安徽省2021届高三第三次模拟检测（一）数学（理）试题及答案

2021届高三第三次模拟检测卷

理科数学（一）

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证

号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案

标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题

卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知Vxe[0,2],P>x.3XG[0,2],q>x.那么PM的取值范围分别为（）

A./7G（0,+OO）,qc（0,+oo）B./?G（0,+OO）,qe（2,+oo）

C.pe（2,+oo）,^G（0,+OO）D.pe（2,+oo）,4G（2,+oo）

【答案】C

【解析】由Dxw[0,2],P>x,得〃>七丽=2,即pw（2,+oo）；

由mxe[0,2],q>x,得。>/2=0，即qe（0,+oo）,

故选C.

2.已知全集。=11,集合M={=W<1},N={y[y=2*”R},则集合。（/UN）=

（）

A.[2,+«））B.（-1,2）

C.1]U[2,+（x>）D.（-co,—l]

【答案】D

【解析】由得—所以加=（一1,1）,

由y=2*>0,得N=(0,+o5),

所以MUN=(-1,+CO),所以2(MUN)=(-OO,-1],故选D.

6+丫

3.复数z满足z+G，贝I」|z|=()

1-伍

A.5B.26C.石D.2

【答案】D

6+i(b+i)(l+6i)6+4i+©2=.

.1一/—(1—6)jl+司—4

故选D.

4.若!<[<(),则下列不等式成立的是()

ab

A.a-b>abB.a—b<abC.b-a>abD.b-a<ab

【答案】D

【解析】取。=，b=-\,则。一。排除A,B；

22

因为,＜』＜0,则a＜0,。＜0,从而，出＞0,

ab

又工一工＞0,即包心＞0,则a—人＞0,所以〃一。＜0＜“匕，

baab

故选D.

,、，、A”5〃+34

5.已知两个等差数列｛a.｝和也｝的前〃项和分别为A“和纥，且才="7U，则;■的值

为（）

7

A.2B.-C.4D.5

2

【答案】C

,、，、A,5〃+3

【解析】•••两个等差数列｛为｝和也｝的前〃项和分别为A“和B“，且才=了［彳,

，工幺=g=1^="山=4,故选C.

“52bs4+^2色+仇）fi99+3

6.函数/0）=（1—3x）.。二j的图象大致是（）

【解析】由题知/（©=卜3-34三1的定义域为（7>,小）,

因为/(—x)—(―x3+3x)—=一(X，-3x)•=(X，—/(x)'

ex+\

所以/（x）是偶函数，函数图象关于y轴对称，排除选项B；

又/(2)=2x—i〉0,故排除选项c,

e'+\

e-144

/(l)=-2x——=—2+——>-2+-=-1,故排除选项D,

e+1e+l4

故选A.

7.已知p,。分别是正方体ABC。—A4G2的棱8月，CC1上的动点（不与顶点重合）,

则下列结论正确的是()

A.平面APQ与平面ABC。所成的角的大小为定值

B.AQ1BD.

C.四面体A8PQ的体积为定值

D.AP〃平面OCCQi

【答案】D

【解析】对于A：假设PQ//BC,则可得PD，AD,

又ABLA。，则此时二面角为NR48，则445为非定值，故A错;

对于B：如图建立空间直角坐标系，

取AB=2,则B(2,2,0),D,(0,0,2),4(2,0,0),Q(0,2,z),

则西=(-2,—2,—2),而=(-2,2,z),所以福.西=2ZH0,

则不成立，故B错；

对于C：VS〃)-t\Dr=—3S4cP\ArfB\D'BC=—31—2ABtPB-BC,

而如为非定值，则%."/＞为非定值，故C错；

对于D：因为平面平面。CG2,而APuAABg,

根据面面平行的定义可知AP〃平面。CGS，故D正确，

故选D.

37

8.己知函数/(©=<,，则函数f(x)的单调递增区间为()

c•/I兀、「兀r'

2sin(—xH—),xGI—，兀]

263

八兀八2兀

A.0,—B.0,--

_6J[_3_

八5兀〕「八兀

C.0,—D.0,一

_6J|_3_

【答案】B

【解析】由正切函数的图象，知丁=1@11%在区间0,三)上为增函数.

