司法考试习题

习题1.主析取范式和主合取范式试化以下公式为主析取范式和主合取范式，并判断各公式类型(P∨Q)(PQ)

(

P∨

Q)∨(P

Q)

∧(

Q

P)

(P∧Q)∨(

P∨

Q)∧(Q∨P)

(P∧Q)∨((Q∨P)∧

P)∨((Q∨P)

∧

Q)

(P∧Q)∨(

P∧Q)∨(

P∧P)∨(

Q∧Q)∨(

Q∧P)

(

P∧Q)∨(P∧

Q)∨(P∧Q)

m01∨m10∨m11

M00是偶然式主析取范式和主合取范式试化以下公式为主析取范式和主合取范式，

并判断各公式类型P∨(P(Q∨(QR)))

P∨(P∨(Q∨(Q∨R)))

P∨Q∨R

M000

m001∨m010∨m011∨m100∨m101∨m110∨m111是偶然式主析取范式和主合取范式试化以下公式为主析取范式和主合取范式，

并判断各公式类型(P(Q∧R))∧(P(QR))

(

P∨(Q∧R))∧(P∨(Q∨R))

(

P∨Q)∧(

P∨R)∧(P∨Q∨R)

(P∨Q∨R)∧(

P∨Q∨R)∧(

P∨Q∨

R)∧(

P∨

Q∨R)

M000∧

M100∧

M101∧

M110

m001∨m010∨m011∨m111是偶然式用同一律和互补律(A

A∨(B∧

B))，补充简单析取式中未出现的命题变元，并用分配律展开主析取范式和主合取范式试化以下公式为主析取范式和主合取范式，

并判断各公式类型((P∨Q)R)P

(

(P∨Q)

∨R)∨P

((P∨Q)

∧

R)∨P

(P∨Q∨P)∧(

R∨P)

(P∨Q)∧(P∨

R)

(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨

R)∧(P∨

Q∨

R)

M000∧M001∧M011

m010∨m100∨m101∨m110∨m111是偶然式主析取范式真值表法：例1.37：求(P

Q)∧Q的主析取范式PQm00m01m10m11

P∧

Q

P∧QP∧

QP∧Q001000010100100010110001PQm00m01m10m11(P

Q)∧Q

P∧

Q

P∧QP∧

QP∧Q0010000010100110001001100011∴(P

Q)∧Q

(

P∧Q)∨(P∧Q)

m01∨m11主合取范式真值表法：例1.40：求(P

Q)∧Q的主合取范式PQM00M01M10M11(P

Q)∧QP∨Q

P∨

Q

P∨Q

P∨

Q0001110011011110110101111101∴(P

Q)∧Q

(P∨Q)∧(

P∨Q)

M00∧M10分别用真值表法和公式法求(P(Q∨R))∧(P∨(QR))的主析取范式与主合取范式〔10分〕主析取范式和主合取范式命题逻辑命题公式A(P,Q,R)，并且知道只有当赋值为001、110和111时公式真值为假。求命题公式A(P,Q,R)的主析取范式为__________________。命题逻辑的推理理论符号化下述论断，并证明其有效性。如果今天是周一，那么进行离散数学或C语言其中一门考试如果C语言老师有会，那么不考C语言今天是周一C语言老师有会所以：进行离散数学考试设： P：今天是周一，Q：考C语言， R：考离散数学，S：C语言老师有会，P

Q

RS

QPSR命题逻辑的推理理论前提：P

Q

R，S

Q，P，S结论：R证明：(1)

P

P

(2)

P

Q

R P

(3)

Q

R T(1)(2)I8

(4)

(Q

R) T(3)

(5)

Q

R T(4)E12 (6)

Q

R T(5)I18 (7)

S P (8)

S

Q P (9)

Q T(7)(8)I8 (10)

R

T(6)(9)I8命题逻辑的推理理论符号化下面命题，并推证之。如果厂方拒绝增加工资，那么罢工不会停止

除非罢工超过一年，并且工厂厂长辞职因此：假设厂方拒绝增加工资，而罢工又刚刚开始，

罢工是不会停止的设： P：厂方拒绝增加工资，Q：罢工会停止， R：罢工超过一年，S：工厂厂长辞职，(P

Q)

