2021年中考数学压轴题真题精讲精练+变式训练 专题3.2浙江宁波卷（压轴8道+变式32道）（原卷版）

【冲刺2022】之2021年中考数学压轴题真题精讲精练+变式训练专题3.2浙江省宁波市卷（压轴8道+变式训练32道）说明：本专辑精选了2021年浙江省宁波市卷失分较多和难度较大的题目8道，分别是第10题平行四边形的计算问题、第15题反比例函数的图象与性质、第16题四边形与相似、三角函数相结合问题、第19题二次函数的性质综合问题、第21题锐角三角函数的应用、第22题方程与函数的应用问题、第23题几何综合探究问题、第24题圆的综合压轴问题，每道题精讲精析，配有变式练习各4道，浙江省宁波市变式训练题共32道.【压轴一】平行四边形的计算问题【真题再现】（2021·浙江宁波市·中考第10题）如图是一个由5张纸片拼成的，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为，另两张直角三角形纸片的面积都为，中间一张矩形纸片的面积为，与相交于点O．当的面积相等时，下列结论一定成立的是（）A． B． C． D．【变式训练】【变式1.1】（2021春•镇海区期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB≠BC，点F是BC上一点，AE平分∠FAD，且点E是CD的中点，有如下结论：①AE⊥EF，②AF＝CF+CD，③AF＝CF+AD，④AB＝BF，其中正确的是（）A．①③ B．②③ C．②④ D．①③④【变式1.1】（2021春•鄞州区期中）如图，在▱ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，分别作点C关于AB，AD的对称点G，H，连接CG，CH，AG，AH，GH．如果AB＝30，∠EAF＝30°，▱AB2D的面积为2703，那么下列说法不正确的是（）A．CE=3CF B．∠GAH＝60° C．GH＝AF+CF D．△GCH的面积是▱ABCD的面积的一半【变式1.3】（2021•宁波模拟）如图，四边形ABCD和DEFG均为正方形，点E在对角线AC上，点F在边BC上，连接CG和EG．若知道正方形ABCD和DEFG的面积，则一定能求出（）A．四边形ABFE的周长 B．四边形ECGD的周长 C．四边形AEGD的周长 D．四边形ACGD的周长【变式1.4】（2021•海曙区模拟）如图，在矩形ABCD中，点F为边AD上一点，过F作EF∥AB交边BC于点E，P为边AB上一点，PH⊥DE交线段DE于H，交线段EF于Q，连接DQ．当AF＝AB时，要求阴影部分的面积，只需知道下列某条线段的长，该线段是（）A．EF B．DE C．PH D．PE【压轴二】反比例函数的图象与性质【真题再现】（2021·浙江宁波市·中考第15题）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点A的“倒数点”．如图，矩形的顶点C为，顶点E在y轴上，函数的图象与交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形的一边上，则的面积为_________．【变式训练】【变式2.1】（2021•北仑区二模）如图，A，B，D三点在反比例函数y=63𝑥的图象上，AD与y轴交于点C，连接BC并延长交反比例函数y=𝑘𝑥的图象于点E，连接DE．若△ABC，△CDE均为正三角形，且BC∥x轴，则k的值为（）A．93 B．﹣93 C．123 D．﹣123【变式2.2】（2021•宁波模拟）如图，在平面直角坐标系中有菱形OABC，点A的坐标为（5，0），对角线OB、AC相交于点D，双曲线y=𝑘𝑥（x＞0）经过AB的中点F，交BC于点E，且OB•AC＝40，下列四个结论：①双曲线的解析式为y=7𝑥（x＞0）；②E点的坐标是（74，4）；③sin∠CAO=55；④AC+OB＝65．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式2.3】（2021•北仑区一模）如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y．定义（x，y）为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线x＝1，y＝3将第一象限划分成4个区域．已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中．则下面叙述中正确的是（）A．点A的横坐标有可能大于3 B．矩形1是正方形时，点A位于区域② C．当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小 D．