工程数学课件

初等函数

*1,指数函数希望能够在复平面内定义一个函数f(z)具有实函数中的指数函数ex的三个性质:

i)f(z)在复平面内解析;

ii)f'(z)=f(z)

iii)当Im(z)=0时,f(z)=ex,其中x=Re(z)

前面的例1中已经知道,函数

f(z)=ex(cosy+isiny)

是一个在复平面处处解析的函数,且有

f'(z)=f(z),当y=0时,f(z)=ex.f(z)称为指数函数.

记作expz=ex(cosy+isiny). (2.3.1)

等价于关系式:|expz|=ex,

Arg(expz)=y+2kp (2.3.2)*由(2.3.2)中的第一式可知

expz0.

跟ex一样,expz也服从加法定理:

expz1expz2=exp(z1+z2) (2.3.3)

事实上,设z1=x1+iy1,z2=x2+iy2,按定义有*鉴于expz满足条件iii),且加法定理也成立,为了方便,往往用ez代替expz.但是必须注意,这里的ez没有幂的意义,仅仅作为代替expz的符号使用,因此我们就有

ez=ex(cosy+isiny) (2.3.4)

特别,当x=0时,有

eiy=cosy+isiny (2.3.5)

由加法定理,我们可以推出expz的周期性,它的周期性是2kpi,即

ez+2kpi=eze2kpi=ez

其中k为任何整数.*2.对数函数对数函数定义为指数函数的反函数.将满足方程

ew=z (z0)

的函数w=f(z)称为对数函数.令w=u+iv,z=reiq,则 eu+iv=reiq,

所以 u=lnr,v=q.

因此 w=ln|z|+iArgz

由于Argz为多值函数,所以对数函数w=f(z)为多值函数,并且每两个值相差2pi的整数倍,记作

Lnz=ln|z|+iArgz (2.3.6)* Lnz=ln|z|+iArgz (2.3.6)

如果规定上式中的Argz取主值argz,则Lnz为一单值函数,记作lnz,称为Lnz的主值,因此

lnz=ln|z|+iargz (2.3.7)

而其余各值可由

Lnz=lnz+2kpi (k=1,2,...) (2.3.8)

表达.对于每一个固定的k,(2.3.8)式为一单值函数,称为Lnz的一个分支.

特别,当z=x>0时,Lnz的主值lnz=lnx,就是实变数对数函数.*例1

求Ln2,Ln(-1)以及它们相应的主值.

[解]因为Ln2=ln2+2kpi,所以它的主值就是ln2.而Ln(-1)=ln1+iArg(-1)=(2k+1)pi(k为整数),所以它的主值是ln(-1)=pi.

在实变函数中,负数无对数,此例说明在复数范围内不再成立.而且正实数的对数也是无穷多值的.因此,复变数对数函数是实变数对数函数的拓广.利用幅角的性质不难证明:*对数函数的解析性.就主值lnz而言,其中ln|z|除原点外在其它点都是连续的,而argz在原点与负实轴上都不连续.因为若设z=x+iy,则当z<0时,所以,除去原点与负实轴,在复平面内其它点lnz处处连续.综上所述,z=ew在区域-p<v=argz<p内的反函数w=lnz是单值的,由反函数求导法则可知:*所以,lnz在除去原点及负实轴的平面内解析.由(2.3.8)式就可知道,Lnz的各个分支在除去原点及负实轴的平面内也解析,并且有相同的导数值.

今后我们应用对数函数Lnz时,指的都是它在除去原点及负实轴的平面内的某一单值分支.*3.乘幂ab与幂函数在高等数学中,如果a为正数,b为实数,则乘幂ab可表示为ab=eblna,现在将它推广到复数的情形.设a为不等于0的一个复数,b为任意一个复数,定义乘幂ab为ebLna,即

ab=ebLna (2.3.9)

由于Lna=ln|a|+i(arga+2kp)是多值的,因而ab也是多值的.当b为整数时,由于

ab=ebLna=eb[ln|a|+i(arga+2kp)]

=eb(ln|a|+iarga)+2kbpi=eblna,

所以这时ab具有单一的值.*当b=p/q(p和q为互质的整数,q>0)时,由于ab具有q个值,即当k=0,1,...,(q-1)时相应的各个值.除此而外,一般而论ab具有无穷多个值.****zn在复平面内是单值解析函数,(zn)'=nzn-1.**4.三角函数和双曲函数根据(2.3.5)我们有

eiy=cosy+isiny

e-iy=cosy-isiny

将这两式相加与相减,分别得到现将其推广到自变数取复值的情形,定义*当z为实数时,显然这与(2.3.12)完全一致.由于ez是以2pi为周期的周期函数,因此cosz和sinz以2p为周期,即

cos(z+2p)=cosz, sin(z+2p)=sinz.