(R∧S)P∧

R

Q习题23前提：(PQ)(R∧S) 结论：P∧RQ证明：(1) Q P〔假设前提〕 (2) (PQ)(R∧S) P (3) (R∧S)(PQ) T(2)I18 (4) (R∧S)∨(P∨Q) T(3)E11 (5) Q∨(P∨(R∧S)) T(4)E2E3 (6) Q(P∨R)∧(P∨S) T(5)E11E3 (7) (P∨R)∧(P∨S) T(1)(6)I8 (8) P∨R T(7)I1 (9) (P∧R) T(8)E5 (10) Q(P∧R) CP(1)(9) (11) P∧RQ T(10)E11习题23前提：(PQ)(R∧S) 结论：P∧RQ证明：(1) P∧R P〔假设前提〕 (2) (P∧R)∨(P∧S) T(1)I3 (3) P∧(R∨S) T(2)E4 (4) P∧(R∧S) T(3)E5 (5) (R∧S) T(4)I1 (6) (PQ)(R∧S) P (7) (R∧S)(PQ) T(6)I18 (8) PQ T(5)(7)I18 (9) P T(4)I1 (10) Q T(8)(9)I8 (11) P∧RQ CP(1)(10)只要今天天气不好，就一定有考生不能提前进入考场，当且仅当所有考生提前进入考场，考试才能准时进行。所以，如果考试准时进行，那么天气就好。命题逻辑的推理理论谓词逻辑的推理理论构造证明以下各式(x)P(x)(x)Q(x)

(x)(P(x)Q(x))(x)(P(x)Q(x)),(x)(R(x)Q(x))

(x)(R(x)P(x))(x)(P(x)Q(x))

(x)P(x)(x)Q(x)习题20证明：(1)

(

x)P(x)

(

x)Q(x)

P

(2)

(

x)P(x)∨(

x)Q(x) T(1)E11

(3)

(

x)

P(x)∨(

x)Q(x) T(2)Q

(4)

(

x)(

P(x)∨Q(x)) T(3)Q

(5)

(

x)(P(x)

Q(x))

T(4)E111) (

x)P(x)

(

x)Q(x)

(

x)(P(x)

Q(x))习题20证明： (1)

(

x)(R(x)

P(x))

P(附加前提)

(2)

(

x)(

R(x)∨

P(x)) T(1)E11

(3) (

x)(R(x)∧P(x)) T(2)QE1E5

(4)

R(y)∧P(y) EI(3)

(5)

R(y) T(4)I1

(6)

(

x)(R(x)

Q(x))

P

(7)

R(y)

Q(y) UI(6)

(8)

Q(y) T(5)(7)I8

(9)

(

x)(P(x)

Q(x))

P

(10)

P(y)

Q(y) UI(9)

(11)

P(y) T(4)I2

(12)

Q(y) T(10)(11)I8

(13)

Q(y)∧

Q(y)

T(8)(12)2) (

x)(P(x)

Q(x)),(

x)(R(x)

Q(x))

(

x)(R(x)

P(x))

习题20证明： (1)

(

x)P(x)

P(附加前提)

(2)

P(y)

UI(1)

(3)

(

x)(P(x)

Q(x))

P

(4)

P(y)

Q(y) UI(3)

(5)

Q(y) T(2)(4)I8

(6)

(

x)Q(x)

UG(5) (7)

(

x)P(x)

(

x)Q(x)

CP(1)(6)3) (

x)(P(x)

Q(x))

(

x)P(x)

(

x)Q(x)谓词逻辑设论域元素为a1，a2，a3，a4，那么；。前束范式在以下公式中，对约束变元进行改名，对自由变元进行代入(x)(P(x)(Q(x)∨R(x)))∧(x)(R(x)(y)S(x,y))

(x)(P(x)Q(x))(x)(R(x)∧S(x))改名：把第一个约束变元x改为u，把第二个约束变元x改为v 把第三个约束变元y改为w改名：把第一个约束变元x改为u，把第二个约束变元x改为v(

u)(P(u)

(Q(u)∨R(u)))∧(

v)(R(v)

(

w)S(v,w))(

u)(P(u)

Q(u))

(

v)(R(v)∧S(v))前束范式在以下公式中，对约束变元进行改名，对自由变元进行代入(x)P(x,y)∧(x)(Q(x,z)(z)(x)R(x,y,z))改名：把第一个约束变元x改为u，把第四个约束变元x改为v改名：把第二个约束变元x改为s，把第三个约束变元z改为t(

u)P(u,y)∧(

x)(Q(x,z)