当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等【变式2.4】（2021•余姚一模）已知点P（a，m），Q（b，n）都在反比例函数y=−1𝑥的图象上，且a＜0＜b，则下列结论中，一定正确的是（）A．m+n＜0 B．m+n＞0 C．m＜n D．m＞n【压轴三】四边形与相似、三角函数相结合问题【真题再现】（2021·浙江宁波市·中考第16题）如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点B的对称点F在边上，G为中点，连结分别与交于M，N两点，若，，则的长为________，的值为__________．【变式训练】【变式3.1】（2021•宁波模拟）如图，在菱形ABCD中，分别过B，D作对边的垂线，垂足分别为E，F，G，H，BF与DG相交于点P，BE与DH相交于点Q，围成面积为3的小菱形PBQD，若cosA=35，则菱形ABCD的面积为．【变式3.2】（2021春•鄞州区校级期中）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，M是△AEF三条高的交点，且AC=2a，EF=3b，则AM＝．【变式3.3】（2021春•鄞州区校级期中）如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB＝CD，AD=2，E为CD中点，连接AE，且AE＝23，∠DAE＝30°，作AE⊥AF交BC于F，则BF的值为．【变式3.4】（2021春•海曙区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D为BC上一动点（不与点C重合），以AD，CD为一组邻边作平行四边形ADCE，当DE的值最小时，平行四边形ADCE周长为．【压轴四】二次函数的性质综合问题【真题再现】（2021·浙江宁波市·中考第19题）如图，二次函数（a为常数）的图象的对称轴为直线．（1）求a的值．（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．【变式训练】【变式4.1】（2021•宁波模拟）已知二次函数y＝ax2+（2a﹣4）x﹣2（a≠0）的图象经过（x1，y1）（x2，y2），且x1＜x2．（1）求证：抛物线与x轴一定有两个交点．（2）当a＝1时，若|x1﹣x2|＝1，则|y1﹣y2|＝1，求x1+x2的值．（3）当1＜x1＜x2＜2时，y1＜y2，求a的取值范围．【变式4.2】（2021•宁波模拟）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别相交于A（6，0），B（0，﹣6）两点．（1）求一次函数y＝kx+b的表达式．（2）若二次函数y＝x2﹣2ax+n图象的顶点在直线AB上，①设a＝﹣2，当﹣3≤x≤3时，求y的取值范围；②二次函数y＝x2﹣2ax+n与x轴正半轴始终有交点，求a的取值范围．【变式4.3】（2021•鄞州区模拟）如图，平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A（﹣1，2），B（2，5）．（1）求线段AB与y轴的交点坐标；（2）若抛物线y＝x2+mx+n经过A，B两点，求抛物线的解析式；（3）若抛物线y＝x2+mx+3与线段AB有两个公共点，求m的取值范围．【变式4.4】（2021•宁波模拟）抛物线y＝﹣x2+2x+3交x轴于点A，B（A在B的左边），交y轴于点C顶点为M，对称轴MD交x轴于点D，E是线段MD上一动点，以OB，BE为邻边作平行四边形OBEF，EF交抛物线于点P，G（P在G的左边），交y轴于点H．（1）求点A，B，C的坐标；（2）如图1，当EG＝FP时，求DE的长；（3）如图2，当DE＝1时，①求直线FC的解析式，并判断点M是否落在该直线上．②连接CG，MG，CP，MP，记△CGM的面积为S1，△CPM的面积为S2，则𝑆1𝑆2=．【压轴五】锐角三角函数的应用【真题再现】（2021·浙江宁波市·中考第21题）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点的位置，且A，B，三点共线，，B为中点，当时，伞完全张开．（1）求的长．（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．（参考数据：）【变式训练】【变式5.1】（2021•宁波模拟）如图，小明沿着马路自东向西前行，当他位于A处时，发现大厦P位于他的正北方向，医院Q位于他的北偏西63.5°方向，当他前行300米到达B处时，发现大厦P位于他的东北方向，医院Q位于他的正北方向，求医院与大厦的直线距离有多远？（结果保留整数）（参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236，sin63.5°≈0.89，tan63.5°≈2.00）【变式5.2】（2021•宁波模拟）如图①，将“欢迎光临”门挂倾斜放置时，测得挂绳的一段AC＝30cm．