初中数学相似三角形简答题训练含答案

初中数学相似三角形简答题专题训练含答案

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一、解答题(共15题)

1、如图，已知二次函数的图象与x轴交于力和3(—3,0)两点，与y轴交于C(0,

—3),对称轴为直线x=-l,直线y=—2x+in经过点A,且与y轴交于点D,

与抛物线交于点E,与对称轴交于点F.

(1)求抛物线的解析式和m的值；

(2)在y轴上是否存在点尸，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，

若存在，求出点尸的坐标；若不存在，试说明理由；

(3)直线y=1上有M、N两点(M在N的左侧)，且如，=2,若将线段MN在

直线y=1上平移，当它移动到某一位置时，四边形，监7W的周长会达到最小，请求出周

长的最小值(结果保留根号).

2、如图，在中，AB为。。的直径，直线DE与。。相切于点D,割线ACIDE

点E且交。。于点F,连接加.

(1)求证：AD平分ZBAC；

2）求证：DF2=SFAB.

E

D

3、如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5

米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在

墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度.

'\

□□

□□

□□

□□

□□

4、如图，半圆形薄铁皮的直径4?=8,点。为圆心(不与A,B重合)，连接/C并

延长到点〃，使4C=切，作DHLAB,交半圆、BC于点E,F,连接0C,NABC

=0,。随点C的移动而变化.

(1)移动点。，当点，，B重合时，求证：AC=BC；

(2)当0V45°时，求证：BH•AH=DH•FHx

(3)当0=45。时，将扇形如。剪下并卷成一个圆锥的侧面，求该圆锥的底面半径和

IWJ.

5、如图，利用标杆区测量楼高，点4,D,6在同一直线上，DELAC,BCLAC,

垂足分别为£，C.若测得AE=\m,D£=1.5m,C£=5m,楼高BC是多少?

6、在“BC中，AC=BC,ZACB=90°,点P与点0是线段加上的两点，连接"，过

点A作于点M,过点Q作QW于点N.

(1)如图1,若^BCP=22.5°,求证：CM=MP;

(2)如图2,若3乎=产0,求证CM=QN.

(3)如图3,若点0是线段AB的中点,AM=3回,CM=乖,请直接写出线段QV的

长度.

7、如图，在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，以AD为直径的。。交AB于点E,

交4C于点F,过点F作FGLAB,垂足为，，交而于点。，交49于点〃，连接AG,

DE,DF.

BDC

(1)求证：^GAD+ZEDF=13Q°;

(2)若4CB=45。，4D=4,tanZABC=2,求郎的长.

8、如图，图①、图②、图③均为4x2的正方形网格，4ABC的顶点均在格点上.按

要求在图②、图③中各画一个顶点在格点上的三角形.

要求：

(1)所画的两个三角形都与AABC相似但都不与AABC全等.

(2)图②和图③中新画的三角形不全等.

图③

9、类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案

例，请补充完整.

原题：如图1,在平行四边形中，点E是8c的中点，点E是线段//上一点，BF

AF___CD

的延长线交射线CD于点、G.若砺一，求CG的值.

(1)尝试探究

在图1中，过点£作EHHAB交BG于点、H,则45和EH的数量关系是,

CD

CG和EH的数量关系是,历的值是.

(2)类比延伸

AF_=.>0CD

如图2,在原题的条件下，若SF~m[m>则比的值是(用含有加的代

数式表示)，试写出解答过程.

（3）拓展迁移

如图3,梯形中，DCHAB,点E是8c的延长线上的一点，和相交于点

AB_-hAF

F.若而"，而一，（"0Q0）,则砺的值是（用含“、&的代数式表

示）.

10、已知：如图，点DF在NABC的边AB上，点E在边AC±,且应<<BC.

(1)若46=6,BC=4,BD=2,求.DE的长;

AF_AD

(2)若AD~7B,求证：EFHDC.