也容易推出cosz是偶函数:

cos(-z)=cosz

而sinz是奇函数:

sin(-z)=-sinz

由指数函数的导数公式可以求得

(cosz)'=-sinz,(sinz)'=cosz

由(2.3.13),易知

eiz=cosz+isinz (2.3.14)

普遍正确,即对于复数,欧拉公式仍然成立.*由定义可知三角函数许多公式仍然成立由此得cos(x+iy)=cosxcosiy-sinxsiniy, sin(x+iy)=sinxcosiy+cosxsiniy.但当z为纯虚数iy时,我们有*所以这两个公式对于计算cosz与sinz的值有用.当y

时,|siniy|和|cosiy|都趋于无穷大,因此,|sinz|1和|cosz|1在复数范围内不再成立.其它复变数三角函数的定义如下:*与三角函数密切相关的是双曲函数,定义分别称为双曲余弦,正弦和正切函数.chz和shz都是以2pi为周期的函数,chz为偶函数,shz为奇函数,它们都是复平面内的解析函数,导数分别为: (chz)'=shz, (shz)'=chz (2.3.18)不难证明chiy=cosy,shiy=isiny (2.3.19)*5.反三角函数与反双曲函数反三角函数定义为三角函数的反函数,设

z=cosw,

则称w为z的反余弦函数,记作

w=Arccosz.*用同样的方法可以定义反正弦和反正切函数,并且重复上述步骤,可以得到它们的表达式:*反双曲函数定义为双曲函数的反函数.用与推导反三角函数表达式完全类似的步骤,可以得到各反双曲函数的表达式:*它们都是多值函数.第三章复变函数的积分§1复变函数积分的概念*1.积分的定义设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线.如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),则将C理解为带有方向的曲线,称为有向曲线.设曲线C的两个端点为A与B,如果将A到B的方向作为C的正方向,则从B到A的方向就是C的负方向,并记作C-.常将两个端点中一个作为起点,另一个作为终点,则正方向规定为起点至终点的方向.而简单闭曲线的正方向是指当曲线上的点P顺此方向沿该曲线前进时,邻近P点的曲线内部始终位于P点的左方.*定义设函数w=f(z)定义在区域D内,C为在区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线.把曲线C任意分成n个弧段,设分点为

A=z0,z1,...,zk-1,zk,...,zn=B*Az1z1z2z2z3z3...zk-1zkzkDzkBxyO在每个弧段zk-1,zk(k=1,2,...,n)上任意取一点

k,并作和式*容易看出,当C是x轴上的区间a

x

b,而f(z)=u(x)时,这个积分定义就是一元实函数定积分的定义.*2,积分存在的条件及计算法设光滑曲线C由参数方程

z=z(t)=x(t)+iy(t),a

t

b (3.1.2)

给出,正方向为参数增加的方向,参数a及b对应于起点A及终点B,并且z'(t)0,a<t<b.

如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内处处连续,则u(x,y)及v(x,y)均为D内的连续函数.设zk=xk+ihk,由于

Dzk=zk-zk-1=xk+iyk-(xk-1+iyk-1)

=(xk-xk-1)+i(yk-yk-1)=Dxk+iDyk,

所以,**由于u,v都是连续函数,根据线积分的存在定理,我们知道当n无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,不论对C的分法如何,点(xk,hk)的取法如何,上式右端的两个和式的极限都是存在的.因此有**上式右端可以写成如果C是由C1,C2,...,Cn等光滑曲线首尾连接而成,则我们定义*例1计算,其中C为原点到点3+4i的直线段.

[解]直线的方程可写作

x=3t,y=4t,0

t1,

或 z=3t+i4t,0

t1.

在C上,z=(3+4i)t,dz=(3+4i)dt.于是*例2计算,其中C为以z0为中心,r为半径的正向圆周,n为整数.*z0rqz-z0=reiqzOxy[解]C的方程可写作

z=z0+reiq,0

q2p,dz=ireiqdq*所以这个结果以后经常要用到,它的特点是与积分路线圆周的中心和半径无关.应当记住.*3.积分的性质*

复变函数*1.复变函数的定义定义设G是一个复数z=x+iy的集合,如果有一个确定的法则存在,按照这一法则,对于集合G中的每一个复数z,就有一个或几个复数w=u+iv与之对应,则称复变数w是复变数z的函数(简称复变函数),记作

w=f(z)*如果z的一个值对应着w的一个值,则函数f(z)是单值的;否则就是多值的.集合G称为f(z)的定义集合,对应于G中所有z对应的一切w值所成的集合G*,称为函数值集合.在以后的讨论中,定义集合G常常是一个平面区域,称之为定义域,并且,如无特别声明,所讨论的函数均为单值函数.

由于给定了一个复数z=x+iy就相当于给定了两个实数x和y,而复数w=u+iv亦同样地对应着一对实数u和v,所以复变函数w和自变量z之间的关系w=f(z)相当于两个关系式:

u=u(x,y),v=v(x,y),

它们确定了自变量为x和y的两个二元实变函数.*例如,考察函数

w=z2

令z=x+iy,w=u+iv,则

u+iv=(x+iy)2=x2-y2+2xyi,

因而函数w=z2对应于两个二元函数:

u=x2-y2,v=2xy*2.映射的概念如用z平面上的点表示自变量z的值,而用另一个平面w平面上的点表示函数w的值,则函数w=f(z)在几何上就可以看做是把z平面上的一个点集G(定义集合)变到w平面上的一个点集G*(函数值集合)的映射(或变换).这个映射通常简称为由函数w=f(z)所构成的映射.如果G中的点z被映射w=f(z)映射成G*中的点w,则w称为z的象(映象),而z称为w的原象.*设函数w=z,*xyOuvOABCz1z2A'B'C'w1w2设函数w=z2,*2axyOuvOz1z2w2z3w3aw1假定函数w=f(z)的定义集合为z平面上的集合G,函数值集合为w平面上的集合G*,则G*中的每个点w必将对应着G中的一个(或几个)点.按照函数的定义,在G*上就确定了一个单值(或多值)函数z=j(w),它称为函数w=f(z)的反函数,也称为映射w=f(z)的逆映射.

