第二课时非线性回归模型及其应用(高中数学课件教案学案习题人教A版选择性必修第三册)

第二课时非线性回归模型及其应用

课标要求素养要求

1.进一步掌握一元线性回归模型参数的

统计意义，会用相关统计软件.

通过学习回归模型的应用，提升数学运

2.了解非线性回归模型.

算及数据分析素养.

3.会通过分析残差和利用相判断回归模

型的拟合效果.

课前预习知识探究

新知探究

A情境引入

在实际问题中，有时两个变量之间的关系并不是线性关系，这就需要运用散点图

选择适当的函数模型来拟合观测数据，然后通过适当的变量代换，把非线性问题

转化为线性问题，从而确定未知参数，建立相应的线性回归方程.

问题具有相关关系的两个变量的线性回归方程为£=源+之预测值金与真实值y

一样吗？预测值£与真实值y之间误差大了好还是小了好？

提示不一定；越小越好.

上知识梳理

1.残差的概念

对于响应变量匕通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的金称

为预测值,观测值减去预测值称为残差.残差是随机误差的估计结果，通过残差

的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据

等，这方面工作称为残差分析.

2.刻画回归效果的方式

⑴残差图法

作图时纵坐标为残差,横坐标可以选为样本编号,或身高数据，或体重估计值等,

这样作出的图形称为残差图.若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状

区域越窄，则说明拟合效果越好.

（2）残差平方和法

残差平方和E。,一工）2,残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大,

/=1

模型拟合效果越差.

（3）利用R2刻画回归效果

决定系数收是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量

客户预报变量的能力.

“A

£（y,-yD2

------------------,R2越大，即拟合效果越好，心越小，模型拟合效果越差.

ECy-y）2

/=1

拓展深化

［微判断］

1.残差平方和越接近0,线性回归模型的拟合效果越好.（J）

2.在画两个变量的散点图时，响应变量在x轴上，解释变量在y轴上.（X）

提示在画两个变量的散点图时，响应变量在y轴上，解释变量在x轴上.

3.R2越小，线性回归模型的拟合效果越好.（X）

提示整越大，线性回归模型的拟合效果越好.

［微训练］

1.在残差分析中，残差图的纵坐标为.

答案残差

2.甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量无，y的回归模型时，分别选择了4种不

同模型，计算可得它们的决定系数R2分别如下表：

甲乙丙T

R20.980.780.500.85

哪位同学建立的回归模型拟合效果最好？

解R2越大，表示回归模型的拟合效果越好，故甲同学建立的回归模型拟合效

果最好.

［微思考］

在使用经验回归方程进行预测时，需要注意哪些问题？

提示（1）经验回归方程只适用于所研究的样本的总体；（2）所建立的经验回归方

程一般都有时效性；（3）解释变量的取值不能离样本数据的范围太远.一般解释

变量的取值在样本数据范围内，经验回归方程的预报效果好，超出这个范围越远,

预报的效果越差；（4）不能期望经验回归方程得到的预报值就是响应变量的精确

值.

1果'爱’.句］题型剖析■■■■■■■■I

题型一线性回归分析

【例1】已知某种商品的价格武单位：元/件）与需求量y（单位：件）之间的关系

有如下一组数据：

X1416182022

y1210753

求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏.

1

解x=g(14+16+18+20+22)=18,

一1

y=g(12+10+7+5+3)=74,

142+162+182+202+222=1660,

5

^•^=14X12+16X10+18X7+20X5+22X3=620,

5--

Xxjy-5y

所以金二二-------x--620-5X18X7.4

1.15,

0-1660-5X182

E%?—5X2

i=l

A

0=7.4+1.15X18=28.1,

所以所求回归直线方程是£=—l［5x+28.1.

列出残差表：

A

y-yi00.3-0.4-0.10.2

y-y4.62.6-0.4-2.4-4.4

5A

所以吉伊一p)2=0.3,

5一

£S—y)2=53.2,

5A、

.£(yf)2

o1=1

R2=1--------------"0.994,

□-

.£(9—y)-

1=1

所以回归模型的拟合效果较好.

