2022年云南省红河州高考理科数学一模试卷及答案解析

2022年云南省红河州高考理科数学一模试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.（5分）已知集合4={在凹-l<x<5},8={0,2,4},则ACB=（）

A.{2,4}B.{0,2,4}C.{1,2,3,4}D.{0.1,2,3,4）

2.（5分）教育部《关于落实主体责任强化校园食品安全管理的指导意见》指出，非寄宿制

中小学、幼儿园原则上不得在校园内设置食品小卖部或超市，已设置的要逐步退出.某

校对学生30天内在小卖部消费过的天数进行统计，（视频率为概率，同一组中数据用该

组区间右端点值作代表），则下列说法不正确的是（）

B.该校学生在小卖部消费天数不超过15天的概率为25%

C.估计学生在小卖部消费天数平均值约为18天

D.估计学生在小卖部消费天数在25-30天的最多

3.（5分）复数z满足（1-f）z—2i,则2=（）

A.-1-»B.-1+zC.1-/D.1+z

4.（5分）在连锁交换定律中，重组率指双杂合体测交产生的重组型配子的比例，重组率通

常也称作交换率，但是二者之间是有区别的.生物学家在研究基因重组率和绘制遗传图

时，用函数R=3（l-e-2x）作为重组率和交换率的校正公式（R代表基因重组率，x代

表基因交换率）.当某生物的基因重组率为:时，其交换率为（）

（参考数据:加2=0,6931,/n3«=1.0986.）

A.1.2424B.0.2894C.0.0323D.0.1438

第1页共22页

5.（5分）在等比数列｛斯｝中，已知a5ali=3,«3+ai3-4,则短©的值为（）

a6

A.3B.9C.3或工D.9或工

39

6.（5分）在下列四个正方体中，A、8为正方体的两个顶点，M、N、。为所在棱的中点,

则在这四个正方体中，直线4B与平面MNQ不平行的是（）

7.（5分）红河州个旧市是一个风景优美的宜，居城市，如图是个旧宝华公园的摩天轮，半

径为20米，圆心。距地面的高度为25米，摩天轮运行时按逆时针匀速旋转，转一周需

要10分钟.摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.若游客在距离地面至少35米的高

度能够将个旧市区美景尽收眼底，则摩天轮转动一周内具有最佳视觉效果的时间长度（单

8.（5分）有如下形状的花坛需要栽种4种不同颜色的花卉，要求有公共边界的两块不能种

同种颜色的花，则不同的种花方式共有（）

C.48利।D.24种

第2页共22页

9.（5分）锐角三角形的内角B、C满足：tanB-tanC=则有（）

A.sin2^-sinC=OB.sin2B+sinC=0

C.sin2B-cosC=0D.sin2B+cosC=0

10.（5分）已知椭圆Cl和双曲线C2有公共焦点F\（-c,0）,Fl（c,0）,曲线Cl和C2

在第一象限的交点为点P,ZFIPF2=则“椭圆Ci的离心率为日”是“双曲线C2的

渐近线方程是>=±缶”的（）

A.充分必要条件B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件

11.（5分）在四面体S-ABC中，SAJ_平面ABC,BC=用,SA=AC=2,AB=1,则该四

面体外接球的表面积为（）

2840

A.7nB.1InC.—nD.一n

33

12.（5分）已知函数/（x）=e'x-ex-xi+2x-1,下列说法中正确的个数是（）

①函数f（x）的图象关于点（0,-1）对称；

②函数,f（x）由三个零点：

③x=0是函数/（x）的极值点；

④不等式『（"L2）+f（nr）>-2的解集是（-2,1）.

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

->T.TT

13.（5分）已知向量a=（1,2）,b=（2,-2）,则下列向量与向量Q—2b垂直的有.

（只填正确的序号）

①（2,1）；

②（-2,-1）；

③（-1,2）；

1

④（1,一）.

