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文档简介
湖南省长沙市雅礼教育集团2024届联盟“测试数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在中,角、、所对的边分别为、、,若,则()A. B. C. D.2.已知实数,则的大小关系是()A. B. C. D.3.已知函数(),若函数有三个零点,则的取值范围是()A. B.C. D.4.已知等差数列的前项和为,且,则()A.45 B.42 C.25 D.365.记等差数列的公差为,前项和为.若,,则()A. B. C. D.6.已知,则的取值范围是()A.[0,1] B. C.[1,2] D.[0,2]7.如图所示,三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图,给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影),设直角三角形有一内角为,若向弦图内随机抛掷500颗米粒(米粒大小忽略不计,取),则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为()A.134 B.67 C.182 D.1088.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为()A. B.C. D.9.如图是二次函数的部分图象,则函数的零点所在的区间是()A. B. C. D.10.已知等式成立,则()A.0 B.5 C.7 D.1311.已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为().A. B. C. D.12.若函数有且只有4个不同的零点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知,是互相垂直的单位向量,若与λ的夹角为60°,则实数λ的值是__.14.的展开式中的系数为__________(用具体数据作答).15.若变量,满足约束条件,则的最大值为__________.16.已知集合,则____________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)若,求不等式的解集;(2)已知,若对于任意恒成立,求的取值范围.18.(12分)已知数列中,,前项和为,若对任意的,均有(是常数,且)成立,则称数列为“数列”.(1)若数列为“数列”,求数列的前项和;(2)若数列为“数列”,且为整数,试问:是否存在数列,使得对任意,成立?如果存在,求出这样数列的的所有可能值,如果不存在,请说明理由.19.(12分)已知函数.(1)当时.①求函数在处的切线方程;②定义其中,求;(2)当时,设,(为自然对数的底数),若对任意给定的,在上总存在两个不同的,使得成立,求的取值范围.20.(12分)设点分别是椭圆的左,右焦点,为椭圆上任意一点,且的最小值为1.(1)求椭圆的方程;(2)如图,直线与轴交于点,过点且斜率的直线与椭圆交于两点,为线段的中点,直线交直线于点,证明:直线.21.(12分)为了解网络外卖的发展情况,某调查机构从全国各城市中抽取了100个相同等级地城市,分别调查了甲乙两家网络外卖平台(以下简称外卖甲、外卖乙)在今年3月的订单情况,得到外卖甲该月订单的频率分布直方图,外卖乙该月订单的频数分布表,如下图表所示.订单:(单位:万件)频数1223订单:(单位:万件)频数402020102(1)现规定,月订单不低于13万件的城市为“业绩突出城市”,填写下面的列联表,并根据列联表判断是否有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关.业绩突出城市业绩不突出城市总计外卖甲外卖乙总计(2)由频率分布直方图可以认为,外卖甲今年3月在全国各城市的订单数(单位:万件)近似地服从正态分布,其中近似为样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表),的值已求出,约为3.64,现把频率视为概率,解决下列问题:①从全国各城市中随机抽取6个城市,记为外卖甲在今年3月订单数位于区间的城市个数,求的数学期望;②外卖甲决定在今年3月订单数低于7万件的城市开展“订外卖,抢红包”的营销活动来提升业绩,据统计,开展此活动后城市每月外卖订单数将提高到平均每月9万件的水平,现从全国各月订单数不超过7万件的城市中采用分层抽样的方法选出100个城市不开展营销活动,若每按一件外卖订单平均可获纯利润5元,但每件外卖平均需送出红包2元,则外卖甲在这100个城市中开展营销活动将比不开展营销活动每月多盈利多少万元?附:①参考公式:,其中.参考数据:0.150.100.050.0250.0100.0012.7022.7063.8415.0246.63510.828②若,则,.22.(10分)设数列,的各项都是正数,为数列的前n项和,且对任意,都有,,,(e是自然对数的底数).(1)求数列,的通项公式;(2)求数列的前n项和.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】
