(x)=一错误!sin兀x,

f(X)二一QC0S71X,-6!C0S71=2,

：.a=2,故逐A.

2.设曲线幻在某点处的导致值为0,叫直曲线上该点的切线

()

A.垂直亍x轴

B.垂直亍y车由

C.既不垂直亍x袖之不垂直亍y轴

D.方向不熊确定

考点导致的几何意义的应用

题点导致的几何意义

答案B

解析•・•曲线y=#X)在某点处的导致值为0,

.・・切线的斜率为0,故逐B.

3.若函数兀o的导致是/(x)=-x(ax+1)(a<0),阳函数f(x)

的单调递减区间是()

A.错误！B.错误！,错误！

Co错误！D.C-00,07,错误！

考点利用导致取函数的单调区间

题点利用导数求不含参数函数的单调区间

答案c

解析=-x(ax+1)((2<0),

令f(x)<0,即-x(ax+\)<0,

解薄0<x<故逐C。

4.由曲线y=sinx,y=cosx与直线x=0,x=错误!所图成的平面区区

的面积为()

A.厂(sinx-cosx)dxB•2J兀(sinx-cosx)dr

Jo4

n

C•F(cosx-sinx)dxD・2j兀(cosx—sinx)dx

*o4

考点定积分的几何意义及性质

题点定积分的几何意义

答案D

解析如图所示，两个阴影部分面积相等，所以两个阴影面积之和等

亍04〈错误!阴影部分面积的2倍，放逐D。

5.设函数/(幻在R上可导，其导函数为了(X),且函数y=(l-x)^

Cx)的图象如图所示,如下列结论中一定成立的是C)

A.函数/CO有极大值#2)和极小值/Cl)

B.函数人外有极大值/C2)和极小值/(-2)

C.函数人x)有极大值2)和极小值/CD

D.函数式幻有极大值八-2)和极小值式2)

考虑函数极值的综合应用

题点函数极值在函数图象上的应用

答案D

解析由函数的图象可知，7(-2)=0,f(2)=0,

并且当％<-2时，/(%)>0,

当一24<1,f(x)<0,函数式幻有极大值/(-2).

又当l<x<2时/(X)<0,

当1〉2时，f(x)>0,

政函数火外有极小值火2),故逐D。

6.已知它错误！+lnx对任意无£错误!恒成立，贝：i〃的最大值为()

A.0B.1

C.2D.3

考点利用导数家函数中参数mm取值范围

题点利用导致求恒成立问题中参数的取值范围

答案A

消军析令/Cx)=错误！+In%,

=错误!错误!，

当工£错误!时/(X)<0,艮X)单调递减，

当Cl,27时，/行)>0,/G)单调递增，

(1)=0,%。式,即〃的最大值为0.

7.若函数“X)二错误!/一错误!12+2灰在区间［3,51上不是单调函数，

四函数/日)在R上的极大值为C)

A.错误!加一错误仍3Bo错误仍一错误！

C.2b—错误!D.0

考点函数在某点处取得极值的条件

题点含参数求极值问题

答案C

角军析/W=x2-(2+Z?Jx+2Z?=(x-Z?)(x-2),

•・•函数/(幻在区间£3,5］上不是单调函数，

.*.3<b<5,由/(x)>0,得x〈2或.x〉b,

由了(x)<0,得2<x<b,

政/Cx)在C-oo,2)上单调递增，在(2,b)上单调递减，在(Z?,

+00)上单调递增，

・••函数人幻的极大值为/(2)=2Z?-错误!。

二、填空题

8.在平面直角坐标系：xOy中，点P在曲线C：>二炉-10x+3上，且

在第二家限内，已知曲线C在原。处的切线的斜率为2,如点P的

坐标为.

考点求函数在某点处的切线斜率或加点坐标

题点求函数在某点处的加点坐标

答案C-2,15J

解析y=3%2-io,令y=2,解得］二±2.又•.•点p在第二象限内，

・•・%=-2,此时y=15,・••点P的坐标为「一2,15）.

9.已知曲线y二错误!与直线x=〃，y=0所围成的封闻区域的面积为

〃，=.

考点利用定积分求曲线所围成圄形面积

题点已知曲线所围成图形的面积未参数

答案错误！

角军析由题意得白3=J§错误!加二错误!错误！=错误！一,

3

豆P二=错误！，角隼得。=错误!.

10.已知定义在区间C-7i,0J上mm函数/（X）=xsinx+cosx,叫f

（x）的单调递减区间是.

考点利用导致求函数的单调区间

题点利用导致不不含参数函数的单调区间

答案错误！

解析f（X）=XCOSX,当错误!时/（X）＜0,

：-fix）的单调递被区间是错误!。

11.若函数/行）=错误!（〃〉0）在£1,+00）上的最大值为错误!，则实数

。的值为.

考点导致在最值问题中的应用

题点已知最值取参数

答案5-1

角笨析fCx）=错误!，令/（X）=0,得％=±错误!，

当£>错误!时，f（x）<0,fix）单调递减；

当一或<X<错误!时，f（x）>0,f（X）单调递增.

若错误!N1,即d>\,

贝3苴IXQZ_1,+8））时，于（X）max=错误!）—错误！—错误!，

角军得g=错误!<1,不会题意，.••错误！〈1,

且当X£[1,+8），艮X）max=氏1）=错误！二错误！，

角平将a-错误！一1,满足错误!<1。

三、解答题

12.未抛扬线y=一炉+4%-3与其在点CO,-3J和点（3,0）处的

切线所图成的图形的面积.

考点未函数在某点处的物线方程

题点曲线的切线方程的应用

角军义口图，V/=-2x+4,

•*yI%=o-4,y|%=3——2.

，在点(0,-3J处的物线方程是y=4x-3,在点(3,0)处的切线方程是

y=-2(x-3).

联立方程组

错误！豆I7错误！

得交点坐标为错误!.

所以由它1门围成的图形面积为

33

222

S=J[(4x-3)-(-x+4x—3)]dr+J3[-2(%-3)-(-x+4x-3)]ck

2

222

=jxdx+j3(x-6x+9)dx

2

3

=错误!母+错误!g=错误!.

2

13.已知函数/Cx)=错误!lnx+错误!.

(1J若在定义域内单调递增，求实数%的值；

C2J若/行)的极小值大亍0,求实数攵的取值范围.

考点利用导致研究函数的极值

题点已知极值求参数

解(1J依题意可知f(x)=(x-k)Clnx+1),

令/Cx）=0,可得加二%,X2=错误!。

若即外2，%在X\,X2之间存在一个区间，

1更得f（X）＜0,不满足题意.

因，匕汨二%2，豆F7左二错误！。

（2）堂k〈错误!时，若左＞0,%/（X）在错误!上小亍0,在错误!上大亍0,

若依0,见了（外在错误!上小亍0,在错误!上大亍0,

因，匕X二错误!是极力1值点，/错误！二错误！一错误！〉0,

解得k＞-^,/.错误！〈左＜错误!o

当k＞，时，/（1）在错误!上小亍0,在（匕+00）上大亍0,

因此x二攵是极小值点，/（&）=错误!（1-21n攵）〉0,

消隼将人＜错误！，・••错误!＜Z〈错误！。

当上二错误!时，大外没有极小值点，不符合题意.

综上可得，实数左的取值范图为错误！U错误!。

皿、探究与拓屐