2024届浙江省温州市苍南县树人中学高三4月质量调研（二模）数学试题

2024届浙江省温州市苍南县树人中学高三4月质量调研（二模）数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知等差数列的前13项和为52，则（）A．256 B．-256 C．32 D．-322．下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是（）A．正方体 B．球体C．圆锥 D．长宽高互不相等的长方体3．如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（）A． B． C． D．4．设命题：，，则为A．， B．，C．， D．，5．已知关于的方程在区间上有两个根，，且，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．6．在等差数列中，，，若（），则数列的最大值是（）A． B．C．1 D．37．已知是双曲线的左、右焦点，是的左、右顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的渐近线方程为（）A． B． C． D．8．已知命题，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．9．设全集U=R，集合，则（）A． B． C． D．10．已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（）A．2 B．3 C．4 D．512．已知向量，，且与的夹角为，则（）A． B．1 C．或1 D．或9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，，且，则最小值为__________．14．设等差数列的前项和为，若，，则数列的公差________，通项公式________.15．已知数列满足,且,则______.16．“”是“”的__________条件.（填写“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，，若存在实数使成立，求实数的取值范围.18．（12分）在平面四边形(图①)中，与均为直角三角形且有公共斜边，设，∠，∠，将沿折起，构成如图②所示的三棱锥，且使=.（1）求证：平面⊥平面；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．晋级成功晋级失败合计男16女50合计（1）求图中的值；（2）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有的把握认为“晋级成功”与性别有关？（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为，求的分布列与数学期望．（参考公式：，其中）0.400.250.150.100.050.0250.7801.3232.0722.7063.8415.02420．（12分）已知在中，角、、的对边分别为，，，，.（1）若，求的值；（2）若，求的面积.21．（12分）如图所示，在四面体中，，平面平面，，且.（1）证明：平面；（2）设为棱的中点，当四面体的体积取得最大值时，求二面角的余弦值.22．（10分）已知椭圆的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为，，为其右焦点，，且该椭圆的离心率为；（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点作斜率为的直线交椭圆于轴上方的点，交直线于点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与直线交于点．若，求取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

利用等差数列的求和公式及等差数列的性质可以求得结果.【题目详解】由，，得.选A.【题目点拨】本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，等差数列的等和性应用能快速求得结果.2、C【解题分析】

根据基本几何体的三视图确定．【题目详解】正方体的三个三视图都是相等的正方形，球的三个三视图都是相等的圆，圆锥的三个三视图有一个是圆，另外两个是全等的等腰三角形，长宽高互不相等的长方体的三视图是三个两两不全等的矩形．故选：C．【题目点拨】本题考查基本几何体的三视图，掌握基本几何体的三视图是解题关键．3、B【解题分析】

根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，结合定义表示出；根据抛物线与圆的位置关系和特点，求得点横坐标的取值范围，即可由的周长求得其范围.【题目详解】抛物线，则焦点，准线方程为，根据抛物线定义可得，圆，圆心为，半径为，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，解得交点横坐标为2.点、分别在两个曲线上，总是平行于轴，因而两点不能重合，不能在轴上，则由圆心和半径可知，则的周长为，所以，故选：B.【题目点拨】本题考查了抛物线定义、方程及几何性质的简单应用，圆的几何性质应用，属于中档题.4、D【解题分析】

直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.【题目详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题：，，则为：，.故本题答案为D.【题目点拨】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题.5、C【解题分析】

先利用三角恒等变换将题中的方程化简，构造新的函数，将方程的解的问题转化为函数图象的交点问题，画出函数图象，再结合，解得的取值范围.【题目详解】由题化简得，，作出的图象，又由易知．故选：C.【题目点拨】本题考查了三角恒等变换，方程的根的问题，利用数形结合法，求得范围.属于中档题.6、D【解题分析】

在等差数列中,利用已知可求得通项公式,进而,借助函数的的单调性可知,当时,取最大即可求得结果.【题目详解】因为，所以，即，又，所以公差，所以，即，因为函数，在时，单调递减，且；在时，单调递减，且.所以数列的最大值是，且，所以数列的最大值是3.故选:D.【题目点拨】本题考查等差数列的通项公式,考查数列与函数的关系,借助函数单调性研究数列最值问题,难度较易.7、D【解题分析】

根据为等腰三角形，可求出点P的坐标，又由的斜率为可得出关系，即可求出渐近线斜率得解.【题目详解】如图，因为为等腰三角形，，所以，,，又，，解得，所以双曲线的渐近线方程为，故选：D【题目点拨】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于中档题.8、D【解题分析】