利用余弦定理角化边整理可得结果.【题目详解】由余弦定理得:,整理可得:,.故选:.【题目点拨】本题考查余弦定理边角互化的应用,属于基础题.2、B【解题分析】
根据,利用指数函数对数函数的单调性即可得出.【题目详解】解:∵,∴,,.∴.故选:B.【题目点拨】本题考查了指数函数对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.3、A【解题分析】
分段求解函数零点,数形结合,分类讨论即可求得结果.【题目详解】作出和,的图像如下所示:函数有三个零点,等价于与有三个交点,又因为,且由图可知,当时与有两个交点,故只需当时,与有一个交点即可.若当时,时,显然𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=4|𝑥|有一个交点𝐵,故满足题意;时,显然𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=4|𝑥|没有交点,故不满足题意;时,显然𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=4|𝑥|也没有交点,故不满足题意;时,显然与有一个交点,故满足题意.综上所述,要满足题意,只需.故选:A.【题目点拨】本题考查由函数零点的个数求参数范围,属中档题.4、D【解题分析】
由等差数列的性质可知,进而代入等差数列的前项和的公式即可.【题目详解】由题,.故选:D【题目点拨】本题考查等差数列的性质,考查等差数列的前项和.5、C【解题分析】
由,和,可求得,从而求得和,再验证选项.【题目详解】因为,,所以解得,所以,所以,,,故选:C.【题目点拨】本题考查等差数列的通项公式、前项和公式,还考查运算求解能力,属于中档题.6、D【解题分析】
设,可得,构造()22,结合,可得,根据向量减法的模长不等式可得解.【题目详解】设,则,,∴()2•2||22=4,所以可得:,配方可得,所以,又则[0,2].故选:D.【题目点拨】本题考查了向量的运算综合,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.7、B【解题分析】
根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论.【题目详解】解:设大正方形的边长为1,则小直角三角形的边长为,
则小正方形的边长为,小正方形的面积,
则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为,
故选:B.【题目点拨】本题主要考查几何概型的概率的应用,求出对应的面积之比是解决本题的关键.8、B【解题分析】
还原几何体可知原几何体为半个圆柱和一个四棱锥组成的组合体,分别求解两个部分的体积,加和得到结果.【题目详解】由三视图还原可知,原几何体下半部分为半个圆柱,上半部分为一个四棱锥半个圆柱体积为:四棱锥体积为:原几何体体积为:本题正确选项:【题目点拨】本题考查三视图的还原、组合体体积的求解问题,关键在于能够准确还原几何体,从而分别求解各部分的体积.9、B【解题分析】
根据二次函数图象的对称轴得出范围,轴截距,求出的范围,判断在区间端点函数值正负,即可求出结论.【题目详解】∵,结合函数的图象可知,二次函数的对称轴为,,,∵,所以在上单调递增.又因为,所以函数的零点所在的区间是.故选:B.【题目点拨】本题考查二次函数的图象及函数的零点,属于基础题.10、D【解题分析】
根据等式和特征和所求代数式的值的特征用特殊值法进行求解即可.【题目详解】由可知:令,得;令,得;令,得,得,,而,所以.故选:D【题目点拨】本题考查了二项式定理的应用,考查了特殊值代入法,考查了数学运算能力.11、D【解题分析】因为的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,所以,解得,所以二项式中奇数项的二项式系数和为.考点:二项式系数,二项式系数和.12、B【解题分析】
由是偶函数,则只需在上有且只有两个零点即可.【题目详解】解:显然是偶函数所以只需时,有且只有2个零点即可令,则令,递减,且递增,且时,有且只有2个零点,只需故选:B【题目点拨】考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围,基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解题分析】
根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义,列出方程解方程即可求出λ的值.【题目详解】解:由题意,设(1,0),(0,1),则(,﹣1),λ(1,λ);又夹角为60°,∴()•(λ)λ=2cos60°,即λ,解得λ.【题目点拨】本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题,是中档题.14、【解题分析】
