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文档简介

2024届上海市市北高级中学高三3月高考适应性调研考试数学试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.执行如图所示的程序框图,如果输入,则输出属于()A. B. C. D.2.已知函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象,则的最小值为()A. B. C. D.3.设等差数列的前n项和为,若,则()A. B. C.7 D.24.已知集合,,则等于()A. B. C. D.5.已知函数(),若函数在上有唯一零点,则的值为()A.1 B.或0 C.1或0 D.2或06.设,点,,,,设对一切都有不等式成立,则正整数的最小值为()A. B. C. D.7.已知等差数列的前n项和为,,则A.3 B.4 C.5 D.68.方程在区间内的所有解之和等于()A.4 B.6 C.8 D.109.已知双曲线的实轴长为,离心率为,、分别为双曲线的左、右焦点,点在双曲线上运动,若为锐角三角形,则的取值范围是()A. B. C. D.10.大衍数列,米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,则大衍数列中奇数项的通项公式为()A. B. C. D.11.函数在内有且只有一个零点,则a的值为()A.3 B.-3 C.2 D.-212.已知复数,若,则的值为()A.1 B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在面积为的中,,若点是的中点,点满足,则的最大值是______.14.已知双曲线的左右焦点分别为,过的直线与双曲线左支交于两点,,的内切圆的圆心的纵坐标为,则双曲线的离心率为________.15.在正方体中,已知点在直线上运动,则下列四个命题中:①三棱锥的体积不变;②;③当为中点时,二面角的余弦值为;④若正方体的棱长为2,则的最小值为;其中说法正确的是____________(写出所有说法正确的编号)16.在正奇数非减数列中,每个正奇数出现次.已知存在整数、、,对所有的整数满足,其中表示不超过的最大整数.则等于______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在四棱椎中,四边形为菱形,,,,,,分别为,中点..(1)求证:;(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.18.(12分)已知函数(1)解不等式;(2)若函数,若对于任意的,都存在,使得成立,求实数的取值范围.19.(12分)山东省2020年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成,总分为750分.其中,统一高考科目为语文、数学、外语,自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目,语、数、外三科各占150分,选考科目成绩采用“赋分制”,即原始分数不直接用,而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.根据高考综合改革方案,将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A、B+、B、C+、C、D+、D、E共8个等级。参照正态分布原则,确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.等级考试科目成绩计入考生总成绩时,将A至E等级内的考生原始成绩,依照等比例转换法则,分别转换到91-100、81-90、71-80,61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八个分数区间,得到考生的等级成绩.举例说明.某同学化学学科原始分为65分,该学科C+等级的原始分分布区间为58~69,则该同学化学学科的原始成绩属C+等级.而C+等级的转换分区间为61~70,那么该同学化学学科的转换分为:设该同学化学科的转换等级分为x,69-6565-58=70-x四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67.(1)某校高一年级共2000人,为给高一学生合理选科提供依据,对六个选考科目进行测试,其中物理考试原始成绩基本服从正态分布ξ∼N(60,12(i)若小明同学在这次考试中物理原始分为84分,等级为B+,其所在原始分分布区间为82~93,求小明转换后的物理成绩;(ii)求物理原始分在区间(72,84)的人数;(2)按高考改革方案,若从全省考生中随机抽取4人,记X表示这4人中等级成绩在区间[61,80]的人数,求X的分布列和数学期望.(附:若随机变量ξ∼N(μ,σ2),则Pμ-σ<ξ<μ+σ=0.68220.(12分)已知等比数列是递增数列,且.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和.21.(12分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系;曲线C1的普通方程为(x-1)2+y2=1,曲线C2的参数方程为(θ为参数).(Ⅰ)求曲线C1和C2的极坐标方程:(Ⅱ)设射线θ=(ρ>0)分别与曲线C1和C2相交于A,B两点,求|AB|的值.22.(10分)如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,平面,是棱上的一点,满足平面.(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)设,,若为棱上一点,使得直线与平面所成角的大小为30°,求的值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

由题意,框图的作用是求分段函数的值域,求解即得解.【题目详解】由题意可知,框图的作用是求分段函数的值域,当;当综上:.故选:B【题目点拨】本题考查了条件分支的程序框图,考查了学生逻辑推理,分类讨论,数学运算的能力,属于基础题.2、A【解题分析】

