福建省平潭县重点学校2023-2024学年高二上学期12月适应性练习数学试题（含答案）

平潭县重点学校高二适应性练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．抛物线的焦点坐标是（

）A． B． C． D．2．在空间直角坐标系中，已知点，则一定是（

）A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形3．如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（

）A． B． C． D．4．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．5．已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程为（

）A． B．C．或 D．或6．“”是“方程表示圆”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．如图，封闭图形的曲线部分是长轴长为4，短轴的长为2的半个椭圆，设是该图形上任意一点，则与线段的长度的最大值最接近的是（

）A．2.1 B．2.2 C．2.3 D．2.48．已知、为双曲线的左、右焦点，点P在C的右支上，若，且直线与C的一条渐近线平行，则C的离心率为（

）．A． B． C．2 D．二、多选题9．已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（

）A．当时，曲线C是椭圆B．当或时，曲线C是双曲线C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则D．若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则10．下面四个结论正确的是（）A．空间向量，若，则B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面C．已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底D．任意向量满足11．下列结论错误的是（

）A．过点，的直线的倾斜角为B．若直线与直线垂直，则C．直线与直线之间的距离是D．已知，，点P在x轴上，则的最小值是612．已知双曲线的右焦点为，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点．若以为直径的圆恰好经过双曲线的左顶点，则（

）A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的渐近线方程为C．双曲线的离心率为 D．双曲线的离心率为2三、填空题13．已知集合，．若，则实数．14．已知为双曲线上两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为.15．已知在一个二面角的棱上有两点，线段分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，则这个二面角的大小为.16．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，椭圆右准线上存在一点P满足，则椭圆的离心率的取值范围为.四、解答题17．已知点(1)若，且，求；(2)若与垂直，求k；(3)求.18．已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，.(1)求圆A的标准方程；(2)求直线l的方程.19．已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点．(1)求双曲线方程；(2)若点在双曲线上，求证：；(3)在（2）的条件下，求的面积．20．如图，平面，.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求平面与平面夹角的余弦值.21．已知椭圆的下焦点、上焦点为，离心率为.过焦点且与轴不垂直的直线交椭圆于，两点.(1)求的值；(2)求（为坐标原点）面积的最大值.22．已知F是抛物线C：的焦点，是抛物线上一点，且.(1)求抛物线C的方程；(2)直线l与抛物线C交于A，B两点，若（O为坐标原点），则直线l否会过某个定点？若是，求出该定点坐标.参考答案：1．A【分析】根据抛物线的标准方程，直接可得答案.【详解】抛物线即，故其焦点坐标为，故选：A2．C【分析】根据给定条件，利用空间两点间距离公式求出三角形边长作答.【详解】点，则，，，而，所以一定为直角三角形.故选：C3．A【分析】根据空间向量的线性运算即可.【详解】G是CD的中点，所以故选：A.4．B【分析】根据渐近线方程可得，再由可求得结果.【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，所以双曲线的离心率为，故选：B5．D【分析】考虑截距是否为0，分两种情况求解，求出直线斜率，即可求得答案.【详解】由题意设直线与x轴交点为，则与y轴交点为，当时，直线过原点，斜率为，故方程为；当时，直线的斜率，故直线方程为，即，故选：D6．A【分析】根据二元二次方程表示圆的充要条件是可得答案.【详解】因为方程，即表示圆，等价于0，解得或.故“”是“方程表示圆”的充分不必要条件.故选：A7．C【分析】建立直角坐标系，求出椭圆方程，设点P的坐标为，结合两点间的距离公式，利用二次函数的性质求解即可.【详解】以AB为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如图：

由题意，且椭圆焦点在y轴上，所以半椭圆方程为，，，设点P的坐标为，则，所以，因为，所以当时，所以，所以选项中与线段的长度的最大值最接近的是.故选：C8．D【分析】根据双曲线的定义、直线斜率、勾股定理列式可得关系，从而可得双曲线离心率.【详解】如图，

双曲线的渐近线方程为，由双曲线的定义可得①，因为，所以，则②，又直线与C的一条渐近线平行，所以③，联立①③得：，代入②得：，即，则双曲线的离心率.故选：D.9．BC【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线方程的特征逐项判断作答.【详解】对于A，当时，，则曲线是圆，A错误；对于B，当或时，，曲线是双曲线，B正确；对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，C正确；对于D，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，D错误．故选：BC.10．ABC【分析】根据空间向量的概念及其相关推论，即可得出答案.【详解】对于A：若，则，故A正确；对于B：若对空间中任意一点O，有，由于，则P，A，B，C四点共面，故B正确；对于C：假设不是空间的一个基底，则共面，设，因为，所以有，整理可得，因为是空间的一个基底，所以有，显然该方程组不成立，故假设错误.所以，也是空间的一个基底，故C正确；对于D：由于是一个数值，也是一个数值，则由可得和共线，与已知的任意性不符，故D错误．故选：ABC.11．ACD【分析】求出斜率判断A；利用两直线垂直关系求出a判断B；求出平行线间距离判断C；利用对称思想求出最小值判断D作答.【详解】对于A，直线的斜率，其倾斜角小于，A错误；对于B，由直线与直线垂直，得，解得，B正确；对于C，直线化为，因此两平行直线的距离，C错误；对于D，点关于x轴的对称点为，连接交x轴于点，点是x轴上任意一点，

