河南省南阳市重点学校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（含答案）

高二数学一．选择题（共8小题，每题5分，共40分）1．如图，二面角α﹣l﹣β的大小为150°，a⊂α，b⊂β，且a与交线l的夹角为60°，则直线a，b夹角的正切值的最小值为（）A． B． C． D．2．已知，，若，则m＝（）A．1 B．2 C．3 D．﹣23．多项式（ax+1）6的x2项系数比x3项系数多35，则其各项系数之和为（）A．1 B．243 C．64 D．04．的展开式中x2项的系数是（）A． B． C． D．5．已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），若P（ξ＞2）＝0.061，则P（﹣2≤ξ≤0）等于（）A．0.484 B．0.439 C．0.878 D．0.9396．老张每天17：00下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有A，B两条线路可以选择．乘坐线路A所需时间（单位：分钟）服从正态分布N（44，4），下车后步行到家要5分钟；乘坐线路B所需时间（单位：分钟）服从正态分布N（33，16），下车后步行到家要12分钟．下列说法从统计角度认为不合理的是（）（参考数据：Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）≈0.9973）A．若乘坐线路B，18：00前一定能到家 B．乘坐线路A和乘坐线路B在17：58前到家的可能性一样 C．乘坐线路B比乘坐线路A在17：54前到家的可能性更大 D．若乘坐线路A，则在17：48前到家的可能性不超过1%7．用模型y＝aekx拟合一组数据组（xi，yi）（i＝1，2，…，7），其中x1+x2+…+x7＝7；设z＝lny，得变换后的线性回归方程为，则y1y2…y7＝（）A．e70 B．70 C．e35 D．358．已知变量y关于x的回归直线方程为，相关系数为r，则下列选项正确的是（）A．若a＞0，则x与y是正相关 B．若|r|接近0，则表示x与y的相关性很强 C．若r＞0，则b＞0 D．若变量x增大一个单位，则变量y就一定增加b个单位二．多选题（共4小题，每题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．以下命题正确的是（）A．直线l方向向量为，直线m方向向量，则l与m垂直 B．直线l的方向向量，平面α的法向量，则l∥α C．平面α，β的法向量分别为，则α∥β D．平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量是平面α的法向量，则u+t＝110．已知，则（）A．展开式中所有项的系数和为﹣1 B．展开式中二项系数最大项为第1012项 C． D．a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+2023a2023＝202311．关于下列命题中，说法正确的是（）A．已知X～B（n，p），若E（X）＝30，D（X）＝20，则 B．数据91，72，75，85，64，92，76，78，86，79的45%分位数为78 C．已知ξ～N（0，1），若P（ξ＞1）＝p，则 D．某校三个年级，高一有400人，高二有360人．现用分层抽样的方法从全校抽取57人，已知从高一抽取了20人，则应从高三抽取19人12．下列命题中正确的是（）A．在回归分析中，相关系数r的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强 B．线性回归直线恒过样本中心 C．在回归分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 D．对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k越小，说明“X与Y有关系”的把握越大三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分.）13．△ABC的三个顶点分别是A（1，﹣1，2），B（5，﹣6，2），C（1，3，﹣1），则AC边上的高BD长为．14．若对于任意实数x，都有x4＝a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+a3（x+2）3+a4（x+2）4，则a3的值为．15．设样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}含有等可能的样本点，且事件A＝{1，2，3，4}，事件B＝{1，2，3，5}，事件C＝{1，m，n，8}，使得p（ABC）＝p（A）p（B）p（C），且满足A，B，C两两不独立，则m+n＝．