初中数学自主招生训练 14 圆与圆的位置关系（含解析）

专题14圆与圆的位置关系

一.选择题（共8小题）

1.（2018•汉阳区校级自主招生）如图，边长为1的正△ABC,分别以顶点A、B、C为圆心,

1为半径作圆，则这三个圆所覆盖的图形面积为（）

C.工it-2加D.2豆+返

22

2.（2016•宝山区校级自主招生）如图，圆与圆之间的不同位置关系有几种（）

B.-1C.1D.3

3.（2016•涪城区校级自主招生）如图，0A、08的半径分别为2、1,且AB=8,若作。C

使得三圆的圆心在同一直线上，且OC与。4外切，与。B相交，则OC的半径在下列数

字中可能是（）

A.2.5B.3C.3.5D.4

4.（2016•福州自主招生）如图所示，圆A和圆2的半径都为1,A8=8.圆A和圆8都和

圆O外切，且三圆均和直线/相切，切点为C、。、E,则圆。的半径为（）

O.

AB

A.3B.4C.5D.6

5.（2015•武城县校级自主招生）若0A的半径是5,的半径是3,圆心距A8=2,则。4

与。B的位置关系是（）

A.相交B.内切C.外切D.内含

6.（2015•温州校级自主招生）如果外切的两圆。。1和002的半径分别为2和4,那么半径

为6,与。0i和。3都相切的圆有（）

A.4个B.5个C.6个D.7个

7.（2015•黄冈中学自主招生）如图，。01与。。2外切于P,。01,的半径分别为2,

1.01A为002的切线，AB为。。2的直径，08分别交。。2于C,D,贝ljCD+3PZ）

C

3

8.（2014•岳麓区校级自主招生）如图所示，RtZ\ABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,两

等圆圆A,圆8外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（）

C257r

二.填空题（共7小题）

9.（2020•浙江自主招生）己知线段AB的中点为C,以点A为圆心，A8的长为半径作圆,

在线段AB的延长线上取点£>,使得2O=AC；再以点。为圆心，D4的长为半径作圆,

与。A分别相交于F,G两点，连接FG交AB于点H,则迎的值为

AB

10.（2020•浙江自主招生）在单位正三角形中，将其内切圆及三个角切圆（与角两边及三角

形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则三角形剩下部分的面积为

II.（2018•青羊区校级自主招生）矩形48co的相邻两边长A8=7,BC=IO.在同一平面

内，以顶点A为圆心，以5为半径作圆A,在AB边上取一点E,使得8E=2,以点E为

圆心，r为半径作圆E,求使OE与有公共点，且点B在。E内，点。在。E外的r

的取值范围是.

12.（2018•包河区校级自主招生）当两个圆有两个公共点，且其中一个圆的圆心在另一圆的

圆内时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”.如果。。1、03半径分别3和1,且两

圆“内相交”，那么两圆的圆心距d的取值范围是.

13.（2017•李沧区校级自主招生）OM与。N的半径分别为3和4,线段的长度为5,

设这两个圆的交点为A，B,线段MN与两圆的交点为C,D,则以4、B、C、。四个点

围成的四边形的面积为.

14.（2017•杨浦区校级自主招生）如图，半径分别为1和2的两个圆外切，且两圆与等腰三

角形AABC的两腰AB和AC都相切，则△ABC的面积为.

15.（2017•镇海区校级自主招生）设Ci,C2,C3,…为一群圆，其作法如下：。是半径为

。的圆，在C1的圆内作四个相等的圆C2（如图），每个圆C2和圆。都内切，且相邻的

两个圆C2均外切，再在每一个圆C2中，用同样的方法作四个相等的圆C3,依此类推作

出C4,C5,C6,…，则

（1）圆C2的半径长等于（用。表示）；

（2）圆Ck的半径为a为正整数，用a表示，不必证明）

三.解答题（共6小题）

16.（2020•浙江自主招生）如图，。。1与。。相交于点4和8,经过A作直线与。Oi相交

于D,与002相交于C,设弧BC的中点为M,弧BD的中点为N,线段CD的中点为K.求

证：MKLKN.

17.（2020•浙江自主招生）设点O（0,0）、点4（2,0）,分别以。、A为圆心，半径为2八

r作圆，两圆在第一象限的交点为P.

（1）当r=l时，求点P的坐标；

（2）当时，能否找到一定点。，使PQ为定值？若能找到，请求出Q点的坐

3

标及定值；若不能找到，请说明理由.