从反函数的定义可知,对任意的w

G*,有

w=f[j(w)],

当反函数为单值函数时,也有

z=j[f(z)],z

G*今后,我们不再区分函数与映射(变换).如果函数(映射)w=f(z)与它的反函数(逆映射)z=j(w)都是单值的,则称函数(映射)w=f(z)是一一的.此时,我们也称集合G与集合G*是一一对应的.*§6复变函数的极限和连续性*1.函数的极限

定义设函数w=f(z)定义在z0的去心邻域

0<|z-z0|<r内,如果有一确定的数A存在,对于任意给定的e>0,相应地必有一正数d(e)(0<d

),使得当0<|z-z0|<d时有

|f(z)-A|<e,

则称A为f(z)当z趋向于z0时的极限,记作或记作当z

z0时,f(z)A*这个定义的几何意义是:当变点z一旦进入z0的充分小的d邻域时,它的象点f(z)就落A的预先给定的e邻域中.应当注意,z趋向于z0的方式是任意的,无论以何种方式趋向于z0,f(z)都要趋向于同一常数A.*xyOz0dzOuvAef(z)极限示意*xyOuvO定理一设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=u0+iv0,z0=x0+iy0,则*证必要性:*充分性:*定理二*2.函数的连续性

定义则说f(z)在z0处连续.如果f(z)在区域D内处处连续,我们说f(z)在D内连续.定理三函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z0=x0+iy0处连续的充要条件是u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)处连续.*定理四1)在z0连续的两个函数f(z)与g(z)的和,差,积,商(分母在z0不为零)在z0处连续;

2)如果函数h=g(z)在z0处连续,函数w=f(h)在h0=g(z0)连续,则复合函数w=f[g(z)]在z0处连续.

由以上定理,可以推得有理整函数(多项式)

w=P(z)=a0+a1z+a2z2+...+anzn

对复平面内所有的z都是连续的,而有理分式函数其中P(z)和Q(z)都是多项式,在复平面分母不为零的点也是连续的*还应指出,所谓函数f(z)在曲线C上z0点处连续的意义是指在闭曲线或包括曲线端点在内的曲线段上连续的函数f(z)在曲线上是有界的.即存在一正数M,在曲线上恒有

|f(z)|

M*第二章解析函数*§1解析函数的概念*1.复变函数的导数与微分

i)导数的定义

定义设函数w=f(z)定义于区域D,z0为D中一点,点z0+Dz不出D的范围.如果极限存在,则就说f(z)在z0可导,此极限值就称为f(z)在z0的导数,记作*也就是说,对于任给的e>0,存在d(e)>0,使得当0<|Dz|<d时,有应当注意,定义中z0+Dz

z0(即Dz0)的方式是任意的,定义中极限值存在的要求与z0+Dz

z0的方式无关,也就是说,当z0+Dz在区域D内以任何方式趋于z0时,比值*如果f(z)在区域D内处处可导,就说f(z)在Ｄ内可导.

例1

求f(z)=z2的导数

[解]因为所以 f'(z)=2z.*2.函数的连续性

定义则说f(z)在z0处连续.如果f(z)在区域D内处处连续,我们说f(z)在D内连续.定理三函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z0=x0+iy0处连续的充要条件是u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)处连续.*ii)可导与连续容易证明,在z0点可导的函数必定在z0点连续.

事实上,由在z0点可导的定义,对于任给的e>0,相应地有一个d>0,使得当0<|Dz|<d时,有由此得f(z0+Dz)-f(z0)=f'(z0)Dz+r(Dz)Dz(2.1.2)*iii)求导法则与实函数同样的办法可得:

1)(c)'=0,其中c为复常数.

2)(zn)'=nzn-1,其中n为正整数.

3)[f(z)

g(z)]'=f'(z)g'(z).

4)[f(z)g(z)]'=f'(z)g(z)+f(z)g'(z).6){f[g(z)]}'=f'(w)g'(z),其中w=g(z).*iv)微分的概念设函数w=f(z)在z0可导,则有

Dw=f(z0+Dz)-f(z0)=f'(z0)Dz+r(Dz)Dz,因此,|r(Dz)Dz|是|Dz|的高阶无穷小量,而f'(z0)Dz是函数w=f(z)的改变量Dw的线性部分,称为函数w=f(z)在点z0的微分,记作

dw=f'(z0)Dz (2.1.3)如果函数在z0的微分存在,则称函数f(z)在z0可微.* dw=f'(z0)Dz (2.1.3)

特别,当f(z)=z时,由(2.1.3)得dz=Dz.于是(2.1.3)变为

dw=f'(z)dz,

即由此可见,函数w=f(z)在z0可导与在z0可微是等价的.如果f(z)在区域D内处处可微,则称f(z)在D内可微.*2.解析函数的概念定义如果函数f(z)在z0及z0的邻域内处处可导,则称f(z)在z0解析,如果f(z)在区域D内每一点解析,则称f(z)在D内解析,或称f(z)是D内的一个解析函数(全纯函数或正则函数)如果f(z)在z0不解析,则称z0为f(z)的奇点.由定义可知,函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.但是,函数在一点处解析和在一点处可导不等价.即,函数在一点处可导,不一定在该点处解析.*根据求导法则可知定理