16．已知一组成对数据（18，24），（13，34），（10，38），（﹣1，m）的回归方程为y＝﹣2x+59.5，则该组数据的相关系数r＝（精确到0.001）．四．解答题（共6小题，共70分。）17．（10分）如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，BD＝2．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）求平面PCD和平面ABCD夹角的余弦值的大小．18．（12分）对于二项式：（1）若展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，求展开式中x2的系数；（2）若展开式的前三项的系数成等差数列，求展开式的中间项．19．（12分）多巴胺是一种神经传导物质，能够传递兴奋及开心的信息．近期很火的多巴胺穿搭是指通过服装搭配来营造愉悦感的着装风格，通过色彩艳丽的时装调动正面的情绪，是一种“积极化的联想”．小李同学紧跟潮流，她选择搭配的颜色规则如下：从红色和蓝色两种颜色中选择，用“抽小球”的方式决定衣物颜色，现有一个箱子，里面装有质地、大小一样的4个红球和2个白球，从中任取4个小球，若取出的红球比白球多，则当天穿红色，否则穿蓝色．每种颜色的衣物包括连衣裙和套装，若小李同学选择了红色，再选连衣裙的可能性为0.6，而选择了蓝色后，再选连衣裙的可能性为0.5．（1）写出小李同学抽到红球个数的分布列及期望；（2）求小李同学当天穿连衣裙的概率．20．（12分）“一带一路”是促进各国共同发展，实现共同繁荣的合作共赢之路．为了了解我国与某国在“一带一路”合作中两国的贸易量情况，随机抽查了100天进口贸易量与出口贸易量（单位：亿人民币/天）得下表：进口出口[0，50]（50，100]（100，150][0，50]32184（50，100]6812（100，150]3710（1）估计事件“我国与该国贸易中，一天的进口贸易量与出口贸易量均不超过100亿人民币”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的2×2列联表：进口出口[0，100]（100，150][0，100]（100，150]（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为“我国与该国贸易中一天的进口贸易量与出口贸易量”有关？附：．p（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82821．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AB＝AP＝BC＝1，AD＝2．（1）求证：CD⊥平面PAC；（2）若E为PC的中点，求PD与平面AED所成角的正弦值．22．已知的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和为﹣1．（1）求n和a的值；（2）求的展开式中的常数项．高二数学参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．【答案】B【分析】设a∩l＝B，延伸半平面β，在a上任取一点A，过A作AD⊥β，垂足为D，再过D作DC⊥l，垂足为C，连接AC，则根据三垂线定理可知：二面角α﹣l﹣β的平面角的补角为∠ACD＝30°，又直线a，b夹角最小为a与β的线面角，再求a与β的线面角的正切值，即可得解．【解答】解：如图，设a∩l＝B，延伸半平面β，在a上任取一点A，过A作AD⊥β，垂足为D，再过D作DC⊥l，垂足为C，连接AC，则根据三垂线定理可知：二面角α﹣l﹣β的平面角的补角为∠ACD＝30°，设AB＝2，∵a与交线l的夹角为60°，即∠ABC＝60°，又AC⊥BC，∴BC＝1，AC＝，又∠ACD＝30°，AD⊥DC，∴AD＝AC＝，又AD⊥DB，∴DB＝＝＝，∴tan∠ABD＝＝＝，∵AD⊥β，垂足为D，∴a与β的线面角为∠ABD，而直线a，b夹角最小为a与β的线面角，∴直线a，b夹角的正切值的最小值为．故选：B．2．【答案】C【分析】利用向量垂直时数量积等于零，通过向量数量积的坐标表示建立方程求解即可．【解答】解：因为，，又，所以，解得m＝3．故选：C．3．【答案】D【分析】直接利用二项式的展开式和组合数求出结果．【解答】解：根据二项式的展开式，当r＝4时，x2项系数为，当r＝3时，x3项系数为，由于多项式（ax+1）6的x2项系数比x3项系数多35，故15a2﹣20a3＝35，解得a＝﹣1；故（1﹣x）6的展开式的系数和即当x＝1时，系数和为0．故选：D．4．【答案】A【分析】由题意，利用二项展开式的通项公式，求得展开式中x2项的系数．