2

14.（5分）曲线y=舒在犬=1处的切线方程是-

15.（5分）已知函数f（x）=sin（a）x+（p）（a）>0,0V（pV，），其图象的对称轴与对称中

心之间的最小距离为:，x=-号是函数/（X）的一个极小值点.若把函数/（X）的图象向

4u

第3页共22页

71

右平移r（r>0）个单位长度后，所得函数的图象关于点（孑，0）对称，则实数r的最小

值为.

16.（5分）曲线C上任意一点P到点（1,0）的距离比到y轴的距离大1,A,3是曲线C

上异于坐标原点。的两点，直线。8的斜率之积为-；，若直线48与圆（x-II）

，/=25交于点E,F,则的最小值是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共

60分。

17.（12分）2022北京冬奥会即将开始，北京某大学鼓励学生积极参与志愿者的选拔，某学

院有6名学生通过了志愿者选拔，其中4名男生，2名女生.

（1）若从中依次抽取2名志愿者，求在第1次抽到男生的条件下，第2次也抽到男生的

概率；

（2）若从6名志愿者中任选3人负责滑雪项目服务岗位，且所选3人中女生人数为X,

求X的分布列和数学期望.

18.（12分）已知数列｛斯｝的前八项和为S”且满足ai=4,Sn+l-3Sn=l,nGN*.

⑴求◎的的值及数列｛斯｝的通项公式;

（2）若%=不一，数列｛与｝的前"项和为力“求证：

以九十JL1U

19.（12分）如图，在四棱锥尸-ABCZ）中，已知底面A8C。为直角梯形，AB//DC,AB±

AD,AB=AD=2CD=2,平面B43_L平面A8C£>,PALPB,PA=PB.

（1）从下列条件①、条件②中再选择一个作为已知条件，求证：EF〃平面限B；

条件①：E,尸分别为棱尸。，BC的中点；

条件②：E,F分别为棱PC,AO的中点.

PM

（2）若点”在棱PO（含端点）上运动，当:7：为何值时，直线CM与平面物。所成角

PD

V3

的正弦值为三.

第4页共22页

20.(12分)在平面直角坐标系0冲中，点M是以原点O为圆心，半径为。的圆上的一个

动点.以原点。为圆心，半径为％(a>b>0)的圆与线段交于点M作M。轴

于点。，作NQLMO于点Q.

(1)令/MOO=a,若a=4,b=l,a=求点。的坐标；

(2)若点Q的轨迹为曲线C,求曲线C的方程；

(3)设(2)中的曲线C与x轴的正半轴交于点A,与y轴的正负半轴分别交于点Bi，

Bi，若点E、尸分别满足族=一3办，4AF=3OB2,设直线BIE和B2尸的交点为K,设

直线/：及点”(C0)，(其中c=7心—b2),证明：点K到点，的距离与点K到

直线/的距离之比为定值£.

a

21.(12分)已知函数/(X)=x/ogM-(2+焉)x(a为常数，a>0且a/l).

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)当a=e时，若g(x)—f(x)—+3》有两个极值点内，xi，证明：Inx\+lnx2

>0.

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一道作答，如果多做，则按所做的

第一题计分。［选修4-4：坐标系与参数方程］

22.(10分)已知曲线C的参数方程为：匕二(。为参数)，以坐标原点为极点，x

(y=sinf)

轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线C的极坐标方程；

(2)过点A(-4,V3)的光线经x轴反射后，与曲线C只有一个公共点P,求点尸的

极坐标.

第5页共22页

［选修4-5：不等式选讲］

23.已知a,h,c为实数且a+2H5c=10.

(1)若a,b,c均为正数，当72ab+75ac+dTObc=10时,求a+b+c的值:

(2)证明：(26+5c)2+(a+b+5c)2+(a+2h+4c)2>

第6页共22页

2022年云南省红河州高考理科数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.(5分)已知集合4={在凶-l<x<5},B={0,2,4},则AAB=()

A.{2,4}B.{0,2,4)C.{1,2,3,4}D.{0.1,2,3,4)

【解答】解：集合A={xCNLl<x<5}={0,1,2,3,4},

集合8={0,2,4),

则ACB={0,2,4),

故选：B.