11、已知：如图，在梯形ABCD中，ADHBC,点E在边AD±,CE与BD相交于点F,

4〃=4,AB=5,BC=BD=6,DE=3.

(1)求证：ADFESaDAB.

(2)求线段CF的长.

12、如图，小华遥控无人机从点A处飞行到对面大厦的V的顶端M,无人机飞行方向与水

平方向的夹角为37°，小华在点A测得大厦底部N的俯角为31°,两楼之间一棵树EF

FN_1

的顶点E恰好在视线4V上，已知树的高度为6米，且楼AB,助¥,树）均

垂直于地面，问：无人机飞行的距离44约是多少米？（结果保留整数.参考数据：

cos31°七0.86,tan31°=0.60,cos37°=0.80,tan370=0.75）

12

13、如图，抛物线‘一一5'+以+与x轴交于,

AB两点(点4在点8的左侧)，与

》轴交于点C，直线V=x-2与轴交于点D，与x轴交于点E,与直线BC交于点F.

(1)点尸的坐标是;

(2)如图1,点尸为第一象限抛物线上的一点，PF的延长线交加于点0,PMLBC

PM_11

于点M,QN工BC于点、N,W-4,求点p的坐标；

(3)如图2,点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，动点G从点

w-tanNSEG=—

E出发，沿射线DE方向以每秒4点个单位长度的速度运动，当防=SG,且2

时，求点G的运动时间.

14、一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在6处放置一个小平面镜，

当一位同学站在F点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端4的像，此时测得FG=

3m,这位同学向古树方向前进了9m后到达点D,在.D处安置一高度为1m的测角仪

CD,此时测得树顶A的仰角为30°,已知这位同学的眼睛与地面的距离EF=1.5m,

点8,D,G,F在同一水平直线上，且45,CD,EF均垂直于BF,求这棵古树AB

的高.(小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号)

15、定义：把经过三角形的一个顶点并与其对边所在直线相切的圆叫做三角形的“切接

圆”.根据上述定义解决下列问题，在AABC中，AB=AC=5,BC=6,设△ABC的

“切接圆”的半径为r.

(1)如图1,△ABC的“切接圆”的圆心D在边AB上，求r；

(2)如图2,请确定r的最小值，并说明理由；

(3)如图3,把△ABC放在平面直角坐标系中，使点B与原点0重合，点C落在x

1

20

轴正半轴上.求证：以抛物线y=-8(x、-3)+2上任意一点为圆心都可以作4ABC的“切接

圆”.

===========^：^•^^^^============

一、解答题

1、(1)y=(x+l)2-4；片2；(2)存在，尸(0/2)或(0,145)；(3)10收+4舟2

【解析】

(1)根据抛物线的对称性求出A(1,0),再利用待定系数法，即可求解；再把点A

坐标代入直线的解析式，即可求出in的值；

(2)先求出夕(-5,12),过点£作9，y轴于点P,从而得△助皿她0,

即可得到。的坐标，过点片作EP'LAE,交y轴于点P',可得^P'D^ADO,再利用

tanZADO=tanZPEP),即可求解；

(3)作直线y=l,将点尸向左平移2个单位得到尸，作点E关于y=l的对称点S',

连接屈产与直线y=l交于点〃，过点产作FN//FF,交直线y=l于点"，在及川即

中和助团即，中分别求出EF,EF,进而即可求解.

【详解】

(1)解：•；二次函数的图象与x轴交于1和3(—3,0)两点，对称轴为直线

x=-1,

：.A(1,0),

设二次函数解析式为：y=a(x-l)(x+3),把C(0,-3)代入得：-3=a(0T)(0+3),

解得：a=1,

二二次函数解析式为：y=(xT)(x+3),即：＞=5+1)'-4,

直线y=-2x+m经过点A,

.*.O=-2X1+m,解得：m=2；

(2)由(1)得：直线AF的解析式为：y=-2x+2,

又：直线y=-2x+2与y轴交于点D,与抛物线交于点E,

...当x=0时，y=2,即〃(0,2),

P=-2x+j卜-5h=l

联立ly=(x+l『-4,解得：〔乃=12.U=°,

•.•点E在第二象限，

，E(-5,12),

过点£作日0_Ly轴于点P,

VZADO=ZEDP,ADOA=ADPE=90°

^EDP^AADO,

：.P(0,12)；

过点E作EP'kAE,交y轴于点P',可得APQ£SA*。,

VZEDP+/PED=2PEP+/PED=90°

AZADO=ZEDP=NPEP',即：tanZADO=tanZPEP,

OA_PP'1_PP'