18.(2017•金牛区校级自主招生)如图：两个同心圆的圆心是O,AB是大圆的直径，大圆

的弦AC与小圆相切于点。，连接。。并延长交大圆于点E,连接BE交AC于点F.

(1)已知tan/B=乎，且大、小两圆半径差2,求大圆的半径.

(2)试判断EC与过&F、C三点的圆的位置关系，并证明.

(3)在(1)的条件下，延长EC、AB交于G,求sin/G.

19.(2016•徐汇区校级自主招生)如图，已知8c于8,DC-LBC^C,AC,交于

点P.

(1)当以AB为直径作0Oi与以CD为直径的002相切于点F时，判断aABC和△O8C

之间的关系，说明理由，并直接写出切点尸到P之间的距离；

(2)若BC=A8+C£>,以点尸为圆心作。P,使0P与直线8c相切，判断0P与以BC

为直径的OO之间的位置关系，并说明理由.

20.(2015•永春县自主招生)如图，在平面直角坐标系中，4,B两点的坐标分别为(0,-

2),(0,8),以AB为一边作正方形ABCZ),再以为直径的半圆P.设x轴交半圆P

于点E,交边CO于点尸.

(1)求线段EF的长；

(2)连接BE,试判断直线BE与OP的位置关系，并说明你的理由：

(3)直线BE上是否存在着点。,使得以。为圆心、，•为半径的圆，既与y轴相切又与

OP外切？若存在，试求r的值；若不存在，请说明理由.

忖

■>

X

cD

21.(2014•南充校级自主招生)(1)如图1,在边长为1的正方形A8CD内，。01,。。2

互相外切，且与边AB,相切，002与边BC,C。相切，求OO1,半径的

和；

(2)如图2,将正方形ABCD改为一个长为旦宽为1的长方形，其它条件不变，求。。|,

2

。。2面积和的最小值.

专题14圆与圆的位置关系

参考答案与试题解析

选择题（共8小题）

1.（2018•汉阳区校级自主招生）如图，边长为1的正△ABC,分别以顶点A、B、C为圆心,

1为半径作圆，则这三个圆所覆盖的图形面积为（）

C.-Z-TT-273D.2TT+返

22

【解答】解：连接CO,BD,AC与8。交于点E,如图,

:△ABC为边长为1的等边三角形，

AZACB=60,/8CL>=120。,5,。=弘48。=通义「=叵

44

每两个圆的公共部分面积等于2个弓形BO的面积，而每个弓形的面积等于扇形CDB的

面积减去△BOC的面积，

•••每两个圆的公共部分面积为2（120兀XJ-返）=2（三_返）=空-返，

36043432

三个圆公共部分面积为三个弓形AB的面积加AABC的面积，

...三个圆公共部分面积为3X包匹-2X返=三-返，

360422_

三个圆覆盖的面积为3ir-3（22L-返）+（工-返）+三-返=空_+遂.

3222222

2.（2016•宝山区校级自主招生）如图，圆与圆之间的不同位置关系有几种（)

【解答】解：图中圆与圆的位置关系有内切，外切，相离，共3种，

故选：D.

3.（2016•涪城区校级自主招生）如图，OA、的半径分别为2、1,且AB=8,若作OC

使得三圆的圆心在同一直线上，且。C与。A外切，与。B相交，则0c的半径在下列数

【解答】解：A、当OC的半径为2.5时，因为0c与OA外切，所以AC=4.5,则BC=

3.5或12.5,此时（DC与OB外切或外离，所以4选项错误；

B、当OC的半径为3时，因为0c与OA外切，所以4c=5,则8c=3或13,此时OC

与。B相交或外离，所以8选项正确；

C、当OC的半径为3.5时，因为OC与OA外切，所以AC=5.5,则BC=2.5或13.5,

此时OC与内切或外离，所以C选项错误；

D、当（DC的半径为4时，因为OC与外切，所以4C=6,则BC=2或14,此时。。

与。B内含或外离，所以。选项错误.

故选：B.

4.（2016•福州自主招生）如图所示，圆A和圆8的半径都为1,A8=8.圆A和圆B都和

圆0外切，且三圆均和直线/相切，切点为C、。、E,则圆。的半径为（）

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：如图，连接AC、BE、AB.A。、OD,。。与AB交于点M.设。O半径为

J.AC//OD//BE,

*：AC=BE=1,

・・・四边形ACEB是平行四边形，

VZACD=ZODC=ZBEC=90°,

・・・四边形ACEB是矩形，

：.DM=AC=\,

U：AB//CE,OD±CE,

JOD±AB

•：OA=OB,

・・・AM=8M=LB=4,

2

在RT/\AOM中，*?OA2=OM2+AM2,

J(R+l)2=42+(R-1)2,

・・・R=4

故选：B.

