专题9.4 列联表与独立性检验（解析版）-2024年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

第九章统计专题9.4列联表与独立性检验1.通过实例，理解2×2列联表的统计意义.2.通过实例，了解独立性检验及其应用．考点一列联表与χ2的计算考点二列联表与独立性检验考点三独立性检验的综合应用列联表与独立性检验(1)2×2列联表：如果随机事件A与B的样本数据如下表格形式：Aeq\x\to(A)总计Baba＋beq\x\to(B)cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d在这个表格中，核心的数据是中间的4个格子，所以这样的表格通常称为2×2列联表．(2)在2×2列联表中，定义随机变量χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，任意给定α(称为显著性水平)，可以找到满足条件P(χ2≥k)＝α的数k(称为显著性水平α对应的分位数)，①若χ2≥k成立，就称在犯错误的概率不超过α的前提下，可以认为A与B不独立(也称A与B有关)，或说有1－α的把握认为A与B有关；②若χ2<k成立，就称不能得到前述结论．这一过程通常称为独立性检验．题型一列联表与χ2的计算1．下面是一个列联表，其中a、b处填的值分别为（

）总计a217322527总计b46100A．52、54B．54、52C．94、146D．146、94【答案】A【详解】由题意可得，解得，所以a、b值分别为52、54.故选：A.2．某超市对一种商品受顾客的喜爱程度进行100份问卷调查，得到了如下的列联表，从100人中随机抽取1人，抽到喜爱该商品的男顾客的概率为.喜爱该商品不喜爱该商品合计男顾客10女顾客35合计100则有超过（

）的把握认为喜爱该商品与性别有关.下面的临界值表供参考：A． B． C． D．【答案】A【详解】因为在100人中随机抽取1人，抽到喜爱该商品的男顾客的概率为.所以喜爱该商品的男顾客人数为，列联表补充如下：喜爱该商品不喜爱该商品合计男顾客401050女顾客351550合计7525100由，因为，所以有超过的把握认为喜爱该商品与性别有关.故选：A.3．为考查某种营养品对儿童身高增长的影响，用一部分儿童进行试验，根据100个有放回简单随机样本的数据，得到如下列联表：由表可知下列说法正确的是（

）身高合计有明显增长无明显增长食用该营养品a1050未食用该营养品b3050合计6040100参考公式：，其中．参考数据：A．B．C．从样本中随机抽取1名儿童，抽到食用该营养品且身高有明显增长的儿童的概率是D．根据小概率值的独立性检验，可以认为该营养品对儿童身高增长有影响【答案】D【详解】解：由题可知，，所以A错误．，所以根据小概率值的独立性检验，可以认为该营养品对儿童身高增长有影响，所以B错误，D正确．从样本中随机抽取1名儿童，抽到食用该营养品且身高有明显增长的儿童的概率是，所以C错误．故选：D4．在一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下2×2列联表：优秀非优秀合计甲班人数50乙班人数20合计30110附：，其中.根据独立性检验，可以认为数学考试成绩与班级有关系的把握为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】优秀非优秀合计甲班人数50乙班人数20合计30110由题表中的数据可得:,因为,所以可以认为数学考试成绩与班级有失系的把握为.故选：D5．在一次恶劣气候的飞行航程中，调查男、女乘客晕机的情况，调查结果如下表所示（单位：人）：晕机情况性别晕机不晕机合计男15女6合计2846则约为（

