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文档简介
东北三校(哈尔滨师大附中2024届高三下学期5月四校联考数学试题试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设全集U=R,集合,则()A.{x|-1<x<4} B.{x|-4<x<1} C.{x|-1≤x≤4} D.{x|-4≤x≤1}2.若函数有且只有4个不同的零点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.3.已知实数满足线性约束条件,则的取值范围为()A.(-2,-1] B.(-1,4] C.[-2,4) D.[0,4]4.已知,,若,则向量在向量方向的投影为()A. B. C. D.5.定义在上的函数与其导函数的图象如图所示,设为坐标原点,、、、四点的横坐标依次为、、、,则函数的单调递减区间是()A. B. C. D.6.在直角坐标系中,已知A(1,0),B(4,0),若直线x+my﹣1=0上存在点P,使得|PA|=2|PB|,则正实数m的最小值是()A. B.3 C. D.7.设全集集合,则()A. B. C. D.8.已知函数有两个不同的极值点,,若不等式有解,则的取值范围是()A. B.C. D.9.的展开式中的系数为()A.-30 B.-40 C.40 D.5010.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B.3 C. D.411.已知双曲线:,,为其左、右焦点,直线过右焦点,与双曲线的右支交于,两点,且点在轴上方,若,则直线的斜率为()A. B. C. D.12.已知函数,则下列结论错误的是()A.函数的最小正周期为πB.函数的图象关于点对称C.函数在上单调递增D.函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知两动点在椭圆上,动点在直线上,若恒为锐角,则椭圆的离心率的取值范围为__________.14.设向量,,且,则_________.15.已知函数,若关于的方程恰有四个不同的解,则实数的取值范围是______.16.《易经》是中国传统文化中的精髓,如图是易经八卦(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每一卦由三根线组成(""表示一根阳线,""表示一根阴线),从八卦中任取两卦,这两卦的六根线中恰有两根阳线,四根阴线的概率为_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数是自然对数的底数.(1)若,讨论的单调性;(2)若有两个极值点,求的取值范围,并证明:.18.(12分)设为实数,在极坐标系中,已知圆()与直线相切,求的值.19.(12分)已知椭圆,点,点满足(其中为坐标原点),点在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程;(2)设椭圆的右焦点为,若不经过点的直线与椭圆交于两点.且与圆相切.的周长是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.20.(12分)已知的面积为,且.(1)求角的大小及长的最小值;(2)设为的中点,且,的平分线交于点,求线段的长.21.(12分)已知函数(其中是自然对数的底数)(1)若在R上单调递增,求正数a的取值范围;(2)若f(x)在处导数相等,证明:;(3)当时,证明:对于任意,若,则直线与曲线有唯一公共点(注:当时,直线与曲线的交点在y轴两侧).22.(10分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且(1)求数列{a(2)求数列{1Sn}的前
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】
解一元二次不等式求得集合,由此求得【题目详解】由,解得或.因为或,所以.故选:C【题目点拨】本小题主要考查一元二次不等式的解法,考查集合补集的概念和运算,属于基础题.2、B【解题分析】
由是偶函数,则只需在上有且只有两个零点即可.【题目详解】解:显然是偶函数所以只需时,有且只有2个零点即可令,则令,递减,且递增,且时,有且只有2个零点,只需故选:B【题目点拨】考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围,基础题.3、B【解题分析】