7117r7T47r27r

又由2%兀一！++2，得4E—警+',

226233

（17114兀2兀

函数y=2sin|qx+z|在区间4H---,4kn+—（左wZ）上为增函数,

126/33

(1711712兀

，函数y=2sin大光+;在区间上为增函数,

<26；|_33」

7T(\7T7C।27r

又tan§=2sin[5x§+wJ,.•.函数y=/(x)的递增区间为0,—,

故选B.

9.某养老院一楼有六个房间，现有6位男住户和4位女住户，要求安排其中2位女住户入

住中间四个房间中的两个，安排其中4位男住户入住剩下的4个房间，则不同的安排方式有

()

A.25920种B.26890种C.27650种D.28640种

【答案】A

【解析】从4位女住户中安排其中2位入住中间四个房间中的两个有C；A；种入住方式;

从6位男住户中安排其中4位入住剩下的4个房间有A：种入住方式,

一共有C：A；A：=25920种安排方式.

10.为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了

著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线d时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线

为折线QKL时，表示收入完全不平等.记区域A为不平等区域，。表示其面积，S为△OKL

的面积，将61亩=且称为基尼系数.

S

累

计

收

入

1-1

分

比

累计人口百分比(％)

对于下列说法：

①Gini越小，则国民分配越公平；

②设劳伦茨曲线对应的函数为y=/(x),则对Vxe(O/)，均有△»〉]；

X

③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y=x2(xe[0,1]),则Gini=-；

4

.1

④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y=x3(xe[0,l]),则Gini=-.

其中正确的是()

A.①④B.②③C.①③④D.①②④

【答案】A

【解析】对于①，根据基尼系数公式Gini=],可得基尼系数越小，不平等区域的面积。越

小，国民分配越公平，所以①正确；

对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得Vxe(0,l),均有/(x)<x,可

得3<1,所以②错误；

X

1

1/]

20=\，所以Gini=]=¥=；,所以③错

对于③，因为atJCx-d'dv：—x'

0I，3)

2

误;

1

对于④，因为

anJCX-xbdxnlj24；=；,所以Gini=]=：=；,所以④正

-X:--%

o124

2

确,

故选A.

11.已知向量。,b满足|a+q=3,ab=O,若c=%+(1-/1)伏4eR),且c-。=cl,

则时的最大值为()

cc13

A.3B.2C.—D.-

22

【答案】D

【解析】如图：令°=丽7，b=MB=AN＞则"+6=两+旃=通，故|而|=3.

因为a/=0,所以画7J_砺,

记A8的中点为。，所以点M在以A8为直径的圆。上.

设c=AC,连接MN,

因为c=2a+(l—几地，所以点C在直线MN上.

因为c-a=cl,所以c-(a—b)=O,即而7=0，所以丽.

结合图形可知，当而丽时，|•心|即卜|取得最大值，且同川=1而1="|，

故选D.

27

xy"

12.己知椭圆/十万=l（a>/?>0）的右焦点和上顶点分别为点F（c,0）（/?>c）和点A

直线/:6x—5y—28=0交椭圆于P,Q两点，若F恰好为△APQ的重心，则椭圆的离心率

为()

TBY「亚

5。■乎

【答案】C

【解析】由题设产（。,0）,4（0,8）,尸（七,凹）,。（电,％），则线段产。的中点为6（%,先），

3cb

由三角形重心的性质知衣=2而，即（c,-8）=2（Xo-c,%）,解得尤0=耳，为=一万,

即"弋入直线5y-28=0,得9。+”5b-28=0①.

2

又6为线段PQ的中点，则XI+X2=3C,yt+y2=-b,

2222

又P,Q为椭圆上两点，.•.工+4=1,与+与=1,

a2b2crb2

以上两式相减得皿丁+7口）=。,

x,+X,b23c6

所以攵PQ=-—―!=_-.........x——化简得2/=5从②

%)-x2aM+必不-b5

a=2小

由①②及片二^十—解得b=4即离心率e=@，

5

c=2

故选C.

第n卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在"BC中，内角A，B，C所对的边分别为。，b,c,已知八43（7的面积为后,

b-c=2,cosA=—,则。的值为

4

【答案】4

【解析】由cosA=』nsinA=@^，

44

又SMBC=；bcsina=Ji?,解得be=8,

由余弦定理知a=y/b2+c2-2bccosA-^(b-c)2+~^c=J2?+[xg=4,

故答案为4.

14.用数学归纳法证明1+2+2?+…+25"T(〃eN*)能被31整除时，从人到攵+1添加的

项数共有项(填多少项即可).

