历年全国高中数学联赛试题及答案(76套题)

第页1988年全国高中数学联赛试题第一试(10月16日上午8∶00——9∶30)一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)：1．设有三个函数，第一个是y=φ(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象及第二个函数的图象关于x+y=0对称，那么，第三个函数是()A．y=－φ(x)B．y=－φ(－x)C．y=－φ－1(x)D．y=－φ－1(－x)2．已知原点在椭圆k2x2+y2－4kx+2ky+k2－1=0的内部，那么参数k的取值范围是()A．|k|>1B．|k|≠1C．－1<k<1D．0<|k|<13．平面上有三个点集M，N，P：M={(x，y)||x|+|y|<1}，N={(x，y)|eq\r((x－\f(1,2))2+(y+\f(1,2))2)+eq\r((x+\f(1,2))2+(y－\f(1,2))2)<2eq\r(2)}，P={(x，y)||x+y|<1，|x|<1，|y|<1}．则A．Meq\o(\s\up4(),\s\do())Peq\o(\s\up4(),\s\do())NB．Meq\o(\s\up4(),\s\do())Neq\o(\s\up4(),\s\do())PC．Peq\o(\s\up4(),\s\do())Neq\o(\s\up4(),\s\do())MD．A、B、C都不成立4．已知三个平面α、β、γ，每两个之间的夹角都是θ，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c．若有命题甲：θ>eq\f(π,3)；命题乙：a、b、c相交于一点．则A．甲是乙的充分条件但不必要B．甲是乙的必要条件但不充分C．甲是乙的充分必要条件D．A、B、C都不对5．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I表示所有直线的集合，M表示恰好通过1个整点的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合，P表示通过无穷多个整点的直线的集合．那么表达式⑴M∪N∪P=I；⑵N≠Ø．⑶M≠Ø．⑷P≠Ø中，正确的表达式的个数是A．1B．2C．3D．4二．填空题(本大题共4小题，每小题10分)：1．设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么eq\f(b4－b3,a2－a1)=．2．(eq\r(x)+2)2n+1的展开式中，x的整数次幂的各项系数之和为．3．在△ABC中，已知∠A=α，CD、BE分别是AB、AC上的高，则eq\f(DE,BC)=．4．甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再及负方2号队员比赛，……直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程的种数为．三．(15分)长为eq\r(2)，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积．四．(15分)复平面上动点Z1的轨迹方程为|Z1－Z0|=|Z1|，Z0为定点，Z0≠0，另一个动点Z满足Z1Z=－1，求点Z的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置．五．(15分)已知a、b为正实数，且eq\f(1,a)+eq\f(1,b)=1，试证：对每一个n∈N*，(a+b)n－an－bn≥22n－2n+1．

1988年全国高中数学联赛二试题一．已知数列{an}，其中a1=1，a2=2，an+2=eq\b\lc\{(\a\ac(5an+1－3an(an·an+1为偶数)，,an+1－an(an·an+1为奇数)．))试证：对一切n∈N*，an≠0．二．如图，在△ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB边上，求证：eq\f(SPQR,SABC)>eq\f(2,9)．三．在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线l1，l2，……，ln，…的直线族，它满足条件：⑴点(1，1)∈ln，(n=1，2，3，……)；⑵kn+1=an－bn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距，(n=1，2，3，……)；⑶knkn+1≥0，(n=1，2，3，……)．并证明你的结论．

