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核心考点4独立性检验核心知识·精归纳假设有两个分类变量X和Y,它们的取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表(称为2×2列联表)为:y1y2总计x1aba+bx2cdc+d总计a+cb+da+b+c+dK2=eq\f(nad-bc2,a+ba+cb+dc+d)(其中n=a+b+c+d为样本容量).典例研析·悟方法典例2(2023·全国一模)某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动,为了了解学生参与活动的情况,随机调查了100名学生一个月(30天)完成锻炼活动的天数,制成如下频数分布表:天数[0,5](5,10](10,15](15,20](20,25](25,30]人数4153331116(1)由频数分布表可以认为,学生参加体育锻炼天数X近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本的平均数(每组数据取区间的中间值),且σ=6.1,若全校有3000名学生,求参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数(精确到1);(2)调查数据表明,参加“每天锻炼1小时”活动的天数在(15,30]的学生中有30名男生,天数在[0,15]的学生中有20名男生,学校对当月参加“每天锻炼1小时”活动超过15天的学生授予“运动达人”称号.请填写下面列联表:性别活动天数合计[0,15](15,30]男生女生合计并依据小概率值α=0.05的独立性检验,能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有关联.如果结论是有关联,请解释它们之间如何相互影响.附:参考数据:P(μ-α≤X≤μ+σ)=0.6827;P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)=0.9545;P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)=0.9973.χ2=eq\f(nad-bc2,a+bc+da+cb+d)(n=a+b+c+d)α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【解析】(1)由频数分布表知μ=eq\f(4×2.5+15×7.5+33×12.5+31×17.5+11×22.5+6×27.5,100)=14.9,则X~N(14.9,6.12),∵P(μ-σ≤X≤μ+σ)=0.6827,∴P(X>21)=P(X>14.9+6.1)=eq\f(1-0.6827,2)=0.15865,∴3000×0.15865=475.95≈476,∴参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数约为476人.(2)由频数分布表知,锻炼活动的天数在[0,15]的人数为:4+15+33=52,∵参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0,15]的学生中有20名男生,∴参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0,15]的学生中有女生人数:52-20=32,由频数分布表知,锻炼活动的天数在(15,30]的人数为31+11+6=48,∵参加“每天锻炼1小时”活动的天数在(15,30]的学生中有30名男生,∴参加“每天锻炼1小时”活动的天数在(15,30]的学生中有女生人数:48-30=18,列联表如下:性别活动天数合计[0,15](15,30]男生203050女生321850合计5248100零假设为H0:学生性别与获得“运动达人”称号无关,χ2=eq\f(100×30×32-20×182,50×50×52×48)≈5.769>3.841,依据α=0.05的独立性检验,我们推断H0不成立,即:可以认为学生性别与获得“运动达人”称号有关;而且此推断犯错误的概率不大于0.05,根据列联表中的数据得到,男生、女生中活动天数超过15天的频率分别为:eq\f(30,50)=0.6和eq\f(18,50)=0.36,可见男生中获得“运动达人”称号的频率是女生中获得“运动达人”的称号频率的eq\f(0.6,0.36)≈1.67倍,于是依据频率稳定与概率的原理,我们可以认为男生获得“运动达人”的概率大于女生,即男生更容易获得运动达人称号.方法技巧·精提炼独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据制成2×2列联表.(2)根据公式χ2=eq\f(nad-bc2,a+ba+cb+dc+d)计算.(3)比较χ2与临界值的大小关系,作统计推断.加固训练·促提高(2023·日照模拟)第五代移动通信技术(简称5G)是最新一代蜂窝移动通信技术,是实现人、机、物互联的网络基础设施.某市工信部门为了解本市5G手机用户对5G网络的满意情况,随机抽取了本市200名5G手机用户进行调查,所得情况统计如下:满意情况年龄合计50岁以下50岁或50岁以上满意95不满意25合计120200(1)完成上述列联表,并估计本市5G手机用户对5G网络满意的概率;(2)依据小概率值α=0.05的独立性检验,分析本市5G手机用户对5G网络满意与年龄在50岁以下是否有关.附:α0.100.050.0250.0100.001xα2.7063.8415.0246.63510.828χ2=eq\f(nad-bc2,a+bc+da+cb+d),其中n=a+b+c+d.【解析】(1)2×2列联表如下:满意情况年龄合计50岁以下50岁或50岁以上满意9555150不满意252550合计12080200所以本市5G手机用户对5G网络满意的概率约为eq\f(150,200)=eq\f(3,4).(2)零假设为H0:本市5G手机用户对5G网络满意与年龄在50岁以下无关.根据列联表中的数据,计算可得χ2=eq\f(200×95×25-25×552,120
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