）【答案】A【详解】由列联表数据，知，得补充得到列联表（单位：人）如下：晕机情况性别晕机不晕机合计男121527女61319合计182846所以.故选：A．题型二列联表与独立性检验6．为考察一种新药预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的.参照附表，下列结论正确的是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物有效”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物无效”C．根据小概率值α＝0.0001的独立性检验，认为“药物有效”D．对分类变量X与Y，统计量的值越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大【答案】A【详解】因为，即，所以根据小概率值α＝0.001的独立性检验，认为“药物有效”．故选：A．7．下列关于独立性检验的说法正确的是（）A．独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验B．独立性检验可以确定两个变量之间是否具有某种关系C．利用独立性检验推断吸烟与患肺病的关联中，根据小概率值的独立性检验，认为吸烟与患肺病有关系时，则我们可以说在个吸烟的人中，有人患肺病D．对于独立性检验，随机变量的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大【答案】D【详解】对于A，独立性检验是通过卡方计算来判断两个变量存在关联的可能性的一种方法，并非检验二者是否是线性相关，故错误；对于B，独立性检验并不能确定两个变量相关，故错误；对于C，是指“抽烟”和“患肺病”存在关联的可能性，并非抽烟人中患肺病的发病率，故错误；对于D，根据卡方计算的定义可知该选项正确；故选:D.8．千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了地区A的100天日落和夜晚天气，得到如下2×2列联表（单位：天），并计算得到，下列小波对地区A天气的判断不正确的是（）日落云里走夜晚天气下雨未下雨出现255未出现2545参考公式：临界值参照表：A．夜晚下雨的概率约为B．未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为C．据小概率值的独立性检验，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关D．出现“日落云里走”，据小概率值的独立性检验，可以认为夜晚会下雨【答案】D【详解】由列联表知：100天中有50天下雨，50天未下雨，因此夜晚下雨的概率约为，A正确；未出现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为，B正确；，因此据小概率值的独立性检验，认为“日落云里走”是否出现与夜晚天气有关，C正确，D错误．故选：D9．足球是一项大众喜爱的运动,为了解喜爱足球是否与性别有关,随机抽取了若干人进行调查,抽取女性人数是男性的2倍,男性喜爱足球的人数占男性人数的,女性喜爱足球的人数占女性人数的,若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论,则被调查的男性至少有（

）人aA．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【详解】设被调查的男性为人,则女性为人,依据题意可得列联表如下表:男性女性合计喜爱足球不喜爱足球合计,因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论,所以有,即,解得,又因为上述列联表中的所有数字均为整数,故的最小值为12.故选:C.10．在对吸烟与患肺病这两个分类变量的独立性检验中，下列说法正确的是（

）（参考数据：）①若的观测值满足，我们有的把握认为吸烟与患肺病有关系；②若的观测值满足，那么在个吸烟的人中约有人患有肺病；③从独立性检验可知，如果有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，那么我们就认为：每个吸烟的人有的可能性会患肺病；④从统计量中得知有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有的可能性使推断出现错误．A．① B．①④ C．②③ D．①②③④【答案】B【详解】若的观测值满足，则我们有的把握认为吸烟与患肺病有关系，而得知有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，仍有的可能性使推断出现错误，但不能说明个吸烟的人中约有人患有肺病，及每个吸烟的人有的可能性会患肺病.故①④正确、②③错误.故选：B题型三独立性检验的综合应用11．2022年，举世瞩目的冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”有着可爱的外表和丰富的寓意，自亮相以来就好评不断，深受各国人民的喜爱．某市一媒体就本市小学生是否喜爱这两种吉祥物对他们进行了一次抽样调查，列联表如下（单位：人）：性别是否喜爱合计喜爱不喜爱男生302050女生401050合计7030100(1)根据小概率值的独立性检验，能否推断是否喜爱吉祥物与性别有关？(2)现从样本的男生中采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记抽取的3人中有X人喜爱吉祥物，求X的分布列和均值．附：，其中.αxα【详解】（1）零假设为：喜爱吉祥物与性别无关．根据表中数据得，所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为喜爱吉祥物与性别无关．（2）由题意得，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取出的5人中，有3人喜爱吉祥物，有2人不喜爱吉祥物，则X的可能取值为1，2，3，所以，，，所以X的分布列为X123P则12．新高考，取消文理科，实行“”，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人（把年龄在称为中青年，年龄在称为中老年），并把调查结果制成下表：年龄（岁）频数515101055了解4126521附：．(1)分别估计中青年和中老年对新高考了解的概率；(2)请根据上表完成列联表，是否有的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关?了解新高考不了解新高考总计中青年中老年总计【详解】（1）由已知可得中青年对新高考了解的概率为，中老年对新高考了解的概率为．（2）列联表如下所示：了解新高考不了解新高考总计中青年22830中老年81220总计302050所以，所以有的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联．13．某医疗机构研发处治疗同一种疾病的两种药剂，为了解它们的临床效果，从已患该疾病的病例中随机抽取200例，随机平均分成两组，一组使用药剂治疗，另一组使用药剂治疗，经过一个疗程的治疗，得到如下数据（单位：例）痊愈未痊愈A药剂7525B药剂8515(1)根据上表，分别估计使用药剂经过一个疗程的治疗后被治愈的概率；(2)能否有90%的把握认为药剂的治疗效果有差异？附：，其中.【详解】（1）由题表中数据可知，使用A药剂被治愈的频率为，故估计使用A药剂被治愈的概率为0.75，使用B药剂被治愈的概率为，故估计使用B药剂被治愈的概率为0.85；（2），因为，所以有90%的把握认为A，B药剂的治疗效果有差异.一、单选题1．某课外兴趣小组通过随机调查，利用2×2列联表和，经查阅临界值表知，则下列判断正确的是（