规律方法(1)解答线性回归问题，应通过散点图来分析两变量间的关系是否线

性相关，然后再利用求回归方程的公式求解回归方程，并利用残差图或相关指数

R2来分析函数模型的拟合效果，在此基础上，借助回归方程对实际问题进行分

析.

(2)刻画回归效果的三种方法

①残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合

适.

②残差平方和法：残差平方和£(y—*)2越小，模型的拟合效果越好.

nA

.X(yf)2

1=1

③决定系数法：/?2=1----------------越接近1,表明回归的效果越好.

n-

(y-y)

i=l

【训练1]某地区2011年到2017年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)

的数据如下表：

年份2011201220132014201520162017

年份代号t1234567

人均纯收入2.93.33.64.44.85.25.9

(1)求y关于/的线性回归方程；

(2)利用(1)中的回归方程，分析2011年到2017年该地区农村居民家庭人均纯收

入的变化情况，并预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入.

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

£(/,—7)(y一5)

h=~~；-----------,£-y-bt.

二(乙一7)2

r-1

解(1)由所给数据计算得

-1

r=yX(1+2+3+4+5+6+7)=4,

一1

y=yX(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,

7一

g(/,—r)2=9+4+1+0+1+4+9=28,

7——

占(6-0(^―y)=(-3)X(-1.4)+(-2)X(-1)+(-l)X(-0.7)+0X0.1+

1X0.5+2X0.9+3X1.6=14,

1--

Ai=l

=$05

A-A-

a=y—br=4.3—0.5X4=2.3,

所以所求回归方程为£=0.5f+2.3.

(2)由(1)知金=0.5>0,故2011年到2017年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年

增加，平均每年增加0.5千元.将2020年的年份代号，=10代入(1)中的回归方

程，得£=0.5X10+2.3=7.3.故预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入为

7.3千元.

题型二残差分析与相关指数的应用

【例2】假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5

组数据如下：

X15.025.830.036.644.4

y39.442.942.943.149.2

⑴以X为解释变量，y为预报变量，作出散点图；

(2)求y与x之间的回归方程，对于基本苗数56.7预报有效穗;

⑶计算各组残差，并计算残差平方和；

(4)求小，并说明(2)中求出的回归模型的拟合程度.

解(1)散点图如下.

)有效穗数

50

48

46

44

42-

40•

38

253545A

基本苗数

(2)由(1)中散点图看出，样本点大致分布在一条直线的附近，有比较好的线性相

关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系.

设回归方程为£=即+£,又x=30.36,y=43.5,

5

部?=5101.56,

xy=1320.66,尤2=921.7296,

5

苫为了=6746.76.

5

,X/(PL5/y

八1—]'八一八一

则/?=------------n0.29,a=y-b户34.70.

S%?—5JC2

i=l

故所求的回归直线方程为£=0.29X+34.70.

当x=56.7时，y=0.29X56.7+34.70=51.143.

故估计成熟期有效穗为51.143.

,AAA，入八八、，，八AAA

(3)由可以算得分别为ei=0.35,£2=0.718,«=—0.5,e4

A,5八r

=-2.214,e5=1.624,残差平方和：1X=1,后=8.43.

5Q43

⑷g(y,-y)2=50.18,故R2^I一百卡心0.832.所以(2)中求出的回归模型的效

1=1DU.10

果较好.

规律方法(1)利用残差分析研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来判

断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据，然后通过残差

e2,…，2来判断模型拟合的效果.

(2)若残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，带状区域越窄，说明模型拟合

度越高，回归方程预报精确度越高.

【训练2】为研究质量x(单位：g)对弹簧长度y(单位：cm)的影响，对不同质

量的6个物体进行测量，数据如下表：

X51015202530

y7.258.128.959.9010.911.8

(1)作出散点图并求回归直线方程；

⑵求出K并说明回归模型拟合的程度;

(3)进行残差分析.

解(1)散点图如图所示.

弹簧长度/cm

14

12

10

8

6

4

2

0质量

5101520253()3"/g

样本点分布在一条直线附近，y与x具有线性相关关系.