(

z)(

v)R(v,y,z))(

u)P(u,y)∧(

s)(Q(s,z)

(

t)(

v)R(v,y,t))代入：将第一个自由变元y代入r，将第二个自由变元z代入w(

u)P(u,r)∧(

s)(Q(s,w)

(

t)(

v)R(v,r,t))前束范式在以下公式中，对约束变元进行改名，对自由变元进行代入(x)(P(x,y)(z)Q(x,z))∧(y)R(x,y)改名：把第一个约束变元x改为u，把第二个约束变元z改为v 把第三个约束变元y改为w代入：将第一个自由变元y代入s，将第二个自由变元x代入t(

u)(P(u,y)

(

v)Q(u,v))∧(

w)R(x,w)(

u)(P(u,s)

(

v)Q(u,v))∧(

w)R(t,w)等价式量词辖域的扩大与缩小〔小结〕

(x)(A(x)∧B)(x)A(x)∧B

(x)(A(x)∨B)(x)A(x)∨B

(x)(A(x)∧B)(x)A(x)∧B

(x)(A(x)∨B)(x)A(x)∨B (x)(A(x)B)(x)A(x)B

(x)(A(x)B)(x)A(x)B (x)(BA(x))B(x)A(x)

(x)(BA(x))B(x)A(x)前束范式例2.11：

将公式((

x)P(x)

∨(

y)Q(y))

(

x)R(x)化为前束范式解：公式

((

x)P(x)

∨(

y)Q(y))

(

z)R(z)

(

x)

(P(x)

∨(

y)Q(y))

(

z)R(z)

(

x)(

y)(P(x)

∨

Q(y))

(

z)R(z)

(

x)(

y)

((P(x)∨Q(y))

(

z)R(z))

(

x)(

y)(

z)((P(x)

∨

Q(y))

R(z))解：〔公式(x)(y)(z)((P(x)∨Q(y))R(z))〕公式 ((x)P(x)∨(y)Q(y))(z)R(z) (y)((x)P(x)∨Q(y))(z)R(z) (y)(x)(P(x)∨Q(y))(z)R(z) (y)(x)(z)((P(x)∨Q(y))R(z))假设公式中有约束变元重复出现，或者与公式中的自由变元重名，那么将公式中的约束变元改名前束范式不是唯一的求以下公式的前束范式(x)((∃y)A(x,y)→(∃x)(y)(B(x,y)∧(y)(A(y,x)→B(x,y))))(∃x)((∃y)A(x,y)∧(

u)(∃v)(

B(u,v)∨(∃w)

(A(w,u)→B(u,w))))(∃x)(∃y)(

u)(∃v)(∃w)(A(x,y)∧(

B(u,v)∨

(A(w,u)→B(u,w))))前束范式(

x)(P(x)→((∃y)Q(y)→(∃y)R(x,y)))

前束范式谓词逻辑的推理理论符号化以下各命题，并给出构造推理证明。每一个自然数不是奇数就是偶数

自然数是偶数当且仅当它能被2整除

并不是所有自然数都能被2整除所以：有的自然数是奇数设： N(x)：x是自然数，O(x)：x是奇数， E(x)：x是偶数，T(x)：x能被2整除(

x)(N(x)

O(x)

E(x))(

x)(N(x)

(E(x)

T(x)))

(

x)(N(x)

T(x))(

x)(N(x)∧O(x))谓词逻辑的推理理论前提：(

x)(N(x)

O(x)

E(x)),(

x)(N(x)

(E(x)

T(x))),

(

x)(N(x)

T(x)) 结论：(

x)(N(x)∧O(x))证明： (1)

(

x)(N(x)

T(x))

P

(2)

(

x)(

N(x)∨T(x)) T(1)E11

(3) (

x)(N(x)∧

T(x)) T(2)Q,E1,E5

(4)

N(y)∧

T(y) EI(3)

(5)

N(y) T(4)I1 (6)

(

x)(N(x)

(E(x)

T(x)))

P (7)

N(y)

(E(y)

T(y)) UI(6) (8)

E(y)

T(y) T(5)(7)I8 (9)

E(y)

T(y) T(8)I18习题22(1)

(10)

T(y) T(4)I1

(11)

E(y) T(9)(10)I9

(12)

(

x)(N(x)

O(x)

E(x))

P

(13)

N(y)

O(y)

E(y) UI(12)

