初等方法建模

第二章初等方法建模2.1比例分析模型2.2代数模型2.3量纲分析模型2.4简单优化模型2.1

比例分析模型2.1.1

包装成本问题2.1.2

划艇比赛成绩

2.1.1包装成本问题

考虑像面粉、洗涤剂或果酱之类的产品，它们常常是包装后出售的。注意到包装比较大的按每克计算的价格较低。人们通常认为这是由于节省了包装和经营的成本的缘故。或许有人会问，这是主要原因吗?是否还有其他重要因素？能否构造一个简单模型来分析？问题研究产品成本随包装大小而变化的规律2.1.1包装成本问题模型分析与假设1）计入批发价格的主要成本是:

生产该产品的成本包装该产品的成本运输该产品的成本包装材料的成本2）产品成本显然随商业竞争和经营规模不同而变化，忽略这些因素集中考虑在原料和买卖过程的费用上.设该产品成本与所生产的货物重量成正比,

记为其中w为产品重量模型分析与假设

装包时间大致与体积（因而与重量）成比例,而对于体积在一定范围内的包装，后两部分时间相差不大。2.1.1包装成本问题3)包装成本取决于装包、封包以及装箱备运所需要的时间.于是有

每件包装品的体积与包装品的表面积或体积成正比，它取决于摊平后运输(像纸板之类)还是成型后运输(像玻璃器皿之类),所以包装材料的成本其中是表面积，

均为常数，4)包装材料性能：每件包装所消耗材料量(因而也是每件包装的重量)与所覆盖的表面积成正比。模型假设2.1.1包装成本问题

5）假设各种包装品在几何形状上是大致相似的,体积几乎与线性尺度的立方成正比,表面积几乎与线性尺度的平方成正比，模型分析与假设2.1.1包装成本问题于是每克的批发成本是

模型建立由此看出，当包装增大时，即每包内产重量增大时，每克的成本下降.

现在将比例法中涉及的自变量化为一个自变量——重量。2.1.1包装成本问题进一步的分析可以看到，每克产品的成本下降速度因此当包装比较大时，每克的节省率增加得比较慢。总节省率为这是W的减函数。这也是的减函数。2.1.1包装成本问题直观解释

购买预先包装好看产品时，把小型包装的包装规格(体积)增大一倍，每克所节省的钱，倾向于比大型的包装规格增大一倍所节省的钱多。此模型可推广于零售价格，零售成本取决于批发价、销售成本和仓库成本，后两种成本具有的形式，因此上述结论也适用于零售价格。应用这里说“倾向于”是因为模型是粗糙的。然而在定性预测中往往很可靠。而验证上述解释也是很容易的只须计算的值，其中

2.1.1包装成本问题赛艇2000米成绩t(分)种类1234平均单人7.167.257.287.177.21双人6.876.926.956.776.88四人6.336.426.486.136.32八人5.875.925.825.735.84艇长l

艇宽b(米)(米)l/b

7.930.29327.09.760.35627.411.750.57421.018.280.61030.0空艇重w0(kg)

浆手数n

16.313.618.114.7对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现成绩与浆手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。问题准备调查赛艇的尺寸和重量l/b,w0/n

基本不变2.1.2划艇比赛成绩问题分析

前进阻力~浸没部分与水的摩擦力

前进动力~浆手的划浆功率分析赛艇速度与浆手数量之间的关系赛艇速度由前进动力和前进阻力决定划浆功率

赛艇速度赛艇速度前进动力前进阻力浆手数量艇重浸没面积

对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定

运用合适的物理定律建立模型2.1.2划艇比赛成绩模型假设1）艇形状相同(l/b为常数),w0与n成正比2）v是常数，阻力f与Sv2成正比符号：艇速v,浸没面积

S,浸没体积A,空艇重w0,阻力f,浆手数n,浆手功率

p,浆手体重

w,艇重W艇的静态特性艇的动态特性3）w相同，p不变，p与w成正比浆手的特征模型建立f

Sv2p

wv

(n/S)1/3S1/2

A1/3A

W(=w0+nw)

