人教B版（新）必修三 三角函数 任意角的三角函数 同角三角函数的基本关系式

第七章三角函数《同角三角函数的基本关系式》课件学习目标

重点：同角三角函数基本关系式的推导及其应用.难点：同角三角函数的基本关系式在解题中的灵活运用和对学生进行思维灵活的培养.知识梳理一、同角三角函数的基本关系

二、同角三角函数的基本关系式的应用

利用同角三角函数的基本关系的这两个公式，可以由已知的一个三角函数值求出同角的其余两个三角函数值，还可以进行同角三角函数式的恒等变换，化简三角函数式或证明三角恒等式.四、更多三角函数及关系式（拓展）

由上述定义可知，当α的终边在y轴上时，secα没有意义；当α的终边在x轴上时，cotα，cscα没有意义.

类似地，还能得到cot2α+1＝csc2α.习惯上，人们经常借助如图所示的六边形图形来记忆三角函数的基本关系式以及上述三角函数关系式：图中六边形的每一条红色对角线上的两个元素之积为1，即cosαsecα＝1，sinαcscα＝1，tanαcotα＝1.每一个倒立的绿色正三角形中，上方两个顶点元素的平方和等于下方顶点元素的平方，即sin2α+cos2α＝1等.一、利用同角三角函数的基本关系式求值

1.已知角的某个三角函数值，求该角的其余三角函数值常考题型例1

已知：sinθ＝a（a≠0），且tanθ>0.求cosθ，tanθ.【解】∵tanθ>0，∴角θ的终边在第一或第三象限内，

∴a≠±1.点拨：同角三角函数基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，其最基本的应用是“知一求二”.知弦求值时，一般需要用到平方关系，应注意角的终边所在的象限，当角的终边所在的象限不确定时，要注意分类讨论.DD

2.利用弦切互化求值【解题提示】先求tanα，再将sin2α-sinαcosα添加分母sin2α+cos2α，然后分子、分母同时除以cos2α，转化为关于正切的关系式.◆知切求弦常见的两类问题的解法1.求关于sinα，cosα的齐次式值的问题，如果cosα≠0，则可将被求式化为关于tanα的表达式，然后整体代入tanα的值，从而完成被求式的求值问题.2.若不是sinα，cosα的齐次式，可利用方程组的消元思想求解.如果已知tanα的值，求形如asin2α+bsinαcosα+ccos2α的值，注意将分母的1化为sin2α+cos2α，将其转化为关于tanα的表达式后求值.

【答案】2训练题AB

A

◆利用sinα±cosα与sinαcosα之间的关系求值的方法：sinα+cosα，sinα-cosα，sinαcosα三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα，利用此关系求sinα+cosα或sinα-cosα的值时，要注意判断它们的符号.训练题

B

二、利用同角三角函数关系式化简◆三角函数式的化简过程中常用的方法①化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.②对于含有根号的三角函数式，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的.③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α+cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.注意：对三角函数式化简的原则：①使三角函数式的次数尽量低.②使式中的项数尽量少.③使三角函数的种类尽量少.④使式中的分母尽量不含有三角函数.⑤使式中尽量不含有根号和绝对值符号.⑥能求值的要求出具体的值，否则就用三角函数式来表示.

训练题B

三、利用同角三角函数关系式证明1.一般三角恒等式的证明

2.条件三角恒等式证明

例7已知tan2α＝2tan2β+1，求证：sin2β＝2sin2α-1.◆条件三角恒等式的证明方法含有条件的三角恒等式的证明的基本方法同前面，但应注意条件的利用，常用方法有：1.直推法：从条件直推到结论；2.代入法：将条件代入到结论中，转化为三角恒等式的证明；3.换元法.小结1.已知一个角的某种三角函数值，利用三角函数基本关系式，可求其余两种三角函数值，在利用平方关系时，要根据角所在的象限确定三角函数值的符号.