专题11直线与圆的位置关系（6个知识点7种题型3种中考考法）（解析版）

专题11直线与圆的位置关系（6个知识点7种题型3种中考考法）【目录】倍速学习五种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：直线和圆的位置关系知识点2：直线和圆的位置关系的性质和判定（重点）知识点3：切线的判定（难点）知识点4：切线的性质（重点）知识点5：三角形的内切圆知识点6：切线长定理（难点）【方法二】实例探索法题型1：直线与圆的位置关系的应用题型2：利用切线的性质和勾股定理解决问题题型3：切线的判定和性质的综合应用题型4：三角形的内切圆的应用题型5：切线长定理的应用题型6：与切线性质有关的动态问题题型7：圆的切线与一次函数综合应用【方法三】仿真实战法考法1：直线与圆的位置关系考法2：切线的判定考法3：切线的性质【方法四】成果评定法【学习目标】1.了解直线与圆相离、相切、相交的三种位置关系。2.掌握切线的概念，会描述切线与过切点的半径之间的关系，能判断一条直线是否为圆的切线，会用三角尺画过圆上一点的切线。3.知道三角形的内切圆、三角形的外心、圆的外切三角形的概念，会作知识三角形的内切圆。4.知道切线长的概念，会证明并掌握切线长定理，并运用切线长定理解决相关问题。【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1：直线和圆的位置关系(1)相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．

(2)相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．

(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．知识点2：直线和圆的位置关系的性质和判定（重点）由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．

要点诠释：

这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．【例1】（2022秋•宜兴市期末）已知⊙O的半径为6cm，点O到直线l的距离为7cm，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定【解答】解：∵⊙O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为7cm，6＜7，∴直线l与⊙O相离．故选：C．知识点3：切线的判定（难点）（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（2）在应用判定定理时注意：①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．要点诠释：

切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.【例2】．（2023•沛县模拟）如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O交⊙O于点C，∠A＝∠B＝30°，连接BD．求证：BD是⊙O的切线．【解答】如图，连接OD，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠DAB＝30°，∴∠DOB＝∠ODA+∠DAB＝60°，∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°，即OD⊥BD，∴直线BD与⊙O相切．【变式】如图，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED=EA．（1）求∠DOA的度数；（2）求证：直线ED与⊙O相切．【答案与解析】（1）解；∵∠DBA=50°，∴∠DOA=2∠DBA=100°，（2）证明：连接OE．在△EAO与△EDO中，，∴△EAO≌△EDO，∴∠EDO=∠EAO，∵∠BAC=90°，∴∠EDO=90°，∴DE与⊙O相切．知识点4：切线的性质（重点）（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．【例3】如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是（）A．25° B．40° C．50° D．65°【答案】B．【解析】解：连接OC，∵圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∴AB是直径，∵∠A=25°，∴∠BOC=2∠A=50°，∵CD是圆O的切线，∴OC⊥CD，∴∠D=90°﹣∠BOC=40°．故选B．知识点5：三角形的内切圆1.三角形的内切圆：

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.

2．三角形的内心：

三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.三角形的内心到三边的距离都相等.

要点诠释：

(1)任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；

(2)解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).

(3)三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1)到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)内心在三角形内部.【例4】（2023•泗阳县一模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形，勾（短直角边）长为八步，股（长直角边）长为十五步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径长是（）A．3步 B．5步 C．6步 D．8步【解答】解：如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝15，∠C＝90°，∴AB＝＝17，∴S△ABC＝AC•BC＝×8×15＝60，设内切圆的圆心为O，分别连接圆心和三个切点，及OA、OB、OC，设内切圆的半径为r，∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC＝×r（AB+BC+AC）＝20r，∴20r＝60，解得r＝3，∴内切圆的直径为6步，故选：C．