2.(5分)教育部《关于落实主体责任强化校园食品安全管理的指导意见》指出，非寄宿制

中小学、幼儿园原则上不得在校园内设置食品小卖部或超市，已设置的要逐步退出.某

校对学生30天内在小卖部消费过的天数进行统计，(视频率为概率，同一组中数据用该

组区间右端点值作代表)，则下列说法不正确的是()

B.该校学生在小卖部消费天数不超过15天的概率为25%

C.估计学生在小卖部消费天数平均值约为18天

D.估计学生在小卖部消费天数在25-30天的最多

【解答】解：对于4该校学生在小卖部消费天数超过20天的概率为(0.04+0.06)X5

=0.5,故A正确；

对于B：该校学生在小卖部消费天数不超过15天的概率为(0.02+0.03)X5=0.25,故3

第7页共22页

正确：

对于C：（0.02X7.5+12.5X0.03+17.5X0.05+22.5X0.04+27.5X0.06）X5=17.125,约为

17天，故C错误；

对于6估计学生在小卖部消费天数在25-30天的最多，故。正确.

故选：C.

3.（5分）复数z满足（1-i）z=2i,则2=（）

A.-1-iB.-1+zC.1-iD.1+i

【解答】解：因为（1-i）z—2i,

所以Z=E=（I+D（IT）=T+，,

故5=-1-i,

故选:A.

4.（5分）在连锁交换定律中，重组率指双杂合体测交产生的重组型配子的比例，重组率通

常也称作交换率，但是二者之间是有区别的.生物学家在研究基因重组率和绘制遗传图

时，用函数R=±（l-e-2x）作为重组率和交换率的校正公式（R代表基因重组率，x代

表基因交换率）.当某生物的基因重组率为:时，其交换率为（）

（参考数据：/〃2Po.6931,//13^1,0986.）

A.1.2424B.0.2894C.0.0323D.0.1438

【解答】解：由3=*—e-2）得［=1一e-2".32,=

3

：・—2x—ln^9-2x=ln3-21n2,

所以X="2-"3x0.6931-10^86=0.1438.

故选：D.

5.（5分）在等比数列｛斯｝中，已知。5〃11=3,。3+〃13=4,则二巨的值为（）

%

11

A.3B.9C.3或一D.9或一

39

【解答】解：•・•等比数列｛斯｝中，45ali=3,，。3・。13=3,又,.•。3+。13=4,

.•・。3=1，。13=3或。3=3,。13=1，・・・/°=虫3=3或士

a33

.♦.%=产=3或士

3

第8页共22页

故选：c.

6.（5分）在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、。为所在棱的中点,

则在这四个正方体中，直线48与平面不平行的是（）

【解答】解：对于选项8,由于结合线面平行判定定理可知B不满足题意；

对于选项C,由于48〃MQ,结合线面平行判定定理可知C不满足题意：

对于选项。，由于AB〃NQ,结合线面平行判定定理可知O不满足题意；

所以选项A满足题意，

故选：A.

7.（5分）红河州个旧市是一个风景优美的宜，居城市，如图是个旧宝华公园的摩天轮，半

径为20米，圆心。距地面的高度为25米，摩天轮运行时按逆时针匀速旋转，转一周需

要10分钟.摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.若游客在距离地面至少35米的高

度能够将个旧市区美景尽收眼底，则摩天轮转动一周内具有最佳视觉效果的时间长度（单

位：分钟）为（）

81011

A.-B.3C.—D.—

333

【解答】解：设/(力=Asin(oit+cp)+h,

依题意，A=20,h=25,7=10,

所以3==看，又/(0)=5>cp=—

第9页共22页

：.f（f）=20sin（一71T7r）+25=25-20co冗sr（，>0）,

J525

7T711

依题意25-20cos—，235,所以cos—r<―亍又OWfWlO,

55/

解得T</<拳

201010

摩天轮转动一周内，有二-二=二分钟会有这种最佳视觉效果.