作出可行域,表示可行域内点与定点连线斜率,观察可行域可得最小值.【题目详解】作出可行域,如图阴影部分(含边界),表示可行域内点与定点连线斜率,,,过与直线平行的直线斜率为-1,∴.故选:B.【题目点拨】本题考查简单的非线性规划.解题关键是理解非线性目标函数的几何意义,本题表示动点与定点连线斜率,由直线与可行域的关系可得结论.4、B【解题分析】
由,,,再由向量在向量方向的投影为化简运算即可【题目详解】∵∴,∴,∴向量在向量方向的投影为.故选:B.【题目点拨】本题考查向量投影的几何意义,属于基础题5、B【解题分析】
先辨别出图象中实线部分为函数的图象,虚线部分为其导函数的图象,求出函数的导数为,由,得出,只需在图中找出满足不等式对应的的取值范围即可.【题目详解】若虚线部分为函数的图象,则该函数只有一个极值点,但其导函数图象(实线)与轴有三个交点,不合乎题意;若实线部分为函数的图象,则该函数有两个极值点,则其导函数图象(虚线)与轴恰好也只有两个交点,合乎题意.对函数求导得,由得,由图象可知,满足不等式的的取值范围是,因此,函数的单调递减区间为.故选:B.【题目点拨】本题考查利用图象求函数的单调区间,同时也考查了利用图象辨别函数与其导函数的图象,考查推理能力,属于中等题.6、D【解题分析】
设点,由,得关于的方程.由题意,该方程有解,则,求出正实数m的取值范围,即求正实数m的最小值.【题目详解】由题意,设点.,即,整理得,则,解得或..故选:.【题目点拨】本题考查直线与方程,考查平面内两点间距离公式,属于中档题.7、A【解题分析】
先求出,再与集合N求交集.【题目详解】由已知,,又,所以.故选:A.【题目点拨】本题考查集合的基本运算,涉及到补集、交集运算,是一道容易题.8、C【解题分析】
先求导得(),由于函数有两个不同的极值点,,转化为方程有两个不相等的正实数根,根据,,,求出的取值范围,而有解,通过分裂参数法和构造新函数,通过利用导数研究单调性、最值,即可得出的取值范围.【题目详解】由题可得:(),因为函数有两个不同的极值点,,所以方程有两个不相等的正实数根,于是有解得.若不等式有解,所以因为.设,,故在上单调递增,故,所以,所以的取值范围是.故选:C.【题目点拨】本题考查利用导数研究函数单调性、最值来求参数取值范围,以及运用分离参数法和构造函数法,还考查分析和计算能力,有一定的难度.9、C【解题分析】
先写出的通项公式,再根据的产生过程,即可求得.【题目详解】对二项式,其通项公式为的展开式中的系数是展开式中的系数与的系数之和.令,可得的系数为;令,可得的系数为;故的展开式中的系数为.故选:C.【题目点拨】本题考查二项展开式中某一项系数的求解,关键是对通项公式的熟练使用,属基础题.10、C【解题分析】
首先把三视图转换为几何体,该几何体为由一个三棱柱体,切去一个三棱锥体,由柱体、椎体的体积公式进一步求出几何体的体积.【题目详解】解:根据几何体的三视图转换为几何体为:该几何体为由一个三棱柱体,切去一个三棱锥体,如图所示:故:.故选:C.【题目点拨】本题考查了由三视图求几何体的体积、需熟记柱体、椎体的体积公式,考查了空间想象能力,属于基础题.11、D【解题分析】
由|AF2|=3|BF2|,可得.设直线l的方程x=my+,m>0,设,,即y1=﹣3y2①,联立直线l与曲线C,得y1+y2=-②,y1y2=③,求出m的值即可求出直线的斜率.【题目详解】双曲线C:,F1,F2为左、右焦点,则F2(,0),设直线l的方程x=my+,m>0,∵双曲线的渐近线方程为x=±2y,∴m≠±2,设A(x1,y1),B(x2,y2),且y1>0,由|AF2|=3|BF2|,∴,∴y1=﹣3y2①由,得∴△=(2m)2﹣4(m2﹣4)>0,即m2+4>0恒成立,∴y1+y2=②,y1y2=③,联立①②得,联立①③得,,即:,,解得:,直线的斜率为,故选D.【题目点拨】本题考查直线与双曲线的位置关系,考查韦达定理的运用,考查向量知识,属于中档题.12、D【解题分析】
由可判断选项A;当时,可判断选项B;利用整体换元法可判断选项C;可判断选项D.【题目详解】由题知,最小正周期,所以A正确;当时,,所以B正确;当时,,所以C正确;由的图象向左平移个单位,得,所以D错误.故选:D.【题目点拨】本题考查余弦型函数的性质,涉及到周期性、对称性、单调性以及图象变换后的解析式等知识,是一道中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解题分析】