nS

n2/3v

n1/9比赛成绩

t

n

–1/9np

fv2.1.2划艇比赛成绩模型检验n

t17.2126.8846.3285.84最小二乘法利用4次国际大赛冠军的平均成绩对模型

t

n

–1/9进行检验tn12487.216.886.325.84••••与模型巧合！2.1.2划艇比赛成绩2.2代数模型森林中的树木每年都要有一批被砍伐出售。为了使这片森林不被耗尽且每年都有收获，每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼苗，使森林树木的总数保持不变。被出售的树木，其价值取决于树木的高度，开始时森林中的树木有着不同的高度。我们希望能找到一个方案，在维持收获的前提下，如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得最大的经济价值？森林管理问题

模型假设1）把树木按高度分为n类，第1类树木的高度为

[0,h1]，它是树木的幼苗，第k类树木的高度为

（hk

-1,hk]，k=2,3,…,n-1，第n类树木的高度为

（hn-1,∞）；2）幼苗的经济价值为p1=0，第k类的经济价值为

pk

,k=2,3,…,n；3）每年对森林中的树木砍伐一次，且只砍伐部分树木，每砍伐一棵树木就补种一棵幼苗.森林管理问题

5）在一年的生长期内，树木最多生长一个高度类,

即第k类的树木可能进入第k+1类，也可能停留

在第k类，进入第k+1类的比例为;

4）补种的幼苗和未被砍伐的树木经过一年的生长期后，与砍伐前树木的高度状态相同；6）忽略两次砍伐期间树木的死亡情况.模型假设森林管理问题

设为第t年森林中第k类树木的数量，每年砍伐第k类树木数为建立模型S为森林树木总数没有砍伐时，树木第t+1年的数量是(2)森林管理问题

(1)有砍伐时，树木第t+1年的数量是(3)建立模型森林管理问题

引入树木状态向量x(t)、收获向量y、生长矩阵G和种植矩阵R如下建立模型森林管理问题

（2）式和（3）式分别写为考虑到假设4），又有（5）本问题即是求满足（1）式条件下的（5）式的解。建立模型树木状态向量x(t)、收获向量y、生长矩阵G、种植矩阵R森林管理问题

模型求解由于幼苗无经济价值，故不对其砍伐，即由（5）式可得(6)森林管理问题

利用收获向量和价值向量，得所收获树木的价值为(8)为了获得最大的收益,要在条件(1)和(7)式限制下,求（8）式的最大值。(7)模型求解森林管理问题

在实际中，往往只砍伐一种类别的所有树木，设为k类，且此时及（6）式得解得模型求解即森林管理问题

代入（1）式得此时，收获树木的价值为比较各即可获得最佳砍伐方案。模型求解森林管理问题

求出对其进行最优采伐的策略。例题

已知森林具有6年的生长期，g1=0.28,

g2=0.32,

g3=0.25,g4=0.23,

g5=0.37,p2=50元，p3=100元，p4=150元，p5=200元，p6=250元。问题森林管理问题

f2=14.0S,f3=14.7S,f4=13.9S,f5=13.2S,f6=14.0S，比较得f3最大，收益是14.7S。因此应砍伐第三年中的全部树木。求解例题

按上述方法计算得此时，x2=0.475S，森林群体x=(0.525,0.475,0,0,0，0)T，即第一年树木占树木总数的52.5%，第二年树木占树木总数的47.5%。森林管理问题