利用二项展开式的通项公式可求的系数.【题目详解】的展开式的通项公式为,令,故,故的系数为.故答案为:.【题目点拨】本题考查二项展开式中指定项的系数,注意利用通项公式来计算,本题属于容易题.15、【解题分析】
根据约束条件可以画出可行域,从而将问题转化为直线在轴截距最大的问题的求解,通过数形结合的方式可确定过时,取最大值,代入可求得结果.【题目详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示:将化为,则最大时,直线在轴截距最大;由直线平移可知,当过时,在轴截距最大,由得:,.故答案为:.【题目点拨】本题考查线性规划中最值问题的求解,关键是能够将问题转化为直线在轴截距的最值的求解问题,通过数形结合的方式可求得结果.16、【解题分析】
根据并集的定义计算即可.【题目详解】由集合的并集,知.故答案为:【题目点拨】本题考查集合的并集运算,属于容易题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)或;(2).【解题分析】
(1)时,分类讨论,去掉绝对值,分类讨论解不等式.(2)时,分类讨论去绝对值,得到解析式,由函数的单调性可得的最小值,通过恒成立问题,得到关于的不等式,得到的取值范围.【题目详解】(1)因为,所以,所以不等式等价于或或,解得或.所以不等式的解集为或.(2)因为,所以,根据函数的单调性可知函数的最小值为,因为恒成立,所以,解得.所以实数的取值范围是.【题目点拨】本题考查分类讨论去绝对值,分段函数求最值,不等式恒成立问题,属于中档题.18、(1)(2)存在,【解题分析】
由数列为“数列”可得,,,两式相减得,又,利用等比数列通项公式即可求出,进而求出;由题意得,,,两式相减得,,据此可得,当时,,进而可得,即数列为常数列,进而可得,结合,得到关于的不等式,再由时,且为整数即可求出符合题意的的所有值.【题目详解】因为数列为“数列”,所以,故,两式相减得,在中令,则可得,故所以,所以数列是以为首项,以为公比的等比数列,所以,因为,所以.(2)由题意得,故,两式相减得所以,当时,又因为所以当时,所以成立,所以当时,数列是常数列,所以因为当时,成立,所以,所以在中令,因为,所以可得,所以,由时,且为整数,可得,把分别代入不等式可得,,所以存在数列符合题意,的所有值为.【题目点拨】本题考查数列的新定义、等比数列的通项公式和数列递推公式的运用;考查运算求解能力、逻辑推理能力和对新定义的理解能力;通过反复利用递推公式,得到数列为常数列是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题.19、(1)①;②8079;(2).【解题分析】
(1)①时,,,利用导数的几何意义能求出函数在处的切线方程.②由,得,由此能求出的值.(2)根据若对任意给定的,,在区间,上总存在两个不同的,使得成立,得到函数在区间,上不单调,从而求得的取值范围.【题目详解】(1)①∵,∴∴,∴,∵,所以切线方程为.②,.令,则,.因为①,所以②,由①+②得,所以.所以.(2),当时,函数单调递增;当时,,函数单调递减∵,,所以,函数在上的值域为.因为,,故,,①此时,当变化时、的变化情况如下:—0+单调减最小值单调增∵,,∴对任意给定的,在区间上总存在两个不同的,使得成立,当且仅当满足下列条件,即令,,,当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减所以,对任意,有,即②对任意恒成立.由③式解得:④综合①④可知,当时,对任意给定的,在上总存在两个不同的,使成立.【题目点拨】本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性、求函数最值问题,会利用导函数的正负确定函数的单调性,会根据函数的增减性求出闭区间上函数的最值,掌握不等式恒成立时所满足的条件.不等式恒成立常转化为函数最值问题解决.20、(1)(2)见解析【解题分析】
(1)设,求出后由二次函数知识得最小值,从而得,即得椭圆方程;(2)设直线的方程为,代入椭圆方程整理,设,由韦达定理得,设,利用三点共线,求得,然后验证即可.【题目详解】解:(1)设,则,所以,因为.所以当时,值最小,所以,解得,(舍负)所以,所以椭圆的方程为,(2)设直线的方程为,联立,得.设,则,设,因为三点共线,又所以,解得.而所以直线轴,即.【题目点拨】本题考查求椭圆方程,考查直线与椭圆相交问题.直线与椭圆相交问题,采取设而不求思想,设,设直线方程,应用韦达定理,得出,再代入题中需要计算可证明的式子参与化简变形.21、(1)见解析,有90%的把握认为“是否为业绩突出城市”与“选择网络外卖平台”有关.(2)①4.911②100万元.【解题分析】
(1)根据频率分布直方图与频率分布表,易得两个外卖平台中月订单不低于13万件的城市数量,即可完善列联表.通过计算的观测值,即可结合临界值作出判断.(2)①先根据所给数据求得样本平均值,根据所给今年3月订单数区间,并由及求得,.结合正态分布曲线性质可求得,再由二项分布的数学期望求法求解.②订单数低于7万件的城市有和两组,
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