5.(2015•武城县校级自主招生)若0A的半径是5,。8的半径是3,圆心距AB=2,则。4

与。B的位置关系是()

A.相交B.内切C.外切D.内含

【解答】解：；G）A的半径是5,OB的半径是3,圆心距AB=2,

又-3=2,

：.OA与0B的位置关系是内切.

故选：B.

6.（2015•温州校级自主招生）如果外切的两圆。01和。02的半径分别为2和4,那么半径

为6,与。。|和。。2都相切的圆有（）

A.4个B.5个C.6个D.7个

【解答】解：如图所示：

和。。1和。。2都外切的圆，可以画两个，

和。。1内切，。。2外切的圆可以画一个，

和。。2内切，。01外切的圆可以画一个，

和。。1,。。2都内切的圆可以画一个，

共5个，

故选：B.

7.（2015•黄冈中学自主招生）如图，与。。2外切于P,OOi,的半径分别为2,

1.01A为002的切线，AB为。。2的直径，分别交。。2于C,D,贝UCD+3叨

的值为（）

（3®

A-3B.毕C.D.一4^.

33

【解答】解：连接0102,

,**A02=1»01。2=3,

二・A01={/一式?亚,

273>

•♦,8°I=J0]A2+AB2=%7=

...由切割线定理。以2=0]£）.0山,得01。=—^==&

2733

.01P_0业__2

,01020tB3,

；NPOID=NO2OIB,

：.^P0\D^/\0i0\B,

.PD=2

B023,

:.PD=2_,

3

CD+3PD=^H--2+3X2=.

333

故选：D.

8.（2014•岳麓区校级自主招生）如图所示,咫△ABC中，NC=90°,AC=6,BC=8,两

等圆圆A,圆8外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（）

•.,等圆08,0A外切，

/.QB,OC的半径为5,

•.•△ACB中，ZC=90°,

・・・N3+NA=90°,

两圆中阴影扇形的面积之和为：幺X三X'+/CX2X§2=_口口义（NB+

360360360

ZC）义25=生死

4

故选：A.

二.填空题（共7小题）

9.（2020•浙江自主招生）已知线段A8的中点为C,以点A为圆心，AB的长为半径作圆,

在线段A8的延长线上取点O,使得BO=AC；再以点。为圆心，OA的长为半径作圆,

与OA分别相交于RG两点，连接FG交AB于点”，则旭的值为_2_.

【解答】解：如图，延长A拉与。。交于点E,连接AREF.

・・,线段A8的中点为C,

：.AC=BCf

9：BD=AC,

：.BD=AC=BCf

・1

・・A—AD，

'：AC=1AB,AD=1AE,

22

.1

••AB-yAE(

o

在△FH4和△片用中，

ZEFA=ZFHA=()O°,ZFAH=ZEAF,

•AHAF

,•而R

"：AF=AB,

•旭=迪=2

*'ABAE~3

故答案为：1.

10.（2020•浙江自主招生）在单位正三角形中，将其内切圆及三个角切圆（与角两边及三角

形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则三角形剩下部分的面积为_

由题意知AC=工，NBAC=30°,

2

解得8。=返，

6

设小圆半径为，，

sin30°=DE=-yJ—=1,

ADy[3_2

6-r

解得r=返，

18

二三角形剩下部分的面积5哼-3Xn噜）2-哈之哼-2L.

11.（2018•青羊区校级自主招生）矩形ABCZ）的相邻两边长AB=7,8c=10.在同一平面

内，以顶点4为圆心，以5为半径作圆A,在48边上取一点E,使得BE=2,以点E为

圆心，r为半径作圆E,求使OE与OA有公共点，且点8在OE内，点。在OE外的r

的取值范围是2<，<10.

【解答】解：如图，

•.•点8在。E内，

r>2,

与。A有公共点，

...rW5X2=10,

...点。在OE外的r的取值范围是2<rW10.

12.（2018•包河区校级自主招生）当两个圆有两个公共点，且其中一个圆的圆心在另一圆的

圆内时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”.如果。0卜半径分别3和1,且两

圆“内相交”，那么两圆的圆心距4的取值范围是2V4V3.

【解答】解：：。01、。。2半径分别3和1,

.•.当两圆相交时，2Vd<4,

:其中一个圆的圆心在另一圆的圆内，

：.2<d<3,

故答案为：2<d<3.