：.OD~1P,即：2~~,解得：PP'=2.5,

：.P(0,14.5),

综上所述：点P的坐标为(0,12)或(0,14.5)；

(3)•.•点《、尸均为定点,

二线段)长为定值，

：MN=2,

当EM+AV为最小值时，四边形M67W的周长最小,

作直线y=1,将点F向左平移2个单位得到F',作点£关于y=1的对称点F,连

接歹尸'与直线y=1交于点"，过点F作FNHEF,交直线y=1于点N,

由作图可知：EM=E'M,F'M=FN,

又•；E',M,尸三点共线，

，EM+FN=EM”M=EF,此时，EM+胡的值最小，

•••点F为直线y=-2x+2与直线x=-1的交点，

.•.尸(T,4),

F'(-3,4),

又；6(-5,12),

Z.£(-5,-10),

延长FF交线段EV于点W,

•••F/与直线y=1平行，

FW±EE',

在即中，由勾股定理得：EF=』12-4「+(7+5)2=44,

在跖㈤筋，中，由勾股定理得：E'F'=J(4+10)2+(-3+59=10晚，

四边形的W的周长最小值=ME+FN+EF+MN=后曾'+g+胸=10■+4君+2.

【点睛】

本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握待定系数法，相似三角形的判定和性质，添

加辅助线，利用轴对称图形的性质，构造线段和的最小值，是解题的关键.

2、(1)见解析；(2)见解析

【分析】

(1)连接切，然后根据切线的性质和平行线的性质，可以得到乙ODA二乙DAC,再根

据0A=0D,可以得到ZOAD=ZODA,从而可以得到ZDAC=ZOAD,结论得证；

(2)根据相似三角形的判定和性质，可以得到DB・DF=EF-AB,再根据等弧所对的

弦相等，即可证明结论成立.

【详解】

解：(1)证明：连接0D,如图所示，

直线应与。。相切于点D,AC工DE,

：.AODE=ZDEA=90°,

/.OD//AC,

AZODA=ZDAC,

'：OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

AZDAC=NOAD,

/.AD平分ZBAC；

(2)证明：连接OF,BD,如图所示,

•；AC±DE,垂足为E,是。。的直径，

AZDEF=AADB=90°,

VZEFD+ZAFD=180°,ZAFD+ZDBA=180°,

:EFD=2DBA,

EFDs、DBA,

EF_DF

：.DB=^AB,

:.DB•DF=EF•AB,

由（1）知，AD平分ZBAC,

AZFAD=ZDAB,

，DF=DB,

：.DF2=EF'AB.

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、角平分线的定义、平行线的性质，解答本

题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答.

3、16米

【分析】

过。作CE工AB于E,首先证明四边形CDBE为矩形，可得劭=2=21,CD=BE

J__£

=2,设=x,则13=21,求出x即可解决问题.

【详解】

解：过。作CF_L48于",

■:CD工BD,AB1.BD,

：.4EBD=4CDB=4CEB=90°,

四边形CDBE为矩形，

:.BD=CE=,CD=BE=2,

设/£=x,

1_X

・・•15-21,

解得：x=14,

Z.旗杆的高AB=AE+BE=14+2=16米.

、\

□□

□□

□□

□□

□□

」......g

【点睛】

本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问

题，学会利用物长：影长=定值，构建方程解决问题，属于中考常考题型.