2.3量纲分析法2.3.1

单位2.3.2

量纲分析2.3.3

物理模拟中的比例模型2.3.4

无量纲化

量纲分析是物理学中常用的一种定性分析方法，也是建立数学模型的一个有力工具。任何物理量都是有单位的，数学建模中的变量、参量和常量代表可以被测量的数量，所以也应具有相应的单位。一般执行国际单位制，比如：长度（米,m）、质量（千克,kg）、时间（秒,s），力（牛顿,N=kg.m/s2）、能量（焦耳,J=kg.m2/s2）等。2.3.1单位物理量的量纲X→[x]或dimx长度

l的量纲记L=[l]质量

m的量纲记

M=[m]时间t

的量纲记T=[t]动力学中基本量纲

L,M,T速度v的量纲[v]=LT-1导出量纲加速度a

的量纲[a]=LT-2力f

的量纲[f]=LMT-2面积s的量纲[s]=L2密度的量纲[ρ]=ML-32.3.2量纲分析2.3.2量纲分析量纲齐次原则任何一个有意义的等式（方程）左右两端的量纲应保持一致引力常数

k

的量纲[k]对无量纲量

，[

]=1(=L0M0T0)=[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2量纲分析~利用量纲齐次原则寻求各物理量之间的关系例：单摆运动lmgm求摆动周期t

的表达式设物理量t,m,l,g

之间有关系式

1,

2,

3

为待定系数，

为无量纲量(1)的量纲表达式对比2.3.2量纲分析对x,y,z的两组测量值x1,y1,z1

和x2,y2,z2，

p1=f(x1,y1,z1),p2=f(x2,y2,z2)为什么假设这种形式设p=f(x,y,z)x,y,z的量纲单位缩小a,b,c倍p=f(x,y,z)的形式为2.3.2量纲分析单摆运动中t,m,l,g

的一般表达式y1~y4为待定常数,

为无量纲量2.3.2量纲分析为了导出量纲分析中的一般方法，设设f(q1,q2,,qm)=0

ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T,s=1,2,…,m-rF(

1,

2,…,

m-r)=0

与

f(q1,q2,,qm)=0

等价,F未定。Pi定理(Buckingham)是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2,

,

Xn

是基本量纲,n

m,q1,q2,

,

qm

的量纲可表为量纲矩阵记作线性齐次方程组有m-r

个基本解，记作为m-r

个相互独立的无量纲量,且则2.3.2量纲分析[f]=LMT-2,[l]=[h]=L,[v]=LT-1,

[

]=L-3M,[μ]=L-1MT-1,[g]=LT-2量纲分析示例：波浪对航船的阻力航船阻力f船体长l，吃水深度h，航船速度v,海水密度

,粘度系数μ，重力加速度gm=7,n=32.3.2量纲分析Ay=0有m-r=4个基本解rankA=3rankA=rAy=0有m-r个基本解ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T

s=1,2,…,m-rm-r

个无量纲量波浪对航船的阻力为得到阻力f的显式表达式F=0

未定F(

1,

2,…,

m-r)=0与

f(q1,q2,,qm)=0等价

F(

1,

2,

3,

4

)=0与

(f,l,h,v,,μ,g)=0等价波浪对航船的阻力量纲分析法的评注

物理量的选取

基本量纲的选取

基本解的构造

结果的局限性

(…)=0中包括哪些物理量是至关重要的基本量纲个数n;选哪些基本量纲有目的地构造Ay=0的基本解

方法的普适性函数F和无量纲量未定不需要特定的专业知识2.3.3物理模拟中的比例模型单摆运动及原型中各物理量为因为λ量纲为1，在原型和模型中不变又因为g=g'所以有如果按比例尺为4：1设计模型的摆长，那么测定了模型的周期以后，原型周期取为模型周期的2倍。例:航船阻力的物理模拟通过航船模型确定原型船所受阻力~模型船的参数(均已知)可得原型船所受阻力已知模型船所受阻力

f',l',h',v',ρ',μ',g'~原型船的参数(f'未知，其他已知)注意：二者的

相同2.3.3物理模拟中的比例模型当ρ=ρ′，μ=μ′时考虑改变模拟所用液体粘度l=l′,h=h′,无法进行模拟▼当无量纲量满足

按一定尺寸比例造模型船，量测f，可算出f'~物理模拟即设μ≠μ′，仍设ρ=ρ′，则当l=l′/20时，μ=0.01μ′，而技术上很难得到如此小的粘度的液体考虑在一定的条件下Re数（）的影响较小，忽略它，得例：火箭发射m1m2xrv0g星球表面竖直发射。初速v,星球半径r,表面重力加速度g研究火箭高度x随时间t