1988年全国高中数学联赛解答一试题一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)：1．设有三个函数，第一个是y=φ(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象及第二个函数的图象关于x+y=0对称，那么，第三个函数是()A．y=－φ(x)B．y=－φ(－x)C．y=－φ－1(x)D．y=－φ－1(－x)解：第二个函数是y=φ－1(x)．第三个函数是－x=φ－1(－y)，即y=－φ(－x)．选B．2．已知原点在椭圆k2x2+y2－4kx+2ky+k2－1=0的内部，那么参数k的取值范围是()A．|k|>1B．|k|≠1C．－1<k<1D．0<|k|<1解：因是椭圆，故k≠0，以(0，0)代入方程，得k2－1<0，选D．3．平面上有三个点集M，N，P：M={(x，y)||x|+|y|<1}，N={(x，y)|eq\r((x－\f(1,2))2+(y+\f(1,2))2)+eq\r((x+\f(1,2))2+(y－\f(1,2))2)<2eq\r(2)}，P={(x，y)||x+y|<1，|x|<1，|y|<1}．则A．Meq\o(\s\up4(),\s\do())Peq\o(\s\up4(),\s\do())NB．Meq\o(\s\up4(),\s\do())Neq\o(\s\up4(),\s\do())PC．Peq\o(\s\up4(),\s\do())Neq\o(\s\up4(),\s\do())MD．A、B、C都不成立解：M表示以(1，0)，(0．1)，(－1，0)，(0，－1)为顶点的正方形内部的点的集合(不包括边界)；N表示焦点为(eq\f(1,2)，－eq\f(1,2))，(－eq\f(1,2)，eq\f(1,2))，长轴为2eq\r(2)的椭圆内部的点的集合，P表示由x+y=±1，x=±1，y=±1围成的六边形内部的点的集合．故选A．4．已知三个平面α、β、γ，每两个之间的夹角都是θ，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c．若有命题甲：θ>eq\f(π,3)；命题乙：a、b、c相交于一点．则A．甲是乙的充分条件但不必要B．甲是乙的必要条件但不充分C．甲是乙的充分必要条件D．A、B、C都不对解：a，b，c或平行，或交于一点．但当a∥b∥c时，θ=eq\f(π,3)．当它们交于一点时，eq\f(π,3)<θ<π．选C．5．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I表示所有直线的集合，M表示恰好通过1个整点的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合，P表示通过无穷多个整点的直线的集合．那么表达式⑴M∪N∪P=I；⑵N≠Ø．⑶M≠Ø．⑷P≠Ø中，正确的表达式的个数是A．1B．2C．3D．4解：均正确，选D．二．填空题(本大题共4小题，每小题10分)：1．设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么eq\f(b4－b3,a2－a1)=．解：a2－a1=eq\f(1,4)(y－x)，b4－b3=eq\f(2,3)(y－x)，eq\f(b4－b3,a2－a1)=eq\f(8,3)．2．(eq\r(x)+2)2n+1的展开式中，x的整数次幂的各项系数之和为．解：(eq\r(x)+2)2n+1－(eq\r(x)－2)2n+1=2(Ceq\a(1,2n+1)2xn+Ceq\a(3,2n+1)23xn－1+Ceq\a(5,2n+1)25xn－2+…+Ceq\a(2n+1,2n+1)22n+1)．令x=1，得所求系数和=eq\f(1,2)(32n+1+1)．3．在△ABC中，已知∠A=α，CD、BE分别是AB、AC上的高，则eq\f(DE,BC)=．解：△AED∽△ABC，eq\f(DE,BC)=eq\f(AD,AC)=|cosα|．4．甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再及负方2号队员比赛，……直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程的种数为．解画1行14个格子，每个格子依次代表一场比赛，如果某场比赛某人输了，就在相应的格子中写上他的顺序号(两方的人各用一种颜色写以示区别)．如果某一方7人都已失败则在后面的格子中依次填入另一方未出场的队员的顺序号．于是每一种比赛结果都对应一种填表方法，每一种填表方法对应一种比赛结果．这是一一对应关系．故所求方法数等于在14个格子中任选7个写入某一方的号码的方法数．∴共有Ceq\a(7,14)种比赛方式．三．(15分)长为eq\r(2)，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积．解：过轴所在对角线BD中点O作MN⊥BD交边AD、BC于M、N，作AE⊥BD于E，则△ABD旋转所得旋转体为两个有公共底面的圆锥，底面半径AE=eq\f(\r(2),\r(3))=eq\f(\r(6),3)．其体积V=eq\f(π,3)(eq\f(\r(6),3))2·eq\r(3)=eq\f(2\r(3),9)π．同样，△BCD旋转所得旋转体的体积=eq\f(2\r(3),9)π．其重叠部分也是两个圆锥，由△DOM∽△DAB，DO=eq\f(\r(3),2)，OM=eq\f(DO·AB,DA)=eq\f(\r(6),4)．∴其体积=2·eq\f(1,3)π·(eq\f(\r(6),4))2·eq\f(\r(3),2)=eq\f(\r(3),8)π．∴所求体积=2·eq\f(2\r(3),9)π－eq\f(\r(3),8)π=eq\f(23,72)eq\r(3π)．四．(15分)复平面上动点Z1的轨迹方程为|Z1－Z0|=|Z1|，Z0为定点，Z0≠0，另一个动点Z满足Z1Z=－1，求点Z的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置．解：Z1=－eq\f(1,Z)，故得|－eq\f(1,Z)－Z0|=|eq\f(1,Z)|，即|ZZ0+1|=1．|Z+eq\f(1,Z0)|=|eq\f(1,Z0)|．即以－eq\f(1,Z0)为圆心|eq\f(1,Z0)|为半径的圆．五．(15分)已知a、b为正实数，且eq\f(1,a)+eq\f(1,b)=1．试证：对每一个n∈N*，(a+b)n－an－bn≥22n－2n+1．证明：由已知得a+b=ab．又a+b≥2eq\r(ab)，∴ab≥2eq\r(ab)，故a+b=ab≥4．于是(a+b)k=(ab)k≥22k．又ak+bk≥2eq\r(akbk)=2eq\r((a+b)k)≥2k+1．下面用数学归纳法证明：1°当n=1时，左=右=0．左≥右成立．2°设当n=k(k≥1，k∈N)时结论成立，即(a+b)k－ak－bk≥22k－2k+1成立．则(a+b)k+1－ak+1－bk+1=(a+b)(a+b)k－(ak+bk)(a+b)+ab(ak－1+bk－1)=(a+b)[(a+b)k－ak－bk]+ab(ak－1+bk－1)≥4∙(22k－2k+1)+4∙2k=22(k+1)－4∙2k+1+4∙2k=22(k+1)－2(k+1)+1．即命题对于n=k+1也成立．故对于一切n∈N*，命题成立．二试题一．已知数列{an}，其中a1=1，a2=2，an+2=eq\b\lc\{(\a\ac(5an+1－3an(an·an+1为偶数)，,an+1－an(an·an+1为奇数)．))试证：对一切n∈N*，an≠0．（1988年全国高中竞赛试题）分析：改证an≢0(mod4)或an≢0(mod3)．证明：由a1=1，a2=2，得a3=7，a4=29，……∴a1≡1，a2≡2，a3≡3(mod4)．设a3k－2≡1，a3k－1≡2，a3k≡3(mod4)．则a3k+1≡5×3－3×2=9≡1(mod4)；a3k+2≡1－3=－2≡2(mod4)；a3k+3≡5×2－3×1=7≡3(mod4)．根据归纳原理知，对于一切n∈N，a3n－2≡1，a3n－1≡2，a3n≡3(mod4)恒成立，故an≢0(mod4)成立，从而an≠0．又证：a1≡1，a2≡2(mod3)．设a2k－1≡1，a2k≡2(mod3)成立，则当a2k－1∙a2k为偶数时a2k+1≡5×2－3×1≡1(mod3)，当a2k－1∙a2k为奇数时a2k+1≡2－1≡1(mod3)，总之a2k+1≡1(mod3)．当a2k∙a2k+1为偶数时a2k+2≡5×1－3×2≡2(mod3)，当a2k∙a2k+1为奇数时a2k+2≡1－2≡2(mod3)，总之，a2k+2≡2(mod3)．于是an≢0(mod3)．故an≠0．二．如图，在△ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB边上，求证：eq\f(SPQR,SABC)>eq\f(2,9)．证明：作△ABC及△PQR的高CN、RH．设△ABC的周长为1．则PQ=eq\f(1,3)．则eq\f(SPQR,SABC)=eq\f(PQ·RH,AB·CN)=eq\f(PQ,AB)·eq\f(AR,AC)，但AB<eq\f(1,2)，于是eq\f(PQ,AB)>eq\f(2,3)，AP≤AB－PQ<eq\f(1,2)－eq\f(1,3)=eq\f(1,6)，∴AR=eq\f(1,3)－AP>eq\f(1,6)，AC<eq\f(1,2)，故eq\f(AR,AC)>eq\f(1,3)，从而eq\f(SPQR,SABC)>eq\f(2,9)．