固原市重点中学2024届高三下第二次检测试题数学试题

固原市重点中学2024届高三下第二次检测试题数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积（）A． B． C． D．2．在中，为中点，且，若，则（）A． B． C． D．3．数列满足：，，，为其前n项和，则（）A．0 B．1 C．3 D．44．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（）A． B． C． D．5．已知抛物线，F为抛物线的焦点且MN为过焦点的弦，若，，则的面积为（）A． B． C． D．6．台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国地区的叫法）控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形ABCD，在点E，F处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A处，通过击打母球，使其依次撞击点E，F处的目标球，最后停在点C处，若AE=50cm．EF=40cm．FC=30cm，∠AEF=∠CFE=60°，则该正方形的边长为（）A．50cm B．40cm C．50cm D．20cm7．过直线上一点作圆的两条切线，，，为切点，当直线，关于直线对称时，（）A． B． C． D．8．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中左视图中三角形为等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是（）A． B．C． D．9．已知，，，若，则正数可以为（）A．4 B．23 C．8 D．1710．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则,，的大小关系为（）A． B． C． D．11．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为，大圆柱底面半径为，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为，则（）A． B． C． D．12．在中，为边上的中线，为的中点，且，，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在中，，．若，则_________．14．如图，在三棱锥A﹣BCD中，点E在BD上，EA＝EB＝EC＝ED，BDCD，△ACD为正三角形，点M，N分别在AE，CD上运动（不含端点），且AM＝CN，则当四面体C﹣EMN的体积取得最大值时，三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为_____.15．双曲线的左右顶点为，以为直径作圆，为双曲线右支上不同于顶点的任一点，连接交圆于点，设直线的斜率分别为，若，则_____.16．函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）底面为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体.若，.（1）求证：；（2）求二面角的正弦值.18．（12分）已知等差数列an,和等比数列b(I)求数列{an}(II)求数列n2an⋅a19．（12分）设都是正数，且，．求证：．20．（12分）已知等差数列的公差，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．21．（12分）△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为(1)求;(2)若求△ABC的周长.22．（10分）已知函数（），且只有一个零点.（1）求实数a的值；（2）若，且，证明：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．【题目详解】解：几何体的直观图如图，是正方体的一部分，P−ABC，正方体的棱长为2，

该几何体的表面积：．故选C．【题目点拨】本题考查三视图求解几何体的直观图的表面积，判断几何体的形状是解题的关键．2、B【解题分析】

选取向量，为基底，由向量线性运算，求出，即可求得结果.【题目详解】，，，，，.故选：B.【题目点拨】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题.3、D【解题分析】

用去换中的n，得，相加即可找到数列的周期，再利用计算.【题目详解】由已知，①，所以②，①+②，得，从而，数列是以6为周期的周期数列，且前6项分别为1，2，1，-1，-2，-1，所以，.故选：D.【题目点拨】本题考查周期数列的应用，在求时，先算出一个周期的和即，再将表示成即可，本题是一道中档题.4、D【解题分析】

设圆锥的母线长为l,底面半径为R,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得即可得圆锥轴截面底角的大小.【题目详解】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,则有,解得,所以圆锥轴截面底角的余弦值是,底角大小为.故选：D【题目点拨】本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.5、A【解题分析】

根据可知,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可.【题目详解】由题意可知抛物线方程为,设点点,则由抛物线定义知,,则.由得,则.又MN为过焦点的弦,所以,则,所以.故选：A【题目点拨】本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.6、D【解题分析】

过点做正方形边的垂线，如图，设，利用直线三角形中的边角关系，将用表示出来，根据，列方程求出，进而可得正方形的边长.【题目详解】过点做正方形边的垂线，如图，设，则，，则，因为，则，整理化简得，又，得，.即该正方形的边长为.故选：D.【题目点拨】本题考查直角三角形中的边角关系，关键是要构造直角三角形，是中档题.7、C【解题分析】

判断圆心与直线的关系，确定直线，关于直线对称的充要条件是与直线垂直，从而等于到直线的距离，由切线性质求出，得，从而得．【题目详解】如图，设圆的圆心为，半径为，点不在直线上，要满足直线，关于直线对称，则必垂直于直线，∴，设，则，，∴,．故选：C．【题目点拨】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线的对称性，解题关键是由圆的两条切线关于直线对称，得出与直线垂直，从而得就是圆心到直线的距离，这样在直角三角形中可求得角．8、C【解题分析】

作出三视图所表示几何体的直观图，可得直观图为直三棱柱，并且底面为等腰直角三角形，即可求得外接球的半径，即可得外接球的体积.【题目详解】如图为几何体的直观图，上下底面为腰长为的等腰直角三角形，三棱柱的高为4，其外接球半径为，所以体积为.故选：C【题目点拨】本题考查三视图还原几何体的直观图、球的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意球心的确定.9、C【解题分析】

首先根据对数函数的性质求出的取值范围，再代入验证即可；【题目详解】解：∵，∴当时，满足，∴实数可以为8.故选：C【题目点拨】本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题.10、C【解题分析】