的变化规律t=0时x=0,火箭质量m1,星球质量m2牛顿第二定律，万有引力定律——3个独立参数2.3.4无量纲化用无量纲化方法减少独立参数个数[x]=L,[t]=T,[r]=L,[v]=LT-1,[g]=LT-2变量x,t

和独立参数r,v,g

的量纲用参数r,v,g的组合,分别构造与x,t具有相同量纲的xc,tc

（特征尺度）—无量纲变量如利用新变量将被简化令

xc,tc的不同构造1）令的不同简化结果

为无量纲量3）令

为无量纲量2）令

为无量纲量1）2）3）的共同点只含1个参数——无量纲量

解重要差别考察无量纲量在1）2）3）中能否忽略以

为因子的项？1)忽略

项无解不能忽略

项2)3)忽略

项不能忽略

项忽略

项火箭发射过程中引力m1g不变即x+r

r原问题可以忽略

项是原问题的近似解为什么3)能忽略

项，得到原问题近似解，而1)2)不能?1）令2）令3）令火箭到达最高点时间为v/g,高度为v2/2g,大体上具有单位尺度项可以忽略项不能忽略2.4简单的优化法2.4.1

存贮问题2.4.2

森林救火

现实世界中普遍存在着优化问题

静态优化问题指最优解是数(不是函数)

建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的目标函数

求解静态优化模型一般用微分法静态优化模型问题配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。要求不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系。2.4.1

存贮问题问题分析与思考

每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费5000元。日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元。

10天生产一次，每次1000件，贮存费900+800+…+100=4500元，准备费5000元，总计9500元。

50天生产一次，每次5000件，贮存费4900+4800+…+100=122500元，准备费5000元，总计127500元。平均每天费用950元平均每天费用2550元10天生产一次平均每天费用最小吗?每天费用5000元

这是一个优化问题，关键在建立目标函数。显然不能用一个周期的总费用作为目标函数目标函数——每天总费用的平均值

周期短，产量小

周期长，产量大问题分析与思考贮存费少，准备费多准备费少，贮存费多存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小模型假设1.产品每天的需求量为常数r；2.每次生产准备费为c1,每天每件产品贮存费为c2；3.T天生产一次（周期）,每次生产Q件，当贮存量为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；建模目的设r,c1,c2已知，求T,Q

使每天总费用的平均值最小。4.为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。模型建立0tq贮存量表示为时间的函数q(t)TQrt=0生产Q件，q(0)=Q,q(t)以需求速率r递减，q(T)=0.一周期总费用每天总费用平均值（目标函数）离散问题连续化一周期贮存费为A=QT/2模型求解求T使模型分析模型应用c1=5000,

c2=1，r=100T=10(天),Q=1000(件),C=1000(元)

回答问题

经济批量订货公式（EOQ公式）每天需求量r，每次订货费c1,每天每件贮存费c2，用于订货、供应、存贮情形不允许缺货的存贮模型

问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？T天订货一次(周期),每次订货Q件，当贮存量降到零时，Q件立即到货。允许缺货的存贮模型AB0qQrT1t当贮存量降到零时仍有需求r,出现缺货，造成损失原模型假设：贮存量降到零时Q件立即生产出来(或立即到货)现假设：允许缺货,每天每件缺货损失费c3,

缺货需补足T一周期贮存费一周期缺货费周期T,t=T1贮存量降到零一周期总费用每天总费用平均值（目标函数）一周期总费用求T,Q使为与不允许缺货的存贮模型相比，T记作T′,Q记作Q‌′不允许缺货模型记允许缺货模型不允许缺货允许缺货模型0qQ

rT1tT注意：缺货需补足Q

~每周期初的存贮量R每周期的生产量R

（或订货量）Q~不允许缺货时的产量(或订货量)森林失火后，要确定派出消防队员的数量。队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。问题分析问题记队员人数x,失火时刻t=0,开始救火时