333

故选：C.

8.（5分）有如下形状的花坛需要栽种4种不同颜色的花卉，要求有公共边界的两块不能种

同种颜色的花，则不同的种花方式共有（）

A.96种B.72种C.48种D.24种

【解答】解:若AC相同,则A有4种,8有3种,E有2种,。有2种,

则有4X3X2X2=48种，

若AC不同，则A有4种，B有3种，E有2种，C有1种，。有2种，

则有4X3X2X1X2=48种，

根据分类计数原理可得，共有48+48=96种.

故选：A.

9.（5分）锐角三角形的内角B、C满足：tanB-tanC=则有（）

SLTLZ.D

A.sin2B-sinC=OB.sin2B+sinC=0

C.sin2B-cosC=0D.sin2B+cosC=0

【解答】解：因为tcmB-tanC=

sinB1sinC

所以t一;二二，

cosB2sinBcosBcosC

第10页共22页

r2sin2B-l-cos2BsinC

即----------=--------=-----，

2sinBcosBsinlBcosC

所以sinCsin28+cos28cosc=cos(28-C)=0,

因为3,C都为锐角，

所以一为<2B-C<n,

所以2B-C=3,即sin2B=sin(C+1)=cosC.

故选：C.

10.(5分)已知椭圆Ci和双曲线C2有公共焦点Fi(-c,0),Fi(c,0),曲线Ci和C2

在第一象限的交点为点P,ZFIPF2=则''椭圆Ci的离心率为三”是“双曲线C2的

渐近线方程是的()

A.充分必要条件B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件

【解答】解：设椭圆的半长轴为0,双曲线实半轴为42,双曲线的虚半轴长为历,

椭圆的离心率为ei，双曲线的离心率为C2,

由定义知:喘‘隔=『,可得呻=。1+。2,\PFi\=ax-a2,

设|尸|92|=2o,ZF\PF2=

TC

22aac

由余弦定理得：4c2=(a1+a2)+(a1-a2)-2(%+a2)(i-2)*os—,

22

化简得：Q/+3a2=4c,

a23a2口「13

・•・-7x+—―2=4,即f+—^=4,

zz

ce/e2

22

/e=*,e2=3,即a2+b2

12—=3,

可得竺=V2,则双曲线方程为卜=±缶；

a2

2

反之，由双曲线方程为》=±岳，得”=0,BPe2=3,

a2

代入=4,解得q=冬

“椭圆Cl的离心率为♦”是“双曲线C2的渐近线方程是丫=±岳”的充分必要条件.

故选：A.

11.(5分)在四面体S-ABC中，SA_L平面ABC,BC=V7,SA=AC=2,A8=l,则该四

第11页共22页

面体外接球的表面积为()

2840

A.7TTB.IlirC.—71D.——71

33

【解答】解：,.・SA_L平面45C,SA=AC=2fA8=l,

l1—4—71

BC=y[7,.•.cos/8AC=，%X；JLX/Z=一彳/^BAC=\20°,

.•.△ABC截球。所得的圆O'的半径，=2x=学,

LsiniZO3

...球O的半径R=J1+-=苧，

...球O的表面积S=4TTR2=竽.

故选：D.

12.(5分)已知函数/(x)1,下列说法中正确的个数是()

①函数/(x)的图象关于点(0,-1)对称；

②函数/(X)由三个零点；

③x=0是函数/(x)的极值点：

④不等式/(m-2)+f(m2)>-2的解集是(-2,1).