知识点6：切线长定理（难点）（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）切线长定理包含着一些隐含结论：①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．【例5】如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为．【答案】2．【解析】解：∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC=AP，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP=BD，∴BD=PB=AB﹣AP=5﹣3=2．故答案为：2．【方法二】实例探索法题型1：直线与圆的位置关系的应用1．（2022春·九年级课时练习）如图，已知⊙O的半径为5cm，点O到直线l的距离OP为7cm．（1）怎样平移直线l，才能使l与⊙O相切？（2）要使直线l与⊙O相交，设把直线l向上平移xcm，求x的取值范围【答案】（1）将直线l向上平移2cm或12cm；（2）2cm＜x＜12cm．【详解】解：（1）∵⊙O的半径为5cm，点O到直线l的距离OP为7cm，∴将直线l向上平移7-5=2（cm）或7+5=12（cm），才能使l与⊙O相切；（2）由（1）知，要使直线l与⊙O相交，直线l向上平移的距离大于2cm且小于12cm，∴2cm＜x＜12cm，x的取值范围为：2cm＜x＜12cm．2．（2022春·全国·九年级专题练习）已知的半径为，点到直线的距离为，且直线与相切，若，分别是方程的两个根，求的值．【答案】【详解】∵由题意可知．∴方程的两根相等∴解得：．题型2：利用切线的性质和勾股定理解决问题3．（2023•建邺区二模）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标是（4，5），⊙P与x轴相切，点A，B在⊙P上，它们的横坐标分别是0，9．若⊙P沿着x轴向右作无滑动的滚动，当点B第一次落在x轴上时，此时点A的坐标是（）A．（7+2π，9） B．（7+2.5π，9） C．（7+2π，8） D．（7+2.5π，8）【解答】解：如图1，设⊙P与x轴的切点为D，过点P作PC⊥y轴于C，连接PD，PA，∴PD⊥x轴，∵点P的坐标是（4，5），∴PC＝4，PD＝5，即⊙P的半径为5，∴PA＝PD＝5，在Rt△PCA中，由勾股定理得：，延长CP与⊙P相交，此时交点到点C的距离为9，而点B的横坐标为9，故交点为点B，∴∠DPB＝90°，如图2，当点B第一次落在x轴上时，⊙P滚动了90°，∴点B滚动的距离为：，点A的对应点为A'，点C的对应点为C'，点B的对应点为B'，点P的对应点为P'，此时A'C'＝AC＝3，P'C'＝PC＝4，点A'的纵坐标为P'C'+5＝4+5＝9，点A'的横坐标为PC+A'C'+2.5π＝4+3+2.5π＝7+2.5π，∴点A'的坐标为（7+2.5π，9），即此时点A的坐标是（7+2.5π，9），故选：B．4．（2023•工业园区校级模拟）如图，半径为10的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO+CO＝12．（1）判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；（2）求AB的长．【解答】解：（1）猜测⊙M与x轴相切，理由如下：如图，连接OM，∵AC平分∠OAM，∴∠OAC＝∠CAM，又∵MC＝AM，∴∠CAM＝∠ACM，∴∠OAC＝∠ACM，∴OA∥MC，∵OA⊥x轴，∴MC⊥x轴，∵CM是半径，∴⊙M与x轴相切．（2）如图，过点M作MN⊥y轴于点N，∴AN＝BN＝AB，∵∠MCO＝∠AOC＝∠MNA＝90°，∴四边形MNOC是矩形，∴NM＝OC，MC＝ON＝10，设AO＝m，则OC＝12﹣m，∴AN＝10﹣m，在Rt△ANM中，由勾股定理可知，AM2＝AN2+MN2，∴102＝（10﹣m）2+（12﹣m）2，解得m＝4或m＝18（舍去），∴AN＝6，∴AB＝12．5．（2023•崇川区校级三模）如图，P为⊙O外一点，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在⊙O上，连接OA，OC，AC．（1）求证：∠AOC＝2∠PAC；（2）连接OB，若AC∥OB，⊙O的半径为5，AC＝6，求AP的长．【解答】（1）证明：过O作OH⊥AC于H，∴∠OHA＝90°，∴∠AOH+∠OAC＝90°，∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∴∠OAC+∠PAC＝90°，∴∠AOH＝PAC，∵OA＝OC，∴∠AOC＝2∠AOH，∴∠AOC＝2∠PAC；（2）解：连接OB，延长AC交PB于E，∵PA，PB是⊙O的切线，∴OB⊥PB，PA＝PB，∵AC∥OB，∴AC⊥PB，∴四边形OBEH是矩形，∴OH＝BE，HE＝OB＝5，∵OH⊥AC，OA＝OC，∴AH＝CH＝AC＝3，∴OH＝＝4，∴BE＝OH＝4，AE＝AH+HE＝8，∵PA2＝AE2+PE2，∴PA2＝82+（PA﹣4）2，∴PA＝10．题型3：切线的判定和性质的综合应用6．（2023•邗江区二模）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O过B、C两点，且AB是⊙O的切线，连接AO交劣弧BC于点P．（1）证明：AC是⊙O的切线；（2）若AB＝8，AP＝4，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°．在△ABO和△ACO中，，∴△ABO≌△ACO（SSS），∴∠ABO＝∠ACO＝90°，∴OC⊥AC，∵OC为⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r，则OB＝r，OA＝4+r．在Rt△OAB中，∵OB2+AB2＝OA2，∴r2+82＝（r+4）2，解得：r＝6．∴⊙O的半径为6．7．已知AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP．（1）如图①，△OPC的最大面积是；（2）如图②，延长PO交⊙O于点D，连接DB，当CP＝DB时，求证：CP是⊙O的切线．【解答】（1）解：∵AB＝4，∴OB＝2，OC＝OB+BC＝4．