函数与导数-2024届高考数学二轮复习攻克典型题型之解答题

（5）函数与导数—2024届高考数学二轮复习攻克典型题型之解答题方法技巧1.指数函数、对数函数、幂函数三种函数模型的应用技巧

（1）与幂函数、指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型（底数大于1）是增长速度越来越快的一类函数模型，与增长率、银行利率、细胞分裂有关的问题都属于指数函数模型.

（2）在解决幂函数、指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数.

2.已知函数的解析式，求导函数或导函数值的方法

（1）连乘形式：先展开化为多项式形式，再求导.

（2）三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导.

（3）复杂分式：先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导.

（4）根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导.

（5）复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导.

3.利用导数解决函数零点问题的方法

（1）先求函数的单调区间和极值，根据函数的性质画出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想.

（2）构造新函数，将问题转化为研究两个函数的图象的交点问题.

（3）分离参变量，即由分离参变量，得，研究直线与的图象的交点问题.

4.利用导数研究不等式恒成立或存在性问题的思路方法首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.一般地，恒成立，则；恒成立，则.1.已知函数.（1）讨论在区间上的单调性;（2）当时,若存在满足,证明.2.已知函数（1）当时,求的单调区间；（2）若有两个零点,求a的范围,并证明.3.已知函数.（1）若,,求实数a的取值范围;（2）设,是函数的两个极值点,证明:.4.已知函数,为的导函数.（1）当时,讨论函数的单调性（2）已知,,若存在,使得成立,求证:.5.已知函数（1）当时,求函数在处的切线方程;（2）若函数与直线在上有两个不同的交点,求实数的取值范围.6.已知函数.（1）当时,求曲线在点处的切线方程;（2）若函数有两个极值点,求实数a的取值范围;（3）若函数有两个极值点,,求证:.7.已知函数,.（1）试讨论的单调性;（2）若对任意,均有,求a的取值范围;（3）求证:.8.设函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若有两个极值点，，①求a的取值范围；②证明：.

答案以及解析1.解析：（1）当,在单调递减;当时,,①当时,,,,;②当时,在恒成立;③当时,,,,;综上所述,当时,在单调递增,在单调递减;当时,在单调递减;当时,在单调递减,在单调递增.（2）由,得,即,由（1）可知,当时,,,当时,;当时,,在单调递增,在单调递减,又当,,当时,,故,即.欲证,即证.设,,则,即在单调递减,又,所以,即,又,所以,又因为在单调递增,,,所以,即得证.2.答案：（1）的单调增区间为和,单调减区间为和（2）见解析解析：（1）的定义域为,当时,,导函数,令,得或；令,得且；所以的单调增区间为和,单调减区间为和；（2）当时,只有1个零点,不符合题意；当时,若,则；若,则,不符合题意,所以.当时,,所以在和均单调递增.当时,由,,所以在上有一个零点；当,同理,所以在上有一个零点,所以a的范围是,因为的两个零点为,所以,即,所以,同理,,所以,若,即,则,所以的两个零点,互为倒数,即,所以（等号不成立）,所以,所以,所以得证.3.答案：（1）（2）见解析解析：（1）当时,,在时,,单调递减,又,所以,不满足题意;当时,,若,即时,,上单调递增,又,所以,满足题意;若,即时,令,可得,,当时,,单调递增,当时,,单调递减,而,所以,不满足在上.综上所述,;（2）当时,由得,单调递减,无极值,不满足题意;当时,,若,即时,,在上单调递增,无极值,不满足题意;若,即时,令,可得,,此时,当时,,单调递增,当时,,单调递减,当时,,单调递增,所以为极大值,为极小值,且,,,要证,即证,即,即证:,即证:则,因为,故在上为减函数,故,故成立,故.4.解析：（1）当时,,,,当时,在区间上恒大于0,此时函数的单调递增区间是;当时,设,其中,当,,函数单调递增,当,,函数单调递减,当时,,当时,,此时恒成立,函数的单调递增区间是,当时,,当且,所以在区间上恒大于0,即函数的单调递增区间是,综上可知,时,函数的单调递增区间是,当时,函数的单调递减区间是,函数的单调递减区间是;（2）不妨设,因为,则,即,得,由,则,所以,,设,构造函数,,所以在上为增函数,所以,即,又,,,所以.5.答案：（1）（2）解析：（1）当时,,所以,因为,所以切点坐标为,切线斜率为,所以切线方程为,即.（2）由题知,函数与直线在上有两个不同的交点,令,所以,因为,所以令,得,所以当时,,当时,,所以在上有最大值,,因为,,又,所以,所以在上有最小值,所以在上有两个不同的交点的条件是,解得所以实数a的取值范围为6.答案：（1）（2）（3）证明见解析解析:（1）当时,,所以,故切点坐标为,又,所以,故切线的斜率为,由点斜式可得,,即,故曲线在点处的切线方程为;（2）的定义域为,又,因为函数有两个极值点,,因此有2个不等的正根令,所以,解得当时,函数有两个极值点,.（3）由（2）可知,当时,有两个极值点,,则,由题意可得,,则,令,则,当时,,则单调递增,当时,,则单调递减,故当时,取得最大值,所以.7.答案：（1）当时,,在上单调递增,当时,,在上单调递减（2）（3）见解析解析：（1）,若则,在上单调递减;若,则由,得,当时,,在上单调递增,当时,,在上单调递减.（2）当时,符合题意;当时,由（1）知在上单调递减,而,不合题意;当时,结合（1）得,,即,得,综上,a的取值范围是;（3）证明：由（2）知,当时,,即,所以,所以,所以,即得证.8.答案：（1）单调递减区间为，单调递增区间为（2）①；②证明见解析解析：（1）当时，，，故，所以，当时，；当时，，所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）①，依据题意可知有两个不等实数根，即有两个不等实数根，.由，得，所以有两个不等实数根可转化为函数和的图象有两个不同的交点，令，则，由，解得；由