【解答】解：根据的展开式的通项公式为Tr+1＝•（﹣2）r•x8﹣2r，令8﹣2r＝2，可得r＝3，故展开式中x2项的系数是•（﹣8）＝﹣464．故选：A．5．【答案】B【分析】利用正态分布的对称性求得结果．【解答】解：因为随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），所以μ＝0，因为P（ξ＞2）＝0.061，所以P（ξ＜﹣2）＝0.061，所以P（﹣2＜ξ＜2）＝1﹣2×0.061＝0.878，所以P（﹣2≤ξ≤0）＝＝0.439．故选：B．6．【答案】A【分析】利用正态分布曲线的对称性以及正态分布的概率，对四个选项逐一分析判断即可【解答】解：对于A，因为P（B＞45）＝（1﹣P（21≤Z≤45））＝×（1﹣0.9973）＝0.00135，所以乘坐线路B，18：00前不一定能到家，选项A错误；对于B，P（B＜41）＝（1﹣P（25≤Z≤41））+P（25≤Z≤41）＝0.97725，P（A＜48）＝（1﹣P（40≤Z≤48））+P（40≤Z≤48）＝0.97725，所以选项B正确；对于C，P（B＜37）＝（1﹣P（29≤Z≤37））+P（29≤Z≤37）＝0.84135，P（A＜44）＝＜0.84135，选项C正确；对于D，P（A＜38）＝（1﹣P（38≤Z≤50））＝0.00135＜0.01，选项D正确．故选：A．7．【答案】C【分析】根据回归直线方程，必过样本点中心（，），再利用换元公式，以及对数运算公式，化简求值．【解答】解：因为x1+x2+…+x7＝7，所以＝1，＝+4＝5，即×（lny1+lny2+…+lny7）＝×ln（y1y2…y7）＝5，所以y1y2…y7＝e35．故选：C．8．【答案】C【分析】根据回归方程和相关系数的定义逐项判断即可．【解答】解：A选项，若b＞0，则x与y是正相关，A错误；B选项，若|r|接1，则表示x与y的相关性很强，B错误；C选项，若r＞0，则x与y是正相关，b＞0，C正确；D选项，线性回归方程为估计值，不知准确值，D错误．故选：C．二．多选题（共4小题）9．【答案】AD【分析】对于A，结合向量垂直的性质，即可求解，对于B，结合向量垂直的性质，即可求解，对于C，结合向量平行的性质，即可求解，对于D，结合法向量的定义，以及向量垂直的性质，即可求解．【解答】解：∵直线l方向向量为，直线m方向向量，∴，即l与m垂直，故A正确，∵直线l的方向向量，平面α的法向量，∴，即，∴l∥α或l⊂α，故B错误，∵，∴与不共线，∴α∥β不成立，故C错误，∵A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴，，∵向量是平面α的法向量，∴，即，解得u+t＝1，故D正确．故选：AD．10．【答案】AC【分析】A．令x＝1进行求解．B．展开式中二次系数最大值的项有两项．C．令x＝0或x＝进行求解．D．先对等式两边对x求导数，然后令x＝1进行计算即可．【解答】解：令x＝1，得所有项系数和为（1﹣2）2023＝﹣1，故A正确，∵n＝2023，∴展开式中有2024项，则展开式中二项系数最大项为第1012项或1013项，故B错误，令x＝0得，a0＝1，令x＝得（1﹣2×）2023＝a0+＝0，∴＝﹣a0＝﹣1，故C正确，等式两边对x求导数得﹣2×2023（1﹣2x）2022＝a1+2a2x+3a3x2+⋯+2023a2023x2022，令x＝1得a1+2a2+3a3+⋯+2023a2023＝﹣4046，故D错误．故选：AC．11．【答案】BCD【分析】根据二项分布期望和方差公式可构造方程求得，知A错误；将数据按照从小到大顺序排序后，根据百分位数的估计方法直接求解知B正确；由正态分布曲线的对称性可求得C正确；根据分层抽样原则可计算得到高二应抽取学生数，由此可得高三数据，知D正确．【解答】解：对于A，∵X～B（n，p），∴，∴，解得，故A错误；对于B，将数据从小到大排序为64，72，75，76，78，79，85，86，91，92，∵10×45%＝4.5，∴45%分位数为第5个数，即78，故B正确；对于C，∵ξ～N（0，1），∴，故C正确；对于D，∵抽样比为，∴高二应抽取人，则高三应抽取57﹣20﹣18＝19人，故D正确．故选：BCD．12．【答案】ABC【分析】根据相关系数的概念判断A，根据回归直线方程的性质判断B，根据相关指数的概念判断C，根据独立性检验的思想判断D．【解答】解：对于A：在回归分析中，对于相关系数r，|r|越接近1，线性相关性越强，即相关系数r的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强，故A正确；对于B：线性回归直线必过样本中心，故B正确；对于C：在回归分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故C正确；对于D：对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k越小，说明“X与Y有关系”的把握越小，故D错误．