三．在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线l1，l2，……，ln，…的直线族，它满足条件：⑴点(1，1)∈ln，(n=1，2，3，……)；⑵kn+1=an－bn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距，(n=1，2，3，……)；⑶knkn+1≥0，(n=1，2，3，……)．并证明你的结论．证明：设an=bn≠0，即kn－1=－1，或an=bn=0，即kn=1，就有kn+1=0，此时an+1不存在，故kn≠±1．现设kn≠0，1，则y=kn(x－1)+1，得bn=1－kn，an=1－eq\f(1,kn)，∴kn+1=kn－eq\f(1,kn)．此时knkn+1=kn2－1．∴kn>1或kn<－1．从而k1>1或k1<－1．⑴当k1>1时，由于0<eq\f(1,k1)<1，故k1>k2=k1－eq\f(1,k1)>0，若k2>1，则又有k1>k2>k3>0，依此类推，知当km>1时，有k1>k2>k3>∙…>km>km+1>0，且0<eq\f(1,k1)<eq\f(1,k2)<…<eq\f(1,km)<1，km+1=km－eq\f(1,km)<km－eq\f(1,k1)=km－1－eq\f(1,km－1)－eq\f(1,k1)<km－1－eq\f(2,k1)<…<k1－eq\f(m,k1)．由于k1－eq\f(m,k1)随m的增大而线性减小，故必存在一个m值，m=m0，使k1－eq\f(m0,k1)≤1，从而必存在一个m值m=m1≤m0，使keq\s\do4(m1－1)≥1，而1>keq\s\do4(m1)=keq\s\do4(m1－1)－eq\f(1,keq\s\do4(m1－1))>0，此时keq\s\do4(m1)·keq\s\do4(m1+1)<0．即此时不存在这样的直线族．⑵当k1<－1时，同样有－1<eq\f(1,k1)<0，得k1<k2=k1－eq\f(1,k1)<0．若k2<－1，又有k1<k2<k3<0，依此类推，知当km<－1时，有k1<k2<k3<∙…<km<km+1<0，且0>eq\f(1,k1)>eq\f(1,k2)>…>eq\f(1,km)>－1，km+1=km－eq\f(1,km)>km－eq\f(1,k1)=km－1－eq\f(1,km－1)－eq\f(1,k1)>km－1－eq\f(2,k1)>…>k1－eq\f(m,k1)．由于k1－eq\f(m,km)随m的增大而线性增大，故必存在一个m值，m=m0，使k1－eq\f(m0,k1)≥－1，从而必存在一个m值，m=m1(m1≤m0)，使keq\s\do4(m1－1)≤－1，而－1<keq\s\do4(m1)=keq\s\do4(m1)－eq\f(1,keq\s\do4(m1－1))<0，此时keq\s\do4(m1)·keq\s\do4(m1+1)<0．即此时不存在这样的直线族．综上可知这样的直线族不存在．厦门市参加2010年福建省高中数学竞赛暨2010年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知贵校教务处转数学教研组：根据闽科协发【2010】39号文件《关于举办2010年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知》，以及省数学会《关于2010年福建省高中数学竞赛暨2010年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知》，根据我市情况，有关竞赛工作通知如下：一、赛制、竞赛时间和命题范围竞赛分预赛和复赛两个阶段。1．预赛：（1）时间：2010年9月11日（星期六）9：00——（2）试题来源：预赛试题由福建省数学学会组织命题，同时也作为《2010年福建省高中数学竞赛》的试题，试题类型以全国联赛类型为主，适当补充少量全国联赛加试部分的内容。（3）试卷结构：填空题10题，每题6分，满分60分；解答题5题，每题20分，满分100分。全卷满分160分。考试时间150分钟。2．复赛（1）时间及地点：2010年10月17日（星期日）8：00——12：10，集中在福州一中旧校区进行考试。其中联赛时间为8：00—9：20，加试时间为9：40—12：10。（2）试题来源及命题要求：复赛试题是由中国数学会统一命题的全国联赛试题和加试试题。命题范围以现行高中数学教学大纲为准，加试试题的命题范围以数学竞赛大纲为准。根据现行“高中数学竞赛大纲”的要求，全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超过教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合、灵活运用知识的能力。全国高中数学联赛加试（二试）及中国数学奥林匹克（冬令营）、国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些教学大纲之外的内容。（3）试卷结构：全国高中数学联赛（一试）试卷结构为：填空题8题，每题8分，满分64分；解答题3题，分别为16分、20分、20分，满分56分。全卷满分120分。考试时间80分钟；全国高中数学联赛加试（二试）试卷结构为：4道解答题，涉及平面几何、代数、数论、组合四个方面。每题50分。满分200分。考试时间150分钟。二、参赛对象本学年度的在校高中学生均可报名，自愿参加，不影响学校的正常教学秩序。三、报名、报名费和准考证采用网上报名。在各校教务处的指导下，由高二年数学备课组长具体负责，组织学生报名参加竞赛。报名表请参照样表、统一用Excel文档并按要求认真填写，根据省数学会要求，报名时需将所有参加考试的考生的花名册上交，为最后评奖、颁发获奖学生证书以及制作指导教师证书的依据，务必请各校认真填写报名表，指导教师以报名表上登记的为准（每名学生只能上报1名指导教师），赛后不得更改。报名费（按省数学会通知）统一收取每生18元。各参赛学校请将报名表的电子文本用E.；报名费请直接汇入建设银行活期存折，存折户名：陈智猛，ATM卡号：4367421930036257416。报名截止时间是6月25日，逾期不予受理。请保留汇款的凭单备查，将本校报名人数以及汇款的金额数用手机短信形式发送至，短信联系进行报名的确认。9月初召开考务会同时领取准考证，准考证请各校自行填写，由备课组长保管，考前30分钟再发给考生。四、考号安排学校 考号安排厦门一中 10001——10600双十中学 10601——11200厦门六中 11201——11800外国语学校 11801——12400科技中学 12401——13000厦门二中 13001——13200湖滨中学 13201——13400学校 考号安排松柏中学 13401——13600厦门三中 13601——13800华侨中学 13801——14000禾山中学 14001——14200大同中学 14201——14400康桥中学 14401——14600集美中学 20001——20400英才学校 20401——20600灌口中学 20601——28000乐安中学 20801——21000厦门十中 21001——21400杏南中学 21401——21600海沧中学 21601——21800海沧实验中学 21801——22000同安一中 30001——30600启悟中学 30601——30800第二外国语学校 30801——31000东山中学 31001——31200五显中学 31201——31400国祺中学 31401——31600翔安一中 40001——40400新店中学 40401——40600内厝中学 40601——40800诗扳中学 40801——41000五、考务：有关考场的设置、监考等考务工作另行安排布置。六、奖项：按参赛人数的5%从高分到低分确定复赛入围者；预赛成绩为本区第一名经省数学会审核无误后也可以直接参加复赛。另外，符合下列条件之一者可直接进入复赛：（1）2008年、2009年全国高中数学联赛（福建赛区）一、二等奖获得者；（2）2010年东南地区数学奥林匹克竞赛一、二等奖获得者；（3）2010年福建省高一数学竞赛（省）前十五名获得者；（4）2010年中国女子数学奥林匹克竞赛一、二等奖获得者。复赛试卷经省数学会评定后，评出（省级）全国一、二、三等奖的获奖名单报省科协、省教育厅审定，获得（省级）全国一、二、三等奖的选手及指导教师由省科协和省教育厅联合颁发获奖证书。注意：一等奖、二等奖和三等奖均按联赛及加试的总分评定。省数学会评出《2009年福建省高中数学竞赛》一、二、三等奖后，我市在省奖之外再评出市一等奖、二等奖、三等奖，以及表扬奖若干名。为了鼓励各校参加高中数学联赛的积极性，研究决定：按报名人数给学校不低于10%的市级（以上）获奖名额，鼓励学生。厦门市教育科学研究院基础教育研究室厦门市教育学会数学教学专业委员会2010年5月13日附：2010年全国高中数学联赛福建赛区（厦门）竞赛报名表考号学生姓名性别年级所在学校指导教师考生总数（人）应交金额（元）（注：报名表的指导教师栏请认真填写，赛后不得更改）1992年全国高中数学联赛试卷第一试一．选择题(每小题5分，共30分)对于每个自然数n，抛物线y(n2＋n)x2-(2n＋1)x＋1及x轴交于An，Bn两点，以|AnBn|表示该两点的距离，则|A1B1|＋|A2B2|＋L＋|A1992B1992|的值是()