在△OPC中，设OC边上的高为h，∵S△OPC=12OC•h＝2∴当h最大时，S△OPC取得最大值．观察图形，当OP⊥OC时，h最大，如答图1所示：此时h＝半径＝2，S△OPC＝2×2＝4．∴△OPC的最大面积为4，故答案为：4．（2）证明：如答图②，连接AP，BP．∴∠A＝∠D＝∠APD＝∠ABD，∵AD=∴AP=∴AP＝BD，∵CP＝DB，∴AP＝CP，∴∠A＝∠C，在△APB与△CPO中，AP=CP∠A=∠C∴△APB≌△CPO（SAS），∴∠APB＝∠OPC，∵AB是直径，∴∠APB＝90°，∴∠OPC＝90°，∴DP⊥PC，∵DP经过圆心，∴PC是⊙O的切线．题型4：三角形的内切圆的应用8．（2023•靖江市模拟）等腰三角形的底边长为12，腰长为10，该等腰三角形内心和外心的距离为．【解答】解：由题意：△ABC为等腰三角形，AB＝AC＝10，BC＝12，⊙O′为它的外接圆，⊙O与三边相切于点D，E，F，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OB，如图，∵AB＝AC，∴AO所在的直线垂直平分BC，平分∠BAC，∴A，O′，O，E在一条直线上，∴AE⊥BC，BE＝EC＝6，∴AE＝＝＝8．由题意：O′A＝O′B＝O′C，OD＝OE＝OF，且OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，设O′A＝O′B＝O′C＝R，OD＝OE＝OF＝r，则O′E＝8﹣R，∵S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC，∴BC•AE＝AB•OD+BC•OE+AC•OF，∴12×8＝×10r+12r+10r，∴r＝3．∴OE＝3．在Rt△O′BE中，∵BE2+O′E2＝O′B2，∴62+（8﹣R）2＝R2，解得：R＝．∴O′E＝8﹣＝，∴OO′＝OE﹣O′E＝．该等腰三角形内心和外心的距离为．故答案为：．9．（2022秋•建邺区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是边E上的高，⊙E，⊙F分别是△ACD，△BCD的内切圆，则⊙E与⊙F的面积比为．【解答】解：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∵S△ABC＝AB•CD＝AC•BC，∴CD＝，在Rt△ACD中，由勾股定理得，AD＝＝，∴BD＝AB﹣AD＝，设⊙E的半径为r，⊙F的半径为R，则S△ACD＝AD•CD＝（AC+CD+AD）•r，即×＝（3++）r，∴r＝，同理R＝，∴⊙E与⊙F的面积比为＝＝，故答案为：．10．（2022秋•江阴市期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、F、G，∠B＝65°，∠C＝45°，则∠DGF的度数是°．【解答】解：如图，连接OD，OF，∵∠B＝65°，∠C＝45°，∴∠A＝180°﹣65°﹣45°＝70°．∵AB是圆O的切线，∴∠ODA＝90°．同理∠OFA＝90°．∴∠A+∠DOF＝180°．∴∠DOF＝110°．∴∠DGF＝55°．故答案为：55．11．（2023•沭阳县一模）如图⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D，E，F，其中AB＝6，BC＝9，AC＝11，若MN与⊙O相切与G点，与AC，BC相交于M，N点，则△CMN的周长等于．【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，且与MN相切于点G；根据切线长定理，设BF＝BD＝x，AD＝AE＝y，CF＝CE＝z，ME＝MG，NG＝NF；∵AB＝6，BC＝9，AC＝11，∴．解得，∴△CMN的周长＝CE+CF＝7+7＝14，故答案为：14．12．（2022春•定远县校级月考）已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C＝90°．若AC＝12cm，BC＝9cm，求⊙O的半径r；若AC＝b，BC＝a，AB＝c，求⊙O的半径r．【解答】解：如图；在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝9cm；根据勾股定理AB=AC2+四边形OFCD中，OD＝OF，∠ODC＝∠OFC＝∠C＝90°；则四边形OFCD是正方形；由切线长定理，得：AD＝AE，CD＝CF，BE＝BF；则CD＝CF=12（AC+BC﹣即：r=12（12+9﹣15）＝当AC＝b，BC＝a，AB＝c，由以上可得：CD＝CF=12（AC+BC﹣即：r=12（a+b﹣则⊙O的半径r为：12（a+b﹣c题型5：切线长定理的应用13．（2021•滨海县一模）如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求：（1）PA的长；（2）∠COD的度数．【解答】解：（1）∵CA，CE都是圆O的切线，∴CA＝CE，同理DE＝DB，PA＝PB，∴三角形PCD的周长＝PD+CD+PC＝PD+PC+CA+BD＝PA+PB＝2PA＝12，即PA的长为6；（2）∵∠P＝60°，∴∠PCE+∠PDE＝120°，∴∠ACD+∠CDB＝360°﹣120°＝240°，∵CA，CE是圆O的切线，∴∠OCE＝∠OCA＝∠ACD；同理：∠ODE＝∠CDB，∴∠OCE+∠ODE＝（∠ACD+∠CDB）＝120°，∴∠COD＝180﹣120°＝60°．14．（2021秋•泰州月考）如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm．求：（1）∠BOC的度数；（2）BE+CG的长；（3）⊙O的半径．【解答】解：（1）连接OF；根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG；∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠OBF+∠OCF＝90°，∴∠BOC＝90°；（2）由（1）知，∠BOC＝90°．∵OB＝6cm，OC＝8cm，∴由勾股定理得到：BC＝＝10cm，∴BE+CG＝BC＝10cm．（3）∵BC与⊙O相切于点F，∴OF⊥BC，∴S△OBC＝OF×BC＝OB×OC，即OF×10＝×6×8．∴OF＝4.8cm．题型6：与切线性质有关的动态问题15．如图，正方形ABCD的边长AD为⊙O的直径，E是AB上一点，将正方形的一个角沿EC折叠，使得点B恰好与圆上的点F重合．