2021年中考数学压轴题真题精讲精练+变式训练 专题3.5浙江金华卷（压轴8道+变式32道）（原卷版）

【冲刺2022】之2021年中考数学压轴题真题精讲精练+变式训练专题3.5浙江省金华市卷（压轴8道+变式训练32道）说明：本专辑精选了2021年浙江省金华市卷失分较多和难度较大的题目8道，分别是第10题圆中的计算问题、第14题几何变换中的计算问题、第15题坐标规律变化探究问题、三角函数相结合问题、第16题锐角三角函数的实际问题、第21题二次函数的实际问题、第22题圆计算与证明综合问题、第23题函数图象性质综合探究问题、第24题函数与几何综合问题，每道题精讲精析，配有变式练习各4道，浙江省金华市变式训练题共32道.【压轴一】圆中的计算问题【真题再现】（2021·浙江金华市·中考第10题）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是（）A． B． C． D．【变式训练】【变式1.1】（2021•金东区二模）如图，扇形AOB的圆心角是60°，半径是3，点C为弧AB的中点，过点C作CD∥OB交DA于点D，过点B作BE∥OA交DC延长线于点E，则图中阴影部分面积为（）A．32 B．3−32 C．3−13 D．3+13【变式1.2】（2020秋•东阳市校级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝2，O、H分别为边AB、AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积为（）A．π B．2π C．32 D．3π【变式1.3】（2020•义乌市模拟）如图，矩形HGML四个顶点在正六边形ABCDEF的边上，且GM∥EF．若图中4块阴影的面积相等，则该矩形的长与宽之比（）A．33：5 B．2：3 C．4：3 D．5：4【变式1.4】（2021•上城区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4．把△ABC分别绕直线AB，BC和AC旋转一周，所得几何体的表面积分别记作S1，S2，S3，则表面积最大的是（）A．S1 B．S2 C．S3 D．无法确定【压轴二】几何变换中的计算问题【真题再现】（2021·浙江金华市·中考第14题）如图，菱形的边长为，，将该菱形沿AC方向平移得到四边形，交CD于点E，则点E到AC的距离为____________．【变式训练】【变式2.1】（2020春•婺城区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为6，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC＝2：1，则线段CH的长是（）A．3 B．4 C．38 D．83【变式2.2】（2019秋•婺城区期末）将一张正方形纸片按如图步骤①②，沿虚线对折2次，然后沿图③的虚线剪去一个角，展开铺平后得到图④，若图③中OC＝BC，∠ODC＝30°，则四边形EFGH与原正方形纸面积比为（）A．12 B．3−1 C．34 D．34【变式2.3】（2020春•武义县期末）将矩形ABCD按如图方式折叠，点B，点C恰好落在点G处，且A，G，F在同一条直线上．若AB＝4，BC＝6，则CF的长是（）A．94 B．52 C．114 D．3【变式2.4】（2019春•东阳市期末）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，矩形内部有一动点P满足S△PAB=13S矩形ABCD，则点P到A，B两点的距离之和PA+PB的最小值为（）A．5 B．213 C．22 D．42【压轴三】坐标规律变化探究问题【真题再现】（2021·浙江金华市·中考第15题）如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边BC及四边形②的边CD都在x轴上，“猫”耳尖E在y轴上．若“猫”尾巴尖A的横坐标是1，则“猫”爪尖F的坐标是___________．【变式训练】【变式3.1】（2020春•吴兴区期末）如图，已知直线l1、l2经过坐标原点O，且l1与x轴所夹锐角为15°，l2与y轴所夹锐角为30°．在直线l1和l2之间依次构造正方形A1B1C1A2、正方形A2B2C2A3，正方形A3B3C3A4正方形A4B4C4A5…点A1、点A2、点A3、点A4、点A5…依次落在直线l1上，点B1、点B2、点B3、点B4…依次落在直线l2上，且A1B1＝1，则点B2020的坐标为（）A．（220182，220186） B．（220172，220176） C．（220182，220183） D．（22018，220183）【变式3.2】（2021•青田县模拟）如图，动点P从（0，3）出发沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2021次碰到长方形的边时点P的坐标为．【变式3.3】（2020•浙江自主招生）平面直角坐标系中，已知点P0（1，0），将点P0绕原点O按逆时针方向旋转30°得到P1，延长OP1到P2，使OP2＝2OP1；再将P2绕点O逆按时针方向旋转30°得到P3，然后延长OP3到P4，使OP4＝2OP3；…如此下去，则点P2018的坐标为．【变式3.4】（2020春•椒江区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得点A1，A2，A3…，An，…若点A1的坐标为（3，1），则点A2019的坐标为．【压轴四】锐角三角函数的实际问题【真题再现】（2021·浙江金华市·中考第16题）如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．已知，．（1）ED的长为____________．