首先求得平移后的函数,再根据求的最小值.【题目详解】根据题意,的图象向左平移个单位后,所得图象对应的函数,所以,所以.又,所以的最小值为.故选:A【题目点拨】本题考查三角函数的图象变换,诱导公式,意在考查平移变换,属于基础题型.3、B【解题分析】

根据等差数列的性质并结合已知可求出,再利用等差数列性质可得,即可求出结果.【题目详解】因为,所以,所以,所以,故选:B【题目点拨】本题主要考查等差数列的性质及前项和公式,属于基础题.4、A【解题分析】

进行交集的运算即可.【题目详解】,1,2,,,,1,.故选:.【题目点拨】本题主要考查了列举法、描述法的定义,考查了交集的定义及运算,考查了计算能力,属于基础题.5、C【解题分析】

求出函数的导函数,当时,只需,即,令,利用导数求其单调区间,即可求出参数的值,当时,根据函数的单调性及零点存在性定理可判断;【题目详解】解:∵(),∴,∴当时,由得,则在上单调递减,在上单调递增,所以是极小值,∴只需,即.令,则,∴函数在上单调递增.∵,∴;当时,,函数在上单调递减,∵,,函数在上有且只有一个零点,∴的值是1或0.故选:C【题目点拨】本题考查利用导数研究函数的零点问题,零点存在性定理的应用,属于中档题.6、A【解题分析】

先求得,再求得左边的范围,只需,利用单调性解得t的范围.【题目详解】由题意知sin,∴,∴,随n的增大而增大,∴,∴,即,又f(t)=在t上单增,f(2)=-1<0,f(3)=2>0,∴正整数的最小值为3.【题目点拨】本题考查了数列的通项及求和问题,考查了数列的单调性及不等式的解法,考查了转化思想,属于中档题.7、C【解题分析】

方法一:设等差数列的公差为,则,解得,所以.故选C.方法二:因为,所以,则.故选C.8、C【解题分析】

画出函数和的图像,和均关于点中心对称,计算得到答案.【题目详解】,验证知不成立,故,画出函数和的图像,易知:和均关于点中心对称,图像共有8个交点,故所有解之和等于.故选:.【题目点拨】本题考查了方程解的问题,意在考查学生的计算能力和应用能力,确定函数关于点中心对称是解题的关键.9、A【解题分析】

由已知先确定出双曲线方程为,再分别找到为直角三角形的两种情况,最后再结合即可解决.【题目详解】由已知可得,,所以,从而双曲线方程为,不妨设点在双曲线右支上运动,则,当时,此时,所以,,所以;当轴时,,所以,又为锐角三角形,所以.故选:A.【题目点拨】本题考查双曲线的性质及其应用,本题的关键是找到为锐角三角形的临界情况,即为直角三角形,是一道中档题.10、B【解题分析】

直接代入检验,排除其中三个即可.【题目详解】由题意,排除D,,排除A,C.同时B也满足,,,故选:B.【题目点拨】本题考查由数列的项选择通项公式,解题时可代入检验,利用排除法求解.11、A【解题分析】

求出,对分类讨论,求出单调区间和极值点,结合三次函数的图像特征,即可求解.【题目详解】,若,,在单调递增,且,在不存在零点;若,,在内有且只有一个零点,.故选:A.【题目点拨】本题考查函数的零点、导数的应用,考查分类讨论思想,熟练掌握函数图像和性质是解题的关键,属于中档题.12、D【解题分析】由复数模的定义可得:,求解关于实数的方程可得:.本题选择D选项.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解题分析】

由任意三角形面积公式与构建关系表示|AB||AC|,再由已知与平面向量的线性运算、平面向量数量积的运算转化,最后由重要不等式求得最值.【题目详解】由△ABC的面积为得|AB||AC|sin∠BAC=,所以|AB||AC|sin∠BAC=,①又,即|AB||AC|cos∠BAC=,②由①与②的平方和得:|AB||AC|=,又点M是AB的中点,点N满足,所以,当且仅当时,取等号,即的最大值是为.故答案为:【题目点拨】本题考查平面向量中由线性运算表示未知向量,进而由重要不等式求最值,属于中档题.14、2【解题分析】