）A．每100个数学成绩优秀的人中就会有1名是女生C．有99%的把握认为“数学成绩优秀与性别无关”D．在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”【答案】D【详解】∵，∴有99%的把握认为“数学成绩优秀与性别有关”，即在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”.所以ABC错误，故选：D2．为考察一种新药预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的.参照附表，下列结论正确的是（

）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物有效”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物无效”C．有99.99%以上的把握认为“药物有效”D．有99.99%以上的把握认为“药物无效”【答案】A【详解】因为，即，所以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物有效”或有99.9%以上的把握认为“药物有效”．故选：A．3．若由一个列联表中的数据计算得，则有（

）把握认为两个变量有关系．A．95% B．97.5% C．99% D．99.9%【答案】C【详解】解：由于，因为，则，那么有的把握认为两个变量有关系．故选：C．4．为了考察某种中成药预防流感的效果，抽样调查40人，得到如下数据：项目患流感未患流感服用药218未服用药812下表是χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值：α根据表中数据，计算，若由此认为“该药物有效”，则该结论出错的概率不超过（

）【答案】A【详解】由题意知，，由临界值表可知，认为“该药物有效”，则该结论出错的概率不超过0.05.故选：A.5．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，某网络直播平台调研“大学生是否喜欢观看体育比赛直播与性别有关”，从某高校男、女生中各随机抽取100人进行问卷调查，得到如下数据．喜欢观看不喜欢观看男生女生通过计算，有95％以上的把握认为大学生喜欢观看直播体育比赛与性别有关，则在被调查的100名女生中喜欢观看体育比赛直播的人数的最大值为（

）附：，其中．A．55 B．57 C．58 D．60【答案】C【详解】因为，所以，又，所以，解得，故在被调查的100名女生中喜欢观看体育比赛直播的人数的最大值为58．故选：人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为不成立，此推断犯错误的概率不超过5%，则m的最小值为（

）附：，附表：A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【详解】依题意得男生中喜欢短视频的人数为（人），男生中不喜欢短视频的人数为（人），女生中喜欢短视频的人数为（人），女生中不喜欢短视频的人数为（人），所以列联表为：喜欢短视频人数不喜欢短视频人数合计男生人数女生人数合计零假设为：喜欢短视频和性别相互独立，，因为推断不成立犯错误的概率不超过5%，所以，解得，因为，所以的最小值为.故选：C7．为了了解居家学习期间性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，某校随机抽取了40名学生进行调查，按照性别和体育锻炼情况整理出如下的列联表：性别锻炼情况合计不经常经常女生/人14721男生/人81119合计/人221840注：独立性检验中，．常用的小概率值和相应的临界值如下表：根据这些数据，给出下列四个结论：①依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响；②依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响；③根据小概率值的独立性检验，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响，这个推断犯错误的概率不超过0.05；④根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断性别对体育锻炼的经常性有影响，因此可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响．其中，正确结论的序号是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【详解】由表可知，女生有21人，其中经常锻炼的有7人，频率为，男生有19人，其中经常锻炼的有11人，频率为，因为，依据频率稳定于概率的原理，可以认为性别对体育锻炼的经常性有影响，故①正确，②错误；，所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断性别对体育锻炼的经常性有影响，因此可以认为性别对体育锻炼的经常性没有影响，故④正确，③错误.故选：B.8．某中学共有1000人,其中男生700人,女生300人,为了了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及经常进行体育锻炼的学生是否与性别有关（经常进行体育锻炼是指：周平均体育锻炼时间不少于4小时）,现在用分层抽样的方法从中收集200位学生每周平均体育锻炼时间的样本数据（单位：小时）,其频率分布直方图如图.已知在样本数据中,有40位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时,根据独立性检验原理（