（1）求证：CF与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为1，则AE的长为．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∵将正方形的一个角沿EC折叠，使得点B恰好与圆上的点F重合，∴∠B＝∠EFC＝90°，BE＝EF，∴O、F、E三点共线，∴∠OFC＝90°，∴CF与⊙O相切；（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝2，∵AO＝1，OF＝1，设BE＝x，则AE＝AB﹣x＝2﹣x，OE＝1+EF＝1+x，∵AO2+AE2＝OE2，∴12+（2﹣x）2＝（1﹣x）2，∴x=2∴AE＝2-2故答案为：2316．（2021·江苏·常州市北郊高级中学九年级期中）如图，在梯形中，AD∥BC，，，，，为的直径，动点从点开始，沿边向点以的速度运动，点从点开始，沿边向点以的速度运动，点、分别从点、出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒．（1）当为何值时，四边形是平行四边形?（2）当为何值时，直线与相切?【答案】（1）；（2）t=8或【详解】（1）由题意得：，，∵四边形为平行四边形，∴，∴，解得：，∴当秒时，四边形为平行四边形；（2）作PE⊥BC于E，由相切，得PQ=AP+BQ=26﹣2t，QE=26﹣4t，PE=8，（26﹣4t）2+64=（26﹣2t）2解得t=8或；当26÷3=，当t=时运动停止，直线PQ与⊙O相切时，t=8或题型7：圆的切线与一次函数综合应用17．（2022春·九年级课时练习）如图，已知直线y＝x﹣6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以C（0，3）为圆心，3为半径的圆上一动点，连结PA、PB．（1）求圆心C到直线AB的距离；（2）求△PAB面积的最大值．【答案】（1）；（2）51．【详解】解：解：（1）如图1，过C作于M，连接AC，MC的延长线交于N，由题意：，，，，．，则由三角形面积公式得，，，，圆心C到直线AB的距离是；（2）由（1）知，圆心C到直线AB的距离是．则圆C上点到直线的最大距离是，故面积的最大值是：．18．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，P为正比例函数图象上的一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为（x、y）．（1）求⊙P与直线x=2相切时点P的坐标．（2）请直接写出⊙P与直线x=2相交、相离时x的取值范围．【答案】（1）点P的坐标为（5，）或（－1，－）；（2）x<-1或x>5【详解】解：（1）过P作直线x=2的垂线，垂足为A；当点P在直线x=2右侧时，AP=x-2=3，得x=5；；当点P在直线x=2左侧时，PA=2-x=3，得x=-1，，∴当⊙P与直线x=2相切时，点P的坐标为或；（2）由（1）可知当-1＜x＜5时，⊙P与直线x=2相交当x＜-1或x＞5时，⊙P与直线x=2相离．19．（2023·全国·九年级专题练习）新定义：在平面直角坐标系xOy中，若几何图形G与⊙A有公共点，则称几何图形G为⊙A的关联图形，特别地，若⊙A的关联图形G为直线，则称该直线为⊙A的关联直线．如图1，∠M为⊙A的关联图形，直线l为⊙A的关联直线．（1）已知⊙O是以原点为圆心，2为半径的圆，下列图形：①直线y＝2x+2；②直线y＝﹣x+3；③双曲线y＝，是⊙O的关联图形的是（请直接写出正确的序号）．（2）如图2，⊙T的圆心为T（1，0），半径为1，直线l：y＝﹣x+b与x轴交于点N，若直线l是⊙T的关联直线，求点N的横坐标的取值范围．（3）如图3，已知点B（0，2），C（2，0），D（0，﹣2），⊙I经过点C，⊙I的关联直线HB经过点B，与⊙I的一个交点为P；⊙I的关联直线HD经过点D，与⊙I的一个交点为Q；直线HB，HD交于点H，若线段PQ在直线x＝6上且恰为⊙I的直径，请直接写出点H横坐标h的取值范围．【答案】（1）①③；（2）点N的横坐标；（3）或．【详解】解：（1）在坐标系中作出圆及三个函数图象，可得①③函数解析式与圆有公共点，故答案为：①③；（2）如图所示：∵直线l是的关联直线，∴直线l的临界状态是与相切的两条直线和，当临界状态为时，连接TM，∴，，∵当时，，当时，，∴，∴为等腰直角三角形，∴，，∴点，同理可得当临界状态为时，点，∴点N的横坐标；（3）①如图所示：只考虑横坐标的取值范围，所以将的圆心I平移到x轴上，当点Q在点P的上方时，连接BP、DQ，交于点H；设点，直线HB的解析式为，直线HD的解析式为，当时，与互为相反数，可得，得，由图可得：，则，∴，结合，解得：，，∴，当时，，∴，h的最大值为，②如图所示：当点P在点Q的上方时，直线BP、DQ，交于点H，当圆心I在x轴上时，设点，直线HB的解析式为，直线HD的解析式为，当时，与互为相反数，可得，得，由图可得：，则，∴，结合，解得：，，∴，当时，，∴，h的最小值为，③当时，两条直线与圆无公共点，不符合题意，∴，综上可得：或．20．（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系xOy中，对于点P，O，Q给出如下定义：若OQ≤PO＜PQ且PO＜3，我们称点P是线段OQ的“潜点”．已知点O（0，0），Q（0，2）．(1)在P1（﹣2，0），P2（，），P3（1，﹣2）中是线段OQ的“潜点”是；(2)若点P在直线y＝﹣x上，且为线段OQ的“潜点”，求点P横坐标的取值范围；(3)直线yx+b与x轴交于点M，与y轴交于点N，当线段MN上存在线段OQ的“潜点”时，直接写出b的取值范围为．【答案】(1)P1，P3；(2)；(3)或(1)在坐标系中找到P1（﹣2，0），P2（），P3（1，﹣2）三点，如下图：根据“潜力点”的定义，可知P1、P3是线段OQ的潜力点，故答案为：P1、P3；(2)∵点P为线段OQ的“潜力点”，∴OQ≤PO＜PQ且PO＜3，∴点P在以O为圆心，半径为2的圆上或圆外，且点P在以O为圆心，3为半径的圆内，且在线段OQ垂直平分线的下方，又∵点P在直线y＝﹣x上，∴点P在如图所示的线段AB上（不包括B点），由题知，△BOD和△AOC是等腰直角三角形，∴ACOA，BDOB，∴点P横坐标的取值范围xP；(3)由（2）知，P点在以O为圆心，半径为2的圆上或圆外，且点P在以O为圆心，3为半径的圆内，且在线段OQ垂直平分线的下方，∵P点在直线yx+b上，即如下图所示，b≤0时，直线yx+b在两虚线之间时存在符合题意的P点，当x＝0时，y＝b，∴N（0，b），当潜力点P和N点重合时，即P点坐标为（0，b），∴|OP|2，由图知，此时b＝﹣2，即b≤﹣2，当潜力点P'为直线yx+b'的切点时，∵P'点在直线yx+b'上，OP'＝3，∴P'（），即b'，解得b'＝﹣6，即b＜﹣6，∴此时﹣2≤b＜﹣6；当b＞0时，如下图，直线yx+b在两虚线之间时存在符合题意的P点，当M点坐标为（﹣2，0）时，此时﹣2b＝0，即b＝2，∴b≥2，当直线yx+b'过点P'时，此时OP'＝3，且P点的纵坐标为1，∴P'（﹣2，1），∴﹣2b'＝1，即b'＝1+2，此时2b＜21；综上，b的取值范围为﹣2≤b＜﹣6或2b＜21，故答案为：﹣2≤b＜﹣6或2b＜21．