4、(1)见解析(2)见解析(3)底面半径为1,高为历

【分析】

(1)根据直角三角形的性质即可求解；

(2)证明△BFHDAH,即可求解；

(3)根据扇形与圆锥的特点及求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理即可求出圆锥的高.

【详解】

(1)如图，当点H,B重合时，DH±AB

/.△ADB是直角三角形,

；AC=CD,

：.8C是△ADB的中线

-AD=AC

：.BC=2

，AC=BC

(2)当6V45。时，DH交半圆、BC于息E,F,

'：AB是直径

AZACB=90°

,/DHA.AB

AZB+/A=/A+/D=90°

,*.ZB=ZD

VZBHF=4DHA=90°

?.△BFHs*DAH,

BH_FH

:.BH•AH=DH•FH；

(3)VZABC=Q=45°

AZAOC=2ZABC=90°

"/直径AB=8,

/.半径OA=4,

设扇形的。卷成圆锥的底面半径为r

,90x?rx4c

IAFC=-----------=2.7VT

：.180

解得r=1

，圆锥的高为历二F=和.

【点睛】

此题主要考查圆内综合求解，解题的关键是熟知直角三角形的性质、相似三角形的判定与性

质及弧长的求解与圆锥的特点.

5、楼高BC是9米.

【分析】

AE_DE

先求出力。的长度，由DE//BC,得到AC=~BC,即可求出3。的长度.

【详解】

解：AE=Im,CE=5m,

AC=6/n,

・.・DELAC,BCLAC9

：.DE//BC,

・•・△ADEs*ABC,

AE_DE

：.AC~~BC9

,.・DE=1,5m9

1_1.5

・•・6-5C,

・•・5C=9；

♦・楼高BC是9米.

【点睛】

此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键.

gw=-Vio--

6、(1)见解析；(2)见解析；(3)2~2

【分析】

(1)证明乙4。尸=乙4比=67.5。，得MOP是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”

的性质进行证明即可；

(2)延长CP到点G,使PG=PN,连接BG,证明尸GwAQW得NB3=NQ*=90。，

BG=QN,再证明AC4M三ABCG得CM二BG,从而可得结论；

(3)延长AM,QN,分别交BC于点、E,F,由勾股定理求出尔7=4"，得BC=4巫,

ME=^-AE=—yfiO

证明LCME-LAMC,根据相似三角形的性质可求出5,5“，再证明

&QFB,求出QF=M如，EF=2"*,CF=2#+；,再利用ACME八CNF可

求出版的值，最后根据QN=QF-5计算即可

【详解】

解：(1)在AHBC中，AC=BC,^ACB=90°,

：.ZABC=ZCAB=45°

'：^BCP=22.5°

；.zLAPC=^BCP+Z.B=22.5°+45°=67.5°

,,,乙4cB=90。

二ZACP=ZACB-ZBCP=90°-22.5°=61.5°

：.ZACP=ZAPC=61.5°

：.AC=AP

：AMJ.CP

:.CM=MP.

