2024届江苏省徐州一中高中毕业班第三次诊断性测试数学试题试卷

2024届江苏省徐州一中高中毕业班第三次诊断性测试数学试题试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设等比数列的前项和为，则“”是“”的（）A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要2．如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（）A． B．C． D．3．在中，为边上的中线，为的中点，且，，则（）A． B． C． D．4．在中，在边上满足，为的中点，则（）.A． B． C． D．5．已知平面向量，满足，，且，则（）A．3 B． C． D．56．已知复数，其中，，是虚数单位，则（）A． B． C． D．7．已知三棱柱()A． B． C． D．8．已知函数（，且）在区间上的值域为，则（）A． B． C．或 D．或49．已知集合，则为（）A．[0，2) B．(2，3] C．[2，3] D．(0，2]10．已知函数，若,且，则的取值范围为（）A． B． C． D．11．等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（）A．-2 B．2 C．4 D．712．记为数列的前项和数列对任意的满足.若，则当取最小值时，等于（）A．6 B．7 C．8 D．9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在的展开式中，常数项为________.(用数字作答)14．若曲线（其中常数）在点处的切线的斜率为1，则________.15．在正奇数非减数列中，每个正奇数出现次.已知存在整数、、，对所有的整数满足，其中表示不超过的最大整数.则等于______.16．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，则球的表面积为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）为响应“坚定文化自信，建设文化强国”，提升全民文化修养，引领学生“读经典用经典”，某广播电视台计划推出一档“阅读经典”节目.工作人员在前期的数据采集中，在某高中学校随机抽取了120名学生做调查，统计结果显示：样本中男女比例为3:2，而男生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是7:5，女生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是5:3.（1）填写下面列联表，并根据联表判断是否有的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系？男生女生总计喜欢阅读中国古典文学不喜欢阅读中国古典文学总计（2）为做好文化建设引领，实验组把该校作为试点，和该校的学生进行中国古典文学阅读交流.实验人员已经从所调查的120人中筛选出4名男生和3名女生共7人作为代表，这7个代表中有2名男生代表和2名女生代表喜欢中国古典文学.现从这7名代表中任选3名男生代表和2名女生代表参加座谈会，记为参加会议的人中喜欢古典文学的人数，求5的分布列及数学期望附表及公式：.18．（12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，为的中点，是棱上的点且，，，.求证：平面平面以；求二面角的大小.19．（12分）已知函数．（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求的值.20．（12分）在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若，角为钝角，（1）求的值；（2）求边的长.21．（12分）在中，内角所对的边分别为，已知，且.（Ｉ）求角的大小；（Ⅱ）若，求面积的取值范围.22．（10分）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，沿将折起，使得点到点位置，且，为的中点，是上的动点（与点，不重合）.（Ⅰ）证明：平面平面垂直；（Ⅱ）是否存在点，使得二面角的余弦值？若存在，确定点位置；若不存在，说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

首先根据等比数列分别求出满足，的基本量，根据基本量的范围即可确定答案.【题目详解】为等比数列，若成立，有，因为恒成立，故可以推出且，若成立，当时，有，当时，有，因为恒成立，所以有，故可以推出，，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.【题目点拨】本题主要考查了等比数列基本量的求解，充分必要条件的集合关系，属于基础题.2、C【解题分析】

画出图形，以为基底将向量进行分解后可得结果．【题目详解】画出图形，如下图．选取为基底，则，∴．故选C．【题目点拨】应用平面向量基本定理应注意的问题（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理选择基底会给解题带来方便．（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．3、A【解题分析】

根据向量的线性运算可得,利用及，计算即可.【题目详解】因为,所以，所以，故选：A【题目点拨】本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题.4、B【解题分析】

由，可得，，再将代入即可.【题目详解】因为，所以，故.故选：B.【题目点拨】本题考查平面向量的线性运算性质以及平面向量基本定理的应用，是一道基础题.5、B【解题分析】

先求出，再利用求出，再求.【题目详解】解：由，所以，，，故选：B【题目点拨】考查向量的数量积及向量模的运算，是基础题.6、D【解题分析】试题分析：由,得,则，故选D.考点：1、复数的运算；2、复数的模.7、C【解题分析】因为直三棱柱中，AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R＝＝13，即R＝8、C【解题分析】

对a进行分类讨论，结合指数函数的单调性及值域求解.【题目详解】分析知，.讨论：当时，，所以，，所以；当时，，所以，，所以.综上，或，故选C.【题目点拨】本题主要考查指数函数的值域问题，指数函数的值域一般是利用单调性求解，侧重考查数学运算和数学抽象的核心素养.9、B【解题分析】