(14)

O(y)

E(y) T(5)(13)I8 (15)

(O(y)

E(y)) T(14) (16)

O(y)

E(y) T(15)E12 (17)

O(y) T(11)(16)I8 (18)

N(y)∧

O(y) T(5)(17)

(19)

(

x)(N(x)∧O(x))

EG(18)(4)

N(y)∧

T(y) EI(3)(5)

N(y) T(4)E1(9)

E(y)

T(y) T(8)E18谓词逻辑的推理理论符号化以下各命题，并给出构造推理证明。如果一个人怕困难，那么他就不会获得成功

每个人或者获得成功，或者失败过

有些人未曾失败过所以：有些人不怕困难设： P(x)：x是人，D(x)：x怕困难， S(x)：x成功，F(x)：x失败(

x)(P(x)∧

D(x)

S(x))(

x)(P(x)

(S(x)∨

F(x)))(

x)(P(x)∧

F(x))(

x)(P(x)∧

D(x))谓词逻辑的推理理论前提：(

x)(P(x)∧D(x)

S(x)),(

x)(P(x)

(S(x)∨F(x))),

(

x)(P(x)∧

F(x)) 结论：(

x)(P(x)∧

D(x))证明： (1)

(

x)(P(x)∧

F(x))

P

(2)

P(y)∧

F(y) EI(1)

(3)

P(y) T(2)I1

(4)

F(y) T(2)I1

(5)

(

x)(P(x)

(S(x)∨F(x)))

P (6)

P(y)

(S(y)∨F(y)) UI(5) (7)

S(y)∨F(y) T(3)(6)I8 (8)

S(y) T(4)(7)I10习题22(2)

(9)

(

x)(P(x)∧D(x)

S(x))

P

(10)

P(y)∧D(y)

S(y) UI(1)

(11)

(P(y)∧D(y)) T(8)(10)I9

(12)

P(y)∨

D(y) T(11)E5

(13)

D(y) T(3)(12)I10 (14)

P(y)∧

D(y) T(3)(13) (15)

(

x)(P(x)∧

D(x))

EG(14)(3)

P(y) T(2)I1(8)

S(y) T(4)(7)I10谓词逻辑的推理理论符号化以下各命题，并给出构造推理证明。每个科学工作者都是刻苦钻研的每个刻苦钻研而又聪明的科学工作者都将获得事业的成功

华有为是一名科学工作者，并且他是聪明的

所以：华有为将获得事业上的成功S(x)：x是科学工作者，H(x)：x刻苦钻研，C(x)：x是聪明的P(x)：x在获得事业上的成功，a：华有为(

x)(S(x)

H(x))(

x)(S(x)∧H(x)∧C(x)

P(x))S(a)∧C(a)P(a)谓词逻辑的推理理论前提：(

x)(S(x)

H(x)),(

x)(S(x)∧H(x)∧C(x)

P(x)),

S(a)∧C(a)

结论：P(a)证明： (1)

(

x)(S(x)

H(x))

P

(2)

S(a)

H(a) UI(1)

(3)

S(a)∧C(a)

P

(4)

S(a) T(3)I1

(5)

H(a) T(2)(4)I8 (6)

(

x)(S(x)∧H(x)∧C(x)

P(x))

P (7)

S(a)∧H(a)∧C(a)

P(a) UI(6) (8)

P(a)

T(3)(5)(7)I8谓词逻辑的推理理论符号化以下各命题，并给出构造推理证明。每个资深名士，或是政协委员，或是国务院参事

资深名士张大为不是政协委员，但他是中科院院士

所以：有的中科院院士是国务院参事K(x)：x是资深名士，Z(x)：x是政协委员，

G(x)：x是国务院参事，S(x)：x是中科院院士，a：张大为(

x)(K(x)

(Z(x)∨

G(x)))K(a)∧

Z(a)∧S(a)(

x)(S(x)∧G(x))习题22(4)证明： (1)

(

x)(K(x)

(Z(x)∨

G(x)))

P

(2)

K(a)

(Z(a)∨

G(a)) UI(1)

(3)

K(a)∧

Z(a)∧S(a)

P

(4)

K(a) T(3)I1

(5)

Z(a)∨

G(a) T(2)(4)I8 (6)

Z(a)

T(3)I1

(7)

G(a) T(5)(6)I10 (8)

S(a) T(3)I1 (9)