（2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到（如图2），点P的对应点为，与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜反射后，在MN上的光点为．若，则的长为____________．【变式训练】【变式4.1】（2020•义乌市校级模拟）门环，在中国绵延了数千多年的，集实用、装饰和门第等级为一体的一种古建筑构件，也成为中国古建“门文化”中的一部分，现有一个门环的示意图如图所示．图中以正六边形ABCDEF的对角线AC的中点O为圆心，OB为半径作⊙O，AQ切⊙O于点P，并交DE于点Q，若AQ＝123cm，则（1）sin∠CAB＝；（2）该圆的半径为cm．【变式4.2】（2020•金华）如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点A，B，C均为正六边形的顶点，AB与地面BC所成的锐角为β．则tanβ的值是．【变式4.3】（2020•东阳市模拟）图2、图3是起重机平移物体示意图．在固定机架BAM中，AB＝5m，tan∠BAM=43．吊杆BCE由伸缩杆BC与6m长的直杆CE组成，在机架BAM与直杆CE间有一根9m长的支撑杆AD，且CD＝2m．假设起重机吊起物体准备平移时，点E、C、B恰好在同一水平线上（图2），在物体平移过程中始终保持EB∥AM（AM处在水平位置）．（1）如图2，当准备平移物体时，伸缩杆BC＝m．（2）在物体沿EB方向平移过程中，当∠ADE＝60°时，物体被平移的距离为m．【变式4.4】（2019•金华模拟）小明家的门框上装有一把防盗门锁（如图1）．其平面结构图如图2所示，锁身可以看成由两条等弧AD，弧BC和矩形ABCD组成，弧BC的圆心是倒锁按钮点M．已知弧AD的弓形高GH＝2cm，AD＝8cm，EP＝11cm．当锁柄PN绕着点N旋转至NQ位置时，门锁打开，此时直线PQ与弧BC所在的圆相切，且PQ∥DN，tan∠NQP＝2．（1）弧BC所在圆的半径为cm．（2）线段AB的长度约为cm．（5≈2.236，结果精确到0.1cm）【压轴五】二次函数的实际问题【真题再现】（2021·浙江金华市·中考第21题）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．（1）求雕塑高OA．（2）求落水点C，D之间的距离．（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，，．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．【变式训练】【变式5.1】（2020•嘉祥县一模）如图1，皮皮小朋友燃放一种手持烟花，这种烟花每隔2秒发射一发花弹，每一发花弹的飞行路径、爆炸时的高度均相同．皮皮发射出的第一发花弹的飞行高度h（米）与飞行时间t（秒）之间的函数图象如图2所示．（1）求皮皮发射出的第一发花弹的飞行高度h（米）随飞行时间t（秒）的函数表达式．（2）第一发花弹发射3秒后，第二发花弹达到的高度为多少米？（3）为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于16米．皮皮发现在第一发花弹爆炸的同时，第二发花弹与它处于同一高度，请通过计算说明花弹的爆炸高度是否符合安全要求？【变式5.2】（2019•婺城区一模）如图是集体跳绳的示意图，绳子在最高处和最低处时可以近似看作两条对称的抛物线，分别记为C1和C2，绳子在最低点处时触地部分线段CD＝2米，两位甩绳同学的距离AB＝8米，甩绳的手最低点离地面高度AE＝BN=1516米，最高点离地AF＝BM=2316米，以地面AB、抛物线对称轴GH所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．（1）求抛物线C1和C2的解析式；（2）若小明离甩绳同学点A距离1米起跳，至少要跳多少米以上才能使脚不被绳子绊住？（3）若集体跳绳每相邻两人（看成两个点）之间最小距离为0.8米，腾空后的人的最高点头顶与最低点脚底之距为1.5米，请通过计算说明，同时进行跳绳的人数最多可以容纳几人？（温馨提醒：所有同学起跳处均在直线CD上，不考虑错时跳起问题，即身体部分均在C1和C2之间才算通过），（参考数据：2=1.414，3≈1.732）【变式5.3】（2019•义乌市模拟）儿童游乐场有一项射击游戏，从O处发射小球，将球投入正方形篮筐DABC．正方形篮筐三个顶点为A（2，2），B（3，2），D（2，3）．小球按照抛物线y＝﹣x2+bx+c飞行．小球落地点P坐标（n，0）．（1）点C坐标为．（2）求c，b并写出小球飞行中最高点N的坐标（用含有n的代数式表示）；（3）若小球发射之后能够直接入篮，球没有接触篮筐，请直接写出n的取值范围．【变式5.4】（2020春•金东区校级月考）如图，抛物线y=−12x2+2x+6交x轴于A，B两点（点A在点B的右侧），交y轴于点C，顶点为D，对称轴分别交x轴、AC于点E，F，点P是射线DE上一动点，过点P作AC的平行线MN交x轴于点H，交抛物线于点M，N（点M位于对称轴的左侧），设点P的纵坐标为t．（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）当点P位于EF的中点时，求点M的坐标；（3）①点P在线段DE上运动时，当𝑃𝑀𝑃𝐻=2，求t的值；②点Q是抛物线上一点，点P在整个运动过程中，满足以点C，P，M，Q为顶点的四边形是平行四边形时，则此时t的值是（请直接写出答案）．【压轴六】圆计算与证明综合问题【真题再现】（2021·浙江金华市·中考第22题）在扇形中，半径，点P在OA上，连结PB，将沿PB折叠得到．（1）如图1，若，且与所在的圆相切于点B．①求的度数．②求AP的长．（2）如图2，与相交于点D，若点D为的中点，且，求的长．