【答案】5

【解析】当〃=左时,原式为1+2+2?+...+25J,

当〃=%+1时，原式为1+2+2?+…+25k~,+25*+2"用+25k+2+25*+3+25A+4，

比较后可知多了25A+25t+1+25*+2+25A+3+25*+4，共5项.

故答案为5.

15.已知(l+2x)6展开式的二项式系数的最大值为。，系数的最大值为则

b__

a

【答案】12

【解析】由题意可知(l+2x)6展开式的二项式系数为C：(r=O,l,…,6),

当r=3时，取得最大值a=C：=20,

(1+2x)6展开式的系数为C：2，(r=0,1,…,6),

G2r

当满足〈时,系数最大.

oo

6!6!di

---------2'>----------------2r+l

r!-(6-r)!(r+l)!-[6-(r+l)]!

6!2r>________

r!-(6-r)!"(r-l)!-[6-(r-l)]!

12

---->----

6-rr+1r+l>2(6-r)1114

即《解得

2(7-r)>r33

又•."=(),1，…,6,.」=4时，系数的最大值为匕=或24=240,

h240

则一=——=12,故答案为12.

a20

r2

16.若存在直线y=〃(x),对于函数/(x)=elnx-"，g(x)=/■一使得对任意的

XG(0,+OO),,对任意的无eR,g(x)>h(x),则。的取值范围是—

【答案】［1,+8)

【解析】假设存在丁=履+人满足题意.

Y~2y-2

(i)由----xNkx+b,即----(k+l)x-b>0,

22

(%+1>

得/=(k+iy+2Z?W0,所以匕4一<0,

2

(ii)令/(x)=elnx-(a+攵)x-h,F'(x)---(a+k]---

XX

①若a+kWO,则k(x)>0,b(x)单调递增，

F^e)=e-^a+k)e-b>0,不合题意；

②若a+k>0,则F(x)在上单调递增，在(一二,+8]上单调递减,

Ia-vk)&)

>

所以F(x)max=F\-^—\=e\n-^—-e-b=-e\n{a+k)-b,

\a+k)a+k

所以一eln(a+Z)-/?<0,即eln(a+左)之一。,

他+1)2应

由(i)得eln(a+Z)2----------,a>-k+e2e,

2

令叭k)=-k+e2e,(p\k)=-l+e2e-------

e

("I-2伏+1）-i

k+1、

(pn(k)=e2e+e*」＞0,所以“伏）单调递增,

e>e

又因为尹'（如_1）=0，

所以*（x）在（-8,五-1）是单调递减，是单调递增,

所以e（x）min=°（衣-1）=1，所以

故答案为［1,+8）.

三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

3

17.（12分）己知等差数列｛q｝中，4=11，%+%=1°。，数列｛〃｝满足2nf

4=2.

（1）求数列｛凡｝与数列也｝的通项公式;

（2）若q,=d+（—1）%“，求数列｛%｝的前〃项和

、〃

l+3n—|—,〃为偶数

3(27

【答案】⑴。“=

3〃+5,bn=11+-；⑵T=<

2一?口，”为奇数

【解析】（1）设数列｛%｝的公差为d,

为等差数列。+。

V{«„}，,921=2a”=100，，«！5=50.

解得

V=11,/.a15—a2=13d=39,d=3.

一

/.an=%+(〃-2)d=11+3"6=3〃+5,

〜73,173731G3

屋万[

2%+[=d+],；."+I=52+,%+|-5=bn--

=.-Jbn-1\是首项、公比均为g的等比数列.

,a“=3〃+5,b“=(g)+-|•

(2)c,="+(—l)a，

ixLwl

2I2yq

设纥为数列出}的前〃项和，则纥=―!=~一=>+|n=i-l1+±n.

1----

2

设A”为数歹U｛（-1）"%｝的前〃项和,

当〃为偶数时，4=[—（3〃+5）+（3〃+8）]e=T；

当〃为奇数时，4=%-％=^-3〃-5=-9仁

3

〃为偶数

2n，

则4=\

13

—n-“为奇数

2T

<1V33,,,

1--+—〃+—〃，〃为偶数

⑵22

/1Y,3313

1--+上“一士〃_丫，〃为偶数

{2)222

出

1+3”,〃为偶数

_n_ny

一5一15卜〃为奇数

18.（12分）如图，四棱柱A8CD-A4GA的侧棱A4JL底面ABC。，四边形A3CD为

菱形，E，E分别为CC-A4的中点.