-1

由表中数据，得》=4义(5+10+15+20+25+30)

=17.5,

1

(7.25+8.12+8.95+9.90+10.9+11.8)^9.487,

66

加?=2275,女孙=10762

计算得金心0.183,々心6.285.

故所求回归直线方程为£=6.285+0.183x.

(2)列表如下：

A

y-yi0.050.005-0.08-0.0450.040.025

y-y-2.237-1.367-0.5370.4131.4132.313

6A6-

可得£Cv，—y；)2^0.01318,J(y—y)2^14.6783.

所以"IA:A21O81MQo9991，回归模型的拟合效果较好

•

(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这

个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正错误，重新建立回归模

型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在宽度不超过0.15的狭窄的水平

带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度

与所挂物体的质量成线性关系.

题型三非线性回归分析

【例3】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单

位：千元)对年销售量y(单位：0和年利润z(单位：千元)的影响.对近8年的年

宣传费力和年销售量y4=l，2,8)数据作了初步处理，得到下面的散点图

及一些统计量的值.

年销售量/t

620

600♦♦♦

580

560

540

520

500

1___________________________________________

48()

(11

343638404244464850525456年宣传费/千元

8-8-88

E,(X,—x)2g(Wi-W)2

Xyw石(xi-x)-(yi—y)石(Wi-w)-(yt—y)

46.65636.8289.81.61469108.8

表中Wi=y[xi,w=^YyWi.

(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c十八6哪一个适宜作为年销售量y关于年宣

传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程;

(3)已知这种产品的年利润z与x,>-的关系为z=0.2y-x.

根据(2)的结果回答下列问题：

①年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据(“1,01),(M2,02),…，(Un,Vn),其回归直线0=々+夕”的斜

率和截距的最小二乘估计分别为

n__

X(ui-u)(vi-。)

Ai=1A-A-

B-,u=v-/in.

E(u-u)2

i=1

解(1)由散点图可以判断，y=c+砧适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回

归方程类型.

(2)令讪=5，先建立y关于讪的线性回归方程.

8--

X(W/­W)(V/-V)

,i=1__________________108.8

由于1=8h二—=TT=68,

E(W/-w)2

i=1

A-A一

c=y—标=563—68X6.8=100.6,

所以y关于w的线性回归方程为£=100.6+68〃，

因此y关于x的回归方程为y=100.6+68m.

(3)①由(2)知，当x=49时，

年销售量y的预报值£=100.6+68相=576.6(。，

年利润z的预报值2=576.6X0.2—49=66.32(千元).

②根据(2)的结果知，年利润z的预报值

1=0.2(100.6+68也)—x=-x+13.6^+20.12.

所以当也=孚=6.8,

即x=46.24时，2取得最大值.

故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.

规律方法求非线性回归方程的步骤

(1)确定变量，作出散点图.

(2)根据散点图，选择恰当的拟合函数.

(3)变量置换，通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题，并求出线

性回归方程.

(4)分析拟合效果：通过计算决定系数或画残差图来判断拟合效果.

⑸根据相应的变换，写出非线性回归方程.

【训练3]下表为收集到的一组数据：

X21232527293235

y711212466115325

⑴作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系；

(2)建立x与y的关系，预报回归模型并计算残差；

(3)利用所得模型，预报x=40时y的值.

解(1)作出散点图如下图，从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，根据

已有知识可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y=aec2x的周围，其中ci,

C2为待定的参数.

y

35()

300・

250

200

15()

10(),

50.・•

()J，__1_~1~~1_~■~~*

20222426283032343638v

(2)对y=cie0两边取对数，得lny=lnci+czx,令z=lny,则有变换后的样本点

应分布在直线z=bx+a(a=lnci,8=C2)的周围，这样就可以利用线性回归模型

来建立y与龙之间的非线性回归方程了，数据可以转化为

X21232527293235

z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784

求得回归直线方程为2=0.272元一3.849,

.•.?,y一-ea0.272x-3.849.

残差

yt711212466115325

A

V6.44311.10119.12532.95056.770128.381290.325

A

ei0.557-0.1011.875-8.9509.23-13.38134.675

(3)当尤=40时，Q=ea272X40-3.849七1131.