故选：ABC．三．填空题（共4小题）13．【答案】见试题解答内容【分析】根据A、C、D三点共线，设＝λ，利用向量垂直的充要条件建立关于λ的方程，解出λ的值．由此得到向量的坐标，再利用向量模的坐标公式即可求出AC边上的高BD的长．【解答】解：∵A（1，﹣1，2），B（5，﹣6，2），C（1，3，﹣1），∴＝（4，﹣5，0），＝（0，4，﹣3），∵点D在直线AC上，∴设＝λ＝（0，4λ，﹣3λ），由此可得＝＝（0，4λ，﹣3λ）﹣（4，﹣5，0）＝（﹣4，4λ+5，﹣3λ），又∵⊥，∴•＝﹣4×0+（4λ+5）×4+（﹣3λ）×（﹣3）＝0，解得λ＝．因此＝（﹣4，4λ+5，﹣3λ）＝（﹣4，，），可得||＝＝5故答案为：514．【答案】见试题解答内容【分析】把x4＝[﹣2+（x+2）]4展开求得（x+2）3的系数，再结合已知条件求得a3的值．【解答】解：∵x4＝[﹣2+（x+2）]4＝（﹣2）4（x+2）0+（﹣2）3（x+2）1+（﹣2）2（x+2）2+（﹣2）（x+2）3+（﹣2）0（x+2）4，且有，∴a3＝（﹣2）＝﹣8，故答案为﹣8．15．【答案】13．【分析】由题意可知P（A）＝P（B）＝P（C）＝，所以P（ABC）＝，由此即可推测出m，n的值．【解答】解：由题意可知P（A）＝P（B）＝P（C）＝，所以P（ABC）＝，可见1是A，B，C共同的唯一的交集，又A，B，C两两不独立，即P（AB），P（AC），P（BC）＝，可见m，n不可以为4或5，所以m，n为6或7，即m+n＝13．故答案为：13．16．【答案】﹣0.998．【分析】一组成对数据的平均值（，）一定在回归方程上，可求得m，再利用相关系数r的计算公式算出即可．【解答】解：由条件可得，＝（18+13+10﹣1）＝10，＝（24+34+38+m）＝24+m，（，）一定在回归方程y＝﹣2x+59.5上，代入解得m＝62，故＝，xiyi＝1192，xi²＝594，yi²＝7020，∴r＝≈﹣0.998．故答案为：﹣0.998．四．解答题（共6小题）17．【答案】（1）证明见解答；（2）．【分析】（1）推导出PA⊥BD，BD⊥AC，从而BD⊥平面PAC．（2）推导出PA⊥CD，AD⊥CD，从而∠PDA是二面角P﹣CD﹣B的平面角，由此能求出平面PCD和平面ABCD夹角的余弦值的大小．【解答】证明：（1）∵棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，BD＝2．∴PA⊥BD，AB＝＝＝2，∴ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．解：（2）∵棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，BD＝2．∴PA⊥CD，AD⊥CD，∴∠PDA是二面角P﹣CD﹣B的平面角，∵PA＝AD＝2，PA⊥AD，∴∠PDA＝45°，∴cos∠PDA＝cos45°＝，∴平面PCD和平面ABCD夹角的余弦值的大小为．18．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据第4项与第8项的二项式系数相等，列出等式，求出n，再通过二项式展开通项，取x的指数为2，求出项数，代入通项中，求出系数即可；（2）写出通项，求出前三项的系数，根据等差中项的概念列出等式，解出n，进而求得展开式的中间项即可．【解答】解：（1）因为展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得n＝10，则展开式通项为＝，令，解得r＝4，代入通项有：，所以x2的系数为；（2）二项式通项为：，所以第一项的系数为：，第二项的系数为：，第三项的系数为：，由于前三项的系数成等差数列，所以，解得n＝8或n＝1，因为至少有前三项，所以n＝1（舍），故n＝8，所以展开式有9项，中间一项为．19．【答案】（1）分布列见解答，；（2）．【分析】（1）根据超几何分布求出P（X＝4），P（X＝3），P（X＝2）的概率，列出分布列，求出数学期望即可；（2）设A表示穿红色衣物，则表示穿蓝色衣物，B表示穿连衣裙，则表示穿套装，求出，结合条件概率和计算即可求解．【解答】解：（1）设抽到红球的个数为X，则X的取值可能为4，3，2，，，，所以X的分布列为：X432P故；（2）设A表示穿红色衣物，则表示穿蓝色衣物，B表示穿连衣裙，则表示穿套装，因为穿红色衣物的概率为，则穿蓝色衣物的概率为，穿红色连衣裙的概率为，穿蓝色连衣裙的概率为，则当天穿连衣裙的概率为，所以小李同学当天穿连衣裙的概率为．20．【答案】（1）；（2）见解答；（3）有99%的把握认为我国与该国贸易中一天的进口贸易量与出口贸易量有关．【分析】（1）进口贸易与出口贸易均不超过100