清华微积分高等数学课件第七讲导数与微分三

汇报人：,aclicktounlimitedpossibilities清华微积分高等数学课件第七讲导数与微分三CONTENTS目录01.添加目录标题02.导数的基本概念03.导数的计算方法04.微分的概念与计算方法05.导数与微分的应用06.导数与微分的性质和定理07.导数与微分在经济学中的应用添加章节标题01导数的基本概念02导数的定义导数是函数在某一点的切线斜率导数是函数在某一点的瞬时变化率导数是函数在某一点的极限值导数是函数在某一点的导数值导数的几何意义导数是函数在某一点的切线斜率导数是函数在某一点的斜率变化率导数是函数在某一点的极限值导数是函数在某一点的瞬时变化率导数的物理意义导数是描述函数在某一点处变化率的工具导数可以用来描述物体在某一点处的速度、加速度等物理量导数可以用来描述函数在某一点处的斜率导数可以用来描述函数在某一点处的曲率导数的计算方法03链式法则链式法则的推广形式为：(f(g(x),h(x),...))'=f'(g(x),h(x),...)*g'(x)*h'(x)*...。单击此处添加项标题链式法则是微积分中一个重要的计算方法，用于计算复合函数的导数。单击此处添加项标题链式法则的基本形式为：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。单击此处添加项标题链式法则的应用广泛，可以用于计算各种复合函数的导数。单击此处添加项标题乘法法则乘法法则：导数乘法法则是指两个函数的导数相乘等于两个函数乘积的导数公式：(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)应用：乘法法则在求导中应用广泛，如求导复合函数、求导积分等注意事项：乘法法则只适用于可导函数，且两个函数的导数必须都存在商式法则添加标题添加标题添加标题添加标题公式：f'(x)=(f(b)-f(a))/(b-a)商式法则：导数等于被积函数乘以积分上限减去积分下限应用：用于计算函数在某一点的导数注意事项：积分区间必须包含导数点，否则结果可能不准确复合函数求导法则例子：f(x)=sin(x^2)，求导f'(x)基本概念：复合函数是指由两个或多个函数组成的函数求导法则：复合函数的导数等于各部分函数导数的乘积注意事项：复合函数求导时要注意函数的定义域和值域微分的概念与计算方法04微分的定义微分是函数在某一点的切线斜率微分是函数在某一点的增量微分是函数在某一点的变化率微分是函数在某一点的导数微分的几何意义添加标题添加标题添加标题添加标题微分是函数在某一点的增量微分是函数在某一点的切线斜率微分是函数在某一点的线性近似微分是函数在某一点的局部线性化微分的物理意义微分是描述函数在某一点附近变化率的工具微分是微积分的基础，是研究函数性质的重要工具微分可以用来求解物理问题中的极值、拐点等微分可以用来计算函数的斜率、曲率等物理量微分的计算方法基本概念：微分是函数在某一点的切线斜率，是函数在某一点的变化率计算方法：使用导数公式进行计算，如y=x^2，其导数为y'=2x应用实例：计算函数y=x^2在x=1处的微分，结果为2注意事项：微分的计算需要掌握导数的计算方法，并注意函数的连续性和可导性导数与微分的应用05导数在函数单调性中的应用导数与函数单调性的关系：导数大于0，函数单调递增；导数小于0，函数单调递减导数在判断函数单调性中的应用：通过计算导数，判断函数在某点或某区间的单调性导数在求解函数极值中的应用：通过计算导数，求解函数的极值点导数在求解函数最值中的应用：通过计算导数，求解函数的最大值和最小值导数在函数极值中的应用导数是函数在某一点的切线斜率导数在函数极值中的应用：判断函数在某一点的导数是否为0，如果为0，则该点可能是函数的极值点导数在函数极值中的应用：判断函数在某一点的导数是否为0，如果为0，则该点可能是函数的极值点导数在函数极值中的应用：判断函数在某一点的导数是否为0，如果为0，则该点可能是函数的极值点微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用：微分可以用来近似计算函数的值，例如求极限、求导数等。微分在近似计算中的应用：微分可以用来近似计算函数的最大值和最小值，例如求极值、求拐点等。微分在近似计算中的应用：微分可以用来近似计算函数的积分，例如求积分、求面积等。微分在近似计算中的应用：微分可以用来近似计算函数的导数，例如求导数、求微分等。导数与微分在物理和工程中的应用物理中的应用：描述物体运动、力、加速度等物理量工程中的应用：优化设计、分析系统稳定性、控制工程等导数在力学中的应用：描述物体的运动状态、力、加速度等微分在热力学中的应用：描述温度、压力、体积等物理量的变化规律导数与微分的性质和定理06导数的性质导数的定理导数定义：函数在某一点的导数是该点切线的斜率导数存在定理：如果函数在某点可导，则该点一定连续导数连续定理：如果函数在某点连续，则该点一定可导导数极限定理：如果函数在某点可导，则该点一定存在极限微分的性质微分是函数在某一点的局部线性逼近微分是函数在某一点的切线斜率微分是函数在某一点的增量比微分是函数在某一点的导数极限微分的定理添加标题添加标题添加标题微分定理：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，则f(x)在[a,b]上的微分等于f'(x)dx微分中值定理：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，则存在一个ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=f(b)-f(a)微分极限定理：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，则f'(x)=lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h微分积分定理：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，则f'(x)=∫f(x)dx添加标题导数与微分在经济学中的应用07导数在边际分析中的应用边际分析：研究经济变量之间的关系导数：描述函数在某一点的变化率边际分析中的导数：用于计算边际成本、边际收益等边际分析的应用：帮助企业优化生产、定价等决策导数在弹性分析中的应用添加标题导数：描述函数在某一点的斜率，用于衡量函数的变化率添加标题弹性分析：研究价格、需求、供给等经济变量之间的关系添加标题供给弹性：描述价格变化对供给量的影响程度添加标题需求弹性：描述价格变化对需求量的影响程度2143添加标题边际收益：描述单位产量增加所引起的总收益增加量添加标题边际成本：描述单位产量增加所引起的总成本增加量添加标题利润最大化：通过计算边际成本和边际收益的比值，确定最优产量和价格657微分在最优决策中的应用微分在博弈论中的应用：通过微分求解博弈均衡，分析最优决策策略微分在边际分析中的应用：通过微分求解边际函数，分析边际成本、边际收益等指标，进行最优决策微分在动态规划中的应用：通过微分求解动态规划方程，求解最优决策路径微分在投资决策中的应用：通过微分求解投资组合的最优配置，进行最优投资