■m素养达燧・W逐步落实

一、素养落地

1.通过本节课的学习，进一步提升数学运算及数据分析素养.

2.当根据给定的样本数据得到的散点图并不是分布在一条直线附近时，就不能

直接求其回归直线方程了，这时可根据得到的散点图，选择一种拟合得最好的函

数，常见的函数有幕函数、指数函数、对数函数等，然后进行变量置换，将问题

转化为线性回归分析问题.

二、素养训练

1.下列两个变量之间的关系不是函数关系的是（）

A.角度和它的余弦值

B.正方形的边长和面积

C.正〃边形的边数和内角度数和

D.人的年龄和身高

解析函数关系就是变量之间的一种确定性关系.A,B,C三项中的两个变量

之间都是函数关系，可以写出相应的函数表达式，分别为式e）=cos&g（a）=/,

%（〃）=（〃一2）兀.D选项中的两个变量之间不是函数关系，对于年龄确定的人群，仍

可以有不同的身高，故选D.

答案D

2.（多选题）关于残差图的描述正确的是（）

A.残差图的横坐标可以是样本编号

B.残差图的横坐标也可以是解释变量或预报变量

C.残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小

D.残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小

解析残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，则残差平方

和越小，此时，R2的值越大，故描述错误的是C.

答案ABD

3.某产品在某零售摊位的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统

A.51个B.50个

C.54个D.48个

解析由题意知x=17.5,y=39,代入回归直线方程得2=126.5,126.5—14.5X5

=54,故选C.

答案C

4.在研究硝酸钠的溶解度时，观察它在不同温度⑴的水中溶解度（y）的结果如下

表：

温度X010205070

溶解度y66.776.085.0112.3128.0

由此得到回归直线的斜率是.

-1

解析x=5（0+10+20+50+70）=30,

一1

y=5（66.7+76.0+85.0+112.3+128.0）=93.6,

5--

£（即一工）（y-y）

由公式金=匕--------------可得分Q0.8809.

□-

E（X/—%）2

i=l

答案0.8809

5.在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表:

X0.250.5124

y1612521

试建立y与X之间的回归方程.

解由数值表可作散点图如图,

根据散点图可知y与x近似地呈反比例函数关系,

设£=［，令f=：，贝日=灯，原数据变为：

t4210.50.25

y1612521

由置换后的数值表作散点图如下:

由散点图可以看出y与f呈近似的线性相关关系，列表如下:

Itiy砂id

14166416

2212244

31551

40.5210.25

50.2510.250.0625

£7.753694.2521.3125

所以，=1.55,y=7.2.

5——

Y.tiyi-5y

A1=1t

所以b=------------------^4.1344,

b二

X5产

i=l

A-A-

a=y—bt^Q.S.

所以£=4.1344/+0.8.

所以y与x之间的回归方程是

A4.1344,八。

y=+0.8.

，x

课后作业巩固提高

基础达标

一、选择题

1.已知某地财政收入X与支出y满足回归方程£=源+。+4（单位：亿元）（i=l,

2,-）,其中金=0.8,a=2,同＜0.5,如果今年该地区财政收入10亿元，年支出

预计不会超过（）

A.10亿元B.9亿元

C.10.5亿元D.9.5亿元

解析J=0.8X10+2+e,=10+ez,

V|e,|<0.5,9.5V的0.5.

答案C

2.对变量x,y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图,

则下列模型拟合精度最高的是（）

残到

＜）,8------------------------------------0.8-----------------•-----------------

0.6-----------------1-----------------（）.6匕---------：------------

04H--------------------s—O.4b-^---------------------•---------

0.2|-二...，；------（）.2|•:------

什J市疝右加景）常力而编与南疝市）而自）«）%加编自

-O：4.-。：4・

------------------5---------------------------0.6-----------------------------------

----------------------------------------------O.B|--------------•--------------------

AB

残差f残差t

1.2-----------------------------------0.8-----------------•----------------

0.9-----------------•-----------------0.6------------------------------------

什仆r--------------5-------------0.4k-----------------------«---------

0.3卜.--0.2|-----------------------------------

_（）；1；）加：而市）亲）&）市）加编“什J|'（）£（）亦，（）斗）&）力加编房

-。7＞一・•丁^'-。：4・•日已

-09-------------1---------------------0.6-----------------------------------

-1.2|-----------------------------------（）.«|---------------------•-------------

CD

解析用残差图判断模型的拟合效果,残差点比较均匀地落在水平的带状区域

中，说明这样的模型比较合适.带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高.