【变式训练】【变式6.1】（2020秋•东阳市期末）如图，BC是⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，连接AB，CD，点G在BC的延长线上，使∠DAG＝2∠D．（1）求证：AG与⊙O相切．（2）若𝐴𝐸𝐵𝐸=23，CE＝4，请求出CG的长．【变式6.2】（2019秋•义乌市期末）如图，已知AB为半圆O的直径，AC，AD为弦，且AD平分∠BAC．（1）若∠ABC＝28°，求∠CBD的度数；（2）若AB＝6，AC＝2，求AD的长．【变式6.3】（2020•大连一模）如图1，AB是⊙O的直径，PB，PC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C．（1）求证：∠CPB＝2∠ABC；（2）延长BA、PC相交于点D（如图2），设⊙O的半径为2，sin∠PDB=23，求PC的长．【变式6.4】（2020•永康市一模）如图，已知⊙C过菱形ABCD的三个顶点B，A，D，连接BD，过点A作AE∥BD交射线CB于点E．（1）求证：AE是⊙C的切线．（2）若半径为2，求图中线段AE、线段BE和𝐴𝐵围成的部分的面积．（3）在（2）的条件下，在⊙C上取点F，连接AF，使∠DAF＝15°，求点F到直线AD的距离．【压轴七】函数图象性质综合探究问题【真题再现】（2021·浙江金华市·中考第23题）背景：点A在反比例函数的图象上，轴于点B，轴于点C，分别在射线上取点，使得四边形为正方形．如图1，点A在第一象限内，当时，小李测得．探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．（1）求k的值．（2）设点的横坐标分别为，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了时“Z函数”的图象．①求这个“Z函数”的表达式．②补画时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）．③过点作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．【变式训练】【变式7.1】（2020•东阳市模拟）如图，直线y=−34x+6与反比例函数y=𝑘𝑥（x＞0）分别交于点B、C（AB＜AC），经探索研究发现：结论AB＝CD始终成立．另一直线y＝mx（m＞0）交线段BC于点E，交反比例函数y=𝑘𝑥（x＞0）图象于点F．（1）当BC＝5时：①求反比例函数的解析式．②若BE＝3CE，求点F的坐标．（2）当BE：CD＝1：2时，请直接写出k与m的数量关系．【变式7.2】（2020•婺城区模拟）对于平面直角坐标系xOy中的任意点P（x，y），如果满足x+y＝a（x≥0，a为常数），那么我们称这样的点叫做“特征点”．（1）当2≤a≤3时，①在点A（1，2），B（1，3），C（2.5，0）中，满足此条件的特征点为；②⊙W的圆心为W（m，0），半径为1，如果⊙W上始终存在满足条件的特征点，请画出示意图，并直接写出m的取值范围；（2）已知函数Z=1𝑥+x（x＞0），请利用特征点求出该函数的最小值．【变式7.3】（2020•兰溪市模拟）已知一次函数y＝ax+b的图象交x轴于点P，交反比例函数y=𝑘𝑥（k≠0）的图象于A、B两点，且A点坐标为（1，4）．（1）求反比例函数y=𝑘𝑥（k≠0）的解析式；（2）若PA：PB＝3：1，求P点坐标；（3）在（2）的条件下，是否存在既相切于直线AP，又相切于x轴，且圆心C在反比例函数图象上的圆？若存在，求出C点的横坐标；若不存在，请说明理由．【变式7.4】（2019•义乌市一模）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若PQ为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与x轴平行，则称该等腰三角形为点P，Q的“相关等腰三角形”．下图为点P，Q的“相关等腰三角形”的示意图．（1）已知点A的坐标为（0，1），点B的坐标为(−3，0)，则点A，B的“相关等腰三角形”的顶角为°；（2）若点C的坐标为(0，3)，点D在直线y＝43上，且C，D的“相关等腰三角形”为等边三角形，求直线CD的表达式；（3）⊙O的半径为2，点N在双曲线y=−3𝑥上．若在⊙O上存在一点M，使得点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形，直接写出点N的横坐标xN的取值范围．【压轴八】函数与几何综合问题【真题再现】（2021·浙江金华市·中考第24题）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在直线上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．①若，求证：．②若，求四边形的面积．（2）是否存在点B，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．【变式训练】【变式8.1】（2020•婺城区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，点O为坐标原点，点B的坐标为（2，1），点A．C在坐标轴上，点P在BC边上，直线l1：y＝2x+1，直线l2：y＝2x﹣1．（1）分别求直线l1与x轴交点坐标，直线l2与AB的交点坐标；（2）已知点M在第一象限，且是直线l2上的点，若△APM是等腰直角三角形，求点M的坐标；（3）已知矩形ANPQ的顶点N在直线l2上，Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请求出x的取值范围．【变式8.2】（2019秋•义乌市期末）如图1，在三角形ABC中，把A