(A)(B)(C)(D)已知如图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，则这一曲线的方程是()

(A)(x＋)(y＋)=0(B)(x-)(y-)=0

(C)(x＋)(y-)=0(D)(x-)(y＋)=0设四面体四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，它们的最大值为S，记=/S，则一定满足()

(A)2<≤4(B)3<<4(C)2.5<≤4.5(D)3.5<<5.5在△ABC中，角A，B，C的对边分别记为a，b，c(b¹1)，且都是方程=logb(4x-4)的根，则△ABC()

(A)是等腰三角形，但不是直角三角形(B)是直角三角形，但不是等腰三角形

(C)是等腰直角三角形(D)不是等腰三角形，也不是直角三角形设复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A，B，且|z1|=4，4z12-2z1z2＋z22=0，O为坐标原点，则△OAB的面积为()

(A)8(B)4(C)6(D)12设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系f(10＋x)f(10-x)，f(20-x)-f(20＋x)，则f(x)是

(A)偶函数，又是周期函数(B)偶函数，但不是周期函数

(C)奇函数，又是周期函数(D)奇函数，但不是周期函数二．填空题(每小题5分共30分)设x，y，z是实数，3x，4y，5z成等比数列，且成等差数列，则的值是______．在区间[0，p]中，三角方程cos7xcos5x的解的个数是______．从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k的最大值是_____．设z1，z2都是复数，且|z1|=3，|z2|=5|z1＋z2|=7，则arg()3的值是______．设数列a1，a2，L，an，L满足a1a21，a32，且对任何自然数n，都有anan＋1an＋2¹1，又anan＋1an＋2an＋3an＋an＋1＋an＋2＋an＋3，则a1＋a2＋L＋a100的值是____．函数f(x)=-的最大值是_____．三、(20分)求证：．四、(20分)设l，m是两条异面直线，在l上有A，B，C三点，且AB=BC，过A，B，C分别作m的垂线AD，BE，CF，垂足依次是D，E，F，已知AD=，BE=CF=，求l及m的距离．五、(20分)设n是自然数，fn(x)(x¹0，1)，令y=x＋.

1.求证:fn＋1(x)=yfn(x)-fn－1(x)，(n>1)

2.用数学归纳法证明：fn(x)=1993年全国高中数学联合竞赛试卷第一试一．选择题(每小题5分，共30分)若M＝{(x，y)||tgpy|+sin2px0}，N＝{(x，y)|x2+y2≤2}，则MN的元素个数是（）

(A)4(B)5(C)8(D)9已知f(x)＝asinx+b+4(a，b为实数)，且f(lglog310)5，则f(lglg3)的值是（）

(A)-5(B)-3(C)3(D)随a，b取不同值而取不同值集合A，B的并集AB＝{a1，a2，a3}，当A¹B时，(A，B)及(B，A)视为不同的对，则这样的(A，B)对的个数是（）

（A）8（B）9（C）26（D）27若直线x＝被曲线C：(x－arcsina)(x－arccosa)＋(y－arcsina)(y＋arccosa)＝0所截的弦长为d，当a变化时d的最小值是()

(A)(B)(C)(D)p在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若c-a等于AC边上的高h，则的值是()