1)在区域D内解析的两个函数f(z)与g(z)的和,差,积,商(除去分母为零的点)在D内解析.2)设函数h=g(z)在z平面上的区域D内解析,函数w=f(h)在h平面上的区域G内解析.如果对D内的每一个点z,函数g(z)的对应值h都属于G,则复合函数w=f[g(z)]在D内解析.所有多项式在复平面内是处处解析的,任何一个有理分式函数P(z)/Q(z)在不含分母为零的点的区域内是解析函数,使分母为零的点是它的奇点.*§2函数解析的充要条件*在工程中,往往是要用复变函数来解决实际问题.而实际问题中遇到的复变函数,通常都是某个实变函数延拓而来的.即,如果原来有一个实变函数f(x),自变量是实数,函数值也是实数,则将x用一个复数代替,就产生了一个自变量和函数值都是复数的复变函数.

事实上我们只关心这样的复变函数.比如说

实变函数f(x)=x2-x+1,则相应的延拓的复变函数就是f(z)=z2-z+1.

经常就是实变函数中的基本初等函数及组合构成的初等函数延拓到复变函数.*假设f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数,我们也可以将它看作是变量x,y的二元函数,则对x求偏导和对y求偏导,得两个公式*定理一设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D内,而f(z)在D内一点z=x+iy可导的充分必要条件是:u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微,并且在该点满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程

*定理二函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定义域D内解析的充要条件是u(x,y)与v(x,y)在D内可微,并满足柯西-黎曼方程(2.2.1).例1判断下列函数在何处可导,在何处解析:[解]1)因为u=x,v=-y,*可知柯西-黎曼方程不满足,所以w=z在复平面内处处不可导,处处不解析2)因为u=excosy,v=exsiny,柯西-黎曼方程成立,由于上面四个偏导数都是连续的,所以f(z)在复平面内处处可导,处处解析,且根据(2.2.2)式有

f'(z)=ex(cosy+isiny)=f(z)今后将知道这个函数就是指数函数ez.*3)由w=zRe(z)=x2+ixy,得u=x2,v=xy,所以容易看出,这四个偏导数处处连续,但仅当x=y=0时,它们才满足柯西-黎曼方程,因而函数仅在z=0可导,但在复平面内任何地方都不解析.*例2设函数f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2).问常数a,b,c,d取何值时,f(z)在复平面内处处解析?

[解]由于ux=2x+ay,uy=ax+2by,

vx=2cx+dy,vy=dx+2y

从而要使ux=vy,uy=-vx,

只需2x+ay=dx+2y,2cx+dy=-ax-2by.

因此,当a=2,b=-1,c=-1,d=2时,此函数在复平面内处处解析,这时

f(z)=x2+2xy-y2+i(-x2+2xy+y2)

=(1-i)(x+iy)2=(1-i)z2*例3如果f'(z)在区域D处处为零,则f(z)在D内为一常数.

[证]因为所以u=常数,v=常数,因而f(z)在D内是常数.*例4如果f(z)=u+iv为一解析函数,且f'(z)0,则曲线族u(x,y)=c1和v(x,y)=c2必互相正交,其中c1,c2为常数.

[证]由于f'(x)=-iuy+vy0,故uy与vy不全为零.

如果在曲线的交点处uy与vy都不为零,由隐函数求导法则知曲线族中任一条曲线的斜率分别为 k1=-ux/uy和k2=-vx/vy,

利用柯西-黎曼方程得

k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)=(-vy/uy)(uy/vy)=-1

因此,二曲线族互相正交.如果uy与vy其中有一个为零,则另一个必不为零,此时易知交点的切线一条是垂直,一条是水平,仍然正交.*傅氏变换

1.傅氏变换的概念我们知道,若函数f(t)满足傅氏积分定理的条件,则在f(t)的连续点处,有(1.8)式叫做f(t)的傅氏变换式,(1.9)式为F(w)的傅式逆变换式,f(t)与F(w)可相互转换,可记为

F(w)=F[f(t)]和f(t)=F-1[F(w)]还可以将f(t)放在左端,F(w)放在右端,中间用双向箭头连接:

f(t)

F(w)

(1.8)式右端的积分运算,叫做f(t)的傅氏变换,同样,(1.9)式右端的积分运算,叫做F(w)的傅氏逆变换.

F(w)称作f(t)的象函数,

f(t)称作F(w)的象原函数.