13.（2017•李沧区校级自主招生）OM与ON的半径分别为3和4,线段的长度为5,

设这两个圆的交点为A，B,线段MN与两圆的交点为C,D,则以A、B、C、。四个点

围成的四边形的面积为24.

一5一

【解答】解：如图，与。N的交点为4,B,

线段与两圆的交点为C,D,

连接AB交MN于点、E,

:相交两圆的连心线垂直平分公共弦,

即MN垂直平分AB,

：.AE=BE,

连接AMAM,

由题意可知：

AM=M£>=3,NA=NC=4,MN=5,

V32+42=52,

即AM2+AM=MM,

.♦.△AMN是直角三角形，

：.SMBC=^AM-AN=^MN-AE

22

即3X4=54E,

：.AE=H,

5

，A8=2AE="

5

,:MC=MN-NC=\,

：.CD=MD-MC=2,

四边形ACB。的面积为：

X,AB-CD=1-x坐X2=Z1

2255

故答案为：2支

5

14.（2017•杨浦区校级自主招生）如图，半径分别为1和2的两个圆外切，且两圆与等腰三

角形△ABC的两腰AB和AC都相切，则△ABC的面积为16、万.

【解答】解：作OE_LAC于E,O'FJ_AC于凡OMVO,尸于例，连接40,作直线

OO,交8c于N经过点A,且N是切点.

二ZOEF=ZEFM=ZOMF=90°,

二四边形OEFM是矩形，

：.FM=OE=\,O'M=\,

OM=q§2_]2=2"\/"^,

"：OE=O'M,NAEO=NOMO',/AOE=/OO'M,

：.△AOE^AOO，M,

：.AO=OO'=3,

，AN=8,

•；ANLBC,tanZNAC=tanZOAE=—L=,

2V2

.CN=1

"AN272'

:.CN=2近,

:.BC=2CN=4M，

SAABC=AX4A/2X8=l6近,

故答案为16®

15.（2017•镇海区校级自主招生）设G,C2,C3,…为一群圆，其作法如下：。是半径为

a的圆，在。的圆内作四个相等的圆C2（如图），每个圆C2和圆。都内切，且相邻的

两个圆C2均外切，再在每一个圆C2中，用同样的方法作四个相等的圆C3,依此类推作

出C4,C5,C6,…，贝IJ

（1）圆C2的半径长等于a_（用a表示）；

（2）圆Ck的半径为（6-1）卜。（X为正整数,用。表示，不必证明）

【解答】（1）解：连接48、BC、CD、AD,AC,

设小圆的半径是r,

根据圆与圆相切，

,\AC=2a-2r,

四边形488是正方形，

：.AB=BC,ZB=90°,

由勾股定理得：AC=2yf2r>

.'.2a-2r=2y[2r,

解得：r=（5/2-1）a,

故答案为：（&-1）a.

（2）解：由（1）得：r=-1）a,

同理圆C3的半径是/3=（料-1）r=（加-1）2。，

C4的半径是八4=（加-1）3,

圆Ck的半径为“=（V2-1）k-1a,

16.（2020•浙江自主招生）如图，。。|与。。相交于点4和8,经过A作直线与。Oi相交

于D,与。02相交于C,设弧BC的中点为M,弧BD的中点为N,线段CD的中点为K.求

【解答】证明：将△K£W绕点K顺时针旋转180°得aGCK,连接MC,MB,GC,NB,

ND,MN,延长AB交MV于S.…（3分）

则CG=DN,ZGCK=ZKDN,

•.•弧8c的中点为M,弧8。的中点为N,

：.DN=BN,MC=MB,…（6分）

：.CG=BN,

又NKCM=NMBS,NGCK=NKDN=ZSBN,

:.NGCM=NMBN,…（9分）

在△GCM与△%加%中，

，CG=NB

<ZGCM=ZMBN-

MC=MB

：./\GCM^/\NBM（SAS）,…（10分）

：.GM=MN.

又GK=KN,

:*MK1KN…(12分)

G

17.（2020•浙江自主招生）设点。（0,0）、点A（2,0）,分别以0、A为圆心，半径为2八

r作圆，两圆在第一象限的交点为P.

（1）当/*=1时，求点尸的坐标；

（2）当2<=<2时，能否找到一定点Q，使PQ为定值？若能找到，请求出Q点的坐

3

标及定值；若不能找到，请说明理由.