【方法三】仿真实战法考法1：直线与圆的位置关系21．（2023•宿迁）在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（）A．2 B．5 C．6 D．8【解答】解：如图，由题意得，OA＝2，OB＝3，当点P在BO的延长线与⊙O的交点时，点P到直线l的距离最大，此时，点P到直线l的最大距离是3+2＝5，故选：B．考法2：切线的判定22．（2020•盐城）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，∠DCA＝∠B．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F，求证：△DCF是等腰三角形．【解答】证明：（1）连接OC，∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠A，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵∠DCA＝∠B，∴∠OCA+∠DCA＝∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）∵∠OCA+∠DCA＝90°，∠OCA＝∠A，∴∠A+∠DCA＝90°，∵DE⊥AB，∴∠A+∠EFA＝90°，∴∠DCA＝∠EFA，∵∠EFA＝∠DFC，∴∠DCA＝∠DFC，∴△DCF是等腰三角形．考法3：切线的性质23．（2023•徐州）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD交于点E．＝2，连接AD，过点B的切线与AD的延长线交于点F．若∠AFB＝68°，则∠DEB＝°．【解答】解：如图，连接OC，OD，∵BF是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴OB⊥BF，∴∠ABF＝90°，∵∠AFB＝68°，∴∠BAF＝90°﹣∠AFB＝22°，∴∠BOD＝2∠BAF＝44°，∵，∴∠COA＝2∠BOD＝88°，∴∠CDA＝，∵∠DEB是△AED的一个外角，∴∠DEB＝∠BAF+∠CDA＝66°，故答案为：66．24．（2022•连云港）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，连接BC，与⊙O交于点D，连接OD．若∠AOD＝82°，则∠C＝°．【解答】解：∵AC是⊙O的切线，∴∠BAC＝90°，∵∠AOD＝82°，∴∠ABD＝41°，∴∠C＝90°﹣∠ABD＝90°﹣41°＝49°，故答案为：49．25．（2022•泰州）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在上，且与点A、B不重合．若∠P＝26°，则∠C的度数为°．【解答】解：如图，连接AO并延长交⊙O于点D，连接DB，∵PA与⊙O相切于点A，∴∠OAP＝90°，∵∠P＝26°，∴∠AOP＝90°﹣∠P＝90°﹣26°＝64°，∴∠D＝∠AOP＝×64°＝32°，∵点C在上，且与点A、B不重合，∴∠C＝∠D＝32°，故答案为：32．【方法四】成果评定法一．选择题（共10小题）1．（2021秋•惠山区校级月考）已知在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，以B为圆心，BC为半径的⊙B与AC边的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定【分析】先求出各个内角的度数确定直角后，可知AC、CB为直角边，所以可确定BC为半径的⊙B与AC边的位置关系是相切．【解答】解：∵在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，∴以B为圆心，BC为半径的⊙B与AC边的位置关系是相切．故选：B．【点评】直线和圆的位置关系的确定一般是利用圆心到直线的距离与半径比较来判断．若圆心到直线的距离是d，半径是r，则①d＞r，直线和圆相离，没有交点；②d＝r，直线和圆相切，有一个交点；③d＜r，直线和圆相交，有两个交点．本题需要先确定直角后再判断位置关系．2．（2021•永定区模拟）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，直线FG切⊙O于点E，交PA于F，交PB于点G，若PA＝8cm，则△PFG的周长是（）A．8cm B．12cm C．16cm D．20cm【分析】由于PA、FG、PB都是⊙O的切线，可根据切线长定理，将△ABC的周长转化为切线长求解．【解答】解：根据切线长定理可得：PA＝PB，FA＝FE，GE＝GB；所以△PFG的周长＝PF+FG+PG，＝PF+FE+EG+PG，＝PF+FA+GB+PG，＝PA+PB＝16cm，故选：C．【点评】此题主要考查的是切线长定理，图中提供了许多等量线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．3．（2022秋•亭湖区校级月考）已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．平行【分析】先求方程的根，可得r的值，由直线与圆的位置关系的判断方法可求解．【解答】解：∵x2﹣2x﹣3＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3，∵⊙O的半径为一元二次方程程x2﹣2x﹣3＝0的根，∴r＝3，∵d＞r，∴直线l与⊙O的位置关系是相离，故选：C．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．4．（2022秋•崇川区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，连接BC，PA．