）附：,其中.A．有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”B．有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”C．有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”D．有95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”【答案】B【详解】由频率分布直方图可知,平均体育锻炼时间不少于4小时的频率为,故经常进行体育锻炼的学生人.又其中有40位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时,故有位男生经常锻炼.根据分层抽样的方法可知,样本中男生的人数为,女生有.列出列联表有：男生女生总计经常锻炼11040150不经常锻炼302050总计14060200故,因为.故有90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”.故选：B二、多选题9．（多选）对甲、乙两个班级学生的数学考试成绩按照优秀和不优秀统计人数后，得到如下列联表：优秀不优秀总计甲班10b乙班c30总计已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法不正确的是（）.A．列联表中c的值为的值是35B．列联表中c的值为的值为50C．根据小概率值的独立性检验，认为成绩优秀与班级有关系D．不能根据小概率值的独立性检验，认为成绩优秀与班级有关系【答案】ABD【详解】由题意，知成绩优秀的学生人数是，成绩不优秀的学生人数是，所以，，选项A，B错误；因为，所以根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为成绩优秀与班级有关系，故C正确，D错误.故选：ABD.10．（多选）“一粥一饭，当思来之不易”，道理虽简单，但每年我国还是有2000多亿元的餐桌浪费，被倒掉的食物相当于2亿多人一年的口粮．为营造“节约光荣，浪费可耻”的氛围，某市发起了“光盘行动”．某机构为调研民众对“光盘行动”的认可情况，在某大型餐厅中随机调查了90位来店就餐的客人，制成如下所示的列联表，通过计算得到K2的观测值为9认可不认可40岁以下202040岁以上（含40岁）4010已知，，则下列判断正确的是（）A．在该餐厅用餐的客人中大约有66.7%的客人认可“光盘行动”B．在该餐厅用餐的客人中大约有99%的客人认可“光盘行动”C．根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关D．根据小概率值α＝0.001的独立性检验，认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关【答案】AC【详解】根据题目提供的数据，计算出的观测值，结合选项进行判断.∵的观测值为9，且P（≥6.635）＝0.010，P（≥10.828）＝0.001，又∵9＞6.635，但9＜10.828，∴根据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关，所以选项C正确，选项D错误，由表可知认可“光盘行动”的人数为60人，所以在该餐厅用餐的客人中认可“光盘行动”的比例为%≈66.7%，故选项A正确，选项B错误.故选：AC.三、填空题11．已知P（χ2≥6.635）＝0.01，P（χ2≥10.828）＝0.001.在检验喜欢某项体育运动与性别是否有关的过程中，某研究员搜集数据并计算得到χ2＝7.235，则根据小概率值α＝的χ2独立性检验，分析喜欢该项体育运动与性别有关．【详解】因为6.635<7.235<10.828，所以根据小概率值αχ2独立性检验，分析喜欢该项体育运动与性别有关．故答案为：0.01.12．为了调查高中学生参加课外兴趣活动选篮球和舞蹈是否与性别有关，现随机调查了30名学生，得到如下图列联表：篮球舞蹈合计男13720女2810合计151530根据表中的数据，及观测值(其中)的参考数据：则在犯错误的概率不超过前提下，认为选择舞蹈与性别有关．【详解】由列联表中的数据可得，所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为选择舞蹈与性别有关．故答案为：0.025．四、解答题13．某高中有50名学生参加数学竞赛，得分（满分：150分）如下：女生145532男生0241293(1)若得分不低于120分的学生称为“数学优秀者”.问：是否有95%的把握认为“数学