(A)1(B)(C)(D)-1设m，n为非零复数，i为虚数单位，zÎC，则方程|z＋ni|＋|z－mi|＝n及|z＋ni|－|z－mi|＝－m在同一复平面内的图形(F1，F2为焦点)是()二．填空题（每小题5分，共30分）二次方程(1－i)x2＋(l＋i)x＋(1＋il)＝0(i为虚数单位，lÎR)有两个虚根的充分必要条件是l的取值范围为________．实数x，y满足4x2－5xy＋4y2＝5，设S＝x2＋y2，则_______．若zÎC，arg(z2-4)＝，arg(z2+4)＝，则z的值是________．整数的末两位数是_______．设任意实数x0＞x1＞x2＞x3＞0，要使≥恒成立，则k的最大值是_______．三位数(100，101，L，999)共900个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数，有的卡片所印的，倒过来看仍为三位数，如198倒过来看是861；有的卡片则不然，如531倒过来看是，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印_____张卡片．三．（本题满分20分）三棱锥S－ABC中，侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，M为三角形ABC的重心，D为AB的中点，作及SC平行的直线DP．证明：(1)DP及SM相交；(2)设DP及SM的交点为，则为三棱锥S－ABC的外接球球心．四．（本题满分20分）设0＜a＜b，过两定点A(a，0)和B(b，0)分别引直线l和m，使及抛物线y2＝x有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这种直线l及m的交点P的轨迹．五．（本题满分20分）设正数列a0，a1，a2，L，an，L满足(n≥2)且a0＝a1＝1．求{an}的通项公式．1994年全国高中数学联赛试题第一试一．选择题(每小题6分，共36分)1．设a，b，c是实数，那么对任何实数x，不等式都成立的充要条件是(A)a，b同时为0，且c>0(B)(C)(D)2．给出下列两个命题：(1)设a，b，c都是复数，如果，则；(2)设a，b，c都是复数，如果，则．那么下述说法正确的是(A)命题(1)正确，命题(2)也正确(B)命题(1)正确，命题(2)错误(C)命题(1)错误，命题(2)也错误(D)命题(1)错误，命题(2)正确3．已知数列满足，且，其前n项之和为，则满足不等式的最小整数n是(A)5(B)6(C)7(D)84．已知，则下列三数：，，的大小关系是(A)x＜z<y(B)y＜z＜x(C)z＜x＜y(D)x＜y＜z5．在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是(A)(B)(C)(D)6．在平面直角坐标系中，方程(a，b是不相等的两个正数)所代表的曲线是(A)三角形(B)正方形(C)非正方形的长方形(D)非正方形的菱形二、填空题(每小题9分，共54分)1．已知有向线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别为(-1，1)和(2，2)，若直线l：x＋my＋m＝0及PQ的延长线相交，则m的取值范围是______．2．已知且，则=_____．3．已知点集，，则点集中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为_____．4．设，则的最大值是______．5．已知一平面及一正方体的12条棱的夹角都等于，则=___6．已知95个数，每个都只能取＋1或两个值之一，那么它们的两两之积的和的最小值是___．1995年全国高中数学联赛第一试一．选择题(每小题6分，共36分)1.设等差数列满足且，Sn为其前项之和，则Sn中最大的是()(A)(B)(C)(D)2.设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为，则复数Z11995，Z21995，所对应的不同的点的个数是()(A)4(B)5(C)10(D)203.如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有()(A)1个(B)2个(C)50个(D)100个4.已知方程在区间(2n-1，2n+1]上有两个不相等的实根，则k的取值范围是()(A)(B)(C)(D)以上都不是5.的大小关系是()(A)(B)(C)(D)6.设O是正三棱锥P-ABC底面三角形ABC的中心，过O的动平面及PC交于S，及PA，PB的延长线分别交于Q，R，则和式(A)有最大值而无最小值(B有最小值而无最大值(C)既有最大值又有最小值，两者不等(D)是一个及面QPS无关的常数二、填空题(每小题9分，共54分)1.设为一对共轭复数，若，且为实数，则_____．2.一个球的内接圆锥的最大体积及这个球的体积之比为_______．3.用[x]表示不大于实数x的最大整数，方程的实根个数是______．4.直角坐标平面上，满足不等式组的整点个数是______．5.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可使用，那么不同的染色方法的总数是______．6.设M={1，2，3，…，1995}，A是M的子集且满足条件:当时，，则A中元素的个数最多是______．一九九六年全国高中数学联合竞赛选择题（本题满分36分，每小题6分）把圆x2+(y–1)2=1及椭圆9x2+(y+1)2=9的公共点,用线段连接起来的图形是_________.(A)线段(B)不等边三角形(C)等边三角形(D)四边形等比数列{an}的首项a1＝1536,公比是q＝．用Tn表示它的前n项之积，则Tn(nÎN)最大的是____________(A)T9(B)T11(C)T12(D)T133.存在在整数n，使是整数的质数p．(A)不存在(B)只有一个(C)多于一个，但为有限个(D)有无穷多个4设xÎ(–，0)，以下三个数：a1=cos(sinxp),a2=sin(cosxp),a3=cos(x+1)p的大小关系是__________．(A)a3<a2<a1(B)a1<a3<a2(C)a3<a1<a2(D)a2<a3<a15.如果在区间[1,2]上,函数f(x)=x2+px+q及g(x)=x+()2在同一点取相同的最小值,那么f(x)在该区间上的最大值是__________.(A)(B)(C)(D)以上答案都不对6.高为8的圆台内有一个半径为2的球O1,球心O1在圆台的轴上.球O1及圆台上底面、侧面都相切.圆台内可再放入一个半径为3的球O2,使得球O2及球O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点,除球O2,圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是_____________.(A)1(B)2(C)3(D)4填空题(本题满分54分,每小题9分)集合{x|–1£log()10<–,xÎN}的真子集的个数是_____________________．复平面上非零复数z1、z2在以i为圆心1为半径的圆上，z1z1的实部为零，z1的辐角主值为，则z2=____________．3.曲线C的极坐标方程是r=1+cosq,点A的极坐标是(2,0)．曲线C在它所在的平面内绕A旋转一周,则它扫过的图形的面积是______________．4.已知将给定的两个全等的三棱锥的底面粘在一起,恰得到一个所有二面角都相等的六面体,并且该六面体的最短棱的长为2,则最远的两个基本点顶点的距离是__________．5.从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色.将一个正方体的六个面染色,每面恰染一种颜色,每两个具有公共棱的面染成不同颜色.则不同的染色方案共有_____________种.(注:如果我们对两个相同的正方体染色后,可以通过适当的翻转,使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同,那么,我们就说这两个正方体的染色方案相同).6.在直角坐标平面上，以（199，0）为圆心，以199为半径的圆周上，整点（即横、纵坐标皆为整数的点）的个数为_______________．1997年全国高中数学联合竞赛试卷(10月5日上午8:00-10:00)一、选择题(每小题6分，共36分)1．已知数列{}满足(n≥2)，x1a，x2b，记Snx1＋x2＋L＋xn，则下列结论正确的是