若∠P＝36°，且PA与⊙O相切，则此时∠B等于（）A．27° B．32° C．36° D．54°【分析】先利用切线的性质求出∠AOP＝54°，再利用等腰三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO＝90°，∴∠AOP＝90°﹣∠P＝54°，∵OB＝OC，∴∠AOP＝2∠B，∴∠B＝∠AOP＝27°，故选：A．【点评】此题主要考查了切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，求出∠AOP是解本题的关键．5．（2018秋•亭湖区校级月考）如图，点A，B，D在⊙O上，∠A＝20°，BC是⊙O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则∠OCB的度数为（）A．20° B．40° C．50° D．80°【分析】由圆周角定理易求∠BOC的度数，再根据切线的性质定理可得∠OBC＝90°，进而可求出∠OCB的度数．【解答】解：∵∠A＝20°，∴∠BOC＝40°，∵BC是⊙O的切线，B为切点，∴∠OBC＝90°，∴∠OCB＝90°﹣40°＝50°，故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理、切线的性质定理的运用，熟记和圆有关的各种性质和定理是解题的关键．6．（2022•宿豫区校级开学）如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，则∠BOC等于（）A．125° B．120° C．115° D．110°【分析】根据⊙O是△ABC的内切圆，可得OB和OC是△ABC的角平分线，再根据三角形内角和定理进而可得∠BOC的度数．【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OB和OC是△ABC的角平分线，∴∠OBC＝∠ABC＝25°，∠OCB＝∠ACB＝40°，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝115°．故选：C．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握三角形的内心定义．7．（2022秋•浦口区校级月考）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（）A．点B在⊙A内 B．点C在⊙A上 C．直线BC与⊙A相切 D．直线BC与⊙A相离【分析】过A点作AH⊥BC于H，如图，利用等腰三角形的性质得到BH＝CH＝BC＝4，则利用勾股定理可计算出AH＝3，然后根据点与圆的位置关系的判定方法对A选项和B选项进行判断；根据直线与圆的位置关系对C选项和D选项进行判断．【解答】解：过A点作AH⊥BC于H，如图，∵AB＝AC，∴BH＝CH＝BC＝4，在Rt△ABH中，AH＝＝＝3，∵AB＝5＞3，∴B点在⊙A外，所以A选项不符合题意；∵AC＝5＞3，∴C点在⊙A外，所以B选项不符合题意；∵AH＝3，AH⊥BC，∴直线BC与⊙A相切，所以C选项符合题意，D选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．也考查了点与圆的位置关系和等腰三角形的性质．8．（2022•宿豫区校级开学）在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆一定与（）A．x轴相交 B．y轴相交 C．x轴相切 D．y轴相切【分析】本题应将该点的横纵坐标分别与半径对比，大于半径的相离，等于半径的相切．【解答】解：∵是以点（2，3）为圆心，2为半径的圆，如图所示：∴这个圆与y轴相切，与x轴相离．故选：D．【点评】此题考查的是直线与圆的位置关系，直线与圆相切，直线到圆的距离等于半径；与圆相离，直线到圆的距离大于半径．9．（2022秋•盐都区月考）如图，△ABC中，∠A＝80°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为（）A．100° B．160° C．80° D．130°【分析】根据∠A＝80°，求出∠ABC+∠ACB，再根据点O是△ABC的内心，求出∠OBC+∠OCB，根据三角形内角和定理求出∠BOC的度数即可．【解答】解：∵∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝100°，∵点O是△ABC的内心，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝50°，∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°．故选：D．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，圆周角定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．10．（2022秋•宝应县月考）如图，在矩形ABCD中，点E在CD边上，连接AE，将△ADE沿AE翻折，使点D落在BC边的点F处，连接AF，在AF上取点O，以O为圆心，线段OF的长为半径作⊙O，⊙O与AB，AE分别相切于点G，H，连接FG，GH．则下列结论错误的是（）A．∠BAE＝2∠DAE B．四边形EFGH是菱形 C．AD＝3CE D．GH⊥AO【分析】由折叠和切线的性质可证∠GAF＝∠HAF＝∠DAE＝30°，得∠BAE＝2∠DAE，故A正确，不符合题意；延长EF交AB于点N，可证四边形EFGH是平行四边形，∠FEC＝60°，又HE＝EF，得四边形EFGH是菱形，故B正确，不符合题意；由等腰三角形的性质AG＝AH，∠GAF＝∠HAF，得GH⊥AO，故D正确，不符合题意；根据30°角的直角三角形的性质可证C错误．【解答】解：由折叠可得∠DAE＝∠FAE，∠D＝∠AFE＝90°，EF＝ED，∵AB和AE都是⊙O的切线，点G，H分别是切点，∴AG＝AH，∠GAF＝∠HAF，∴∠GAF＝∠HAF＝∠DAE＝30°，∴∠BAE＝2∠DAE，故A正确，不符合题意；如图，延长EF交AB于点N，∵OF⊥EF，OF是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线，∴HE＝EF，NF＝NG，∴△ANE是等边三角形，∴FG∥HE，FG＝HE，∠AEF＝60°，∴四边形EFGH是平行四边形，∠FEC＝60°，又∵HE＝EF，∴四边形EFGH是菱形，故B正确，不符合题意；∵AG＝AH，∠GAF＝∠HAF，∴GH⊥AO，故D正确，不符合题意；在Rt△EFC中，∠C＝90°，∠FEC＝60°，∴∠EFC＝30°，∴EF＝2CE，∴DE＝2CE，∵∠AED＝60°，∴AD＝DE，∴AD＝2CE，故C错误，故选：C．