(2)延长CP到点G,根PG=PN,连接BG,如图,

C

・.・PB;PQ,4BPG=4NPQ

.・.LBPG=LQPN{SAS}

.・.NBG尸=NQNP=90。，BG=QN

ABCG+ZACG=90°,ZL4CG+ZCAM=90°

ZCAM=BCG

在ACL4Af和LBCG^

'AC=BC

<乙CAM=^BCG

&MC=4CGB

：.bCAM三卜BCG

：.CM=BG

・.・BG=QN

.・•CM=QN

(3)延长AM,QN,分别交BC于点、E,F,

A

AMA.CP,,AM==,

...AC=^AM2+CM2=7(3V10)2+(x/6)2=4.76

/.BC==4几

,,,Z.CAM+AACM=AACM+ABCP=90°

/.乙CAM=4BCP

又；ZAMC=ZCME

：.LCME-LAMC

AM_MC3西一下

：.,gp乖ME

Affi二亚

，5

.AE=AM+ME=3yfiO+^-=^^-

••55

丁QNLCP,AM工CP

JQNHAM

.・.LAEB~bQFB

BE_AE_AB

.・.而一而一砺

VQ为AB的中点

需=2

：.软2

,FT

・；箓=2

BF二、BE

2

CE=JAE2-AC2=^^-

EF=^BE=^(BC-CE)=^x(4y/6-^J^)=2y/6-^^-

CF=CE+EF=2遥+^~

5

・.・AEHQF

：.hCME八CNF

CE_MF

I声

NF

率+2击

四亭+吟

丽Qf_如乎考+曙)=洒邛

【点睛】

本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质与运用，全等三角形

的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键.

6-

7、(1)见解析；(2)亍

【分析】

(1)就是。。的直径，可以得到乙伤。=90。，推出乙4期=乙例F,再用平行线的判定

和性质可求出NG4Q+NE。尸=180。；

(2)连接⑺，得到AD=CD,由于如是。。的直径，得到DFLAC,OA=OD,

。门⑷°,用平行线的判定得到4。尸=90。，再用角之间的关系证明XFMgXABD,再用相

似三角形的性质，证明舷s△9O般就可求出HF.

【详解】

如图

存案图2

解：（1）证明：・.・的是。。的直径,

..ZAED=90°.

・・・FG^AB,

AAHF=90°,

;&ED=&HF,

DEIIGF,

ZSDF+ZDFG=180°.

•:乙GAD=4DFG,

..ZCL4D+Z£DF=180°.

(2)连接O/L

,:AD是回边上的高,

乙40(7=90。.

vZZC5=45°,

^CAD=ZACB=45°.

..AD=CD.

・.・』少是。。的直径，

ZAFD=90°f

DF±AC,

AF=CF.

•：OA=OD9

OFIIDC.

AAOF=90°.

..4MFO+4FMO=90°.

•・•乙4HAf=90。，

/MAH+ZAMH=9。。.

•：Z.FMO=AAMH,

乙MFO=LMAH,

-ZMFO=ZBAD.

Q

•：ZFOM=ZADB=909

:.^FMO^ABD,

.MO_FO

"~BD~7D.

AH

—nA,CC।vtan乙ABD=

在RtA加©中，BD,AD=A,tan乙48c=2,

BD=2,OF=OA=2,

M0

,­=4,

MO=\,

..AM=1.

在Rt△阳OF中，-MF=^OM2+OF2,

==5

•・•&HM=ZFOM=90°,ZAMH=Z.FMO,

XAHMsXFOM,

.HM_AM

HM1

十下，

HM点

HF=HM+MF=^-+>j5=^-

55.

【点睛】

此题考查圆的性质和相似三角形的证明的综合运用，熟悉掌握相似三角形的性质和灵活作辅

助线是解题的关键.

8、作图见解析.

【分析】

将原三角形的三边分别扩大0和2倍即可得.

【详解】

如图，Z\AiB<i和AA2B42即为所求作三角形.

【点睛】

本题考查了作图-相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩

小得到.本题从ZACB=135°,AC：BC=及:1找到突破口.

3m

9、(1)AB=3EH；CG=2EH；2；(2)I；(3)

【分析】

丝-3

(1)本问体现“特殊”的情形，声一是一个确定的数值.如答图1,过E点作平

行线，构造相似三角形，利用相似三角形和中位线的性质，分别将各相关线段均统一用EH来

表示，最后求得比值；

-A-F--yyi

(2)本问体现“一般”的情形，SF--不再是一个确定的数值，但(1)问中的解题

方法依然适用，如答图2所示.

(3)本问体现“类比”与“转化”的情形，将(1)(2)问中的解题方法推广转

化到梯形中，如答图3所示.

【详解】

解：(1)依题意，过点£作EHHAB交于点H,如图1所示.

则有NABFfEHF,

ABAFr

：.EHEF,

JAB=3EH.