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解答】解：由/(*)+1=/、-/-丁+2为

令g(x)—e'x--x3+2r,则g(-x)=，--2x=-g(x),

所以函数g(x)=/'-，-4+2犬是奇函数，所以g(x)的图象关于原点对称，

所以/(x)的图象关于点(0,-1)对称，故①正确：

又因为g，(x)=-e~x—ex—3x2+2=+ex)+2-3x2<-2+2-3x2=-3x2<

0,

所以g(x)在R上单调递减，所以/(x)在H上单调递减，

所以/(x)只有一个零点且无极值点，故②③错误；

由机-2)+f(w2)>2得/(优-2)+14/(/)+1>0,

所以g(m-2)+g(〃/)>0,所以所以g(,”-2)>g(-m2),

所以〃？-2<一切2,所以m2+m-2<0»所以(m+2)(w-1)<0»

所以-2<机<1,故④正确，

综上所述，正确的个数是2个.

故选：B.

第12页共22页

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(5分)已知向量］=(1,2),b=(2,-2),则下列向量与向量2-21垂直的有®

②④.(只填正确的序号)

①(2,1)；

②(-2,-1)；

③(-1,2)；

…1

(4)(1,-).

【解答】解：因为2=(1，2),1=(2,-2),

所以：-2了=(1,2)-(4,-4)=(-3,6),

①由于2X(-3)+1X6=0,符合题意；

②由于-2X(-3)+(-1)X6=0,符合题意；

③由于-IX(-3)+2X6^0,不符合题意；

④由于IX(-3)+/x6=0,符合题意；

故答案为：①②④.

14.(5分)曲线丫=骷■在》=1处的切线方程是+

【解答】解：由y'=3三，得切线的斜率k=J，

(*+1)24

又当x=l时y=：,所以切线方程为=

即y=+4,

故答案为：y=

15.(5分)已知函数f(x)=sin(a)x+(p)(u)>0,0<(p<^),其图象的对称轴与对称中

心之间的最小距离为巴，x=-等是函数/G)的一个极小值点.若把函数f(x)的图象向

4□

71

右平移f(r>0)个单位长度后，所得函数的图象关于点(孑，0)对称，则实数1的最小

一,57r

值为77•

—12—

【解答】解：函数/(x)=sin(0)尢+(p)(u)>0,0V(pV?),

第13页共22页

其图象相邻的对称轴与对称中心之间的距离为工•空=Au）=2.

40）4

・・”二T是一个极小值点，A2X（-J）+（p=2内1一£依Z,

**.（p=5,/（x）=sin（2x+J）.

把函数/（X）的图象向右平移f（f>0）个单位长度后，

所得函数的尸sin⑵-2什卷）图象关于直线（孑，0）对称，

**•2x—27+Z=^TT,即2t=-^-，k£Z.

Doo

57r

则实数/的最小值为二.

12

57r

故答案为：—.

12

16.（5分）曲线C上任意一点P到点（1,0）的距离比到y轴的距离大1,A,B是曲线C

上异于坐标原点。的两点，直线OA,08的斜率之积为-表若直线AB与圆（x-II）

2+夕=25交于点E,F,则|屏]的最小值是8.

【解答】解：由题意可知，曲线C上任意一点P到点（1,0）的距离等于到直线x=-l

的距离，

因此曲线是以（1,0）为焦点的抛物线，方程为尸=4》,.

因为点A,8两点在抛物线上，所以直线AB的斜率不为0,

设A（xi,yi）,B（*2，）2），设直线A8的方程：x=my+n,

因为koA，koB=一义,所以型2=-

z%1%22

由点A,B在抛物线上可得（yi"）2=[6XIX2,所以yi”=-32,

由x—tny+n联立y2=4x,得：）？-4my-4〃=0,

所以yi）'2=-4”，

所以"=8,即直线过定点（8,0）,

所以当弦EF过（8,0）且垂直于x轴时，|EF|最短，且|EF|=2j25-（ll—8）2=8.

故答案为：8.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共

60分。

17.（12分）2022北京冬奥会即将开始，北京某大学鼓励学生积极参与志愿者的选拔，某学

第14页共22页

院有6名学生通过了志愿者选拔，其中4名男生，2名女生.