G(a)∧

S(a) T(7)(8)

(10)

(

x)(S(x)∧G(x))

EG(9)前提：(

x)(K(x)

(Z(x)∨

G(x))),K(a)∧

Z(a)∧S(a)

结论：(

x)(S(x)∧G(x))每个大学生不是文科学生就是理工科学生，有的大学生是优等生，小张不是理工科学生，但他是优等生，因而如果小张是大学生，他就是文科学生。谓词逻辑的推理理论集合设A、B、C、D是集合，求证：

(A

B)×(C

D)

(A×C)

(B×D)

证明：对于(A

B)×(C

D)中的任意元素<x,y>，有：<x,y>

(A

B)×(C

D)

x

(A

B)∧

y

(C

D) (x

A∧x

B)∧(y

C∧y

D) (x

A∧y

C)∧(x

B∧y

D)

<x,y>

(A×C)∧

<x,y>

(B×D)

<x,y>

(A×C)

(B×D)

集合20.4)(A-B)×C=(A×C)-

(B×C)证明：对于(A-B)×C中的任意元素<x,y>，有<x,y>

(A-B)×C

x

(A-B)∧y

C (x

A∧x

B)∧y

C (x

A∧y

C∧x

B)∨(x

A∧y

C∧y

C) (x

A∧y

C)∧(x

B∨y

C) (x

A∧y

C)∧

(x

B∧y

C)

<x,y>

(A×C)

∧

<x,y>

(B×C)

<x,y>

(A×C)-

(B×C)集合求证：假设A×A=B×B，那么：A=B证明：假设A≠B，那么必存在x，有xA∧xB，或存在y，有yA∧yB假设存在x，有xA∧xB， 那么<x,x>A×A，且<x,x>B×B，那么A×A≠B×B假设存在y，yA∧yB， 那么<y,y>B×B，且<y,y>A×A，那么A×A≠B×B综上所述，可知：假设A×A=B×B，那么必有A=B集合求证：假设A×B=A×C，且A≠，那么：B=C证明：假设B≠C，那么必存在y，有yB∧yC，或存在z，有zB∧zC，又因为A≠，那么必存在xA。假设存在y，有yB∧yC，有 <x,y>A×B，且<x,y>A×C，那么A×B≠A×C假设存在z，有zB∧zC，有 那么<x,z>A×B，且<x,z>A×C，那么A×B≠A×C综上所述，可知：假设A×B=A×C，且A≠，那么必有B=C设A、B、C、D为四个非空集合，那么A×BC×D的充要条件是AC，BDA、B、C是三个集合，证明(A∪B)－C＝(A－C)∪(B－C)集合闭包运算构造r(R)、s(R)、t(R)的方法就是给R补充必要的有序对。设G是集合A上二元关系R的关系图，给G中所有结点都补充上有向环，就得到了R的自反闭包r(R)的关系图。定理：假设RA×A，那么r(R)=RIA证明： 因为是IA自反的，因此RIA是自反的 且RRIA 设R1是A上任意的自反关系，且RR1， 由于R1是自反的，因此IAR1， 又因为RR1，因此RIAR1，故r(R)=RIA参照定义闭包运算设G是集合A上二元关系R的关系图，将G中所有的弧都画成“有来有往〞〔即如果有从a到b的弧，就有从b到a的弧〕就得到了R的对称闭包s(R)的关系图。定理：假设RA×A，那么s(R)=RR-1证明： 1)设R1=RR-1，显然RR1。 2)因为R1-1=(RR-1)-1=R-1(R-1)-1=R-1R=R1

所以R1是对称的。定理：假设RA×A，那么 R是对称的R=R-1闭包运算3)设R2是A上任意的对称关系，且RR2。对于任意<x,y>R1，或者<x,y>R，或者<x,y>R-1假设<x,y>R，那么<x,y>R2；假设<x,y>R-1，那么<y,x>R，那么<y,x>R2， 又因为R2是对称的，所以<x,y>R2；所以R1R2综上所述，证得s(R)=RR-1闭包运算设G是集合A上二元关系R的关系图，如果有从a到b的弧，并且有从b到c的弧，就补充上从a到c的弧，就得到了R的传递闭包t(R)的关系图。定理：假设RA×A，那么t(R)=Ri=RR2R3……证明略〔教材P73〕定理：若R