根据题意可知圆上任意一点向椭圆所引的两条切线互相垂直,恒为锐角,只需直线与圆相离,从而可得,解不等式,再利用离心率即可求解.【题目详解】根据题意可得,圆上任意一点向椭圆所引的两条切线互相垂直,因此当直线与圆相离时,恒为锐角,故,解得从而离心率.故答案为:【题目点拨】本题主要考查了椭圆的几何性质,考查了逻辑分析能力,属于中档题.14、【解题分析】
根据向量的数量积的计算,以及向量的平方,简单计算,可得结果.【题目详解】由题可知:且由所以故答案为:【题目点拨】本题考查向量的坐标计算,主要考查计算,属基础题.15、【解题分析】
设,判断为偶函数,考虑x>0时,的解析式和零点个数,利用导数分析函数的单调性,作函数大致图象,即可得到的范围.【题目详解】设,则在是偶函数,当时,,由得,记,,,故函数在增,而,所以在减,在增,,当时,,当时,,因此的图象为因此实数的取值范围是.【题目点拨】本题主要考查了函数的零点的个数问题,涉及构造函数,函数的奇偶性,利用导数研究函数单调性,考查了数形结合思想方法,以及化简运算能力和推理能力,属于难题.16、【解题分析】
观察八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线或全为阴线各一个,还有6个是1阴2阳和1阳2阴各3个。抽取的两卦中共2阳4阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦2阳1阴,或两卦全是1阳2阴。【题目详解】八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线的一个,全为阴线的一个,1阴2阳的3个,1阳2阴的3个。抽取的两卦中共2阳4阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦2阳1阴,或两卦全是1阳2阴。∴从8个卦中任取2卦,共有种可能,两卦中共2阳4阴的情况有,所求概率为。故答案为:。【题目点拨】本题考查古典概型,解题关键是确定基本事件的个数。本题不能受八卦影响,我们关心的是八卦中阴线和阳线的条数,这样才能正确地确定基本事件的个数。三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)减区间是,增区间是;(2),证明见解析.【解题分析】
(1)当时,求得函数的导函数以及二阶导函数,由此求得的单调区间.(2)令求得,构造函数,利用导数求得的单调区间、极值和最值,结合有两个极值点,求得的取值范围.将代入列方程组,由证得.【题目详解】(1),,又,所以在单增,从而当时,递减,当时,递增.(2).令,令,则故在递增,在递减,所以.注意到当时,所以当时,有一个极值点,当时,有两个极值点,当时,没有极值点,综上因为是的两个极值点,所以不妨设,得,因为在递减,且,所以又所以【题目点拨】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间,考查利用导数研究函数的极值点,考查利用导数证明不等式,考查化归与转化的数学思想方法,属于难题.18、【解题分析】
将圆和直线化成普通方程.再根据相切,圆心到直线的距离等于半径,列等式方程,解方程即可.【题目详解】解:将圆化成普通方程为,整理得.将直线化成普通方程为.因为相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即解得.【题目点拨】本题考查极坐标方程与普通方程的互化,考查直线与圆的位置关系,是基础题.19、(1)(2)是,【解题分析】
(1)设,根据条件可求出的坐标,再利用在椭圆上,代入椭圆方程求出即可;(2)设运用勾股定理和点满足椭圆方程,求出,,再利用焦半径公式表示出,进而求出周长为定值.【题目详解】(1)设,因为,即则,即,因为均在上,代入得,解得,所以椭圆的方程为;(2)由(1)得,作出示意图,设切点为,则,同理即,所以,又,则的周长,所以周长为定值.【题目点拨】标准方程的求解,椭圆中的定值问题,考查焦半径公式的运用,考查逻辑推理能力和运算求解能力,难度较难.20、(1),;(2).【解题分析】
(1)根据面积公式和数量积性质求角及最大边;(2)根据的长度求出,再根据面积比值求,从而求出.【题目详解】(1)在中,由,得,由,得,所以,所以,,因为在中,,所以,因为(当且仅当时取等),所以长的最小值为;(2)在三角形中,因为为中线,所以,,所以,因为,所以,所以,由(1)知,所以,或,,所以,因为为角平
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