（1）证明：B，E，3，E四点共面;

7T

（2）若A5=A4,,ZDAB=~,求直线AE与平面BED吠所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）叵.

26

【解析】（1）证明：取2。的中点为G,连接AG,GE,

由E,G分别为CG，。，的中点，

易知四边形A3EG为平行四边形，故AG〃B£,

又尸是A4的中点，即F〃〃AG,BE,

故8，E，A，E四点共面.

（2）连接AC、BD交于点、0,取上底面的中心为。।,

以。为原点，0A>OB,西分别为x、>、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标

系。一型，

设AB=2,则A(g,O,O),8(0,1,0),f(-73,0,1),F(布,0,1),

AAE=(-2>/3,0,l),而=(6,-1,1),BE=(-^3,-1,1),

设面B/7。]的一个法向量为机=(x,y,z),贝时_.,

[m-BE=0

即1吗-y+z=0，取机=(Q],])

[-y/3x-y+z=0

\m-AE\J26

设直线与平面BED尸所成角为。，故sin。=川一=一一,

\m\\AE\26

直线AE与平面BEQF所成角的正弦值为叵.

26

19.(12分)已知圆。：/+/="经过椭圆c：[+方=](。>。〉0)的右焦点入，且

经过点工作圆。的切线被椭圆C截得的弦长为0.

(1)求椭圆。的方程；

(2)若直线/经过椭圆。的右焦点尸2与椭圆交于A，B两点,且CA.砺=()，求直线/的

方程.

2—

【答案】⑴y+/=1；⑵2%+企k2=0或2%-&)>-2=0.

【解析】(1)因为圆0：/+、2=。2经过椭圆。的右焦点工，

22

所以b=c，a=y{h+c=5/2/7-

且过点尸2作圆。的切线被椭圆c截得的弦长为J5,

所以b=l,a=B

故椭圆C的方程为三+f=i.

2-

（2）当直线/的斜率为零或不存在时，显然不满足题意；

设直线/方程为％=冲+1,

厂2-

联立《号+，，化简整理，得（加+2）/+2机），—1=0.

x=my

设交点A，8的坐标为4（XA，%），8（4，%），

M12m1

则%+%=7-7-%一-

m+2m+2

XX

故有A'B=（阳A+1）+1）="弘%++%）+1

m22m'.-2m2+2

=--------------hl=-------,

m2+2m2+2m2+2

由次•砺=（），得5%8+打了8=。，

一2/+21

即有=0>解得m=+——，

m2+2m2+22

所以直线/的方程为2x+0y-2=O或2x-JIy-2=().

1,

20.（12分）已知函数/（%）=万必+如-6,+1（加£R）.

（1）若/（x）在R上是减函数，求力的取值范围；

（2）当加＞1时，证明：/（X）有一个极大值点和一个极小值点.

【答案】（1）（一口,1］；（2）证明见解析.

10

【解析】（1）由/（x）=5年-/+1,得/'O）=x+m-e',

设g(x)=尸(幻=%+根一则g'(x)=l-

当尤>0时,g'(x)<o,g(x)单调递减;

当x<0时，g'(x)>0，g(x)单调递增，

所以g(x)™x=g(0)=〃Ll，

因为/(X)在R上是减函数，所以/'(X)皿=g(x)3=加-140，所以加£1，

故而的取值范围是(一8,1].

(2)当相>1时，(0)=m-1>0.

由于g(T7?)=-e-"'<。，g(-m)-g(0)<0,所以g(x)在(一利,0)上有零点，

又g(力在(T»,0)上单调递增，

所以g(x)在(F,0)上只有一个零点，设为％<0).

又g(m)=2m—e"'^m>1),设/z(x)=2x—e'(x>1),

则"(无)=2—e*<2—e<0,即/z(x)在(1,+<功上单调递减，

所以〃(x)<7?⑴<0,即g(m)<0,所以g(加)♦g(0)<0,

所以g(x)在(0,根)上有零点，

又g(x)在(0,k)上单调递减，所以g(x)在(0,依)上只有一个零点，

设为9(0<工2<,71)•

因此，当xe(-oo,xj时，/'(x)=g(x)<0,

当xe(%,X2)时，/'(x)=g(x)>0,

当工6(々,+8)时，/'(x)=g(x)<0,

即“X)在(ro,%),(%2，收)上单调递减，在(％,无2)上单调递增，

所以当》=玉时，“X)的极小值是/(不),

当x=%2时，/(X)的极大值是/(w)，

因此，/（X）有一个极大值点和一个极小值点.