【点评】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，圆的切线的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，综合性较强，要求学生有较强的逻辑推理能力，属于考试压轴题．二．填空题（共8小题）11．（2022秋•鼓楼区校级月考）如图，已知⊙O是以数轴上原点O为圆心，半径为2的圆，∠AOB＝30°，点P在正半轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P点对应的数为x，则x的取值范围是0＜x≤4．【分析】当过点P的直线与⊙O相切时，x的值最大，当P′C与⊙O相切于C′点时，如图，连接OC，根据切线的性质得到OC⊥P′C，再根据平行线的性质得到∠OP′C＝30°，接着根据含30度角的直角三角形三边的关系得到OP′＝4，从而得到x的取值范围．【解答】解：当P′C与⊙O相切于C′点时，如图，连接OC，则OC⊥P′C，∵P′C∥OA，∴∠OP′C＝∠AOB＝30°，∴OP′＝2OC＝4，∴x的取值范围为0＜x≤4．故答案为：0＜x≤4．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．12．（2022秋•宿豫区校级月考）如图AB、AC、BD是圆O的切线，切点分别为P、C、D，若AB＝5，BD＝2，则AC的长是3．【分析】根据切线长定理得到AC＝AP，BP＝BD＝2，然后求出AP即可．【解答】解：∵AB、AC、BD是圆O的切线，∴AC＝AP，BP＝BD＝2，∵AP＝AB﹣BP＝5﹣2＝3，∴AC＝3．故答案为3．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理．13．（2017秋•射阳县校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向以0.5个单位/秒的速度平移，使⊙P与y轴相切，则平移的时间为2或10秒．【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可．【解答】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．故答案为2或10【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．14．（2022秋•秦淮区校级月考）如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，AD＝4，AC＝10，BC＝14，则BD长为8．【分析】根据切线长定理可得AF＝AD，CF＝CE，BD＝BE，然后求解即可．【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，∴AF＝AD＝4，CF＝CE，BD＝BE，∵AC＝10，∴CF＝AC﹣AF＝10﹣4＝6，∵BC＝14，∴BE＝BC﹣CE＝14﹣6＝8，∴BD＝BE＝8．故答案为：8．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，主要利用了切线长定理，熟记定理是解题的关键．15．（2022•宿豫区校级开学）已知⊙O的半径r＝2，圆心O到直线l的距离d是方程x2﹣5x+6＝0的解，则直线l与⊙O的位置关系是相切或相离．【分析】先解方程，根据距离d与r的大小关系得出：直线与圆的位置关系．【解答】解：x2﹣5x+6＝0，（x﹣3）（x﹣2）＝0，x＝3或2，当d＝3时，则d＞r，所以直线l与⊙O的位置关系是相离；当d＝2时，则d＝r，所以直线l与⊙O的位置关系是相切；则直线l与⊙O的位置关系是：相切或相离；故答案为：相切或相离．【点评】本题考查了一元二次方程的解法及直线与圆的位置关系，判断直线和圆的位置关系时：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，①直线l和⊙O相交⇔d＜r；②直线l和⊙O相切⇔d＝r；③直线l和⊙O相离⇔d＞r．16．（2022秋•玄武区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是（9，2）．【分析】设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，证明四边形PEOF为正方形，求得CG，再根据垂径定理求得CD，进而得PG、DB，便可得D点坐标．【解答】解：设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，则PE⊥y轴，PF⊥x轴，∵∠EOF＝90°，∴四边形PEOF是矩形，∵PE＝PF，PE∥OF，∴四边形PEOF为正方形，∴OE＝PF＝PE＝OF＝5，∵A（0，8），∴OA＝8，∴AE＝8﹣5＝3，∵四边形OACB为矩形，∴BC＝OA＝8，BC∥OA，AC∥OB，∠EAC＝∠EOB＝90°，∴EG∥AC，∴四边形AEGC为矩形，四边形OEGB为矩形，∴CG＝AE＝3，EG＝OB，∵PE⊥AO，AO∥CB，∴PG⊥CD，∴CD＝2CG＝6，∴DB＝BC﹣CD＝8﹣6＝2，∵PD＝5，DG＝CG＝3，∴PG＝4，∴OB＝EG＝5+4＝9，∴D（9，2）．故答案为：（9，2）．【点评】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，圆的切线的性质，垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握切线的性质及正方形的性质．17．（2022秋•淮阴区月考）如图，PA切⊙O于点A，PC过点O且交⊙O于点B、C，若PA＝6，PB＝4，则⊙O的半径为．【分析】连接OA，⊙O的半径为r，根据勾股定理列方程可解决问题．【解答】解：连接OA，∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，∴∠OAP＝90°，设⊙O的半径为r，则OA＝OB＝r，OP＝r+4，由勾股定理得：r2+62＝（r+4）2，∴r＝，则⊙O的半径为；故答案为：．【点评】本题考查了切线的性质、勾股定理，熟练掌握圆的切线垂直于经过切点的半径．并与方程相结合，这是数学中求线段长常运用的方法．