另一段BC＝20cm．已知两个固定扣之间的距离AB＝30cm．（1）求点C到AB的距离；（2）如图②，将该门挂扶“正”（即AC＝BC），求∠CAB的度数．（参考数据：sin49°≈0.75，cos41°≈0.75，tan37°≈0.75，cos53°≈0.6，tan53°≈43）【变式5.3】（2021•北仑区二模）在数学综合实践活动课上，某小组要测量学校升旗台旗杆的高度．如图所示，测得BC∥AD，斜坡AB的长为6m，坡度i＝1：3，在点B处测得旗杆顶端E的仰角为70°，点B到旗杆底端C的距离为5m．（1）求斜坡AB的坡角α的度数．（2）求旗杆顶端离地面的高度ED．（参考数据sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，结果精确到1m）【变式5.4】（2021•鄞州区模拟）如图1是一种台灯，其主体部分是由与桌面垂直的固定灯杆AB和可转动灯杆BC和光源CD组成，当灯杆BC绕点B转动时，光线在桌面上的圆形照明区域随着光源到桌面的距离发生改变．图2是其示意图，其中AB⊥AE，CD∥AE，灯杆AB＝16cm，BC＝36cm．（1）当灯杆AB与BC的夹角∠ABC为150°时，求光源CD到桌面AE的距离；（2）若光源CD到AE的距离h与圆形照明区域半径r的关系是h=23r，要使圆形区域半径达到51cm，求灯杆AB与BC的夹角∠ABC的度数．【压轴六】方程与函数的应用问题【真题再现】（2021·浙江宁波市·中考真题）某通讯公司就手机流量套餐推出三种方案，如下表：A方案B方案C方案每月基本费用（元）2056266每月免费使用流量（兆）1024m无限超出后每兆收费（元）nnA，B，C三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系如图所示．（1）请直接写出m，n的值．（2）在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式．（3）在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择C方案最划算？【变式训练】【变式6.1】（2021•宁波模拟）某酒店新装修，计划购买A，B，C三种型号的餐桌共n套．已知一套A型餐桌（一桌四椅）需600元，一套B型餐桌（一桌六椅）需800元，一套C型餐桌（一桌八椅）需1000元，要求购买C型餐桌的套数是A型餐桌的2倍，设购买x套A型餐桌，三种餐桌购买的总费用为y元．（1）当n＝160时，①求y关于x的函数关系式．②若购买的B型餐桌套数与C型餐桌套数的差不超过12桌，求总费用y的最小值，并写出此时具体的购买方案．（2）已知学校实际购买三种餐桌的总费用为16万元，记购买的三种餐桌椅子的总数最多的方案为最佳购买方案，求最佳购买方案的椅子总数m及相应n的值．（直接写出答案）【变式6.2】（2021•宁波模拟）在第24届中国（昆明泛亚）兰花博览会上，镇海接过中国兰花博览会会旗，成为2015年中国第25届兰花博览会的举办地．为了让这些兰花走向世界，镇海区政府决定组织21辆汽车装运扑地兰、蕙兰、春剑兰这三种兰花共120吨，参加兰花博览会，现有A型、B型、C型三种汽车可供选择．已知每种型号汽车可同时装运2种兰花，且每辆车必须装满．根据下表信息，解答问题．每辆汽车运载量（吨）每辆汽车的运费（元）扑地兰蕙兰春剑兰A型车221500B型车421800C型车162000（1）设A型汽车安排x辆，B型汽车安排y辆，求y与x之间的函数关系式．（2）如果三种型号的汽车都不少于4辆，车辆安排有几种方案？并写出每种方案．（3）为节约运费，应采用（2）中哪种方案？并求出最少运费．【变式6.3】（2021•宁波模拟）小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．经过市场调研发现，每月销售的数量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其对应关系如表：x/（元/件）22253035…y/件280250200150…在销售过程中销售单价不低于成本价，物价局规定每件商品的利润不得高于成本价的60%，（1）请求出y关于x的函数关系式．（2）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与售价x（元/件）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．（3）当售价定为多少元/件时，每月可获得最大利润，最大利润是多少？【变式6.4】（2021•镇海区模拟）某公司销售甲、乙、丙三种型号的器材．3月份公司需支付的工资y1（万元）和其余开支y2（万元）与总销售量x的关系如图所示．