21.（12分）射击是使用某种特定型号的枪支对各种预先设置的目标进行射击，以命中精确

度计算成绩的一项体育运动.射击运动不仅能锻炼身体，而且可以培养细致、沉着、坚毅等

优良品质，有益于身心健康.为了度过愉快的假期，感受体育运动的美好，法外狂徒张三来

到私人靶场体验射击运动.

（1）已知用于射击打靶的某型号步枪的弹夹中一共有％（AeN*）发子弹，假设张三每次打

靶的命中率均为〃（0<〃<1）,靶场主规定：一旦出现子弹脱靶或者子弹打光耗尽的现象便

立刻停止射击.记标靶上的子弹数量为随机变量X，求X的分布列和数学期望；

（2）张三在休息之余用手机逛8站刷到了著名电视剧《津门飞鹰》中的经典桥段：中国队

长燕双鹰和三合会何五姑玩起了俄罗斯轮盘.这让张三不由得想起了半人半鬼，神枪第一的

那句家喻户晓的神话“我赌你的枪里没有子弹”.由此，在接下来的射击体验中，张三利用

自己的人脉关系想办法找人更换了一把型号为M1917,弹容为6发的左轮手枪，弹巢中有"?

发实弹,其余均为空包弹.现规定:每次射击后,都需要在下一次射击之前填充一发空包弹.假

设每次射击相互独立且均随机.在进行〃（〃eN）次射击后，记弹巢中空包弹的发数X”.

（i）当〃eN*时，探究数学期望E（X“）和E（X“_J之间的关系；

（ii）若无论加取何值，当射击次数达到一定程度后都可近似认为枪中没有实弹（以弹巢

中实弹的发数的数学期望为决策依据，当弹巢中实弹的发数的数学期望<1时可近似认为枪

中没有实弹），求该种情况下最小的射击次数人.（参考数据：1g2B0.301、lg3”0.477）

n-nk+l

【答案】（1）分布列见解析，数学期望为-~--;（2）（i）

1-P

E（X"）=/（X,i）+l（〃eN*）；（ii）10.

【解析】（1）由题意，X的所有可能取值为0，1，2,…，k—l,k,

因为张三每次打靶的命中率均为〃（0<〃<1）,

则P[X=m）=p"（l-p）（m=0,l,2,...,Z-l）,P（X=k）=pk,

所以X的分布列为

X012…k-\k

…

P1-Pp(l-p)/(I-〃)pl(l-P)pk

所以X的数学期望为

£（X）=p（l-p）+2p2（1-p）+323（i—p）+…+（女—（]一夕）+◊人，

令加二2+2〃_+323+...+（k-1）/1（1）,

则pM=p2+2p3+3p4+.+（攵—1）pk②,

所以①一②可得，

（1-P）M=p+p~+〃3+…+pk~]一（%_1）pk-L_1_（%_]）pk,

1一〃

k&+1

则E（X）=M（l_p）+W=-^—（k-l）pk+kpk=^~P-.

1-/2p

（2）（i）第〃次射击后，可能包含两种情况：第几次射出空包弹或第〃次射出实弹，

因为第〃次射击前，剩余空包弹的期望为E（X,T）,

若第〃次射出空包弹，则此时对应的概率为七（"曰）,

6

因为射击后要填充一发空包弹，所以此时空包弹的数量为E（X,I）—1+1=E（X,I）；

若第n次射出实弹，则此时对应的概率为1-E（X4,

6

所以此时空包弹的数量为E（X,i）+l；

综上，E（X“）=^=J.E（X,i）+[l—^^][E（X,i）+f|=（E（X,i）+L

oL6」o

（ii）因为当〃=0时，弹夹中有6-团发空包弹，则E（X（,）=6一加；

由（i）可知：E（X“）=：E（X,i）+l（〃eN*）,

6、

则E（X,用）—6=，[E（X.）一6]（〃eN）,

所以｛£（乂“）一6｝（〃€1\）是首项为一机，公比为|的等比数列，

则E（X,J-6=即E（X“）=6-nG

因此弹巢中实弹的发数的期望为6-E(X.)

为使弹巢中实弹的发数的数学期望小于1，只需加<1，则，〃<((、

所以10g6〃2V”，

5

/\

为使log6mv〃恒成立，只需log6m<n,

5\