(1)若从中依次抽取2名志愿者，求在第1次抽到男生的条件下，第2次也抽到男生的

概率；

(2)若从6名志愿者中任选3人负责滑雪项目服务岗位，且所选3人中女生人数为X,

求X的分布列和数学期望.

【解答】解：(1)设''第1次抽到的男生”为事件A,“第2次抽到男生”为事件8,

则''第1次和第2次都抽到男生”为事件AB.

方法一根据分步乘法计数原理，得n(A)=盘心=20,n(4B)=&=12,

所以「(卬)=需=踩4

432

-X-=-

方法二易知P(A)=石=可,655

所匕以二Pn/(DBi|A)=尢P(ABf)=+3

(2)X的取值可能为0,1,2

依题意，得P(X=0)=4具

ci5

P(X=1)=管J

P(X=2)=管=:

所以X的分布列为:

X012

P131

555

E(X)=0113x|+2x11=1.

18.(12分)已知数列｛斯｝的前几项和为S〃,且满足ai=4,S〃+L3S〃=1,n€N*.

(1)求42，〃3的值及数列｛斯｝的通项公式;

(2)若垢=忘万，数列｛加｝的前〃项和为T”，求证：Tn<^.

【解答】解：⑴当〃=1时，52-351=1,

即“1+42-3ai=l,而m=4,

所以42=9,

当〃=2时S3-3S2=1,即。1+。2+43-3(4|+。2)=“3-2(ai+42)=1，解得“3=27,

第15页共22页

所以42,硝的值分别为9和27；

因为S”+i-3S”=1①，

时，则S”-3szi一1=1②,

-=

①-②可得«„+i3an0>

即a“+i=3（"22）,jfff——-H3,

an«i4

所以可得｛““｝为从第二项起等比数列且公比q=3,

所以通项公式如=[4,"=1；

（3n,n>2

4/n=1

（2）证明：由（1）可得式斯=

3n,n>2

n=l

所以b=

n.岛32

n=l时，Ti=〃i=|V卷显然成立;

QQ33

当时，T=b\+b2+……+b〃=V+f—+

n532+133+1r+i9

又因为高31

V—=

3n3兀_1，

金工+上+……_3_<31±±……+1

所以32+133+13n+l5+3+2+33+=++

33时111

一六）

—14J(11

+(1

1-156-3n-2),

1-3

1

当n趋近于+8时,

3n-2•趋近于0,

所（M（一言嗡+仙=牯

可证得〃〈苏

19.（12分）如图，在四棱锥P-ABC。中，已知底面A8CQ为直角梯形，AB//DC,AB1.

AD,AB=AD=2CD=2,平面孙B_L平面ABC。，PALPB,PA=PB.

（1）从下列条件①、条件②中再选择一个作为已知条件，求证：EF〃平面B4以

条件①：E,尸分别为棱P£>,8C的中点：

条件②：E,尸分别为棱PC,4。的中点.

第16页共22页

（2）若点M在棱P。（含端点）上运动，当一为何值时，直线CM与平面以。所成角

PD

V3

的正弦值为

【解答】证明：（1）若选条件（1）,取4。的中点为G,连接EG,GF,则EG〃必，GF

//AB,

因为EGC平面限B,F-GC平面以B,以u平面以B,A8u平面布8,

所以EG"平面以8,FG〃平面以B,

因为EGCIGF=G,

所以平面EFG〃平面PAB,

又因为EFu平面EFG,所以E/〃平面PAB.

B

若选条件（2）,取8c的中点为G,连接EG,GF,^\EG//PB,GF//AB,

因为EG<t平面以B,FGC平面BAB,以u平面匕IB,ABu平面B4B,

因为EGCGF=G,所以平面EFG〃平面布8,

又因为Eft平面EFG,所以平面以8.