由勾股定理，得Jx+y=2

.（2-x）2+y2=l2

'_7_

解得《「（舍去负值）

《限

(2)设P(x,y),

由题意,得/+)?=4[(%-2)2+y2]

化简，得/+/-J13+」旦=0

33

即(X-旦)2+)2=^^

39

...定点为(.1,0)，定值为全

33

18.(2017•金牛区校级自主招生)如图：两个同心圆的圆心是。，AB是大圆的直径，大圆

的弦AC与小圆相切于点。，连接。。并延长交大圆于点£连接BE交AC于点F.

(1)已知tanNB=坐，且大、小两圆半径差2,求大圆的半径.

(2)试判断EC与过以F、C三点的圆的位置关系，并证明.

(3)在(1)的条件下，延长EC、A8交于G,求sin/G.

2>

【解答】解：(1)VZABE^ZACE,tanZB=y

；.tan/ACE=®

2

而ODLAC,

•.•大、小两圆半径差为2,

：.DE=2,

故AO=£)C=2点,在RtZXA。。中，可求得。。=1,

半径4。=3；

(2)EC是过3、F、C三点的切线.

证明：连接BC,

设过B、F、C三点的圆的圆心为0',则的直径为B尸，连接O'C,

则O'C=O'F,

/O'FC=O'CF,

"：AE=CE,

NECF=NCBF,

而N。'FC+NCBF=90°,

NO'CF+ZECF=90°,

即NECO'=90°,

故EC是00'的切线.

(3)过C作CM〃A8交。E于M过N作HNLEC,

"JBC//DO,

四边形ONCB为平行四边形，

：.ON=BC=2,

：.NE=l,又中，

可求得NH=Y&,

3

'：NC=0B=3,

在Rt/\NCH中,

sinNG=sinNHCN=&.

9

19.(2016•徐汇区校级自主招生)如图，已知ABLBC于B,DCLBC^C,AC、DB交于

点P.

(1)当以A3为直径作。。1与以8为直径的。。2相切于点F时，判断aABC和△O8C

之间的关系，说明理由，并直接写出切点F到P之间的距离：

(2)若BC=AB+CD,以点P为圆心作G)P,使OP与直线BC相切，判断G)P与以BC

为直径的。。之间的位置关系，并说明理由.

D

如图1中，连接AF、BF、CF、OF,作两圆的公切线交BC于M.

"：AB±BC,DC1BC,

...8C是两圆的公切线，

：.MB=MF=MC,

.,•ZBFC=90°,

,：AB,CO是直径，

:.NAFB=NCFD=90°,

...NAFC=/BF£)=180°,

；.A、F、C共线，B、F、。共线，

■:AC交BD于P,

尸与尸公点,

：.PF=0.

ZBAC+ZABF=90°,ZZDBC=90°,

:.NBAC=NDBC,,:NABC=NDCB=90°,

：./\ABCS/\BCD.

(2)连接OP.0P与直线BC相切于H,连接PH.设AB=a,CD=b,BC=a+b.

,D

：.AB//PH//CD,

•#PH=CH>PH=BH(

AB而'CDBC"

••---------•-----------------1,

ABCDBC

：.PH=-^-,BH=a,

a+b

:OB=^-,

2

2

.________2.,2

在Rl/\POH中，。尸百福=且「鼻，

YPH-KJH2(a+b)

22

圆心距且-ab=a+b=OP,

2a+b2(a+b)

二两圆内切.

20.(2015•永春县自主招生)如图，在平面直角坐标系中，A,B两点的坐标分别为(0,-

2),(0,8),以A8为一边作正方形ABCD,再以C。为直径的半圆P.设x轴交半圆P

于点E,交边CD于点F.

(1)求线段EF的长：

(2)连接BE,试判断直线BE与OP的位置关系，并说明你的理由；

(3)直线BE上是否存在着点Q,使得以。为圆心、r为半径的圆，既与y轴相切又与

。尸外切？若存在，试求r的值；若不存在，请说明理由.

以A8为一边作正方形ABC。，再以CO为直径的半圆P.

：.AB=CD=[0,

：.PE=5,PF=3,

^=VPE2-PF2,

=752-32,

=4；

证明：总

(2)=2,EO10-4=2，NBOE=NEFP,

EF4PF3

.".RtABOE^RtAEFP,

；.NOBE=/FEP,

NOBE+/OEB=90°,

=NFEP+NOEB=9Q°,

=NBEP=90°,

相切；

(3)连接P。，过0作QMJ_y轴于M,交.CD千N,

；OQ与。尸外切，

：.PQ=r+5,

与y轴相切