可以说象函数F(w)和象原函数f(t)构成了一个傅氏变换对.tf(t)根据(1.8)式,有这就是指数衰减函数的傅氏变换.根据(1.9)式,有因此有如果令b=1/2,就有可见钟形函数的傅氏变换也是钟形函数求钟形脉冲函数的积分表达式,根据(1.9)式2.单位脉冲函数及其傅氏变换在物理和工程技术中,常常会碰到单位脉冲函数.因为有许多物理现象具有脉冲性质,如在电学中,要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流;在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等.研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数.在原来电流为零的电路中,某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲,现在要确定电路上的电流i(t).以q(t)表示上述电路中的电荷函数,则由于电流强度是电荷函数对时间的变化率,即所以,当t0时,i(t)=0,由于q(t)是不连续的,从而在普通导数意义下,q(t)在这一点是不能求导数的.如果我们形式地计算这个导数,则得这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度.为了确定这样的电流强度,引进一称为狄拉克(Dirac)的函数,简单记成d-函数.有了这种函数,对于许多集中于一点或一瞬时的量,例如点电荷,点热源,集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等,就能够象处理连续分布的量那样,以统一的方式加以解决.对于在(-,)上定义的所有可积函数的集合,也可以构成一线性空间,进一步地在上面定义内积,就可以构成一欧氏空间,两个函数f(t)和g(t)的内积可以定义为:对于给定的f(t),我们希望找到一个函数和它的内积能够正好等于f(0).如果f(t)在0处连续,我们可以用一非常小的正数e>0,计算f(t)在区间[0,e]上的平均值,则这个平均值近似等于f(0):而实际上这相当于f(t)和一称作de(t)的函数内积:tde(t)1/eeO称de(t)的弱极限为d-函数,记为d(t)de(t)1/eeO如f(t)在0点连续,则在0附近的非常小的一个领域可以看作是常数c=f(0).因此,任给一个在(-,)上积分值为1的函数g(t)图例:OtOt工程上将d-函数称为单位脉冲函数,可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示,这个线段的长度表示d-函数的积分值,称为d-函数的强度.tOd(t)1d-函数有性质d-函数的傅氏变换为:tOd(t)1wOF(w)1

可见,单位脉冲函数d(t)与常数1构成了一傅氏变换对.同理,d(t-t0)和亦构成了一个傅氏变换对.在物理学和工程技术中,有许多重要函数不满足傅氏积分定理中的绝对可积条件,即不满足条件例如常数,符号函数,单位阶跃函数以及正,余弦函数等,然而它们的广义傅氏变换也是存在的,利用单位脉冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅氏变换.所谓广义是相对于古典意义而言的,在广义意义下,同样可以说,象函数F(w)和象原函数f(t)亦构成一个傅氏变换对.pwO|F(w)|Otu(t)若F(w)=2pd(w)时,由傅氏逆变换可得所以1和2pd(w)也构成傅氏变换对.同理,如F(w)=2pd(w-w0)由上面两个函数的变换可得例4求正弦函数f(t)=sinw0t的傅氏变换如图所示:tsintpp-w0w0Ow|F(w)|

在频谱分析中,傅氏变换F(w)又称为f(t)的频谱函数,而它的模|F(w)|称为f(t)的振幅频谱(亦简称为频谱).由于w是连续变化的,我们称之为连续频谱,对一个时间函数作傅氏变换,就是求这个时间函数的频谱.例5作如图所示的单个矩形脉冲的频谱图f(t)单个矩形脉冲的频谱函数为:tE-t/2t/2矩形脉冲的频谱图为wEt|F(w)|O振幅函数|F(w)|是角频率w的偶函数,即我们定义为f(t)的相角频谱.显然,相角频谱j(w)是w的奇函数,即j(w)=-j(-w).傅氏变换的性质*这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质,为了叙述方便起见,假定在这些性质中,凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件,在证明这些性质时,不再重述这些条件.*线性性质设F1(w)=F[f1(t)],

F2(w)=F[f2(t)],a,b是常数,则

F[af1(t)+bf2(t)]=aF1(w)+bF2(w)(1.13)

这个性质的作用是很显然的,它表明了函数线性组合的傅氏变换等于各函数傅氏变换的线性组合.它的证明只需根据定义就可推出.

同样,傅氏逆变换亦具有类似的线性性质,即

F

-1[aF1(w)+bF2(w)]=af1(t)+bf2(t)(1.14)*2.位移性质证由傅氏变换的定义,可知*微分性质如果f(t)在(-,+)上连续或只有有限个可去间断点,且当|t|+时,f(t)0,则

F[f'(t)]=jwF[f(t)]. (1.17)

证由傅氏变换的定义,并利用分部积分可得推论

F[f(n)(t)]=(jw)nF[f(t)]. (1.18)*同样,我们还能得到象函数的导数公式,设

F[f(t)]=F(w),则*本书中的积分的记号有不严格的写法,即*4.积分性质*例2求微分积分方程的解,其中<t<+,a,b,c均为常数.根据傅氏变换的微分性质和积分性质,且记F[x(t)]=X(w),F[h(t)]=H(w).在方程两边取傅氏变换,可得

*运用傅氏变换的线性性质,微分性质以及积分性质,可以把线性常系数微分方程转化为代数方程,通过解代数方程与求傅氏逆变换,就可以得到此微分方程的解.另外,傅氏变换还是求解数学物理方程的方法之一.*此外还有*性质小结:若F[f(t)]=F(w),F[g(t)]=G(w)*乘积定理若F(w)=F[f(t)],G(w)=F[g(t)],则*能量积分若F(w)=F[f(t)],则有这一等式又称为帕塞瓦尔(Parserval)等式证在(1.20)式中,令f(t)=g(t),则**实际上,只要记住下面四个傅里叶变换,则所有的傅里叶变换都无须从公式直接推导而从傅里叶变换的性质就可导出.*注意第一类间断点处的求导数,首先有*d(t)u(t)ttOO假设函数f(t)在t0处有一个上升了a的第一类间断点,则f(t)可以分为在此处连续的一个函数f1(t)加上au(t-t0)*aa=+tt0t0t0ttf(t)f1(t)au(t-t0)例求方波的傅氏变换*t/2-t/2Etf(t)t/2-t/2Etf'(t)-E推导过程为*习题二14题求如图所示的频谱函数*t/2-t/2AOtf(t)t/2-t/2aOtf'(t)t/2-t/2aOtf''(t)a-2a-a因此有*习题二,2.(1)*tOf(t)1-1tOf'(t)1-12-2f(t)的二阶导和三阶导如下图:*tOf''(t)1-12-2tOf'''(t)1-12-2因此有*习题二2.(2)***习题二2.(3)*-1-111f(t)tO-121f'(t)tO-1-1因此*习题二3.(1)f(t)=e-b|t|(b>0)