・.・aABCD,EHUAB,

：.EHUCD,

又・・・E为3C中点，

・・・EH为"CG的中位线，

CG=2EH,

CD__AB_3EH_3

CG~CG~2EH~2.

3

故答案为：AB=3EH；CG=2EH；2.

(2)如图2所示，作EHIIAB交于点H,则XEFHnAFB.

ABAF

-----=-----=m

：.EHEF,

AB=?nEH.

AB=CD,

...CD=mEH.

丁EH//AB//CD,

：.ABEH^hBCG.

CGBCc

/.EHBE,

.・.CG=2EH.

CD_mEH_m

：.CG~2EH

m

故答案为：万.

(3)如图3所示，过点E作EHiiAB交必?的延长线于点H,则有EHf/AB//CD.

,/EHUCD,

：.ABCD~^.BSH,

CDBC,

----=-----=£?

・•・EHBE,

・,.CD=bEH.

AB

-r-J-=a

又CD,

AB=aCD=abEH.

・.・EH3AB,

：.^ABF^EHF,

AFABabEH,

-----=-----=--=ab

：.EFEHEH.

故答案为：ab.

c

图1

【点睛】

本题的设计独特：由平行四边形中的一个特殊的例子出发(第1问)，推广到平行四边形中

的一般情形(第2问)，最后再通过类比、转化到梯形中去(第3问).各种图形虽然形

式不一，但运用的解题思想与解题方法却是一以贯之：即通过构造相似三角形，得到线段之

间的比例关系，这个比例关系均统一用同一条线段来表达，这样就可以方便地求出线段的比

值.本题体现了初中数学的类比、转化、从特殊到一般等思想方法，有利于学生触类旁通、

举一反三.

8

10、(1)3；(2)见解析

【分析】

(1)根据DEI/BC,可得△QRsLABC,根据比例式代入求值，进而可得DE；

ADAE

(2)根据(1)的结论可得AB=AC,结合已知条件即可证明△/物S△⑷?C,进而可

得ZAFE=ZADC,进而判断EFHDC.

【详解】

•;DE//BC,

：.LADEABC,

AD_DE

.AB-BD__DE

"AB"5C,

6-2_DE

即T=~,

DE=-

解得3；

(2)•:△ADE'ABC、

AD_AE

AC,

AF_AD

■：'AD~'AB,

.AE_AF

'AC~AD,

又ZFAE=ZDAC,

■△AFB^XADC,

AAFE=AADC,

EF'UDC.

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

11、(1)见解析；(2)5

【分析】

DFDE_3DF_DB

(1)AD//BC,DE=3,BC=6,7B~BC~6~2'DA~DB.又ZEDF=4BDA,

即可证明△DFEs*DAB.

(2)由△△为s,利用对应边成比例，将已知数值代入即可求得答案.

【详解】

证明：(1)AD//BC,DE=3,BC=6,

DF__3_1

DF_1

~BD=3,

"：BD=6,

...DF=2.

,?DA=4,

DF_2_\DE_3

DA42rDB62.

DF_DE

：.~DA~~DB.

又,：4EDF=4BDA,

・•・△DFEs*DAB.

(2)'：△DFEs*DAB,

EF_DE

：.诟一丽,

;AB=5,

EF_3

：.~~6,

5

.・.EF=2=2.5.

•・,DE//BC.

CF_BC

：.EF~~DE.

CF_6

：.Z5=3,

・・・CF=5.

【点睛】

此题考查学生对梯形和相似三角形的判定与性质的理解和掌握，第（2）问也可利用△CFB

BAD求得线段CF的长

12、38米

【分析】

过A作于C,易证△邪酌得抽=3即'=185）,则卯=1.，再由锐角三角

函数求出力。。。（⑼，然后在Rt"CW中，由锐角三角函数定义求出期的长即可.