第17页共22页

解：(2)取A3中点为0,连接PO,CO,

因为单=PB,所以PO_L4B,

又因为POu平面以8,平面以81.平面A8CD,平面%BC平面48c£>=AB,

所以「O_L平面ABCD,

又因为AB=2,PA=PB,PAYPB,所以尸0=1,

又因为A8|C£>,AB=2CD=2,。为AB中点，所以CQ〃AO,CD=AO,

又因为所以四边形OAOC为矩形，所以。B1.0C,

故以O为坐标原点，办为x轴正方向，儿为y轴正方向，能为z轴正方向建立空间直

角坐标系，

直角坐标系如图，则A(-1,0,0),P(0,0,1),£>(-1,2,0),C(0,2,0),

所以PD=(一1,2,-1),

又因为M在PO上，所以存在入[0,1],使P)=/l而，所以俞=(一九24,-A),

又因为P(0,0,1),所以M(-X,2A,-A+1),所以西=(-4,2/1-2,1-A),

又因为晶=(1,0,1),元)=(0,2,0),

设平面刑£)的法向量£=(x,y,z),则所以y=。，取x=l,则z=-l.

所以n=(1,0,—1).

设直线CM与平面PAD所成角为0,

则sin。=\cos(CM,n)|=此=-I-，+。+4-1=卑，

\CM\,|n|V2-JA2+(2A-2)2+(1-Z)2

故12入2-204+7=0,所以2=1或;I=:,

第18页共22页

又因为入日0,1],所以4=寺,

即比=-

PD2

20.（12分）在平面直角坐标系。孙中，点M是以原点。为圆心，半径为a的圆上的一个

动点.以原点。为圆心，半径为6（〃>6>0）的圆与线段OM交于点N,作轴

于点。，作NQLMD于点。.

（1）令/MOO=a,若a=4,b=l,a=g,求点Q的坐标；

（2）若点Q的轨迹为曲线C,求曲线C的方程；

（3）设（2）中的曲线C与x轴的正半轴交于点A,与y轴的正负半轴分别交于点Bi，

Bi，若点E、尸分别满足族=一3荒，4AF=3OB2,设直线8化和历尸的交点为K,设

直线/：及点“（C0），（其中。=7a2—b2）,证明：点K到点，的距离与点K到

直线/的距离之比为定值二

a

n_

x=4Acos5>/3

7r3,所以。（2,—）；

{y=sin2

第19页共22页

_22

(2)设NMOO=a，则｛；;黑器，则点Q的轨迹C为椭圆，方程为京+=1<«

>&>0)；

a2

证明：⑶设K(x,y),由题可得Bi(0,b),E(-,0),历(0,-b),F(a,一沙，

xy

则直线8iE1方程为万+7=1,BP4bx+ay=ab,

一D

4

,y+匕x

直线B2F的方程为一§----=一，即bx-4ay=4ab,

--b+ba

4

f_8

联立可得，

IKHI=J得"c)2+(一1|b)2=-c)2+(-1|)2(az-c2)=

I~~~/8~88

IQ，+(yyC)-2XyyCLC—Cl--jyC»

crCL28Q

令点K到直线/的距离为|KM|，则一・|KM=?(­—一。)=a-^=c9

aQc171/

^\KH\c

故喃=1

21.(12分)已知函数/'(%)=xIogM—(2+焉)x(a为常数，a>0且aWl).

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)当a=e时，若g(x)=f(x)-2nl/+3x有两个极值点刘，X2>证明：Inxi+lg

>0.

【解答】解：(1)函数/(x)的定义域为(0,+8),/(x)=log“x-2,

①当a>l时，由/(x)>0,解得x>/,由/(x)<0,解得0<x</,

2

所以/(x)的增区间为(J,+8),减区间为(0,a)；

第20页共22页

②当OVoVl时，由/（x）>0解得OVxVj,由/（x）<0,解得x>/，

所以/（X）的增区间为（0,。2）,减区间为（/，+oo）,

综上：当时，/（%）的增区间为（a2,+8）,减区间为（0,。2）；

当0<。<1时，/（X）的增区间