连接，于是，当且仅当点与重合时取等号，因此，D错误.故选：ACD12．BD【分析】根据题意，由为等腰直角三角形，列出方程求得及，结合双曲线的几何性质，即可求解.【详解】如图所示，设双曲线的左顶点为，因为以为直径的圆恰好经过双曲线的左顶点，可得为等腰直角三角形，又因为过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，可得，所以，因为，所以，解得，所以双曲线的离心率为，所以D正确；由，可得双曲线的渐近线方程为，所以B正确．故选：BD.

13．3【分析】由题意可知直线与直线互相平行，由此可求出或，再代入检验即可得出答案.【详解】因为，所以直线与直线没有交点，所以直线与直线互相平行，所以，解得或，当时，两直线为：，，此时两直线重合，不满足；当时，两直线为：，，此时两直线平行，满足，所以的值为3.故答案为：3.14．/2.25【分析】利用点差法和两点坐标求直线斜率公式化简计算即可.【详解】设，则两式相减得，由线段的中点坐标为，即，.故答案为：15．【分析】设，二面角的大小为，根据展开计算得到，得到答案.【详解】如图，设，（），则二面角的大小为，

，，，，故.故，故，.因此所求二面角的度数为.故答案为：.16．【分析】由可得，又点在右准线上可得，解关于的一元二次不等式，结合即可求得结果.【详解】取的中点Q，连接，如图所示，

则，所以，所以，所以为等腰三角形，即，且，所以，又因为点在右准线上，所以，即，所以，即，解得或，又，所以，故答案为：.17．(1)或；(2)或；(3).【分析】（1）由空间向量共线及模的坐标表示运算即可得解；（2）利用空间向量线性运算及垂直的坐标表示运算即可得解；（3）由空间向量夹角余弦值的坐标表示运算即可得解.【详解】（1）由题意，，，所以可设，又，所以，解得，所以或；（2）由题意，，所以，又与垂直，所以，解得或，所以或；（3）由（2）可得，所以.18．(1)(2)或【分析】（1）计算出圆A的半径，可得出圆A的标准方程；（2）利用勾股定理计算出圆心A到直线的距离为，然后对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线轴时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数值，综合可得出直线的方程.【详解】（1）设圆A半径为R，由圆与直线相切，则点到直线的距离等于半径，得，∴圆A的标准方程为.（2）由（1）知，，，则圆心A到直线的距离.当直线l与x轴垂直时，即，此时圆心A到直线的距离为，符合题意；当直线l不与x轴垂直时，设方程为，即，，解得，∴直线l为：.综上所述，直线l的方程为或.

19．(1)(2)证明见解析(3)6【分析】（1）首先根据离心率设出双曲线方程，再代入点的坐标，即可求解；（2）首先将点代入双曲线方程求，再根据斜率公式或是数量积公式，证明垂直；（3）根据（1）（2）的结果，代入面积公式，即可求解.【详解】（1）因为，所以可设双曲线方程为．因为过点，所以，即．所以双曲线方程为，即（2）由（1）可知，双曲线中，所以，不妨设，分别为双曲线的左右焦点，则，．方法一：，，因为点在双曲线上，所以，，所以,所以，所以．方法二：因为，，所以．因为点在双曲线上，所以，即，所以．

（3）的底边长，的高，所以．20．(1)证明见解析；(2)；(3).【分析】（1）利用线面平行的判定证面、面，再由面面平行的判定得面面，最后根据面面平行的性质证结论；（2）构建空间直角坐标系，向量法求线面角的正弦值；（3）由（2）所得坐标系，向量法求面面角的余弦值；【详解】（1）由，面，面，则面，由，面，面，则面，而，面，故面面，由面，则平面；（2）由平面，平面，则，又，以为原点构建空间直角坐标系，，，所以，则，，，令面的一个法向量，则，若，则，所以，即直线与平面所成角的正弦值为.

（3）由（2）知：，则，令面的一个法向量，则，若，则，所以，即平面与平面夹角的余弦值为.21．(1)(2)【分析】（1）根据离心率列式计算即可；（2）直线，联立椭圆，应用韦达定理、弦长公式、面积公式写出面积关于k的表达式，进而利用基本不等式求最大值.【详解】（1）由题意可得，，因为离心率，所以，又，所以，解得；（2）由（1）知，椭圆的上焦点为，设，直线，联立，整理得：，则，且，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为.

22．(1)；(2)恒过定点.【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线的定义求出值