先求出，得到，再结合集合交集的运算，即可求解.【题目详解】由题意，集合，所以，则，所以.故选：B.【题目点拨】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合的交集、补集的定义及运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.10、A【解题分析】分析：作出函数的图象，利用消元法转化为关于的函数，构造函数求得函数的导数，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得到结论.详解：作出函数的图象，如图所示，若，且，则当时，得，即，则满足，则，即，则，设，则，当，解得，当，解得，当时，函数取得最小值，当时，；当时，，所以，即的取值范围是，故选A.点睛：本题主要考查了分段函数的应用，构造新函数，求解新函数的导数，利用导数研究新函数的单调性和最值是解答本题的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题.11、B【解题分析】

在等差数列中由等差数列公式与下标和的性质求得，再由等差数列通项公式求得公差.【题目详解】在等差数列的前项和为，则则故选：B【题目点拨】本题考查等差数列中求由已知关系求公差，属于基础题.12、A【解题分析】

先令，找出的关系，再令，得到的关系，从而可求出，然后令，可得，得出数列为等差数列，得，可求出取最小值.【题目详解】解法一：由，所以，由条件可得，对任意的，所以是等差数列，，要使最小，由解得，则.解法二：由赋值法易求得，可知当时，取最小值.故选：A【题目点拨】此题考查的是由数列的递推式求数列的通项，采用了赋值法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

的展开式的通项为，取计算得到答案.【题目详解】的展开式的通项为：，取得到常数项.故答案为：.【题目点拨】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.14、【解题分析】

利用导数的几何意义，由解方程即可.【题目详解】由已知，，所以，解得.故答案为：.【题目点拨】本题考查导数的几何意义，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.15、2【解题分析】

将已知数列分组为（1），，共个组.设在第组，，则有，即.注意到，解得.所以，.因此，.故.16、【解题分析】

如图所示，将三棱锥补成长方体，球为长方体的外接球，长、宽、高分别为，计算得到，得到答案.【题目详解】如图所示，将三棱锥补成长方体，球为长方体的外接球，长、宽、高分别为，则，所以，所以球的半径，则球的表面积为.故答案为：.【题目点拨】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，将三棱锥补成长方体是解题的关键.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析，没有（2）见解析，【解题分析】

（1）根据题目所给数据填写列联表，计算出的值，由此判断出没有的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系.（2）先判断出的所有可能取值，然后根据古典概型概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望.【题目详解】（1）男生女生总计喜欢阅读中国古典文学423072不喜欢阅读中国古典文学301848总计7248120所以，没有的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系.（2）设参加座谈会的男生中喜欢中国古典文学的人数为，女生中喜欢古典文学的人数为，则.且；；.所以的分布列为则.【题目点拨】本小题主要考查列联表独立性检验，考查随机变量分布列和数学期望的求法，考查数据处理能力，属于中档题.18、证明见解析；.【解题分析】

推导出，，从而平面，由此证明平面平面以；以为原点，建立空间直角坐标系，利用法向量求出二面角的大小.【题目详解】解：，，为的中点，四边形为平行四边形，.,，即.又平面平面，且平面平面，平面.平面，平面平面.，为的中点，.平面平面，且平面平面，平面.如图，以为原点建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量为，，，，，设，则，，，，，在平面中，，，设平面的法向量为，则，即，平面的一个法向量为，，由图知二面角为锐角，所以所求二面角大小为.【题目点拨】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，考查了空间向量的应用，属于中档题.19、（1）见解析；（2）【解题分析】

分析：(1)先构造函数，再求导函数，根据导函数不大于零得函数单调递减，最后根据单调性证得不等式;(2)研究零点，等价研究的零点，先求导数：，这里产生两个讨论点，一个是a与零，一个是x与2，当时，，没有零点；当时，先减后增，从而确定只有一个零点的必要条件，再利用零点存在定理确定条件的充分性，即得a的值.详解：（1）当时，等价于．设函数，则．当时，，所以在单调递减．而，故当时，，即．（2）设函数．在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．（i）当时，，没有零点；（ii）当时，．当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．故是在的最小值．①若，即，在没有零点；②若，即，在只有一个零点；③若，即，由于，所以在有一个零点，由（1）知，当时，，所以．故在有一个零点，因此在有两个零点．综上，在只有一个零点时，．点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.20、（1）（2）【解题分析】

（1）由，分别求得，得到答案；（2）利用正弦定理得到，利用余弦定理解出．【题目详解】(1)因为角为钝角，，所以，又，所以，且，所以.(2)因为，且，所以，又，则，所以.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解题分析】

（Ｉ）根据，利用二倍角公式得到，再由辅助角公式得到，然后根据正弦函数的性质求解.（Ⅱ）根据（Ｉ）由余弦定理得到，再利用重要不等式得到，然后由求解.【题目详解】（Ｉ）因为，所以，，，或，或，因为，所以所以；（Ⅱ）由余弦定理得：，所以，所以，当且仅当取等号，又因为，所以，所以【题目点拨】本题主要考查二倍角公式，辅助角公式以及余弦定理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）存在，此时为的中点.【解题分析】

（Ⅰ）证明平面，得到平面平面，故平面平面，平面，得到答案.（Ⅱ）假设存在点满足题意，过作于，平面，过