(A)x100＝－a，S100＝2b－a(B)x100＝－b，S100=2b－a

(C)x100＝－b，S100＝b－a(D)x100＝－a，S100＝b－-a2．如图，正四面体ABCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得

，

记其中表示EF及AC所成的角，表示EF及BD所成的角，则(A)在单调增加

(B)在单调减少

(C)在(0，1)单调增加，而在(1，＋单调减少

(D)在(0，＋)为常数3.设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有

(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个4．在平面直角坐标系中，若方程表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为

(A)(0，1)(B)(1，＋(C)(0，5)(D)(5，＋5．设，a=arcsin，，则

(A)(B)

(C)(D)6．如果空间三条直线a，b，c两两成异面直线，那么及a，b，c都相交的直线有

(A)0条(B)1条(C)多于1的有限条(D)无穷多条填空题(每小题9分，共54分)设x，y为实数，且满足，则x＋y=.过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若实数使得|AB|=的直线l恰有3条，则＝.已知复数z满足，则z的幅角主值范围是．已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰三角形，SA＝SB＝SC＝2，AB＝2，设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为．设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5次之内跳到D点，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共种．设a=lgz＋lg[x(yz)-1＋1]，b=lgx-1＋lg(xyz＋1)，c=lgy＋lg[(xyz)-1＋1]，记a，b，c中最大数为M，则M的最小值为．

一九九八年全国高中数学联合竞赛试卷（10月11日上午800—1000）选择题（本题满分36分，每小题6分）若a＞1,b＞1且lg(a+b)=lga+lgb，则lg(a-1)+lg(b-1)的值

(A)等于lg2(B)等于1(C)等于0(D)不是及a,b无关的常数若非空集合A={x2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22}，则能使AÍAB成立的所有a的集合是()

(A){a|1≤a≤9}(B){a|6≤a≤9}(C){a|a≤9}(D)各项均为实数的等比数列{an}前n项和记为Sn，若S10=10,S30=70，则S40等于()

(A)150(B)-200(C)150或-200(D)400或-50设命题P：关于x的不等式a1x2+b1x+c1＞0及a2x2+b2x+c2＞0的解集相同；命题Q：。则命题Q

(A)是命题P的充分必要条件(B)是命题P的充分条件但不是必要条件

(C)是命题P的必要条件但不是充分条件

(D)既不是命题P的充分条件也不是命题P的必要条件设E,F,G分别是正四面体ABCD的棱AB,BC,CD的中点，则二面角C-FG-E的大小是()

(A)(B)

(C)(D)在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是()

(A)57(B)49(C)43(D)37填空题（本题满分54分，每小题9分）若是以2为周期的偶函数，当时，，则,,由小到大的排列是_________________.设复数z=(≤≤18)，复数z,(1+i)z,2在复平面上对应的三个点分别是P,Q,R，当P,Q,R不共线时，以线段PQ,PR为两边的平行四边形的第四个顶点为S，则点S到原点距离的最大值是_______.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有________种.各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方及其余各项之和不超过100，这样的数列至多有___________项.若椭圆及抛物线有公共点，则实数a的取值范围是_____________.△ABC中，∠C=90°,∠B=30°,AC=2，M是AB的中点，将△ACM沿CM折起，使A,B两点间的距离为，此时三棱锥A-BCM的体积等于________.（本题满分20分）

已知复数z=1-sin+icos()，求z的共轭复数的辐角主值。（本题满分20分）

设函数(a＜0)，对于给定的负数a，有一个最大的正数l(a)，使得在整个区间[0,l(a)]上，不等式|f(x)|≤5都成立。

问：a为何值时l(a)最大？求出这个最大的l(a)，证明你的结论。（本题满分20分）

已知抛物线及定点,B(-a,0),，M是抛物线上的点，设直线AM,BM及抛物线的另一交点分别为M1,M2.

求证：当M点在抛物线上变动时（只要M1,M2存在且M1≠M2），直线M1M2恒过一个定点，并求出这个定点的坐标。1999年全国高中数学联合竞赛选择题（满分36分，每小题6分）给定公比为q(q≠1)的等比数列{an}，设b1＝a1＋a2＋a3，b2＝a4＋a5＋a6，…，bn＝a3n-2＋a3n-1＋a3n,…，则数列{bn}()

(A)是等差数列(B)是公比为q的等比数列

(C)是公比为q3的等比数列(D)既非等差数列也非等比数列平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式(|x|－1)2＋(|y|-1)2＜2的整点(x，y)的个数是()

(A)16(B)17(C)18(D)25若(log23)x-(log53)x≥(log23)-(log53)，则()

(A)x-y≥0(B)x＋y≥0(C)x-y≤0(D)x＋y≤0给定下列两个关于异面直线的命题：

命题Ⅰ：若平面a上的直线a及平面b上的直线b为异面直线，直线c是a及b的交线，那么，c至多及a,b中的一条相交；

命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。

那么，()

(A)命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不正确(B)命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确

(C)两个命题都正确(D)两个命题都不正确在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。那么，在上述3名选手之间比赛的场数是()

(A)0(B)1(C)2(D)3已知点A(1,2)，过点(5,-2)的直线及抛物线y2＝4x交于另外两点B,C，那么，△ABC是()