求出命题不等式的解为，是的必要不充分条件，得是的子集，建立不等式求解.【题目详解】解：命题，即:，是的必要不充分条件，，，解得．实数的取值范围为．故选：．【题目点拨】本题考查根据充分、必要条件求参数范围，其思路方法：(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验．9、A【解题分析】

求出集合M和集合N,，利用集合交集补集的定义进行计算即可．【题目详解】，，则，故选：A．【题目点拨】本题考查集合的交集和补集的运算，考查指数不等式和二次不等式的解法，属于基础题．10、B【解题分析】

求出复数，得出其对应点的坐标，确定所在象限．【题目详解】由题意,对应点坐标为，在第二象限．故选：B．【题目点拨】本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题．11、D【解题分析】试题分析：抛物线焦点在轴上，开口向上，所以焦点坐标为，准线方程为，因为点A的纵坐标为4，所以点A到抛物线准线的距离为，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A与抛物线焦点的距离为5.考点：本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查学生的运算求解能力.点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算.12、C【解题分析】

由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求的值.【题目详解】解：由题意可得，求得，或，故选：C.【题目点拨】本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

首先整理所给的代数式，然后结合均值不等式的结论即可求得其最小值.【题目详解】，结合可知原式，且，当且仅当时等号成立.即最小值为.【题目点拨】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．14、2【解题分析】

直接利用等差数列公式计算得到答案.【题目详解】，，解得，，故.故答案为：2；.【题目点拨】本题考查了等差数列的基本计算，意在考查学生的计算能力.15、【解题分析】

数列满足知，数列以3为公比的等比数列，再由已知结合等比数列的性质求得的值即可.【题目详解】，数列是以3为公比的等比数列，又，，．故答案为：．【题目点拨】本题考查了等比数列定义，考查了对数的运算性质，考查了等比数列的通项公式，是中档题．16、充分不必要【解题分析】

由余弦的二倍角公式可得,即或,即可判断命题的关系.【题目详解】由,所以或,所以“”是“”的充分不必要条件.故答案为:充分不必要【题目点拨】本题考查命题的充分条件与必要条件的判断,考查余弦的二倍角公式的应用.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解题分析】试题分析：先将问题“存在实数使成立”转化为“求函数的最大值”,再借助柯西不等式求出的最大值即可获解.试题解析：存在实数使成立，等价于的最大值大于，因为，由柯西不等式：，所以，当且仅当时取“”，故常数的取值范围是．考点：柯西不等式即运用和转化与化归的数学思想的运用.18、（1）证明见解析；（2）【解题分析】

（1）取AB的中点O，连接，证得，从而证得C′O⊥平面ABD，再结合面面垂直的判定定理，即可证得平面⊥平面；（2）以O为原点，AB，OC所在的直线为y轴，z轴，建立的空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.【题目详解】(1)取AB的中点O，连接，，在Rt△和Rt△ADB中，AB=2，则=DO=1，又C′D=，所以，即⊥OD，又⊥AB，且AB∩OD=O，平面ABD，所以⊥平面ABD，又C′O⊂平面，所以平面⊥平面DAB（2）以O为原点，AB，OC所在的直线为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，-1，0)，B(0，1，0)，C′(0，0，1)，，所以，，，设平面的法向量为=()，则，即，代入坐标得，令，得，，所以，设平面的法向量为=（），则，即，代入坐标得，令，得，，所以，所以，所以二面角A-C′D-B的余弦值为.【题目点拨】本题考查了面面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19、(1)；(2)列联表见解析，有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关；(3)分布列见解析，=3【解题分析】

（1）由频率和为1，列出方程求的值；（2）由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（3）由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率，知随机变量服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望.【题目详解】解：（1）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知，解得；（2）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为，所以晋级成功的人数为（人），填表如下：晋级成功晋级失败合计男163450女94150合计2575100假设“晋级成功”与性别无关，根据上表数据代入公式可得，所以有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关；（3）由频率分布直方图知晋级失败的频率为，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75，所以可视为服从二项分布，即，，故，，，，.所以的分布列为：01234数学期望为.或（）．【题目点拨】本题考查了频率分布直方图和离散型随机变量的分布列、数学期望的应用问题，属于中档题．若离散型随机变量，则.20、（1）7（2）14【解题分析】

（1）在中，，可得，结合正弦定理，即可求得答案；（2）根据余弦定理和三角形面积公式，即可求得答案.【题目详解】（1）在中，，，，，，.（2），，，解得，.【题目点拨】本题主要考查了正弦定理和余弦定理解三角形，解题关键是掌握正弦定理边化角，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.21、（1）见证明；（2）【解题分析】

（1）根据面面垂直的性质得到平面，从而得到，利用勾股定理得到，利用线面垂直的判定定理证得平面；（2）设，利用椎体