专题15.1 分式的混合运算与化简求值（压轴题专项讲练）（人教版）（原卷版）

专题15.1分式的混合运算与化简求值【典例1】阅读理解：材料1：已知x+1x=3解：活用倒数，∵x2∴xx材料2：将分式x2解：由分母x+1，可设x2-x+3=(x+1)(x+a)+b，则∵对于任意x上述等式成立，∴a+1=-1,a+b=3.解得∴x2根据材料，解答下面问题：（1）已知a+1a=5，则分式a（2）已知b-1b=-3，求分式b（3）已知x+1x-2=-73【思路点拨】（1）根据材料1，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值；（2）根据材料1，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值；（3）根据材料1和材料2，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值．【解题过程】（1）解：∵a+∴2∴a故答案为：110（2）∵b-∴b-1b2∴b则：3∴b故答案为：129（3）3由分母x-2，可设x2则：x对于任意x上述等式成立，∴a-2=-3-2a+b=3，解得，a=-1∴3又∵x+1x-2∴3∴x-23故答案为：-11．（2022秋·八年级课时练习）已知实数x，y，z满足1x+y+1y+z+1z+x＝76，且zx+y+xy+z+A．12 B．14 C．727 D．2．（2022秋·八年级课时练习）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2+A．-1 B．-12 C．2 D3．（2022·福建·九年级统考竞赛）若正数a，b，c满足abc1，a+1b=3,b+14．（2022秋·上海徐汇·七年级上海市田林第三中学校考阶段练习）（1）计算：a2（2）2x-45．（2022·广东深圳·统考一模）先化简：（2a+2+a2-4a2+4a+4）÷a26．（2022春·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考自主招生）先化简，后求值：x3+xy2+1x37．（2023春·八年级单元测试）先阅读，再答题：12×313×4……一般地，有1n（1）计算：1x+1（2）计算：1x8．（2022秋·全国·七年级期末）xyx+y=19．（2022春·八年级课时练习）已知3x-2y-4z=0，2x+y-5z=0且xyz≠0，求1z10．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知x,y为整数，且满足1x+1y1x11．（2022秋·湖南岳阳·八年级统考期末）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b12．（2022·福建·九年级专题练习）已知x=a1b+1c（1）当a=1，b=1，c=2时，求1x-1（2）当ab+bc+ac≠0时,求1x+113．（2022·七年级单元测试）已知a、b、c为实数，且满足下式：①a2②a1求a+b+c的值.14．（2023春·江苏·八年级专题练习）Sn为n的各位数字之和，例S（1）当10≤n≤99时，求nS（2）当100≤n≤999时，求nS（3）当1000≤n≤9999时，求nS15．（2022秋·全国·八年级专题练习）数学小组遇到这样一个问题：若a，b均不为零，求x=|a|a+|b|b的值．小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母a，b解：①当两个字母a，b中有2个正，0个负时，②当两个字母a，b中有1个正，1个负时，③当两个字母a，b中有0个正，2个负时．（1）根据小明的分析，求x=|a|（2）若a，b，c均不为零，且16．（2023春·浙江·七年级专题练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：x+1x-1=x-1+2x-1=x-1x-1+2x-1=1+（1）下列分式中，不属于“和谐分式”的是（填序号）．①2x+3x

②3+x3

③x+4x+3（2）将“和谐分式”a2（3）应用：先化简3x+6x+1-x-117．（2023春·八年级课时练习）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即M-N=MN，则称分式N是分式M的“关联分式”．（1）已知分式2a2-1，试说明2a2+1是（2）小聪在求分式1x2+y2设1x2+y2的“关联分式”∴1x2+y请你仿照小聪的方法求分式x+y2x-3y的“关联分式”（3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式ab-a的“关联分式”：______②若n-2mx+m2+n是m+2mx+n2的“18．（2023春·八年级课时练习）阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：x2x+1⋅x-1x+1这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：1x+1，-2x+1这样的分式就是真分式．我们知道，假分数可以化为带分数.例如：（1）参考上面的方法，将下列分式化为带分式：-x2-2xx2+2x+1=（2）解分式方程：x2（3）当x取什么整数值时，分式x4（4）一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍，另一个两位数n．十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同，若这个三位数的平方能整除这个两位数，求满足条件的三位数m．19．（2023春·八年级课时练习）知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等．例1：分解因式x解：将“x2+2x”原式=y例2：已知ab=1，求11+a解：1请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题：（1）根据材料，请你模仿例1尝试对多项式x2（2）计算：1-2-3-⋯-2021×（3）①已知ab=1，求11+②若abc=1，直接写出5aab+a+120．（2022·全国·九年级专题练习）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．例：已知：xx2+1解：∵xx2+1=1∴x+1x材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式