【详解】

解：过A作血于C,如图所示：

M

则CN=AB,AC=BN,

FN_1

vTF-2,

-JW=—1

.•网3,

由题意得：即=6m,AB工BN,EFLBN,

/.AB!IEF,

—EF=-F--N-=_1

ABBN3,

.的=3町=18（根）

/.OV=18m,

OV3

tanZCW=tan31°k0.60=

在Rt△工C曾中,AC5

^<7：5|0/=^18=30(«1)

AC4

4f,cosZAMC=_=cos37°«0.80=Z.

在3.UACM中，AM5,

:j4A/a:4°=尹30*38(旅)

即无人机飞行的距离期约是38m.

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，相似三角形的应用等知识，正确作出辅助

线构造直角三角形，证明△的341成是解题的关键.

1515

13、(1)点尸坐标为(4,2)；(2)Z5](1,万)，尸2(3,5)；

(3)2秒

【分析】

12

(1)先由抛物线'=一万'+以+6求出夕6,0),CQ6),再求出直线8c的解析式为

(y=-x+6

y=-x+6,联立V=x-2即可求尸点坐标；

(2)过点P作PG_Lx轴于点G,过点F作由J_x轴交于点H,证明△的衣必。物,

15

竺=*空=*JDG=15

得QF4,再由阳〃PG,得PG~15,可求一下即为P点纵坐标为万，则可求得点

P的坐标；

(3)过点S作SKLEG于点、K,SHJ.X轴于点H,交EG于点L,证明是等腰直

角三角形，应为等腰直角三角形,△血为等腰直角三角形，则有LK=SK=^t,

SL=y/2SK=2t,&=氏EH=LH=t,。方=t+2,m=3t,求出S(“2,3t),最后将点S的坐

标代入二次函数解析式即可求得。=2,则可得点G的运动时间为2s.

【详解】

1

,.v=-—x0+2x4-6,

解：(1)在抛物线2中,

.n.x2+2x+6=0

令则2,

解得：x=-2或x=6,

—,8(6,0),

令x=o,则y=6,

.C(0,6),

在直线y=x-2中，令7=0；则x=2,

•­.E(2,0),

令x=o,则y=-2,

二QQ-2),

设直线8。的解析式为八炊+b,

将5(6,0),50,6)代入，

p=6

得：(62=0,

k=-1

b=6

・,・直线BC的解析式为y=f+6,

p=r+6

联立&=・2,

­=4

解得l»=2,

"(4,2),

故答案为：(4.2)；

(2)如图1,过点尸作产GJ_x轴于点G,过点尸作FHJLx轴于点H,

,:PM1BC,QNLBC,

ZPMF=@IF=gN,

又­;4PFM=4QFN,

APMF^AQNF,

PMPF

：.净二等,

PM

・・•西一彳，

空=11

：.丽="

-FH//PG,

FQFH=4

：,旃=丽='

•:FH=2,

P点纵坐标为2,

.--x2+2x+6=—

令22,

解得：演=1,覆=3（均满足x>0）,

1515

.•.点P的坐标为尸|（1,万），〃2（3,5）；

（3）如图2,过点S作SK_LEG于点K,SH_Lx轴于点H,交友?于点L,

由题意得,EG=4®

,:SE=SG,SKLEG,

EK=GK」EGSt

..,tanz^SSG=—=—

在Rt△瓯K中，EK2,

•••£(2,0),50,-2),

OE=OD,

工。口是等腰直角三角形,

ZO£D=45°,

ZKEH=/OED=45。，

二.△次为等腰直角三角形，

"LK=/ELH=45。,

・•・ASZK为等腰直角三角形，

LK=SK=&t,SL=aSK=%,

£L=EK-LK=@t,

EH=LH=t,

OH=0E+EH=t+2,SH=SL+LH=今，

•・S（t+2J）,

12

—rc、,y=-—x+2x4-6

将S（t+2用代入了2,

殂Y（t+2）?+2（t+2）+6=3T

解得：仁2或t=-8（舍），

二点G的运动时间为2s.

【点睛】

本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数