18．（2022秋•江阴市校级月考）如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（﹣3，4），⊙A的半径为2，P为x轴上一动点，PB切⊙A于点B，则PB最小值是2．【分析】此题根据切线的性质以及勾股定理，根据垂线段最短的性质进行分析，把要求PB的最小值转化为求AP的最小值，进而可以解决问题．【解答】解：如图，连接AB，AP．根据切线的性质定理，得AB⊥PB．要使PB最小，只需AP最小，则根据垂线段最短，则AP⊥x轴于P，此时P点的坐标是（﹣3，0），AP＝4，在Rt△ABP中，AP＝4，AB＝2，∴PB＝＝2．则PB最小值是2．故答案为：2．【点评】本题考查了切线的性质和坐标与图形的性质．此题应先将问题进行转化，再根据垂线段最短的性质进行分析．三．解答题（共8小题）19．（2021秋•泰州月考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，且E是AB中点，连接OA．（1）求证：OA＝OB；（2）连接AD，若AD＝，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OE，如图，根据切线的性质得OE⊥AB，则可判断OE垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质得到结论；（2）设⊙O的半径为r，先证明AO平分∠BAC，再证明∠OAC＝∠B＝∠OAB＝30°，所以AC＝OC＝r，利用勾股定理得到（r）2+（2r）2＝（）2，然后解方程即可．【解答】（1）证明：连接OE，如图，∵以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，∴OE⊥AB，∵E是AB中点，∴OE垂直平分AB，∴OA＝OB；（2）解：设⊙O的半径为r，∵OE⊥AB，OC⊥AC，OE＝OC，∴AO平分∠BAC，∴∠OAC＝∠OAB，∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB，∴∠OAC＝∠B＝∠OAB＝30°，在Rt△OAC中，AC＝OC＝r，在Rt△ACD中，（r）2+（2r）2＝（）2，解得r＝1，即⊙O的半径为1．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了角平分线的性质．20．（2022•宿豫区校级开学）如图，AB是⊙O的直径，直线BD、CD分别是过⊙O上点B、C的切线．（1）若BD＝2，则CD＝2；（2）若∠BDC＝130°，求∠A．【分析】（1）根据切线长定理即可得到结论；（2）连接OC，BC．根据切线的性质得到∠OCD＝∠OBD＝90°，根据圆周角定理即可得到结论．【解答】解：（1）∵直线BD、CD分别是过⊙O上点B、C的切线，∴CD＝BD＝2，故答案为：2；（2）连接OC，BC．∵BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，∴OC⊥CD，OB⊥BD，∴∠OCD＝∠OBD＝90°，∵∠BDC＝130°，∴∠BOC＝360°﹣∠OCD﹣∠BDC﹣∠OBD＝50°，∴∠A＝∠BOC＝25°．【点评】此题考查了切线的性质、圆周角定理等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．21．（2022秋•灌南县校级月考）如图，AB为⊙O的直径，BC是圆的切线，切点为B，OC平行于弦AD．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）直线AB与CD交于点F，且DF＝4，AF＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到OB⊥BC，证明△DOC≌△BOC，根据切线的性质得到∠ODC＝∠OBC＝90°，根据切线的判定定理证明结论；（2）设⊙O的半径为r，根据勾股定理列出方程，解方程求出⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OD，∵BC是⊙O的切线，∴OB⊥BC，∵OC∥AD，∴∠BOC＝∠OAD，∠DOC＝∠ODA，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠DOC＝∠BOC，在△DOC和△BOC中，，∴△DOC≌△BOC（SAS），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴OD⊥CD，∵OD是⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r，在Rt△ODF中，OD2+DF2＝OF2，即r2+42＝（r+2）2，解得：r＝3，∴⊙O的半径为3．【点评】本题考查的是切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用，熟记经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．22．（2022秋•崇川区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC．以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．（1）求证：直线PE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为6，∠P＝30°，求CE的长．【分析】（1）连接OD，根据AB＝AC，OB＝OD，得∠ACB＝∠ODB，从而OD∥AC，由DE⊥AC，即可得PE⊥OD，故PE是⊙O的切线；（2）连接AD，连接OD，由DE⊥AC，∠P＝30°，得∠PAE＝60°，又AB＝AC，可得△ABC是等边三角形，即可得BC＝AB＝12，∠C＝60°，而AB是⊙O的直径，得∠ADB＝90°，可得BD＝CD＝BC＝6，在Rt△CDE中，即得CE的长是3．【解答】（1）证明：连接OD，如图：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB，∴∠ACB＝∠ODB，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，即PE⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴PE是⊙O的切线；（2）解：连接AD，连接OD，如图：∵