答案A

3.在回归分析中，心的值越大，说明残差平方和（）

A.越大B.越小

C.可能大也可能小D.以上均错

解析因为N=1—三------：—,所以当R2越大时，£(6一制2越小，即

.SCyt-y)21-1

1=1

残差平方和越小.

答案B

4.若一函数模型为丫=5m2a+2sina+l,为将y转化为Z的回归直线方程，则需

作变换，等于()

A.sin2aB.(sina+1)2

2

C.Qina+习D.以上都不对

解析因为y是关于，的回归直线方程，实际上即y是关于，的一次函数，又因

为y=(sina+l)2,若令f=(sina+1-，则可得y与，的函数关系式为y=f,此时

变量y与变量才是线性相关关系.

答案B

5.甲、乙、丙、丁4位同学各自对A,8两变量进行回归分析，分别得到散点

nA

图与残差平方和E(v—y,)2如下表:

i=l

甲乙丙T

IBB.IB伊

**•

散点图*♦♦•*••

0AOAOA0A

残差平方和115106124103

哪位同学的试验结果体现拟合A,8两变量关系的模型拟合精度高()

A.甲B.乙

C.丙D.T

解析根据线性相关的知识，散点图中各样本点条状分布越均匀，同时保持残差

、n-〜

平方和越小(对于已经获取的样本数据，R2的表达式中£(y,-y)2为确定的数,

i=l

则残差平方和越小，收越大)，由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果越好,

由试验结果知丁要好些.

答案D

二、填空题

6.某种产品的广告支出费用x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）的数据如下

表：

X24568

y3040605070

已知y关于x的线性回归方程为£=6.5x+17.5,则当广告支出费用为5万元时，

残差为万元.

解析当x=5时，？=6.5X5+17.5=50,表格中对应y=60,于是残差为60一

50=10（万元）.

答案10

7.某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量（单位：件）与月平均气温x（单位：℃）

之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：

月平均气温力℃171382

月销售量w件24334055

由表中数据算出线性回归方程£=源"中的金心一2.气象部门预测下个月的平均

气温约为6℃,据此估计，该商场下个月该品牌羽绒服的销售量的件数约为

—[7+]q+x+2

解析由表格中数据可得x=-----------=10,

AA-A-

又•.》七一2,：.a=y-bx^38+2X10=58,

A,,A

.•.y=-2x+58.当x=6时，>>=-2X6+58=46.

答案46

8.在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得决定系数R2Po.85,则表明气

温解释了的热茶销售杯数变化，而随机误差贡献了剩余的

,所以气温对热茶销售杯数的效应比随机误差的效应大得多.

解析由决定系数R2的意义可知，心q0.85表明气温解释了85%,而随机误差

贡献了剩余的15%.

答案85%15%

三'解答题

9.从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入双单位：千元）与

101010

月储蓄双单位：千元)的数据资料，算得£x,=80,£y,=20,Ex»=184,

i=li=1i=1

10.

Sx?=720.

i=\

⑴求家庭的月储蓄y关于月收入x的线性回归方程£=源十2

⑵若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.

1101

解（1）由题意知”=10,x=­£x=7nX80=8,

ni=110(

1101

产"当6=15X20=2,

10

Xiy-nxy

所以金二匕3-------184-10X8X224

720-10X82=80=0,3，

i=1

AA

a=y一以=2—0.3X8=—0.4,

故所求线性回归方程为£=0.3x—0.4.

（2）将x=7代入回归方程，可以预测家庭的月储蓄约为£=0.3X7—0.4=1.7（千

元）.

10.为了研究甲型H1N1中的某种细菌随时间x变化的繁殖个数）,收集数据如

下：

天数X123456

繁殖个数y612254995190

求y对x的回归方程.

解作出散点图如图(1)所示.

由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线y=ce"r的周围，则