A×A，|A|=n

则t(R)=

Ri=R

R2

R3

……

Rn

i=1n证明略〔教材P74〕i=1

闭包运算定理：假设R是A上的二元关系，那么：rs(R)=sr(R)证明： sr(R) =s(RIA) =(RIA)(RIA)-1 =(RIA)(R-1IA-1) =(RR-1)IA =r(RR-1) =rs(R)定理：假设RA×A，那么r(R)=RIA定理：假设RA×A，那么s(R)=RR-1闭包运算定理：假设R是A上的二元关系，那么：rt(R)=tr(R)证明：由于R°IA=IA°R=R，且IA°IA=IA；(RIA)2=(RIA)°(RIA)=R°(RIA)IA°(RIA)=IARR2

因此，tr(R)=t(R

IA)=

(R

IA)i

i=1

i=1n用归纳法可证： (R

IA)n=IA

(

Ri)i=1

=

(IA

(

Rj))=IA

(

Rj)=IA

t(R)=rt(R)j=1i

j=1

R°(S

T)=R°S

R°TR2Rp73关系的闭包运算设集合A={a,b,c,d}上的关系R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}，用矩阵运算求出R的传递闭包关系矩阵： 自反闭包：r(R)=R∪IA

关系的闭包运算所以，r(R)={<a,a>,<b,b>,<c,c>,<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}

对称闭包：S(R)=MR

＋MR-1关系的闭包运算传递闭包：关系的闭包运算t(R)={<a,a>,<a,b>,<a,c>,<a,d>,<b,a>,<b,b>,<b,c>,<b,d>,<c,d>}

等价关系与划分设集合A={1,2,3,4,5}，求A上的一个划分{{1,2},{3},{4,5}}的等价关系，并画出关系图：解：R=({1,2}×{1,2})

({3}×{3})

({4,5}×{4,5}) ={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,3>,

<4,4>,<4,5>,<5,4>,<5,5>}12345等价关系与划分的对应关系Π={{a}{b,c}}是A={a,b,c}的一个划分，由Π决定的A上的一个等价关系是。等价关系的证明设R和S是非空集合A上的等价关系，试确定下面各式是否为等价关系。假设是那么证明之，假设不是那么举例说明：R2证明：1)对于xA，有xRx。因此有xR2x，故R2是自反的2)对于x,yA，假设有xR2y，那么必存在zA，有xRz,zRy，因为R是对称的，所以必定有：yRz,zRx，即有yR2x。也就是说：假设有xR2y，那么必有yR2x，故R2是对称的3)对于x,y,zA，假设有xR2y,yR2z，那么a,bA，有：xRa和aRy

以及yRb和bRz，因为R是传递的，所以必定有：xRy,yRz。那么假设有xR2y,yR2z，必有xR2z，故R2是传递的。∴R2是等价关系是。等价关系的证明设R是A上的二元关系，对于a,b,cA，

假设aRb,bRc，那么cRa，称R是循环的。

求证：R是自反的和循环的，当且仅当R是等价关系证明：1)假设R是等价关系，那么R是自反的、对称的和传递的。对于a,b,cA，假设aRb,bRc，因为R是传递的，所以有aRc又因为R是对称的，所以有cRa。所以R是循环的2)假设R是自反的和循环的，那么对于a,b,cA，假设aRb,bRc，那么cRa因为R是自反的，所以有aRa，所以有aRc，所以R是传递的假设有aRb，因为有bRb，那么有bRa，所以R是对称的，故R是等价关系cRa,aRa那么aRc偏序关系的证明设R是集合A上的偏序关系，且B

A，

求证：R

(B×B)是B上的偏序关系证明：1)对于

x

B，一定有：<x,x>

B×B 因为B

A，所以x

A，所以一定有：<x,x>

R

所以，一定有<x,x>

R

(B×B)， 所以：R

(B×B)是自反的偏序关系的证明设R是集合A上的偏序关系，且B

A，

求证：R

(B×B)是B上的偏序关系2)对于x,yB，一定有<x,y>B×B且<y,x>B×B因为R是反对称的，所以假设有<x,y>R且<y,x>R，那么有x=y所以：假设有<x,y>R(B×B)且<y,x>R(B×B)，那么有：<x,y>R且<y,x>R，那么有：x=y所以：R(B×B)是反对称的偏序关系的证明设R是集合A上的偏序关系，且B

A，

求证：R

(B×B)是B上的偏序关系3)对于x,y,zB，一定