根据函数的奇偶性得，再比较的大小，根据函数的单调性可得选项.【题目详解】依题意得，，当时，，因为，所以在上单调递增，又在上单调递增，所以在上单调递增，，即，故选：C.【题目点拨】本题考查函数的奇偶性的应用、幂、指、对的大小比较，以及根据函数的单调性比较大小，属于中档题.11、B【解题分析】

根据空余部分体积相等列出等式即可求解.【题目详解】在图1中，液面以上空余部分的体积为；在图2中，液面以上空余部分的体积为.因为，所以.故选：B【题目点拨】本题考查圆柱的体积，属于基础题.12、A【解题分析】

根据向量的线性运算可得,利用及，计算即可.【题目详解】因为,所以，所以，故选：A【题目点拨】本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】分析：首先设出相应的直角边长，利用余弦勾股定理得到相应的斜边长，之后应用余弦定理得到直角边长之间的关系，从而应用正切函数的定义，对边比临边，求得对应角的正切值，即可得结果.详解：根据题意，设，则，根据，得，由勾股定理可得，根据余弦定理可得，化简整理得，即，解得，所以，故答案是.点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，注意分析要求对应角的正切值，需要求谁，而题中所给的条件与对应的结果之间有什么样的连线，设出直角边长，利用所给的角的余弦值，利用余弦定理得到相应的等量关系，求得最后的结果.14、32π【解题分析】

设ED＝a，根据勾股定理的逆定理可以通过计算可以证明出CE⊥ED.AM＝x，根据三棱锥的体积公式，运用基本不等式，可以求出AM的长度，最后根据球的表面积公式进行求解即可.【题目详解】设ED＝a，则CDa.可得CE2+DE2＝CD2，∴CE⊥ED.当平面ABD⊥平面BCD时，当四面体C﹣EMN的体积才有可能取得最大值，设AM＝x.则四面体C﹣EMN的体积（a﹣x）a×xax（a﹣x），当且仅当x时取等号.解得a＝2.此时三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积＝4πa2＝32π.故答案为：32π【题目点拨】本题考查了基本不等式的应用，考查了球的表面积公式，考查了数学运算能力和空间想象能力.15、【解题分析】

根据双曲线上的点的坐标关系得，交圆于点，所以，建立等式，两式作商即可得解.【题目详解】设，交圆于点，所以易知:即.故答案为：【题目点拨】此题考查根据双曲线上的点的坐标关系求解斜率关系，涉及双曲线中的部分定值结论，若能熟记常见二级结论，此题可以简化计算.16、【解题分析】

根据函数图象的平移变换公式求得变换后的函数解析式,再利用诱导公式求得满足的方程,结合题中的范围即可求解.【题目详解】由函数图象的平移变换公式可得,函数的图象向右平移个单位后,得到的函数解析式为,因为函数，所以函数与函数的图象重合,所以,即,因为,所以.故答案为:【题目点拨】本题考查函数图象的平移变换和三角函数的诱导公式;诱导公式的灵活运用是求解本题的关键;属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）【解题分析】

（1）先由线面垂直的判定定理证明平面，再证明线线垂直即可；（2）建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量与平面的一个法向量，再利用向量数量积运算即可.【题目详解】（1）证明：连接，由平行且相等，可知四边形为平行四边形，所以.由题意易知，，所以，，因为，所以平面，又平面，所以.（2）设，，由已知可得：平面平面，所以，同理可得：，所以四边形为平行四边形，所以为的中点，为的中点，所以平行且相等，从而平面，又，所以，，两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，，，由平面几何知识，得.则，，，，所以，，.设平面的法向量为，由，可得，令，则，，所以.同理，平面的一个法向量为.设平面与平面所成角为，则，所以.【题目点拨】本题考查了线面垂直的判定定理及二面角的平面角的求法，重点考查了空间向量的应用，属中档题.18、(I)an=2n-1，bn=【解题分析】

(I)直接利用等差数列，等比数列公式联立方程计算得到答案.(II)n2【题目详解】(I)a1=b解得d=2q=3，故an=2n-1(II)n=14+【题目点拨】本题考查了等差数列，等比数列，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.19、证明见解析【解题分析】

利用比较法进行证明：把代数式展开、作差、化简可得,,可证得成立,同理可证明,由此不等式得证.【题目详解】证明:因为,，所以，∴成立，又都是正数，∴，①同理，∴．【题目点拨】本题考查利用比较法证明不等式;考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力;把差变形为因式乘积的形式是证明本题的关键;属于中档题。20、（1）；（2）.【解题分析】

（1）根据等比中项性质可构造方程求得，由等差数列通项公式可求得结果；（2）由（1）可得，可知为等比数列，利用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式可求得结果.【题目详解】（1）成等比数列，，即，，解得：，.（2）由（1）得：，，，数列是首项为，公比为的等比数列，．【题目点拨】本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法求解数列的前项和的问题；关键是能够根据通项公式证得数列为等比数列，进而采用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式求得结果.21、(1)(2).【解题分析】试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式，再利用正弦定理将边化成角，从而得出的值；（2）由和计算出，从而求出角，根据题设和余弦定理可以求出和的值，从而求出的周长为.试题解析：（1）由题设得，即.由正弦定理得.故.（2）由题设及（1）得，即.所以，故.由题设得，即.由余弦定理得，即，得.故的周长为.点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.22、（1）（2）证明见解析【解题分析】

(1)求导可得在