型号甲乙丙进价（万元/台）0.91.21.1售价（万元/台）1.21.61.3（1）求y1与x的函数关系式；（2）若3月份该公司需支付的工资和其余开支共3.8万元，求出这个月三种器材的总销售量；（3）在（2）的条件下，若3月份公司共花64万元购进甲、乙、丙三种器材，并保证全部卖出．这三种器材的进价和售价如上表所示，若3月份的总销售利润为16.2万元，请求出甲、乙、丙三种器材各卖出几台？（总销售利润＝销售总价﹣总进价工资﹣其余开支）【压轴七】几何综合探究问题【真题再现】（2021·浙江宁波市·中考第23题）（证明体验）（1）如图1，为的角平分线，，点E在上，．求证：平分．（思考探究）（2）如图2，在（1）的条件下，F为上一点，连结交于点G．若，，，求的长．（拓展延伸）（3）如图3，在四边形中，对角线平分，点E在上，．若，求的长．【变式训练】【变式7.1】（2021•宁波模拟）如果三角形的两个内角差为90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．（1）若△ABC是“准直角三角形”，∠C＞90°．①若∠A＝60°，则∠B＝°；②若∠A＝20°，则∠B＝°．（2）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝3，点D在AC边上，若△ABD是“准直角三角形”，求CD的长．（3）如图2，在四边形ABCD中，CD＝CB，∠ABD＝∠BCD，AB＝5，BD＝6，且△ABC是“准直角三角形”，求△BCD的面积．【变式7.2】（2021•宁波模拟）定义：如果将△ABC与△DEF各分割成两个三角形，且△ABC所分的两个三角形与△DEF所分的两个三角形分别对应相似，那么称△ABC与△DEF互为“近似三角形”，将每条分割线称为“近似分割线”．（1）如图1，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，∠A＝30°，∠D＝40°，请判断这两个三角形是否互为“近似三角形”？如果是，请直接在图1中画出一组分割线，并注明分割后所得两个小三角形锐角的度数；若不是，请说明理由．（2）判断下列命题是真命题还是假命题，若是真命题，请在括号内打“√”；若是假命题，请在括号内打“×”．①任意两个直角三角形都是互为“近似三角形”；②两个“近似三角形”只有唯一的“近似分割线”；③如果两个三角形中有一个角相等，那么这两个三角形一定是互为“近似三角形”．（3）如图2，已知△ABC与△DEF中，∠A＝∠D＝15°，∠B＝45°，∠E＝60°，且BC＝EF=2+6，判断这两个三角形是否互为“近似三角形”？如果是，请在图2中画出不同位置的“近似分割线”，并直接分别写出“近似分割线”的和；如果不是，请说明理由．【变式7.3】（2021•余姚市一模）如果等腰三角形一边上的高线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“优美三角形”，这条边为“优美边”．（1）在如图1所示的12个小正方形组成的网格中，A，B两点在小正方形的顶点上，若点C也在小正方形的顶点上，且△ABC是“优美三角形”，请在图中各画一个满足条件的△ABC，并直接写出∠ABC的正切值．（2）如图2，已知四边形ABCD是菱形，∠BAD＝2α，点P，Q同时从B，D出发以相同的速度向终点C运动．①当tanα＝2，△APQ是“优美三角形”，且PQ为“优美边”时，求𝐵𝑃𝑃𝐶的值．②试探究P，Q在运动过程中（不含起点），tanα的范围与△APQ是“优美三角形”的个数之间的关系（不需要说明理由）．【变式7.4】（2021春•鄞州区期中）我们把能平分一个图形面积的直线称为该图形的“好线”．如图1，三角形的中线所在直线就是该三角形的一条好线．（1）平行四边形的好线共有条；（2）如图2，四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连接OA、OC，再过点O作OE∥AC交CD于E，连接AE．证明：直线AE是四边形ABCD的“好线”；（3）如图3，AE为一条“好线”，F为AD边的一点，请作出经过F点的一条“好线”，并说明哪条直线是四边形ABCD的“好线”（不擦除作图痕迹，无需说明理由）．【压轴八】圆的综合压轴问题【真题再现】（2021·浙江宁波市·中考真题）如图1，四边形内接于，为直径，上存在点E，满足，连结并延长交的延长线于点F，与交于点G．（1）若，请用含的代数式表列．（2）如图2，连结．求证；．（3）如图3，在（2）的条件下，连结，．①若，求的周长．②求的最小值．【变式训练】【变式8.1】（2021•宁波模拟）已知⊙O的直径AB＝2，弦AC与弦BD交于点E，且OD⊥AC，垂足为点F．（1）如图1，如果AC＝BD，求弦DE的长；（2）如图2，如果DE：BE＝3：2，求∠ABD的正切值；（3）连结BC，CD，DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，求△ACD