令g(t)=u(t)e-bt,则f(t)=g(t)+g(-t)*tg(t)tg(-t)tf(t)OOO因此有*习题二3.(2)f(t)=e-|t|cost**习题二3.(3)**习题二4题*习题二5.F(w)=p[d(w+w0)+d(w-w0)]*习题二6f(t)=sgnt*1-1tf(t)2tf'(t)OO习题二7.*习题二8.f(t)=costsint*习题二9.f(t)=sin3t*习题二13.周期为T的函数f(t)可表示为*

共形映射*§1共形映射的概念*z平面内的任一条有向曲线C可用

z=z(t),a

t

b

表示,它的正向取为t增大时点z移动的方向,z(t)为一条连续函数.

如果z'(t0)0,a<t0<b,则表示z'(t)的向量(把起点放取在z0.以下不一一说明)与C相切于点z0=z(t0).*z(t0)z(a)z(b)z'(t0)事实上,如果通过C上两点P0与P的割线P0P的正向对应于t增大的方向,则这个方向与表示的方向相同.*Oxyz(t0)P0Pz(t0+Dt)C(z)当点P沿C无限趋向于点P0,割线P0P的极限位置就是C上P0处的切线.因此,表示的向量与C相切于点z0=z(t0),且方向与C的正向一致.如果我们规定这个向量的方向作为C上点z0处的切线的正向,则我们有Argz'(t0)就是z0处C的切线正向与x轴正向间的夹角;相交于一点的两条曲线C1与C2正向之间的夹角就是它们交点处切线正向间夹角*1.解析函数的导数的几何意义设函数w=f(z)在区域D内解析,z0为D内的一点,且f'(z0)0.又设C为z平面内通过点z0的一条有向光滑曲线,它的参数方程是:

z=z(t),a

t

b,

它的正向相应于参数t增大的方向,且z0=z(t0),z'(t0)0,a<t0<b.则映射w=f(z)将C映射成w平面内通过点z0的对应点w0=f(z0)的一条有向光滑曲线G,它的参数方程是

w=f[z(t)],a

t

b

正向相应于参数t增大的方向.*根据复合函数求导法,有

w'(t0)=f'(z0)z'(t0)

0

因此,在G上点w0处也有切线存在,且切线正向与u轴正向的夹角是

Argw'(t0)=Argf'(z0)+Argz'(t0)*OxyOuvz0P0rzPDsC(z)(w)Gw0Q0QwrDs即

Argw'(t0)-Argz'(t0)=Argf'(z0)(6.1.1)

如果假定x轴与u轴,y轴与v轴的正向相同,而且将原来的切线的正向与映射过后的切线的正向之间的夹角理解为曲线C经过w=f(z)映射后在z0处的转动角,则(6.1.1)式表明:

1)导数f'(z0)0的辐角Argf'(z0)是曲线C经过w=f(z)映射后在z0处的转动角;

2)转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向无关.所以这种映射具有转动角的不变性.*通过z0点的可能的曲线有无限多条,其中的每一条都具有这样的性质,即映射到w平面的曲线在w0点都转动了一个角度Argf'(z0).*OxyOuv(z)(w)z0w0相交于点z0的任何两条曲线C1与C2之间的夹角,在其大小和方向上都等同于经w=f(z)映射后C1与C2对应的曲线G1与G2之间的夹角,所以这种映射具有保持两曲线间夹角与方向不变的性质.这种性质称为保角性*OxyOuv(z)(w)z0w0aaC1C2G1G2此极限值称为曲线C在z0的伸缩率.*OxyOuvz0P0rzPDsC(z)(w)Gw0Q0QwrDs(6.1.3)表明:

|f'(z)|是经过映射w=f(z)后通过点z0的任何曲线C在z0的伸缩率,它与曲线C的形状及方向无关.所以这种映射又具有伸缩率的不变性.*定理一设函数w=f(z)在区域D内解析,z0为D内的一点,且f'(z0)0,则映射w=f(z)在z0具有两个性质:

1)保角性.即通过z0的两条曲线间的夹角跟经过映射后所得两曲线间的夹角在大小和方向上保持不变

2)伸缩率的不变性.即通过z0的任何一条曲线的伸缩率均为|f'(z0)|而与其形状和方向无关.*2.共形映射的概念

定义设函数w=f(z)在z0的邻域内是一一的,在z0具有保角性和伸缩率不变性,则称映射w=f(z)在z0是共形的,或称w=f(z)在z0是共形映射.如果映射w=f(z)在D内的每一点都是共形的,就称w=f(z)是区域D内的共形映射.*定理二如果函数w=f(z)在z0解析,且f'(z0)0,则映射w=f(z)在z0是共形的,而且Argf'(z0)表示这个映射在z0的转动角,|f'(z0)|表示伸缩率.