由题意画出图形,设内切圆的圆心为,圆分别切于,可得四边形为正方形,再由圆的切线的性质结台双曲线的定义,求得的内切圆的圆心的纵坐标,结合已知列式,即可求得双曲线的离心率.【题目详解】设内切圆的圆心为,圆分别切于,连接,则,故四边形为正方形,边长为圆的半径,由,,得,与重合,,,即——①,——②联立①②解得:,又因圆心的纵坐标为,.故答案为:【题目点拨】本题考查双曲线的几何性质,考查数形结合思想与运算求解能力,属于中档题.15、①②④【解题分析】

①∵,∴平面

,得出上任意一点到平面的距离相等,所以判断命题①;②由已知得出点P在面上的射影在上,根据线面垂直的判定和性质或三垂线定理,可判断命题②;③当为中点时,以点D为坐标原点,建立空间直角系,如下图所示,运用二面角的空间向量求解方法可求得二面角的余弦值,可判断命题③;④过作平面交于点,做点关于面对称的点,使得点在平面内,根据对称性和两点之间线段最短,可求得当点在点时,在一条直线上,取得最小值.可判断命题④.【题目详解】①∵,∴平面

,所以上任意一点到平面的距离相等,所以三棱锥的体积不变,所以①正确;

②在直线上运动时,点P在面上的射影在上,所以DP在面上的射影在上,又,所以,所以②正确;③当为中点时,以点D为坐标原点,建立空间直角系,如下图所示,设正方体的棱长为2.则:,,所以,设面的法向量为,则,即,令,则,设面的法向量为,,即,,由图示可知,二面角是锐二面角,所以二面角的余弦值为,所以③不正确;④过作平面交于点,做点关于面对称的点,使得点在平面内,则,所以,当点在点时,在一条直线上,取得最小值.因为正方体的棱长为2,所以设点的坐标为,,,所以,所以,又所以,所以,,,故④正确.

故答案为:①②④.【题目点拨】本题考查空间里的线线,线面,面面关系,几何体的体积,在求解空间里的两线段的和的最小值,仍可以运用对称的思想,两点之间线段最短进行求解,属于难度题.16、2【解题分析】

将已知数列分组为(1),,共个组.设在第组,,则有,即.注意到,解得.所以,.因此,.故.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2).【解题分析】

(1)证明,得到平面,得到证明.(2)以点为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,平面的一个法向量为,平面的一个法向量为,计算夹角得到答案.【题目详解】(1)因为四边形是菱形,且,所以是等边三角形,又因为是的中点,所以,又因为,,所以,又,,,所以,又,,所以平面,所以,又因为是菱形,,所以,又,所以平面,所以.(2)由题意结合菱形的性质易知,,,以点为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,设平面的一个法向量为,则:,据此可得平面的一个法向量为,设平面的一个法向量为,则:,据此可得平面的一个法向量为,,平面与平面所成锐二面角的余弦值.【题目点拨】本题考查了线线垂直,二面角,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.18、(1)(2)【解题分析】

(1)将表示为分段函数的形式,由此求得不等式的解集.(2)利用绝对值三角不等式,求得的取值范围,根据分段函数解析式,求得的取值范围,结合题意列不等式,解不等式求得的取值范围.【题目详解】(1),由得或或;解得.故所求解集为.(2),即.由(1)知,所以,即.∴,∴.【题目点拨】本小题考查了绝对值不等式,绝对值三角不等式和函数最值问题,考查运算求解能力,推理论证能力,化归与转化思想.19、(1)(i)83.;(ii)272.(2)见解析.【解题分析】

(1)根据原始分数分布区间及转换分区间,结合所给示例,即可求得小明转换后的物理成绩;根据正态分布满足N60,122(2)根据各等级人数所占比例可知在区间61,80内的概率为25,由二项分布即可求得X【题目详解】(1)(i)设小明转换后的物理等级分为x,93-8484-82求得x≈82.64.小明转换后的物理成绩为83分;(ii)因为物理考试原始分基本服从正态分布N60,所以P(72<ξ<84)=P(60<ξ<84)-P(60<ξ<72)===0.136.所以物理原始分在区间72,84的人数为2000×0.136=272(人);(2)由题意得,随机抽取1人,其等级成绩在区间61,80内的概率为25随机抽取4人,则X~B4,PX=0=3PX=2=CPX=4X的分布列为X01234P812162169616数学期望EX【题目点拨】本题考查了统计的综合应用,正态分布下求某区间概率的方法,分布列及数学期望的求法,文字多,数据多,需要细心的分析和理解,属于中档题。20、(1)(2)【解题分析】

(1)先利用等比数列的性质,可分别求出的值,从而可求出数列的通

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