(A)锐角三角形(B)钝角三角形(C)直角三角形(D)答案不确定填空题（满分54分，每小题9分）已知正整数n不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的n的个数是___________．已知＝arctg，那么，复数的辐角主值是_________．在△ABC中，记BC＝a，CA＝b，AB＝c，若9a2＋9b2-19c2＝0，则已知点P在双曲线上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么，P的横坐标是_____．已知直线ax＋by＋c＝0中的a，b，c是取自集合{-3，-2，-1，0，1，2，,3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是______．已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，二面角H-AB-C的平面角等于30°,SA＝2。那么三棱锥S-ABC的体积为__________．三、(满分20分)已知当xÎ[0,1]时，不等式恒成立，试求的取值范围．四、(满分20分)给定A(-2,2)，已知B是椭圆上的动点，F是左焦点，当|AB|＋|BF|取最小值时，求B的坐标．五、(满分20分)给定正整数n和正数M，对于满足条件≤M的所有等差数列a1,a2,a3,….，试求S＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n＋1的最大值．2000年全国高中数学联合竞赛试卷（10月15日上午8:00-9:40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．设全集是实数，若A={x|≤0}，B={x|=},则是()(A){2}(B){-1}(C){x|x≤2}(D)2．设sina＞0,cosa＜0,且sin＞cos,则的取值范围是()(A)(2kp+,2kp+),k?Z(B)(+,+),k?Z(C)(2kp+,2kp+p),k?Z(D)(2kp+,2kp+)(2kp+,2kp+p),k?Z3．已知点A为双曲线x2-y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是()(A)

(B)

(C)3

(D)64．给定正数p,q,a,b,c，其中p1q，若p,a,q是等比数列，p,b,c,q是等差数列，则一元二次方程bx2-2ax+c=0()(A)无实根(B)有两个相等实根(C)有两个同号相异实根(D)有两个异号实根5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线的距离中的最小值是()(A)

(B)

(C)

(D)6．设，则以w,w3,w7,w9为根的方程是()(A)x4+x3+x2+x+1=0(B)x4-x3+x2-x+1=0(C)x4-x3-x2+x+1=0(D)x4+x3+x2-x-1=0二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．arcsin(sin2000°)=__________.8．设an是(3-的展开式中x项的系数(n=2,3,4,…)，则)=________.9．等比数列a+log23,a+log43,a+log83的公比是____________.10．在椭圆(a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是，则∠ABF=_________.11．一个球及正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________.12．如果：(1)a,b,c,d都属于{1,2,3,4};(2)a1b,b1c,c1d,d1a;(3)a是a,b,c,d中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________.三、解答题(本题满分60分，每小题20分)13．设Sn=1+2+3+…+n,n?N，求f(n)=的最大值.14．若函数在区间[a,b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a,b].15．已知C0:x2+y2=1和C1:(a＞b＞0)。试问：当且仅当a,b满足什么条件时，对C1上任意一点P，均存在以P为项点,及C0外切,及C1内接的平行四边形？并证明你的结论。2001年全国高中数学联合竞赛题1、已知a为给定的实数，那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为（A）1（B）2（C）4（D）不确定2、命题1：长方体中，必存在到各顶点距离相等的点；命题2：长方体中，必存在到各棱距离相等的点；命题3：长方体中，必存在到各面距离相等的点；以上三个命题中正确的有（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个3、在四个函数y=sin|x|,y=cos|x|,y=|ctgx|,y=lg|sinx|中以为周期、在（0，）上单调递增的偶函数是（A）y=sin|x|（B）y=cos|x|（C）y=|ctgx|（D）y=lg|sinx|4、如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的⊿ABC恰有一个，那么k的取值范围是（A）k=8（B）0<k≤12（C）≥12（D）0<k≤

的短轴长等于。8、若复数z1,z2满足|z1|=2,|z2|=3,3z1-2z2=-I,则z1z2=。9、正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则直线A1C1及BD1的距离是10、不等式的解集为。FABCDEFABCDE12、在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一场块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物。现有4种不同的植物可供选择，则有种栽种方案。解答题（本题满分60分，每小题20分）13、设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且，，（a1<a2）,又，试求{an}的首项及公差。14、设曲线C1:(a为正常数)及C2:y2=2(x+m)在x轴上方公有一个公共点P。求实数m的取值范围（用a表示）；O为原点，若C1及x轴的负半轴交于点A，当0<a<时，试求⊿OAP的面积的最大值（用a表示）。15、用电阻值分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6、（a1>a2>a3>a4>a5>a6）的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论。2002年全国高中数学联赛试题及参考答案试题一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、函数f(x)=log1/2(x2-2x-3)的单调递增区间是（）。（A）（－∞,－1）（B）（－∞,1）（C）（1,＋∞）（D）（3,＋∞）2、若实数x，y满足(x+5)2+(y-12)2=142，则x2+y2的最小值为（）。（A）2（B）1（C）√3（D）√23、函数f(x)=x/1-2x-x/2（）（A）是偶函数但不是奇函数（B）是奇函数但不是偶函数

（C）既是偶函数又是奇函数（D）既不是偶函数也不是奇函数4、直线x/4+y/3=1及椭圆x2/16+y2/9=1相交于A，B两点，该椭圆上点P，使得ΔPAB面积等于3，这样的点P共有（）。（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个5、已知两个实数集合A＝｛a1,a2,…,a100｝及B＝｛b1,b2,…,b50｝，若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)则这样的映射共有（）。（A）C50100（B）C4899（C）C49100（D）C49996、由曲线x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V1；满足x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的点（x,y）组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则（）。（A）V1=（1/2）V2(B)V1=（2/3）V2(C)V1=V2(D)V1=2V2二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7、已知复数Z1,Z2满足∣Z1∣＝2,∣Z2∣＝3,若它们所对应向量的夹角为60°,则∣(Z1＋Z2)/(Z1＋Z2)∣=。8、将二项式（√x+1/（24√x））n的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的幂指数是整数的项共有个。9、如图，点P1，P2，…，P10分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组（P1，Pi，Pj，Pk）（1＜i＜j＜k≤10）有个。10、已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5，f(x+1)≤f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x，则g(2002)=。11、若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则∣x∣-∣y∣的最小值是。12、使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是。三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13、已知点A（0,2）和抛物线y2=x+4上两点B，C使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围。14、如图，有一列曲线P0，P1，P2……，已知P0所围成的图形是面积为1的等边三角形，Pk+1是对Pk进行如下操作得到：将Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（k=0,1,2,）。记Sn为曲线Pn所围成图形的面积。

（1）求数列｛Sn｝的通项公式；

（2）求limSn.

n→∞15、设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)满足条件：

（1）当x∈R时,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x;

（2）当x∈(0,2)时，f(x)≤((x+1)/2)2;

（3）f(x)在R上的最小值为0.