如果解析函数w=f(z)在D内处处有f'(z)0,则映射w=f(z)是D内的共形映射.*定理一的几何意义.在D内作以z0为其一个顶点的小三角形,在映射下,得到一个以w0为其一个顶点的小曲边三角形,这两个三角形对应边长之比近似为|f'(z0)|,有一个角相等,则这两个三角形近似相似.*OxyOuv(z)(w)z0w0aaC1C2G1G2*OxyOuv(z)(w)z0w0aaC1C2G1G2§2分式线性映射*分式线性映射*两个分式线性映射的复合,仍是一个分式线性映射.例如*也可将一般的分式线性映射分解为一些简单映射的复合,*由此可见,一个一般形式的分式线性映射是由下列三种特殊映射复合而成:下面讨论三种映射,为了方便,暂且将w平面看成是与z平面重合的.*i)w=z+b.这是一个平移映射.因为复数相加可以化为向量相加,z沿向量b的方向平移一段距离|b|后,就得到w.*O(z)

(w)zwbii)w=az,a0.这是一个旋转与伸长(或缩短)的映射.设a=leia将z先转一个角度a,再将|z|伸长(或缩短)l倍后,就得到w.*O(z)=(w)zwa圆周的对称点OP

OP'=r2,因为DOP'T相似于DOPT.因此,OP':OT=OT:OP,即OP

OP'=OT2=r2.*CPP'rTOP与P'关于圆周C互为对称点*zw1w1.保角性*而i)与ii)构成的复合映射w=az+b经过类似的处理后也可以看作是在整个扩充复平面上共形的,而分式线性映射是上述三种映射复合而构成的,因此有

定理一分式线性映射在扩充复平面上是一一对应的,且具有保角性.*2.保圆性

映射w=az+b和w=1/z都具有将圆周映射成圆周的特性,这里将直线看作是无穷大半径的圆,这种性质称作保圆性.映射w=az+b显然,

下面说明w=1/z具有保圆性.*因此,映射w=1/z将方程

a(x2+y2)+bx+cy+d=0

变为方程

d(u2+v2)+bu-cv+a=0

当然,可能是将圆周映射为圆周(当a0,d0);圆周映射成直线(当a0,d=0);直线映射成圆周(当a=0,d0)以及直线映射成直线(当a=0,d=0).这就是说,映射w=1/z把圆周映射成圆周.或者说,映射w=1/z具有保圆性.*定理二分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射成扩充w平面上的圆周,即具有保圆性.

根据保圆性,在分式线性映射下,如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点,则它就映射成半径为有限的圆周;如果有一个点映射成无穷远点,它就映射成直线.*z1,z2是关于圆周C的一对对称点的充要条件是经过z1,z2的任何圆周G都与C正交.*CRz0z1z2z'G定理三设点z1,z2是关于圆周C的一对对称点,则在分式线性映射下,它们的象点w1与w2也是关于C的象曲线G的一对对称点.

[证]设经过w1与w2的任一圆周G'是经过z1与z2的圆周G由分式线性映射过来的.由于G与C正交,而分式线性映射具有保角性,所以G'与C'(C的象)也必正交,因此,w1与w2是一对关于C'的对称点.*§3唯一决定分式线性映射的条件*分式线性映射中含有四个常数a,b,c,d.但是,如果用这四个数中的一个去除分子和分母,就可将分式中的四个常数化为三个常数.所以,上式中实际上只有三个独立的常数.因此,只需给定三个条件,就能决定一个分式线性映射.定理在z平面上任意给定三个相异的点z1,z2,z3,在w平面上也任意给定三个相异的点w1,w2,w3,则存在唯一的分式线性映射,将zk(k=1,2,3)依次映射成wk(k=1,2,3).**由此得这就是所求的分式线性映射.如果有另外一个分式线性映射,也把z平面上三个相异点z1,z2,z3依次映射成w平面上的三个相异点w1,w2,w3,则重复上面的步骤,消去常数后,最后得到的仍然是(6.3.1)式.所以(6.3.1)式是由三对相异的对应点唯一确定的分式线性映射.*现在研究,在给定两个圆周C与C',在圆周上分别取定三个点,必能找到一个分式线性映射将C映射成C'.但是这个映射会将C内部映射成什么呢?.

如果在C内任取一点z0,而点z0的象在C'的内部,则C的内部就映射成C'的内部;如果z0的象在C'的外部,则C的内部就映射成C'的外部.

或者在C上取定三点z1,z2,z3,它们在C'的象分别为w1,w2,w3.如果C依z1

z2

z3的绕向与C'依w1

w2

w3的绕向相同,则C的内部就映射成C'的内部,否则映射成C'的外部**z1z2zz3w1w2w3w1w2w3ww现讨论在z平面内两个圆包围的区域的映射情况.根据前面的讨论可知:

(I)当二圆周上没有点映射成无穷远点时,这二圆周的弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区域;

(II)当二圆周上有一个点映射成无穷远点时,这二圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所围成的区域;