求最大的m(m＞1)，使得存在t∈R，只要x∈[1,m]，就有f(x+t)≤x。2003年全国高中数学联赛第一试选择题（每小题6分,满分36分）删去正整数数列1,2,3,……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个新数列的第2003项是

(A)2046(B)2047(C)2048(D)2049设a,bÎR,ab≠0，那么，直线ax-y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是OxyxyOxyOxyO(A)(B)(C)(D)过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线．若此直线及抛物线交于A,B两点，弦AB的中垂线及x轴交于P点，则线段PF的长等于

(A)(B)(C)(D)8若xÎ[-,-]，则y=tan(x+)-tan(x+)+cos(x+)的最大值是

(A)(B)(C)(D)已知x,y都在区间(-2,2)内，且xy＝-1，则函数u=+的最小值是

(A)(B)(C)(D)在四面体ABCD中，设AB=1，CD=，直线AB及CD的距离为2，夹角为，则四面体ABCD的体积等于

(A)(B)(C)(D)填空题(每小题9分,满分54分)不等式|x|3-2x2-4|x|+3＜0的解集是__________.设F1,F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|:|PF2|=2:1，则△PF1F2的面积等于__________.已知A={x|x2-4x+3＜0,xÎR},B={x|≤0,x2-2(a+7)x+5≤0,xÎR}．若AÍB,则实数a的取值范围是____________.已知a,b,c,d均为正整数，且logab=,logcd=，若a-c=9,则b-d=________.将八个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且及圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于________.设Mn={(十进制)n位纯小数0.|ai只取0或1(i=1,2,…,n-1)，an=1}，Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则=_______.解答题(每小题20分，满分60分)已知,证设A、B、C分别是复数,,对应的不共线三点。证：曲线及中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点。一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且OA=a，折叠纸片，使圆周上某一点刚好及A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合。1994年全国高中数学联赛试题第一试一、选择题(每小题6分，共36分)1、设a,b,c是实数,那么对任何实数x,不等式都成立的充要条件是(A)a,b同时为0,且c>0(B)(C)(D)2、给出下列两个命题：(1).设a,b,c都是复数，如果,则.(2).设a,b,c都是复数，如果,则.那么下述说法正确的是(A)命题(1)正确,命题(2)也正确(B)命题(1)正确,命题(2)错误(C)命题(1)错误,命题(2)也错误(D)命题(1)错误,命题(2)正确3、已知数列满足,且,其前n项之和为,则满足不等式的最小整数n是(A)5(B)6(C)7(D)84、已知,则下列三数:,,的大小关系是(A)x<z<y(B)y<z<x(C)z<x<y(D)x<y<z5、在正n棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是(A)(B)(C)(D)6、在平面直角坐标系中,方程(a,b是不相等的两个正数)所代表的曲线是(A)三角形(B)正方形(C)非正方形的长方形(D)非正方形的菱形二、填空题(每小题9分，共54分)1.已知有向线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别为(-1,1)和(2,2)，若直线及PQ的延长线相交，则m的取值范围是______.2.已知且则=_____.3.已知点集,,则点集中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为_____.4.设,则的最大值是______.5.已知一平面及一正方体的12条棱的夹角都等于,则=___6.已知95个数,每个都只能取+1或两个值之一,那么它们的两两之积的和的最小值是___.1995年全国高中数学联赛试题第一试一、选择题(每小题6分，共36分)设等差数列{an}满足3a8=5a13且a1>0，Sn为其前n项和，则Sn中最大的是（

）

(A)S10

(B)S11

(C)S20

(D)S21设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z1,Z2,...,Z20，则复数Z11995,Z21995,...,Z201995所对应的不同的点的个数是（

）

(A)4

(B)5

(C)10

(D)20如果甲的身高或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有（

）

(A)1个

(B)2个

(C)50个

(D)100个已知方程|x-2n|=k√x(n∈N)在区间(2n-1,2n+1]上有两个不相等的实根，则k的取值范围是(

)

(A)k>0

(B)0<k≤1/√(2n+1)

(C)1/(2n+1)<k≤1/√(2n+1)

(D)以上都不是logsin1cos1，logsin1tg1，logcos1sin1，logcos1tg1的大小关系是

(A)logsin1cos1<logcos1sin1<logsin1tg1<logcos1tg1

(B)logcos1sin1<logcos1tg1<logsin1cos1<logsin1tg1

(C)logsin1tg1<logcos1tg1<logcos1sin1<logsin1cos1

(D)logcos1tg1<logsin1tg1<logsin1cos1<logcos1sin1设O是正三棱锥P-ABC底面三角形ABC的中心，过O的动平面及PC交于S，及PA,PB的延长线分别交于Q、R，则和式1/PQ+1/PR+1/PS(

)

(A)有最大值而无最小值

(B)有最小值而无最大值

(C)既有最大值又有最小值，两者不等

(D)是一个及面QPS无关的常数二、填空题(每小题9分，共54分)设α、β为一对共轭复数，若|α-β|=2√3，且α/β2为实数，则|α|=____。一个球的内接圆锥的最大体积及这个球的体积之比为____。用[x]表示不大于实数x的最大整数，方程lg2x-[lgx]-2=0的实根个数是____。直角坐标平面上，满足不等式组{y≤3xy≥x/3x+y≤100的整点个数是____。将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可使用，那么不同的染色方法的总数是____。设M={1,2,...,1995}，A是M的子集且满足条件：当x∈A时，15x就不属于A，则A中元素的个数最多是____。

1996年全国高中数学联赛试题【第一试】一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1.把圆x2+(y–1)2=1及椭圆9x2+(y+1)2=9的公共点,用线段连接起来所得到的图形为(A)线段(B)不等边三角形(C)等边三角形(D)四边形2.等比数列{an}的首项a1=1536,公比是q=.用πn表示它的前n项之积，则πn(nÎN)最大的是(A)π9(B)π11(C)π12