(III)当二圆周交点中的一个映射成无穷远点时,这二圆周的弧所围成的区域映射成角形区域.**x1-ii-1C1C2y(z)O[解]所设的两个圆弧的交点为-i与i,且相互正交.交点-i映射成无穷远点,i映射成原点.因此所给的区域经映射后映射成以原点为顶点的角形区域,张角等于p/2.此点在第三象限的分角线C1'上.由保角性知C2映射为第二象限的分角线C2.*映射的角形区如图所示*x1-ii-1C1C2y(z)OC2'C1'Ouv(w)例2求将上半平面Im(z)>0映射成单位圆|w|<1的分式线性映射.*O1-1xylO1-1uiv(z)(w)[解法一]将上半平面看成半径为无穷大的圆域,实轴就是圆域的边界圆周.因为分式线性映射具有保圆性,因此它必能将上半平面Im(z)>0映射成单位圆|w|<1.由于上半平面总有一点z=l要映成单位圆周|w|=1的圆心w=0,*从而所求的分式线性映射具有下列形式:其中k为常数.*反之,形如上式的分式线性映射必将上半平面Im(z)>0映射成单位圆|w|<1.因为当z取实数时即把实轴映射成|w|=1.又因为上半平面中的z=l映射成w=0,所以(6.3.2)必将Im(z)>0映射成|w|<1.*也可以在x轴上与在单位圆周|w|=1上取三对不同的对应点来求:

[解法二]在x轴上任意取定三点:z1=-1,z2=0,z3=1使它们对应于|w|=1上三点:w1=1,w2=i,w3=-1,则因z1

z2

z3跟w1

w2

w3的绕向相同,由(6.3.1)式得所求的分式线性映射为化简后即得*注意:如果选取其他三对不同点,势必也能得出满足要求的,但不同于(6.3.3)的分式线性映射.此可见,把上半平面映射成单位圆的分式线性映射不是唯一的,而是有无穷多.这从(6.3.2)中的q可以任意取实数值即可明白.(6.3.3)就是取l=i,q=-p/2而得到的.如果以l=i,q=0代入(6.3.2),则这也是一个把上半平面Im(z)>0映射成单位圆|w|<1,且将点z=i映射成圆心w=0的映射.*例3求将上半平面Im(z)>0映射成单位圆|w|<1且满足w(2i)=0,argw'(2i)=0的分式线性映射.

[解]由条件w(2i)=0知,所求的映射要将上半平面中的点z=2i映射成单位圆周的圆心w=0.所以由(6.3.2)得因为*故有从而得所求的映射为*例4求将单位圆|z|<1映射成单位圆|w|<1的分式线性映射.*x1y(z)OOuv(w)1a[解]设z平面上单位圆|z|<1内部的一点a映射成w平面上的单位圆|w|<1的中心w=0.这时与*由于z平面上单位圆周上的点要映成w平面上单位圆周上的点,所以当|z|=1,|w|=1.将圆周|z|=1代入上式,得所以 |k'|=1,即k'=eij.这里j是任意实数.*因此,将单位圆|z|<1映射成单位圆|w|<1的分式线性映射的一般表示式是反之,形如上式的映射必将单位圆|z|<1映射成单位圆|w|<1.这是因为圆周|z|=1上的点z=eiq(q为实数)映射成圆周|w|=1上的点:*同时单位圆|z|<1内有一点z=a映射成w=0.所以(6.3.5)必将单位圆|z|<1映射成单位圆|w|<1.例5求将单位圆映射成单位圆且满足条件w(1/2)=0,w'(1/2)>0的分式线性映射.

[解]由条件w(1/2)=0知,所求的映射要将z=1/2映射成|w|<1的中心.所以由(6.3.5)得**例6求将Im(z)>0映射成|w-2i|<2且满足条件w(2i)=2i,argw'(2i)=-p/2的分式线性映射.

[解]容易看出,映射z=(w-2i)/2将|w-2i|<2映射成|z|<1,且满足z(2i)=0的映射易知为***2i(z)O(z)2i(w)w=2(i+z)§4几个初等函数所构成的映射*1.幂函数w=zn(n2为自然数)在z平面内处处可导,它的导数是因而当z0时,*所以,在z平面内除去原点外,由w=zn所构成的映射处处共形.映射的特点是:把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域,但张角变成了原来的n倍*O(z)q0O(w)nq0w=zn(z)(w)OO上岸下岸w=zn例1求把角形域0<argz<p/4映射成单位圆|w|<1的一个映射.

[解]z=z4将所给角形域0<argz<p/4映射成上半平面Im(z)>0.又从上节的例2知,映射**(z)OO(z)1(w)z=

z4例2求把下图中由圆弧C2与C3所围成的交角为a的月牙域映射成角形域j0<argw<j0+a的一个映射.*aj0(w)O1C1C2a(z)O-ii*aO(z)aj0(w)O1C1C2a(z)O-ii1[解]先求出把C1,C2的交点i与-i分别映射成z平面中的z=0与z=,并使月牙域映射成角形域0<argz<p;再把这角形域通过映射w=exp(ij0)z转过一角度j0,即得把所给月牙域映射成所给角形域的映射.

将所给月牙域映射成z平面中的角形域的映射是具有以下形式的分式线性函数:*其中k为待定的复常数.*例3求把具有割痕Re(z)=a,0Im(z)h的上半平面映射成上半平面的一个映射.*xOy(z)C(a+ih)BDaOuv(w)a-haa+hBCD*xOy(z)C(a+ih)BDaOuv(w)a-haa+hBCDO(z1)CBDih-h2COBD(z2)COBh2D(z3)O(z4)CBD-h+hz1=z-az2=z12z3=z2